高中數(shù)學(xué)習(xí)題2：合情推理

合情推理

一、選擇題

1.如圖2—1—4為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來(lái)，那

么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色（）

圖2—1—4

A.白色B.黑色

C.白色可能性大D.黑色可能性大

【解析】由圖知，珠子三白二黑周而復(fù)始，相繼排列，因?yàn)?6+5=7余

1,所以第36顆珠子的顏色與第一顆珠子的顏色相同，即為白色，故選A.

【答案】A

2.（2013?佛山高二檢測(cè)）觀察下列事實(shí)：|x|+3=l的不同整數(shù)解（x,

力的個(gè)數(shù)為4,+3=2的不同整數(shù)解（x,力的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不

同整數(shù)解（x,力的個(gè)數(shù)為12,…，則W+|y|=20的不同整數(shù)解（必力的個(gè)數(shù)

為（）

A.76B.80

C.86D.92

【解析】由題意知3+3=1的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4,|X|+3=2

的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8,3+5=3的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為12,則可歸納出

等式右端值與不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，且解的個(gè)數(shù)為等式值的4倍，則|削

+1H=20的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80.

【答案】B

3.已知數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和（啟2）,且4=1,通過(guò)計(jì)算a2,a3,

&，猜想等于（）

22

，

A.n+\2Bnn+l

22

C----n-----

2"-l2n-l

【解析】由a=l,5=2??包=。|十包得色=；,X<3,4-32+33=9Xa3Wa,,

o

112

=~,且a+a+a+a=42?&得…猜想a“=---匚一.

6123)10nn+1

【答案】B

4.(2013?杭州高二檢測(cè))已知集合［={3"+2川力>〃且加，z?WN},若將集合

力中的數(shù)按從小到大排成數(shù)列{4},則有a=3=2X0=3,&=32+2X0=9,&

=32+2Xl=ll,包=避=27,…,依次類推，將數(shù)列依次排成如圖2—1—5所

示的三角形數(shù)陣，則第六行第三個(gè)數(shù)為()

為

當(dāng)

咸氏公

圖2—1—5

A.247B.735

C.733D.731

【解析】由條件可以看出，第s行第￡個(gè)數(shù)是3'+21-1),所以第六行

第三個(gè)數(shù)應(yīng)為3，+2X(3-1)=729+4=733.

【答案】C

5.(2013?南昌高二檢測(cè))觀察下列各式：55=3125,56=15625,57=78

125,…,則5所的末四位數(shù)字為()

A.3125B.5625

C.0625D.8125

【解析】V55=3125,5''=15625,57=78125,5'末四位數(shù)字為0625,59

末四位數(shù)字為3125,5］。末四位數(shù)字為5625,5"末四位數(shù)字為8125,5"末四位

數(shù)字為0625,…，由上可得末四位數(shù)字周期為4,呈規(guī)律性交替出現(xiàn)，??.5頡

=5許。+末四位數(shù)字為8125.

【答案】D

二、填空題

,2

6.（2013?大同高二檢測(cè)）已知2+-=2?

O

（a,大均為正實(shí)數(shù)），類比以上等式，可推測(cè)a,力的值，則a+t=.

【解析】由所給等式知，a=8,t=82—1=63,,,.a+t=71.

【答案】71

3141

311-X-X---T

7.觀察下列等式：TT7TX-=1-T7,X222X3夕HX

iAZZ乙3X2?'1X2

141511

于+工二*獷=1—八右，...’由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：

,丁.314177+21

對(duì)于“￡此必X］十巨*夢(mèng)+…十〃〃+］義］=--------

【解析】觀察所給等式知，第〃個(gè)等式的右邊為1一一二

【答案】

kc1-----A-+--1------X--2--"

8.在中，NC=90°,AC=b,BC=a,則△49C的外接圓半徑為r

=亞尹，將此結(jié)論類比到空間，得到相類似的結(jié)論為：.

【解析】利用類比推理，可把RtZUSC類比為三棱錐一一力比；且為，PB,

尸。兩兩垂直，當(dāng)為=a,PB=b,/T=c時(shí)，其外接球半徑為A=亞耳^￡.

【答案】在三棱錐"一/回中，PA,PB,尸。兩兩垂直，PA=a,PB=b,PC

=c,則三棱錐產(chǎn)一4a'的外接球的半徑為A=亞甘士C

三、解答題

9.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖2—1—6（1）、（2）、（3）、（4）

為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺

繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第〃個(gè)圖形包含

M個(gè)小正方形.

(1)(2)(3)(4)

圖2—1—6

⑴求出f⑸；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出FS+1)與f(〃)的關(guān)系式，并

根據(jù)你得到的關(guān)系式求f(/7)的表達(dá)式.

【解】⑴f(2)=5,A3)=13,*4)=25,

.?"(5)=25+4X4=41.

(2)Vf(2)-Al)=4=4X1,

f(3)-r(2)=8=4X2,

f(4)-f(3)=12=4X3,

f(5)—f(4)=16=4X4,

由上式規(guī)律得出F(〃+l)—F(〃)=4z;.

.?"(2)—f(l)=4Xl,

f(3)—f(2)=4X2,

f⑷一F⑶=4X3,

『(〃一1)一/1(〃-2)=4?(/?—2),

F(z?)—=4?(z?—1).

-f(l)=4[l+2+…+(77-2)+(P-1)]

=2(z?—1),n,

f(n)=2n~2〃+1.

10.在平面幾何中，研究正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時(shí)，我們有真命

題：邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值為-a類比上述命

題，請(qǐng)你寫出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)面的關(guān)系的一個(gè)真命題，并給出簡(jiǎn)

要的證明.

【解】類比所得的真命題是：棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的

距離之和是定值/-a.

O

證明：設(shè),"是正四面體尸一四。內(nèi)任一點(diǎn)，物到面/8C,面為反面為C,面

皈的距離分別為a,d2,“，A

由于正四面體四個(gè)面的面積相等，故有：

匕/-"Bc+KV-PASIh?ic+Kv-PSC

=：?S^ABC?(d+&+4+&)，

而,_亞2”—蛆3

ITIJJ△做'—4a，Vise—]2a，

\[Q

故d+“+&+d=3-a(定值).

o

11.(1)下圖(a),圖(b),圖(c),圖(d),為四個(gè)平面圖形.數(shù)一數(shù)，每個(gè)

平面圖形各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們圍成了多少個(gè)區(qū)域？請(qǐng)將結(jié)果填入

下表中.

(a)(b)(c)(d)

頂點(diǎn)個(gè)數(shù)邊的條數(shù)區(qū)域個(gè)數(shù)

(a)

(b)

(c)

(d)

(2)觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、邊的條數(shù)、區(qū)域個(gè)數(shù)之間有

什么關(guān)系.

(3)現(xiàn)已知某個(gè)平面圖形有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上

關(guān)系確定這個(gè)圖有多少條邊.