專題01 三角形的證明（考題猜想易錯必刷41題13種題型專項訓練）（解析版）-2023-2024學年8下數(shù)學期末考點大串講（北師大版）

專題01三角形的證明（易錯必刷41題13種題型專項訓練）角平分線的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定與性質(zhì)等邊三角形的判定直角三角形的性質(zhì)勾股定理勾股定理的證明線段垂直平分線的性質(zhì)等腰三角形的判定等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)含30度角的直角三角形勾股定理的證明

一．角平分線的性質(zhì)（共7小題）1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為（）A．1 B．6 C．3 D．12【答案】C【解答】解：過點D作DH⊥BC交BC于點H，如圖所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴點D是直線BC外一點，∴當點P在BC上運動時，點P運動到與點H重合時DP最短，其長度為DH長等于3，即DP長的最小值為3．故選：C．2．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相交叉的公路．現(xiàn)在要建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地點有（）A．四處 B．三處 C．兩處 D．一處【答案】A【解答】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個內(nèi)角平分線的交點，共一處；（2）三角形外角平分線的交點，共三處．故選：A．3．如圖，△ABC的三邊AB、AC、BC的長分別為4、6、8，其三條角平分線將△ABC分成三個三角形，則S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（）A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2【答案】A【解答】解：過點O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三條角平分線的交點，∴OD＝OE＝OF，∵AB＝4，AC＝6，BC＝8，∴S△OAB：S△OAC：S△OBC＝2：3：4．故選：A．4．在△ABC內(nèi)一點P到三邊的距離相等，則點P一定是△ABC（）A．三條角平分線的交點 B．三邊垂直平分線的交點 C．三條高的交點 D．三條中線的交點【答案】A【解答】解：∵點P到△ABC的三邊的距離相等，∴點P應是△ABC三條角平分線的交點．故選：A．5．如圖：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB＝CE，則下列結(jié)論：①DE＝DF，②AE＝AF，③BD＝CD，④AD⊥BC．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，∴①正確；由勾股定理得：AF＝，AE＝，∵AD＝AD，DF＝DE，∴AE＝AF，∴②正確；∵AF＝AE，BF＝CE，∴AB＝AC，∵AD平分∠BAC，∴BD＝DC，AD⊥BC，∴③④都正確；∴正確的有4個．故選：D．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝3，AB＝10，則△ABD的面積是15．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，作DE⊥AB于E，由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面積＝×AB×DE＝×10×3＝15，故答案為：15．7．兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，請在圖中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）【答案】圖形見解答內(nèi)容．【解答】解：如圖：點C即為所求作的點．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共2小題）8．如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點D、E兩點，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點F、G兩點，連接BE、BG．若△BEG的周長為16，GE＝1．則AC的長為（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】B【解答】解：∵DE是線段AB的中垂線，GF是線段BC的中垂線，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周長為16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故選：B．9．如圖，△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，則AF＝10．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接AE，BE，過E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中點，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，設(shè)CF＝CG＝x，則AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，∴12﹣x＝8+x，解得x＝2，∴AF＝12﹣2＝10．故答案為：10．三．等腰三角形的性質(zhì)（共6小題）10．如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，則∠C的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，故選：A．11．已知等腰三角形的一個外角等于100°，則它的頂角是（）A．80° B．20° C．80°或20° D．不能確定【答案】C【解答】解：①若100°是頂角的外角，則頂角＝180°﹣100°＝80°；②若100°是底角的外角，則底角＝180°﹣100°＝80°，那么頂角＝180°﹣2×80°＝20°．故選：C．12．在等腰△ABC中，AB＝AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或10【答案】C【解答】解：設(shè)等腰三角形的底邊長為x，腰長為y，則根據(jù)題意，得①或②解方程組①得：，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，此時能組成三角形；解方程組②得：，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理此時能組成三角形，即等腰三角形的底邊長是11或7；故選：C．13．如圖，一鋼架中，∠A＝15°，焊上等長的鋼條來加固鋼架．若AP1＝P1P2，則這樣的鋼條最多只能焊上（）條．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：如圖：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P4P2＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此時就不能在往上焊接了，綜上所述總共可焊上5條．故應選B．14．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D在BC上，且AD＝AE．（1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度數(shù)．（2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度數(shù)．（3）猜想∠EDC與∠BAD的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝45°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+30°＝75°，∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAC）＝60°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣60°＝15°，答：∠EDC的度數(shù)是15°．（2）解：與（1）類似：∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣α，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°﹣α+30°＝120°﹣α，∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝α﹣30°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAC）＝105°﹣α，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝（120°﹣α）﹣（105°﹣α）＝15°，答：∠EDC的度數(shù)是15°．（3）∠EDC與∠BAD的數(shù)量關(guān)系是∠EDC＝∠BAD．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點，過點D分別向AB、AC引垂線，垂足分別為E、F，CG是AB邊上的高．（1）當D點在BC什么位置時，DE＝DF？并證明；（2）線段DE，DF，CG的長度之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當點D在BC的中點時，DE＝DF，理由如下：∵D為BC中點，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）DE+DF＝CG．證明：如圖，連接AD，則S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB?CG＝AB?DE+AC?DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．四．等腰三角形的判定（共2小題）16．已知△ABC的三邊長分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：如圖所示：當AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE時，都能得到符合題意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分別為分割線）．故選：B．17．如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（）A．8個 B．7個 C．6個 D．5個【答案】A【解答】解：當AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數(shù)有5個，當AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，可找出格點C的個數(shù)有3個；∴這樣的頂點C有8個．故選：A．五．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）18．如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為1cm2，則△PBC的面積為（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能確定【答案】B【解答】解：如圖，延長AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2），故選：B．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．（1）用尺規(guī)作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）設(shè)DN與AM交于點F，判斷△ADF的形狀．（只寫結(jié)果）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖所示：（2）△ADF的形狀是等腰直角三角形，理由是：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF＝∠FAC，∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC＝∠EAC+∠BAC＝×180°＝90°，即△ADF是直角三角形，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠EAC＝2∠EAF＝∠B+∠ACB，∴∠EAF＝∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD＝∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠FDC＝∠AFD，∴AD＝AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．20．已知在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AB上一點，∠BCD＝∠A．（1）如圖1，試說明CD＝CB的理由；（2）如圖2，過點B作BE⊥AC，垂足為點E，BE與CD相交于點F．①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）說明過程見解答；（2）①說明過程見解答；②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度數(shù)為45°或36°．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一個外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD，∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，∴∠BDC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC．∴CD＝CB；（2）①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠ACB＝90°，設(shè)∠CBE＝α，則∠ACB＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，∴∠BCD＝2∠CBE；②∵∠BFD是△CBF的一個外角，∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，分三種情況：當BD＝BF時，∴∠BDC＝∠BFD＝3α，∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴90°﹣α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；當DB＝DF時，∴∠DBE＝∠BFD＝3α，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，∴90°﹣2α＝3α，∴α＝18°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；當FB＝FD時，∴∠DBE＝∠BDF，∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB＝FD，綜上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度數(shù)為45°或36°．六．等邊三角形的性質(zhì)（共2小題）21．如圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是30a．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：因為每個三角形都是等邊的，從其中一個三角形入手，比如右下角的第二小的三角形，設(shè)它的邊長為x，則等邊三角形的邊長依次為x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，所以六邊形周長是，2x+2（x+a）+2（x+2a）+（x+3a）＝7x+9a，而最大的三角形的邊長等于第二小的三角形邊長的2倍，即x+3a＝2x，故x＝3a．所以周長為7x+9a＝30a．故答案為：30a．22．如圖，在等邊△ABC中，已知點E在直線AB上（不與點A、B重合），點D在直線BC上，且ED＝EC．（1）若點E為線段AB的中點時，試說明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的邊長為2，AE＝1，求CD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，E為AB的中點，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；（2）如圖1，E在線段AB上時，∵AB＝2，AE＝1，∴點E是AB的中點，由（1）知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如圖2，E在線段AB的反向延長線上時，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，過E作EH∥AC交BC的延長線于H，∴∠BEH＝∠BHE＝60°，∴△BEH是等邊三角形，∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，∴∠BED＝∠HEC，在△BDE和△HCE中，，∴△BDE≌△HCE（SAS），∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．綜上所述，CD的長為1或3．七．等邊三角形的判定（共1小題）23．下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④【答案】A【解答】解：①兩個角為60度，則第三個角也是60度，則其是等邊三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；③三個外角相等，則三個內(nèi)角相等，則其是等邊三角形；④根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得該等腰三角形的腰與底邊相等，則三角形三邊相等．所以都正確．故選：A．八．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）24．邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接AD、DF、DB．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∵∠AFE＝∠ABC＝120°，∴∠AFD＝∠ABD＝90°，在Rt△ABD和RtAFD中∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°，∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°，∴AD∥EF，∵G、I分別為AF、DE中點，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI＝∠FAD＝60°，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，∴∠EDM＝60°＝∠M，∴ED＝EM，同理AF＝QF，即AF＝QF＝EF＝EM，∵等邊三角形QKM的邊長是a，∴第一個正六邊形ABCDEF的邊長是a，即等邊三角形QKM的邊長的，過F作FZ⊥GI于Z，過E作EN⊥GI于N，則FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四邊形FZNE是平行四邊形，∴EF＝ZN＝a，∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已證），∴∠GFZ＝30°，∴GZ＝GF＝a，同理IN＝a，∴GI＝a+a+a＝a，即第二個等邊三角形的邊長是a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第二個正六邊形的邊長是×a；同理第第三個等邊三角形的邊長是×a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第三個正六邊形的邊長是××a；同理第四個等邊三角形的邊長是××a，第四個正六邊形的邊長是×××a；第五個等邊三角形的邊長是×××a，第五個正六邊形的邊長是××××a；第六個等邊三角形的邊長是××××a，第六個正六邊形的邊長是×××××a，即第六個正六邊形的邊長是×a，故選：A．九．直角三角形的性質(zhì)（共1小題）25．閱讀理解：如圖1，在△ABC的邊AB上取一點P，連接CP，可以把△ABC分成兩個三角形，如果這兩個三角形都是等腰三角形，我們稱點P是△ABC的邊AB上的完美點．解決問題：（1）如圖2，△ABC中，∠ACB＝90°，試找出邊AB上的完美點P，并說明理由．（2）如圖3，已知∠A＝36°，△ABC的頂點B在射線l上，點P是邊AB上的完美點，請認真分析所有符合要求的點B，直接寫出相應的∠B的度數(shù)．【答案】（1）見上面過程（2）見上面做的圖．【解答】解：（1）取AB的中點P，連接PC即可如圖①∵∠ACB＝90°，P是AB的中點，∴CP＝AB，AP＝BP＝AB，∴AP＝PB＝CP．∴△APC，△PBC是等腰三角形．∴點P是邊AB上的完美點.（2）滿足條件的點B如圖所示：②③④⑤⑥一十．含30度角的直角三角形（共2小題）26．如圖，已知∠AOB＝30°，點P在邊OA上，OP＝14，點E，F(xiàn)在邊OB上，PE＝PF，EF＝6．若點D是邊OB上一動點，則∠PDE＝45°時，DF的長為4或10．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過點P作PH⊥OB于點H，∵PE＝PF，∴EH＝FH＝EF＝3，∵∠AOB＝30°，OP＝14，∴PH＝OP＝7，當點D運動到點F右側(cè)時，∵∠PDE＝45°，∴∠DPH＝45°，∴PH＝DH＝7，∴DF＝DH﹣FH＝7﹣3＝4；當點D運動到點F左側(cè)時，D′F＝D′H+FH＝7+3＝10．所以DF的長為4或10．故答案為4或10．27．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為ts．（1）當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當t為何值時，△PBQ為直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）當BP＝BQ時，△PBQ為等邊三角形．即4﹣2t＝t．∴．當時，△PBQ為等邊三角形；（2）若△PBQ為直角三角形，①當∠BQP＝90°時，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②當∠BPQ＝90°時，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即當或t＝1時，△PBQ為直角三角形．一十一．勾股定理（共11小題）28．如圖所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE＝（）A．1 B． C． D．2【答案】D【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC＝＝＝；AD＝＝＝；AE＝＝＝2．故選：D．29．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的邊長是6cm，則正方形A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的面積之和是（）A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2【答案】D【解答】解：由圖可得，A與B的面積的和是E的面積；C與D的面積的和是F的面積；而E，F(xiàn)的面積的和是G的面積．即A、B、C、D、E、F、G的面積之和為3個G的面積．∵G的面積是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面積之和為36×3＝108cm2．故選：D．30．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD長為12，則△ABC的面積為（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84【答案】C【解答】解：（1）△ABC為銳角三角形，高AD在△ABC內(nèi)部．BD＝＝9，CD＝＝5∴△ABC的面積為×（9+5）×12＝84；（2）△ABC為鈍角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5∴△ABC的面積為×（9﹣5）×12＝24．故選：C．31．如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個正三角形，則S1、S2、S3、S4的關(guān)系為（）A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能確定【答案】C【解答】解：如圖，設(shè)Rt△ABC的三條邊AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等邊三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故選：C．32．如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要7米的地毯．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)勾股定理，另一直角邊＝＝3，∴3+4＝7，故應填7．33．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，點D為AB的中點，如果點M在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點N在線段CA上由C點向A點運動，若使△BDM與△CMN全等，則點N的運動速度應為2或3厘米/秒．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①當BD＝CM＝6厘米，BM＝CN時，△DBM≌△MCN，∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，∴點N運動的速度為2厘米/秒．②當BD＝CN，BM＝CM時，△DBM≌△NCM，∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，∴點N的速度為：＝3厘米/秒．故點N的速度為2或3厘米/秒．故答案為：2或3．34．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD＝5，BC＝12，則AB2+CD2＝169．【答案】169．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144，∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2，∴AB2+CD2＝169；故答案為：169．35．如圖，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，分別以AB，AC，BC為邊向外作等邊三角形，面積分別記為S1，S2，S3，則S1+S2+S3的值等于8．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵如圖，分別以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個等邊三角形，∴S3＝c2，S2＝a2，S1＝b2，又∵△ABC是直角三角形，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．∴S1+S2+S3＝2S3＝2××42＝8．故答案為：8．36．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點，CD＝3，點P從B點出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動．設(shè)點P的運動時間為t．連接AP．（1）當t＝3秒時，求AP的長度（結(jié)果保留根號）；（2）當△ABP為等腰三角形時，求t的值；（3）過點D作DE⊥AP于點E．在點P的運動過程中，當t為何值時，能使DE＝CD？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)題意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的長為2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根據(jù)勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，則2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，則BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，則（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：當△ABP為等腰三角形時，t的值為4、16、5．（3）①點P在線段BC上時，過點D作DE⊥AP于E，如圖1所示：則∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②點P在線段BC的延長線上時，過點D作DE⊥AP于E，如圖2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；綜上所述，在點P的運動過程中，當t的值為5或11時，能使DE＝CD．37．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12．（1）直接寫出AB的長度16．（2）設(shè)點P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的長；（3）設(shè)點M在AC上，若△MBC為等腰三角形，直接寫出AM的長．【答案】（1）16；（2）；（3）8或10或．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12，∴AB＝＝＝16，故答案為：16；（2）∵∠PAC＝∠PCA，∴AP＝PC，設(shè)AP＝PC＝x，∴PB＝16﹣x，∵∠B＝90°，∴BP2+BC2＝CP2，∴（16﹣x）2+122＝x2，解得：x＝，∴AP＝；（3）AM的長為8或10或．如圖（1），當CB＝CM＝12時，AM＝AC﹣CM＝20﹣12＝8；如圖（2），當BM＝CM時，AM＝BM＝CM＝AC＝10；如圖（3），當BC＝BM時，過B作BH⊥AC于點H，則BH＝＝，∴CH＝＝＝，∴CM＝2CH＝，∴AM＝AC﹣CM＝20﹣＝，綜上所述，AM的長為8或10或．38．問題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學知識變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋．（1）如圖1，是一個重要公