第3章 時域分析法

國家精品課程自動控制原理PrinciplesofAutomaticControl《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所2《自動控制原理》國家精品課程網站

06/zdkz/index.asp

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所3系統(tǒng)（機械，電氣，過程等）建模方法機理或實驗數(shù)學模型（Tf,Ss,Zpk)性能分析穩(wěn)定性、動態(tài)性能、魯棒性等若性能不滿足要求對系統(tǒng)進行校正校正方法（控制器設計方法）滯后-超前、PID、LQ最優(yōu)等

第3章時域分析法《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所4本章的主要內容3.1穩(wěn)定性分析3.2暫態(tài)性能分析3.3穩(wěn)定性能分析3.4MATLAB輔助分析控制系統(tǒng)時域性能《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所5本章的主要內容3.1穩(wěn)定性分析3.2暫態(tài)性能分析3.3穩(wěn)定性能分析3.4MATLAB輔助分析控制系統(tǒng)時域性能《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所6

3.1

穩(wěn)定性分析系統(tǒng)穩(wěn)定是保證系統(tǒng)能正常工作的首要條件。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的性質?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所73.1.1穩(wěn)定性的概念歐氏范數(shù)的概念1.向量的范數(shù)2.矩陣的范數(shù)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所8系統(tǒng)的平衡狀態(tài)系統(tǒng)沒有輸入作用時，處于自由運動狀態(tài)。當系統(tǒng)到達某狀態(tài)，并且維持在此狀態(tài)而不再發(fā)生變化時，這樣的狀態(tài)稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。一般非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)：線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

對于非線性系統(tǒng)，可能有一個平衡狀態(tài)，也可能有多個平衡狀態(tài)。線性系統(tǒng)通?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所9設描述SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的脈沖響應為

系統(tǒng)的全部特征根或閉環(huán)極點都具有負實部，或者都位于復平面左半部。

3.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所10系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是穩(wěn)定性分析的基礎。但直接檢查全部特征根是否都具有負實部是困難的。因此，后面將陸續(xù)介紹各種穩(wěn)定性判據(jù)。如：從檢查系統(tǒng)穩(wěn)定性角度，穩(wěn)定性必要條件有時是很有用的。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)特征方程的系數(shù)同號，而且都不為零。系統(tǒng)穩(wěn)定性必要條件穩(wěn)定性的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所11

設閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為勞斯表勞思穩(wěn)定判據(jù)：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞思表的第一列數(shù)的符號相同。而且，系統(tǒng)正實部特征根的個數(shù)等于勞思表第一列數(shù)的符號變化次數(shù)。

3.1.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所12直至其余全為0。直至其余全為0。勞斯表構成：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所13

例3.2已知系統(tǒng)的特征方程為用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。

勞思表構成如下：因為勞斯表第一列數(shù)符號相同，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所14例3.3已知系統(tǒng)的特征方程為

用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。

特征方程系數(shù)的符號不相同，不滿足穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

特征方程系數(shù)的符號不相同，不滿足穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因為勞思表第一列數(shù)符號變化2次，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有2個特征根在右半S平面?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所15用一個很小的正數(shù)（也可以是負數(shù)）

例3.4已知系統(tǒng)的特征方程為用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。勞思表第一列數(shù)符號變化2次，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有2個特征根在右半S平面。然后繼續(xù)列勞思表。特殊情況（1）：勞思表中某一行的第一列數(shù)為0，其余不為0。解決辦法：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所16用上一行的數(shù)構成輔助多項式，將輔助多項式對變量得到一個新的多項式。然后用這個新多項式的系數(shù)代替全為0一行的數(shù)，繼續(xù)列勞斯表。

例3.4已知系統(tǒng)的特征方程為用勞思穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。因勞思表第一列數(shù)符號變化1次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有1個特征根在右半S平面。求解輔助方程可得系統(tǒng)對稱于原點的特征根為特殊情況（2）：勞思表中某一行的數(shù)全為0解決辦法：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所17

例3.6圖示系統(tǒng)中，確定系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)的取值范圍。

解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為勞思表構成如下：由勞思穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所18要使系統(tǒng)穩(wěn)定得例確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K、T值。系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表，則穩(wěn)定條件為：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所19列勞斯表例設系統(tǒng)特征方程為

試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并分析有幾個根位于垂線

與虛軸之間。代入原特征方程，得到如下特征方程：勞斯表中第一列元素符號變化一次，所以有一個特征方程根在垂線右邊。勞斯表第一列無符號變化，系統(tǒng)穩(wěn)定。列勞斯表《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所20本章的主要內容3.1穩(wěn)定性分析3.2暫態(tài)性能分析3.3穩(wěn)定性能分析3.4MATLAB輔助分析控制系統(tǒng)時域性能《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所213.2暫態(tài)性能分析（1）階躍信號（2）速度信號（斜坡信號）3.2.1典型輸入信號《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所22（3）加速度信號（拋物線信號）（4）脈沖信號《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所23（5）正弦信號《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所243.2.2暫態(tài)性能指標

利用系統(tǒng)的單位階躍響應曲線的特征來定義控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標,直觀，含義清楚?？刂葡到y(tǒng)單位階躍輸入單位階躍響應初始條件為零

10《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所255%的穩(wěn)態(tài)值響應穩(wěn)態(tài)值典型的單位階躍響應曲線（衰減振蕩形式）

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所26（1）（最大）超調量

5%的穩(wěn)態(tài)值響應穩(wěn)態(tài)值3.2.2暫態(tài)性能指標《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所27系統(tǒng)對于超調量的要求對一般系統(tǒng)，總希望超調量較小。但常常希望系統(tǒng)有一點超調，以增加系統(tǒng)的快速性。例如，在電動機調速系統(tǒng)中，電動機速度有一點超調是容許的，這時電動機速度跟蹤特性較好。對不可逆系統(tǒng)，系統(tǒng)不能出現(xiàn)超調，例如，在水泥攪拌控制系統(tǒng)中，含水量不能過量，因為控制系統(tǒng)只能加水，而不能排水。機床刀架系統(tǒng)。《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所285%的穩(wěn)態(tài)值響應穩(wěn)態(tài)值（2）（最大）超調時間

（3）上升時間

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所29

（4）調節(jié)時間

5%的穩(wěn)態(tài)值響應穩(wěn)態(tài)值《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所30典型的單位階躍響應曲線（非衰減振蕩形式）90%的穩(wěn)態(tài)值《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所313.2.3一階系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析

為什么要研究典型系統(tǒng)的性能分析？現(xiàn)實中存在大量的系統(tǒng)，他們本身就屬于典型的一階或二階系統(tǒng)。（溫度計系統(tǒng)，單自由度機械振動系統(tǒng)等等）大量的高階、復雜系統(tǒng)可以在一定的近似范圍內簡化為典型的系統(tǒng)，以便于系統(tǒng)的分析與設計。在校正系統(tǒng)時，往往把系統(tǒng)設計成一個典型的系統(tǒng)。分析和理解高階系統(tǒng)的動態(tài)響應的基礎?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所32一階系統(tǒng)R(s)=1/sC(s)r(t)c(t)微分方程：傳遞函數(shù)：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所33Kt一階系統(tǒng)的單位階躍響應：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所34Kt2.3T3T一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標

（1）上升時間（2）調節(jié)時間

95%《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所35

設K=1，取不同的時間常數(shù)T,對于系統(tǒng)單位階躍響應的影響。T=1T=3T=7T=9T=5t參數(shù)K，T對于一階系統(tǒng)單位階躍響應的影響《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所36設T=3，取不同的K，對于系統(tǒng)單位階躍響應的影響。K=10K=7K=4K=1tKT《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所37小結：一階系統(tǒng)的單位階躍響應是單調上升的。因而，不存在超調量?？梢杂蒙仙龝r間或者調節(jié)時間來作為動態(tài)性能指標。為了提高一階系統(tǒng)的快速響應和跟蹤能力，應該減少系統(tǒng)的時間常數(shù)T。

單位階躍輸入，一階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應值為K，穩(wěn)態(tài)值與T無關?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所38

3.2.4典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能

為系統(tǒng)的阻尼比，為無阻尼自然振蕩頻率。1、典型二階系統(tǒng)的數(shù)學模型：二階系統(tǒng)R(s)=1/sC(s)r(t)c(t)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所392、典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應特征根的分布主要取決于系統(tǒng)的阻尼比（1）過阻尼狀態(tài)（2）臨界阻尼狀態(tài)（3）欠阻尼狀態(tài)

（4）無阻尼狀態(tài)（5）（5）負阻尼狀態(tài)典型二階系統(tǒng)的特征方程：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所40系統(tǒng)有兩個穩(wěn)定的互為共軛的極點：極點分布位置和大小由阻尼比和無阻尼振蕩頻率決定。（試討論他們對于極點位置，以及單位階躍響應的影響）5%的穩(wěn)態(tài)值響應穩(wěn)態(tài)值重點考慮欠阻尼狀況《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所41欠阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的單位階躍響應為：在欠阻尼情況下，系統(tǒng)的單位階躍響應具有衰減振蕩形式?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所42

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所43t《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所44欠阻尼典型二階系統(tǒng)暫態(tài)性能分析5%的穩(wěn)態(tài)值響應穩(wěn)態(tài)值（1）上升時間

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所45（2）超調時間

5%的穩(wěn)態(tài)值響應穩(wěn)態(tài)值《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所46（3）超調量

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所47（4）調節(jié)時間

5%的穩(wěn)態(tài)值響應穩(wěn)態(tài)值一般將系統(tǒng)設計成欠阻尼狀態(tài)，以提高系統(tǒng)響應的快速性。上述公式很重要，要求熟記。《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所48小結：當時，系統(tǒng)的輸出為正弦曲線。這種情況稱為無阻尼振蕩，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當時，系統(tǒng)為欠阻尼振蕩狀態(tài)。增加，將減少系統(tǒng)的振蕩，減少超調量；但上升時間、調節(jié)時間加大。當時，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)，這是總能保持系統(tǒng)的輸出值小于1的最小阻尼值。當時，系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)，在增加時系統(tǒng)的響應減慢。當自然頻率增加時，系統(tǒng)的響應速度加快但是系統(tǒng)響應的峰值保持不變，超調量由阻尼系數(shù)唯一確定?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所49計算舉例如圖所示典型二階系統(tǒng)，求

－《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所50計算舉例設計圖示系統(tǒng)具有如下的動態(tài)性能指標：超調量20%，超調時間為1秒。試確定系統(tǒng)參數(shù)K和A。As)1(+ssK)(sR)(sC《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所51解答：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)為典型的二階系統(tǒng)?；癁闃藴市问健蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所52As)1(+ssK)(sR)(sC

增加速度反饋環(huán)節(jié)可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減少超調量，減少振蕩次數(shù)，但系統(tǒng)的快速性略為減低。《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所533.2.5高階系統(tǒng)的暫態(tài)性能近似分析高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)一般表示為：

設系統(tǒng)閉環(huán)極點均為單極點（實際系統(tǒng)大都如此），單位階躍響應的拉氏變換式為：

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所54對于上式求拉氏反變換得到高階系統(tǒng)的單位階躍響應為：閉環(huán)極點離虛軸越遠，表達式中對應的暫態(tài)分量衰減越快，在系統(tǒng)的單位階躍響應達到最大值和穩(wěn)態(tài)值時幾乎衰減完畢，因此對上升時間、超調量影響不大；反之，那些離虛軸近的極點，對應分量衰減緩慢，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標主要取決于這些極點所對應的分量。因此，一般可將相對遠離虛軸的極點所引起的分量忽略不計，而保留那些離虛軸較近的極點所引起的分量?！蹲詣涌刂圃怼穱揖氛n程浙江工業(yè)大學自動化研究所55-1-5例

：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所56-10-1例

：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所57例

：《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所58結論：1）若某極點遠離虛軸與其它零、極點，則該極點對應的響應分量較小。2）若某極點鄰近有一個零點，則可忽略該極點引起的暫態(tài)分量。

忽略上述兩類極點所引起的暫態(tài)分量后，一般剩下為數(shù)不多的幾個極點所對應的暫態(tài)分量。這些分量對系統(tǒng)的動態(tài)特性將起主導作用，這些極點通常稱為主導極點。0(a)(b)][S0][S0][S（c)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所59本章的主要內容

穩(wěn)定性分析暫態(tài)性能分析穩(wěn)態(tài)性能分析

MATLAB輔助分析控制系統(tǒng)時域性能《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所60

3.3穩(wěn)態(tài)性能分析3.3.1控制系統(tǒng)誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所61

3.3.2控制系統(tǒng)型號或無差度的定義系統(tǒng)跟蹤輸入信號的能力主要取決于開環(huán)傳遞函數(shù)中所包含的積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。0型系統(tǒng)V型系統(tǒng)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所62

3.3.3終值定理法終值定理：設

且在右半平面與虛軸上沒有極點，則

終值定理法：設在右半平面及虛軸上（除原點外）沒有極點，為則穩(wěn)態(tài)誤差的終值《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所63

例3.11

已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求當系統(tǒng)輸入分別為階躍、速度、加速度時的穩(wěn)態(tài)誤差。滿足終值定理條件

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所64滿足終值定理條件《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所65《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所66

例3.12

已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。當《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所67在虛軸上存在極點，不滿足終值定理條件，不能用終值定理求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。應用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差時，一定要注意條件

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所68

對于正弦輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，可以用頻率特性求取

《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所69

例3.13

已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為求速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差可用勞思判據(jù)判斷是否滿足終值定理條件經檢驗，滿足終值定理的條件《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所70

3.3.4誤差系數(shù)法階躍輸入對0型系統(tǒng)對1型或高于1型的系統(tǒng)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所712斜坡輸入對1型系統(tǒng)對0型系統(tǒng)對2型或高于2型的系統(tǒng)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所723拋物線輸入對0型系統(tǒng)對1型系統(tǒng)對2型系統(tǒng)

對3型系統(tǒng)或高于3型的系統(tǒng)《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所73表3.1典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差終值《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所74

3.3.5擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分析《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所75《自動控制原理》國家精品課程浙江工業(yè)大學自動化研究所76

的積分環(huán)節(jié)數(shù)和傳遞系數(shù)有關。而參考輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差則與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)當擾動為階躍信號時，當擾動為速度信號時，當擾動為加速度信號時，擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差只與擾動作用點之前的傳遞函數(shù)