立體幾何之所成角-(必修第二冊)

立體幾何之所成角

她知識剖析

1異面直線所成的角

①范圍（0。,90。］；

②作異面直線所成的角：平移法.

如圖，在空間任取一點。，過。作優(yōu)//a,b'//b,則a',b'所成的0角為異面直線a,b所成

的角.特別地，找異面直線所成的角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點

（如線段中點，端點等）上，形成異面直線所成的角.

2線面所成的角

「定義如下圖，平面的一條斜線（直線。和它在平面上的射影（40）所成的角，叫做這條直線

和這個平面所成的角.

一條直線垂直平面，貝招=90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則。=0°.

）范圍［0°,90。］

3二面角

。定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

在二面角的棱，上任取一點0,以點。為垂足，在半平面a和S內(nèi)分別作垂直于棱I的射線。4和

OB,則射線04和。B構(gòu)成的乙4OB叫做二面角的平面角.

②范圍[0°,180°].

經(jīng)典例題

【題型一】異面直線所成的角

【典題1】如圖,正方體4BCD—4B1C也中，點E,F分別是44i，力。的中點，則CQ與EF

所成角為（）

A.0°B.45°C.60°D.90°

【解析】連結(jié)4D、BD、4B,

???正方體4BCD—公%白。1中，點E,尸分別是441，4。的中點,EF||ArD,

???ArB||。1。,二NDAiB是CD1與E尸所成角，

vAiD=AiB=BD,4DA$=60°.二皿與EF所成角為60°.

故選C.

【點撥】

①找異面直線所成的角，主要是把兩條異面直線通過平移使得它們共面，可平移一條直線也

可以同時平移兩條直線；

②平移時常利用中位線、平行四邊形的性質(zhì)；

【典題2】如圖所示，在棱長為2的正方體4BCD—中，。是底面力BCD的中心,E、F

分別是CG,4。的中點，那么異面直線OE和FD］所成角的余弦值等于.

【解析】取BC的中點G.連接GG，則GG||F￡）i，再取GC的中點H,連接HE、。4則

E是CG的中點,...GCiIINOEH為異面直線所成的角.

在^OEH中,OE==亨,OH=y.

由余弦定理，可得cos/OEH=吟寒絲=f=W.

2OEEH2―5

故答案為手

【點撥】

本題利用平移法找到異面直線所成的角（4OEH）后，確定含有該角的三角形（△OEH）,利用解三

角形的方法（正弦定理,余弦定理等）把所求角ZOEH最終求出來.

【典題3】如圖，已知P是平行四邊形HBCO所在平面外一點,M,N分別是48,PC的中點.

⑴求證：MN||平面P4D；

【解析】（I）證明：取P。中點。連4Q,QN,

則AM||QN,且力M=QN,

四邊形4MNQ為平行四邊形

MN||AQ

又???4Q在平面PAD內(nèi),MN不在平面P4C內(nèi)

???MNII面PA。：

⑵解

方法一???MN||AQ

"4Q即為異面直線P4與MN所成的角

???MN=BC=4,PA=4V3,

???AQ=4,

設(shè)PQ=X,根據(jù)余弦定理可知COSNAQ。+cos^AQP=0

即Aj8+16+416=°解得％=4

8x8x

在三角形AQP中,4Q=PQ=4,AP=4V3

??cos^PAQ=霽濯=當(dāng)即"4Q=30。

.?屏面直線P4與MN所成的角的大小為30。

方法二過點4作4H1PD交PC于〃，如圖

???MN=BC=4,.-.”是QD的中點

設(shè)HO=x,則QH=x,PQ=2x,

在/?(:△AQD和

利用勾股定理可得4”2=16-x2=48-9/,解得x=2

1-?cosZ.PAQ=愛=*=當(dāng)即4PAQ=30°

.??異面直線P4與MN所成的角的大小為30。

【點撥】

本題中所成角NP4Q找到后，無法在一個三角形里求出，此時把問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，

再利用解三角形的方法進行求解.

【題型二】線面所成的角

【典題1］如圖，直角梯形4BCD與等腰直角三角形4BE所在的平面互相垂直.AB||CD.AB1

BC,AB=2CD=2BC,EA1EB.

⑴求證：ABIDE；

(2)求直線EC與平面4BE所成角的正弦值.

【解析】(1)證明：取4B中點。，連接EO,Z)。.

EB=EA,EO1AB.

???四邊形ABC。為直角梯形,AB=2CD=2BC.AB1BC,

二四邊形OBCC為正方形,二AB1OD.

又：EOC0。=0,：.AB，平面EOD.

:,AB1.ED.

(2"平面ABE_L平面ABC。,且4B1BC,

BCJ_平面4BE.

則4CEB為直線EC與平面48E所成的角.

設(shè)8c=a,則4B=2a,BE=V2a,：.CE=V3a,

在直角三角形CBE中,sin/CEB=秒=鬢=g.

即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為日.

【點撥】

本題中的“直線EC與平面ABE所成的角”是根據(jù)線面角的定義直接在題目原圖上找到的，在含

所求角NCEB的直角三角形CBE中求出角度！

【典題2】如圖,四邊形4BCD為正方形,PA1平面ABC。,且4B=4,PA=3,點4在PD上的射

影為G點,E點在邊上，平面PEC1平面PDC.

⑴求證：AG||平面PEC；

(2)求BE的長；

(3)求直線4G與平面PC4所成角的余弦值.

【解析】(1)證明：rCDLAD,CClPA

CDJL平面PAD???CD1AG,

又PD1AG

AAG，平面PCD

作EF1PC于F,因面PECiffiPCD

EF，平面PCD

EF||AG.y.AG<t?PFC,EFu面PEC,

AG||平面PEC

(2)由(1)知2、E、F、G四點共面，乂4E||CD???AEII平面PCD

AE||GF.??四邊形4EFG為平行四邊形,，.AE=GF

vPA=3tAD=AB=4:.PD=5,AG=/

在Rt△P4GP中,PG2=PA2-AG2=:.PG=|

AE=阻，故BE=—

2525

(3)---EF||4G,所以4G與平面PAC所成角等于EF與平面PAC所成的角,

過E作E。14C于。點，易知EO1平面P4C,乂EF1PC,

。產(chǎn)是EF在平面PAC內(nèi)的射影

NEF0即為EF與平面P4C?所成的角

EO=AEsin450=-x—="又EF=AG=-,

252255

.,EO18V253V2

stnZ-EF0=—=---X—=——

EF251210

故cos乙EFO=V1-sin2^EFO=—

10

所以4G與平面PAC所成角的余弦值等于察.

【點撥】

①若在題目中不能直接找到所求線面角,則可用“作高法”確定所求角,

比如下圖中，求直線力P與平面a所成的角，具體步驟如下：

(1)如圖,過點尸作平面a的高P。,垂足為。，則4。是線段4P在平面a上的投影；

(2)找到所求角仇

(3)求解三角形4Po進而求角夕

(此方法關(guān)鍵在于找到垂足。的位置,證明到P。1?平面a,如本題中E。，平面PAC的證明)

②本題若直接求“4G與平面P4C所成角”，過點G做高有些難度，則由EF||4G,能把“4G與平面

PAC所成角”轉(zhuǎn)化為“EF與平面PAC所成的角”，這方法稱為“間接法”吧.

【典題3】如圖，正四棱錐S—4BCO中,54=48=2上,凡6分別為8。,5(；,。。的中點.設(shè)P為

線段FG上任意一點.

(I)求證：EP1AC；

(II)當(dāng)P為線段FG的中點時,求直線8P與平面EFG所成角的余弦值.

$

AB

【解析】證明：（I）連接4c交BD了0,

S-ABCD是正四棱錐,二S0，平面ABC。,；.SO1AC,

XvAC1BD,S0flBD=。,二AC1平面SBD,AC1SD,

-F,G分別為SC,CD的中點，二SD||FG,

??ACGF,

同理AC1EF,AC，平面GEF,

又PEu平面GEF,???EP1AC.

（II）方法一過8作BH1GE于點H,連接PH,

???BD1AC,BD||GF,：.BH||AC,

由（I）知：4cL平面GEF,：.BHL平面GEF,

N8PH就是直線BP與平面EFG所成的角，

vS4=48=2,

.?.在RtABHP中，解得BH*,PH=號,PB=殍,

（易知1△BHE是等腰直角三角形，又由斜邊BE=1,.-.BH=~

在三角形尸GH中,PG=；,G，=乎/PGH用余弦定理可得PH=字）

2242

則cos4BPH=登=等,故直線BP與平面EFG所成角的余弦值為等.

ro1515

設(shè)過點B作平面EFG的垂直，垂直為T,

則NBP7就是直線BP與平面EFG所成的角,B7是點B到平面PGE的距離,

由已知條件可求GF=EF=1,GE=近，則4GFE=90",

S&PEG=JS^GFE=JX2=4,

由于P、尸是中點,易得點P到平面48CD的距離心=*。=￥，

而SAGEB=]SAGCB=3x1=5，

對于三棱錐P-GEB,

由%-PEG=^P-GEB=￡XBTXS“EG=~x/IXxS&GEB=77BT=g=BT=￥，

O<JJL44a4

在正四棱錐S-4BC。中可求P8=平，

（方法較多，提示過點P作平面4BCD的高P/）

.ST專噂「os乙BPT=71-siMBPT=嘿,

故直線BP與平面EFG所成角的余弦值為管.

【點撥】

①本題第二問中方法一就是用“做高法''，計算量有些大；方法二是覺得垂足H的位置難確定,

可設(shè)點8到平面EFG的投影為T（即垂足），再用“等積法”求高8T,則sinNBPT=*,可求所求角

4BPT,這種方法稱為“等積法”；

②思考：上一題試試用“等積法”！

【題型三】二面角

【典題1】如圖，在棱長為a的正方體4BCD—4/心。1中,4C與BD相交于點0.

求二面角Ai—BD—4的正切值.

DiCi

AB

【解析】在正方體中801平面44CC1，

???4。1BD.A^O1BD,.?.二面角41-BD一4的平面角為440A

D-______P,

由題中的條件求出：A0=當(dāng)a,AAi=a

???tanZ-Aj^OA=*=企，所以二面角4-BD-A的正切值為V2.

當(dāng)a

【點撥】本題根據(jù)二面角的定義找到二面角二面角必一B?！?的平面角為乙I1。川再在三角

形A04內(nèi)用解三角形的方法求解角乙4104

【典題2】如圖,四棱錐P—ABCD中,底面力BCD為矩形,P41底面4BCD,PA==e，點E

是棱PB的中點.

⑴求直線4D與平面PBC的距離；

(2)若4D=再，求二面角4一EC一。的平面角的余弦值.

【解析】⑴在矩形4BCD中,40||BC,從而AOI卜平面PBC,

故直線4D與平面PBC的距離為點4到平面PBC的距離.

因PA1底面ABCD,故P414B,可得△P48為等腰直角三角形,

又點E是棱PB的中點，故4E1PB,

vBC1AB,BC1PA,：■BCL平面P4BBC14瓦從而AE，平面P8C,

故4E之長即為宜線AD與平面P8C的距離,

在Rt△24B中,PA=AB=瓜

所以4E=：PB=^PA2+AB2=V3

(2)過點。作DF1CE于匕過點尸做FG1CE,交4c于G,連接DG,

則4DFG為所求的二面角的平面角.

由(I)知8c1AEXAD||BC.^AD1AE,

從而CE=y/AE2+AD2=>/6

在Rt△CBE中,CE=\/BE2+BC2=何>CD=瓜,

所以△CDE為等邊三角形,

故F為CE的中點，且DF=CD?sing=乎

因為4E_1_平面PBC,故4E1CE,又FG1CE,知尸G||AE.

G點為4c的中點,FG="E=當(dāng)

則在Rt△ADC^,DG=|VT1￡)2+CD2=|,

所以皿皿6=%筍=在

2DFFG3

【點撥】若在題目中不能直接得到所求二面角，就需要構(gòu)造出二面角,

比如本題求二面角4-EC—D,解題具體步驟如下

⑴過點。作DF1EC,過點F作尸G1EC交4?于點。，則二面角4DFG為所求的二面角的平面

角；

(2)確定含角4DFG的三角形OFG,利用解三角形的方法求出角4DFG,常見的是求出三角形三

邊再用余弦定理.

【典題3］如圖，已知三棱錐P-4BC,PA_L平面ABC,44cB=90。/84c=60°,PA=AC.M

為PB的中點.

(1)求證：PC1BC.(2)求二面角M—AC—8的大小.

【解析】⑴證明：由PA1平面ABC,；.PA1BC,

又因為乙4cB=90。,即BC1AC.

BC1面PAC".PC1BC.

(2)取4B中點。，連結(jié)M。、過。作H。J.AC于H,連結(jié)MH,

???時是/^的中點,；.“。||PA,

XvPA_L面ABC,；.MO_L面4BC.

NMH。為二面角M-4C—B的平面角.

設(shè)AC=2,則BC=2V3,MO=1,OH=V3,

在Rt△MH。中,.

二面角M—AC—8的大小為30。.

【點撥】求二面角也可以轉(zhuǎn)化為線面角，比如求二面角。一48—C,解題思路如下

過點。作CE1AB,則二面角。-AB-C等于直線ED與平面A8C所成的角或其補角，若過點。

作DF1平面4BC,則二面角。一4B—C是銳角，等于角NDEF；二面角D—48—C是鈍角，等于

角NDEr的補角.

￡鞏固練習(xí)

1(★)在正方體4BCD-AB'C'D'中，點P在線段AD'上運動，則異面直線CP與84所成的角。的

B.0<e鉆c.O<0<=D.0<0號

2

【答案】D

【解析】||."P與4/成角可化為CP與QC成角.

4。道是正三角形可知當(dāng)P與A重合時成角為以

不能與。1重合因為此時。傳與4聲平行而不是異面宜線，0<e<^.

2(**)如圖所示的幾何體，是將高為2、底面半徑為1的圓柱沿過旋轉(zhuǎn)軸的平面切開后，將其

中一半沿切面向右水平平移后形成的封閉體.。1，。2，。2’分別為48,BC,0E的中點,F

為弧48的中點,G為弧BC的中點.則異面直線4F與GO?'所成的角的余弦值為.

【解析】如圖，連接4/、FB、BG、GC,為半圓弧4FB的中點，G為半圓弧BGC的中點,

由圓的性質(zhì)可知，G、B、F三點共線，且4F=CG,FB=GB,ABBC,

△AFB2ACGB,：.AF\\CG,則“。。2‘即為所求的角或其補角,

又：半徑為1,高為2,W^AFB,ACGB都是等腰口△,

???CG=V2>CO2—GO1=V1+22=V5,

.?.在△CGO2'中，COS乙CGO]=后妥f卑,

即異面直線4尸與GO?'所成的角余弦值嚕.

3(**)如圖所示，在正方體4BCD-48心。1中,M是4B上一點,N是&C的中點,

MN平面&0C.

(1)求證：HQ1平面4DC；

(2)求MN與平面ABCD所成的角.

【答案】⑴見解析⑵彳

4

【解析】(1)證明：由A3C￡>—ASG。為正方體，得平面AQOAi，

AQiU平面AQDiA

：.CD±ADi，

乂且4￡>nC￡)=。，

平面AQC；

(2)解：：MN_L平面4QC,

又由⑴知Ad_L平面4DC,

：.MN//AD\,

：.ADt與平面ABCD所成的角，就是MN與平面ABCD所成的角，

，平面A8CC,

/.ZD\AD即為AQ與平面ABCD所成的角，

由正方體可知/。送。=-,

4

.?.MN與平面ABCD所成的角為f.

4

4(★★★)如圖,DC_L平面4BC,EB||OC,AC=BC=EB=2DC=2,N4CB=120。/,Q

分別為AE,4B的中點.

(1)證明：PQII平面4CD；(2)求4。與平面4BE所成角的正弦值.

【答案】⑴見解析(2)?

【解析】(1)證明：因為P，Q分別為AE,A8的中點，所以PQ〃EB.又DC〃EB,因此PQ

//DC,

乂平面AC￡>,從而產(chǎn)?！ㄆ矫鍭CD.

(2)如圖，連接CQ,DP,因為。為AB的中點，且AC=BC,所以CQLA8.

因為。CL平面ABC,EB//DC,所以E8L平面ABC,因此CQJ_E8.故CQ_L平面A8E.

由(1)有尸?！,又PQ=*B=DC,所以四邊形CQP。為平行四邊形，DP//CQ,因此

￡>P_L平面A8E,ND4P為AD和平面ABE所成的角，在RtaO心中，4)=花，DP=1,

sin/D4P=g即AD與平面ABE所成角的正弦值為今

5(***)四棱錐P—4BCD中,P4_L平面ABCD,四邊形2BCD為菱形,4WC=60°,PA=

AD=2,E為4。的中點.

(1)求證：平面PCE1平面P4D；

(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值；

(3)求二面角力-PD-C的正弦值.

【答案】⑴見解析(2)詈(3)等

【解析】(1)證明：,??四邊形A8CO為菱形，...DAuQC,

VZADC=60°,.?.△ADC為等邊三角形，：.CA=CD,

在△AOC中，E是AO中點，J.CEVAD,

?.?外，平面A8CO,CEcYffiABCD,：.CE1.PA,

'：PAC\AD=A,租u平面用。，AOu平面勿￡),

，EC_L平面以Q,

,?CEu平面PCE,二平面PCEL平面PAD.

(2)解：平面也n,...斜線PC在平面內(nèi)的射影為尸E,

即NCPE是尸C與平面外。所成角的平面角，

?.?如，平面A8CQ,AQu平面ABCQ,：.PAYAD,

在RtAiBAE中，PE=皿2+g=瓜

在Rt/XCED中，CE=y/CD2-ED2=V3,

：EC_L平面BAO,PEu平面以。，:.EC工PE,

在RtZiCEP中，tan/CPE=^=西，

PE5

：.PC與平面PAD所成角的正切值為雷.

(3)解：在平面辦。中，過點E作垂足為M,連結(jié)CM,

：EC_L平面P4O,PDu平面出。，：.ECLPD,

\