衡水內(nèi)部資料-高中數(shù)學(xué)-高中數(shù)學(xué)不等式知識點梳理

知識點歸納梳理

一、基本不等式

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

(a?

T>\^>a>bf

b--------

Ia—b>O<^>a>b

⑴作差法，a-b=O<^a=b(mR)；(2)作商法<￡=10〃=b(〃￡R,b>0).

[a—/K0<=>6/<b

<b

、b--------

2.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對稱性a>b<^b<a<=>

傳遞性a>b,b>c=>a>c=

可加性a>h<:>a+c>h+c

a>b\

八(=>ac>bc

OOJ

可乘性注意C的符號

a>t>\

c<oi=3

a>b]

同向可加性.(=>a+c>b+cl=>

c>di

a>b>0\

同向同正可乘性

=

可乘方性a>b>0=>a">b"(nG^,Gl)

a,人同為正數(shù)

可開方性a>6>0=y[a>y[b(neN,〃22)

3.不等式的一些常用性質(zhì)

⑴倒數(shù)的性質(zhì)

?ci>b,岫>0=:苗.11

②〃<Ovf/?=Z§.

?Q<a<x<b或a<x<b<O=>j^<^.

(2)有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)

若a>b>0,m>Of則

b+mhb—tnaa—m

①丁而？/二^f叫E；

1.“三個二次”的關(guān)系

判別式A=b2—4acA>0A=0A<0

y

二次函數(shù)

X

y=ax2+bx+c(a>0)的圖象OV^=X2X

一元二次方程有兩相異實根X”

有兩相等實根X|=X2=—沒有實數(shù)根

2Nd

ax+bx+c=0(a>0)的根X2(X1<X2)

{xlx.-jp

ax2+bx+c>0(a>0)的解集[xIxVXL或X>x21{xlxWR}

ax1+bx+c<0[a>0)的解集[X[X1<X<X2)00

2.常用結(jié)論

(x—a)(x—Z?)>0或(x—a)(x—。)<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ha=ba>b

(x-a)-(x-{x\x<a或口僅<6或

b)>0x>b]第

(x—a)\x—

{x|〃vxvb}0{x\b<x<a]

h)<0

口訣：大于取兩邊，小于取中間.

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域

(1)一般地，二元一次不等式及+小+OO在平面直角坐標系中表示直線Ar+By+C=O某一側(cè)所有點組成的

平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當我們在坐標系中畫不等式Ax+By+C^O所

表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線一

⑵由于對直線4r+By+C=0同一側(cè)的所有點(x,y),把它的坐標(x,y)代入Ar+B)，+C,所得的符號都相同,

所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點(如泗)作為測試點，由Axo+Bvo+C的符號即可判斷Ax+B.y+C>0

表示的直線是Ax+By+C=0哪一側(cè)的平面區(qū)域.

2.線性規(guī)劃相關(guān)概念

名稱意義

約束條件由變量X,y組成的一次不等式

線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組

目標函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)

線性目標函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式

可行解滿足線性約束條件的解

可行域所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題

3.重要結(jié)論

(1)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：

①直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；

②特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證.

(2)利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：

對于Ar+By+OO或Ax+B)，+C<0,則有

①當B(Ax+By+C)>0時，區(qū)域為直線Ax+By+C=0的上方；

②當B(Ax+8)，+C)<0時，區(qū)域為直線Ax+2y+C=0的下方.

(3)最優(yōu)解和可行解的關(guān)系：

最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多個.

1.基本不等式4萬W一彳

(1)基本不等式成立的條件：。>0,

(2)等號成立的條件：當且僅當亡女時取等號.

2.幾個重要的不等式

(\]a2+b2^2ab(a,6GR).

(2)§+注23，方同號).

3,。仁R).

(4卓*>CR).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.算術(shù)平均數(shù)與幾