高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》導(dǎo)學(xué)案

3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

卜課前自主預(yù)習(xí)

品基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)

1.函數(shù)的極值定義

設(shè)函數(shù)人劃在點(diǎn)X0及其附近有定義，如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有阪

則稱/Uo）是函數(shù)/U）的一個(gè)圓極大值,記作y極大值=/5））；如果對(duì)x（）

附近的所有點(diǎn)都有螞似濁應(yīng)，則稱ZU。）是函數(shù)"）的一個(gè)例極小值,記作y極

小值=穴沏）.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.

極大值與極小值沒有必然的大小

關(guān)系，極大值不一定比極小值大.

2.函數(shù)極值的判定

當(dāng)函數(shù)/U）在點(diǎn)均處連續(xù)時(shí)，判斷;Uo）是否存在極大（?。┲档姆椒ㄊ牵?/p>

⑴如果在向附近的左側(cè)因/'（x）＞0,右側(cè)的/'（x）＜0,那么.穴沏）是極大值;

（2）如果在xo附近的左側(cè)圓UKQ，右側(cè)闞/'3＞0,那么式xo）是極小值;

（3）如果/'（幻在點(diǎn)即的左右兩側(cè)符號(hào)不變，則/Uo）理丕是函數(shù)人x）的極值.

/'''..■'...

極小值極大值

左負(fù)（\）右正（/），極小值

左正（/）右負(fù)（\）,極大值

3.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟

一般情況下，我們可以通過如下步驟求出函數(shù)y=/（x）的極值點(diǎn)：

⑴求出導(dǎo)數(shù)㈣63；

（2）解方程叵）尸（x）=0；

（3）對(duì)于方程/（x）=0的每一個(gè)解的，分析/'。）在刈左、右兩側(cè)的符號(hào)［即

*x）的單調(diào)性］,確定園極值:

①若/（九）在xo兩側(cè)的符號(hào)“左正右負(fù)”，則心為回極大值點(diǎn);

②若/（%）在的兩側(cè)的符號(hào)“左負(fù)右正”，則心為回極小值點(diǎn);

③若⑴在M）兩側(cè)的符號(hào)相同，則M）耳不是極值點(diǎn).

導(dǎo)數(shù)為。的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，但極

值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為0.導(dǎo)數(shù)為。的點(diǎn)

的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)時(shí)才是極值點(diǎn).

H知識(shí)拓展

函數(shù)極值點(diǎn)的兩種情況

（1）若點(diǎn)的是可導(dǎo)函數(shù)7U）的極值點(diǎn)，則/'（的）=0,反過來不一定成立.

(2)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，如：>=國(guó)在x=0處不可導(dǎo)，但

x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，因此，函數(shù)取極值點(diǎn)只可能為。)=0的根或不可導(dǎo)

點(diǎn)兩種情況.

自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)函數(shù)4%)=丁+0%2—x+1必有2個(gè)極值.()

(2)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處，切線與x軸平行或重合.()

(3)函數(shù)有極值.()

答案(1)V(2)V(3)X

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

(1)函數(shù)?x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)/(x)在(a,份內(nèi)的圖象如圖所

示，則函數(shù)/U)在開區(qū)間(a,與內(nèi)極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

(2)函數(shù)4尤)=/+》+1有極值的充要條件是.

(3)已知函數(shù)fix)=x2-2］nx,則fix)的極小值是

答案(1)2(2)a<0(3)1

卜課堂互動(dòng)探究

探究1求已知函數(shù)的極值

例1求下列函數(shù)的極值.

(l)yU)=(+31nx；

(2次8)=/一3d—2在(a—1,a+1)內(nèi)的極值(a>0).

［解］⑴函數(shù)/)=：+31nx的定義域?yàn)?0,+°°),f(%)=_1+：=3(尤/1)

令/'(x)=0得x=l.

當(dāng)X變化時(shí)，/(x),凡r)的變化情況如下表：

X(0,1)1(1,+8)

f(X)—0+

XX)極小值3

因此當(dāng)x=l時(shí)，/(X)有極小值，并且式1)=3.

(2)由/(%)=A:3—3d—2得/'(x)=3x(x—2),

令f(x)—0得尤=0或x—2,.

當(dāng)X變化時(shí)，f(X),八X)的變化情況如下表:

X(一8,0)0(0,2)2(2,+8)

fw+0—0+

fix)極大值極小值

由此可得：

當(dāng)0<。<1時(shí)，7U)在(a—1,a+1)內(nèi)有極大值_A0)=—2,無極小值;

當(dāng)a=l時(shí)，?r)在(a—1,a+1)內(nèi)無極值；

當(dāng)?3時(shí),一X)在(a—1,a+1)內(nèi)有極小值12)=—6,無極大值；

當(dāng)時(shí)，凡r)在僅-1,a+1)內(nèi)無極值.

綜上得，當(dāng)0<。<1時(shí)，7U)有極大值-2,無極小值；當(dāng)l<a<3時(shí)，火x)有極

小值-6,無極大值；當(dāng)a=1或a23時(shí)，./(X)無極值.

［條件探究］若將例1(2)中a>Q改為aVO,結(jié)果會(huì)怎樣？

解由例1(2)中表可得：當(dāng)一l<a<0時(shí)，/W在(。-1，。+1)內(nèi)有極大值/。)

=—2,無極小值.

當(dāng)—1時(shí)，/(x)在(a—1,a+1)內(nèi)無極值.

綜上得，當(dāng)一l<a<0時(shí)，火幻有極大值一2,無極小值.

當(dāng)aW—1時(shí)，?x)無極值.

拓展提升

求函數(shù)極值的方法

一般地，求函數(shù)y=/u)的極值的方法是：解方程/'(x)=O,設(shè)解為XO,

(1)如果在劭附近的左側(cè)方a)>o,右側(cè)/a)<o,那么yuo)是極大值；

(2)如果在向附近的左側(cè)/'。)<0,右側(cè)/'(x)〉0,那么4項(xiàng))是極小值.

注：如果在即附近的兩側(cè)，(x)符號(hào)相同，則刈不是函數(shù)7U)的極值點(diǎn).例

如，對(duì)于函數(shù)/u)=d,我們有/'(x)=3d.雖然/'(0)=0,但由于無論是x〉0,

還是x<0,恒有/'(x)〉0,即函數(shù)寅x)=d是單調(diào)遞增的，所以*=0不是函數(shù)"x)

=/的極值點(diǎn).一般地，函數(shù)y=?x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)丁=凡￥)在這點(diǎn)取

極值的必要條件，而非充分條件.

【跟蹤訓(xùn)練1】求下列函數(shù)的極值.

2x

(1的)=《+］—2；

(2阿=日7

解(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽.

、2(?+1)-4/2(x-l)(x+l)

fW=(x2+l)2=(x2+l)2-

令/'(x)=0,得x=-1或尤=1.

當(dāng)X變化時(shí)，/(x),犬X)變化情況如下表:

X(—8,—J)-1(-U)1(1,+°°)

fW—0+0—

極小值極大值一

於)

-31

由上表可以看出，

當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值為人-1)=—3；

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為犬1)=-1.

?0/、(x,2x-eA—x2e'x(2r)

??/=?)2=e'，

令f(x)—0,得x—0或x—2.

當(dāng)x變化時(shí)，/'(尤)，/U)變化情況如下表：

X(—8,0)0(0,2)2(2,+°0)

fU)一0+0—

極小值極大值

麻)

04e-2

由上表可以看出，

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有極小值，且10)=0；

4

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極大值，且式2)=/.

探究2已知函數(shù)的極值求參數(shù)

例2已知,*%)=/+3以2+為(；+"2在》=—1時(shí)有極值0,求常數(shù)a,匕的值.

［解］因?yàn)?(X)在》=-1時(shí)有極值0，

且/'W=3x2+6ax+b.

f'(-1)=0,[3—6a+/?=0,

所以〈即〈,

7(一1)=0,[—1+3。一b~\~a=0,

a=1,a=2,

解得或S當(dāng)a=1,b=3時(shí),

b=3,b=9.

f(X)=3?+6X+3=3(X+1)2>0,

所以大無)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去.

當(dāng)a=2,b=9時(shí)，

f'(x)=3?+12x+9=3(x+1)(x+3).

當(dāng)xe(—3,—1)時(shí)，八x)為減函數(shù);

當(dāng)(—8,一3］和［-1,+8)時(shí)，*》)為增函數(shù).

所以?r)在尤=一1時(shí)取得極小值，因此a=2,0=9.

拓展提升

已知函數(shù)極值的情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),

注意兩點(diǎn)：

(1)常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求

解后還須驗(yàn)證根的合理性.

【跟蹤訓(xùn)練2】已知/0)=/+依2+笈+韻.*X)在點(diǎn)x=0處取得極值，并

且在單調(diào)區(qū)間［0,2］和［4,5］上具有相反的單調(diào)性.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(1)因?yàn)?'a)=3d+2奴在點(diǎn)尤=0處取得極值，所以/'(0)=0,

解得6=0.

(2)令/'(x)=0,即3f+2ax=0,

解得x=0或無=—§a.

-2

依題意有一丞(>0.

又函數(shù)在單調(diào)區(qū)間［0,2］和［4,5］上具有相反的單調(diào)性，

2

所以必有2W—gaW4,解得一6WaW—3.

探究3利用極值判斷方程根的個(gè)數(shù)

例3已知曲線,*x)=-/+3/+9%+。與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

［解］f'(x)=-3?+6x+9.

令/'(尤)=0，解得修=-1,無2=3.

列表：

X(―0°,—1)-1(-1,3)3(3,+8)

/(X)—0+0—

fix)極小值極大值

所以當(dāng)x=—1時(shí)，/U)有極小值/(—l)=a—5；當(dāng)尤=3時(shí)，7U)有極大值13)

=。+27.

畫出大致圖象，要使_/(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，只需極大值小于0(如

圖1)或極小值大于0(如圖2).

所以5>0或。+27<0.解得a>5或a<—21.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>5或a<—27.

拓展提升

(1)研究方程根的問題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問題.一般地，方程7U)

=0的根就是函數(shù)7U)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程兀r)=g(x)的根就是函數(shù)

兀r)與g(?的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)事實(shí)上利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此

基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖

象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問題提供了方便.

【跟蹤訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)/U)=d—6X+5,XGR.

(1)求函數(shù)4x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若關(guān)于x的方程義x)=a有三個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(l)f(X)=3X2-6,令/(X)=0,解得尤I=—6，尤2=啦.

因?yàn)楫?dāng)x>/或x<—正時(shí)，f'(x)>0；

當(dāng)一啦6時(shí)，f(x)<0.

所以/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,一亞和(巾,+8);單調(diào)減區(qū)間為(一&,

當(dāng)X=一地時(shí)，_/（x）有極大值5+4也；當(dāng)尤=也時(shí)，兀冷有極小值5-472.

（2）由（1）的分析知y=/（x）的圖象的大致形狀及走向如右圖所示，

當(dāng)5—4/<0<5+4&時(shí)，直線y=a與y=y（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，即方

程/U）=a有三個(gè)不同的解.

（----------------------1踴提升1-----------------------）

1.在極值的定義中，取得極值的點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)指的是自變

量的值，極值指的是函數(shù)值.

2.函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).可導(dǎo)函數(shù)人幻在點(diǎn)尤=的處取得極值的充要

條件是/'（M））=0且在x=M）兩側(cè)/'（x）符號(hào)相反.

3.利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖象的交點(diǎn)問題.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.函數(shù)_/（%）=。9+法在x=1處有極值-2,則a,Z?的值分別為（）

A.1,-3B.1,3

C.-1,3D.—1,-3

答案A

解析?"（x）=3一+。，⑴=3a+Z?=0.①

又當(dāng)x=l時(shí)有極值-2,...a+b=-2.②

a=l,

聯(lián)立①②解得，.

S=-3.

2.設(shè)函數(shù)?r）=xe",則（）

A.x=l為犬x）的極大值點(diǎn)

B.x=l為於）的極小值點(diǎn)

C.》=-1為/W的極大值點(diǎn)

D.》=一1為八x）的極小值點(diǎn)

答案D

解析求導(dǎo)得/'（無）=6、+朧”=爐（無+1）,令/'a）=e"（x+l）=O,解得尤=一

1,易知尤=—1是函數(shù)y（x）的極小值點(diǎn).

3.函數(shù).*x)=*3—6f—15尤+2的極大值是,極小值是.

答案10-98

解析f(x)=37-12x-15=3(x-5)(x+l),在(一8,-1),(5,+°°)±

f'(x)>0,在(一1,5)上/'(x)<0,所以/U)極大值=x-1)=10,式幻核小值=<5)=—98.

4.函數(shù)y=xe，在其極值點(diǎn)處的切線方程為.

答案尸T

解析由題知y'=e"+無e"令>'=0,解得％=—1,代入函數(shù)解析式可得

極值點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,一J,又極值點(diǎn)處的切線為平行于x軸的直線，故方程為y

e,

5.已知函數(shù)?r)=x3—3x+a(a為實(shí)數(shù))，若方程.*%)=0有三個(gè)不同實(shí)根，求

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解令/'(-X)=3x2—3=3(x+l)(x—1)=0,

解得Xl=—1,%2=1.

當(dāng)x<一1時(shí)，/'(x)>0；

當(dāng)一1<%<1時(shí)，f(x)<0；

當(dāng)x>l時(shí)，/'(x)>0.

所以當(dāng)％=—1時(shí)，7U)有極大值五—l)=2+a；

當(dāng)x=l時(shí)，段)有極小值丹1)=一2+以

因?yàn)榉匠?r)=0有三個(gè)不同實(shí)根，

所以y=/U)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，如圖.

所以極大值2+a>0,極小值-2+aVO,

解得一2VaV2,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一2,2).

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.已知函數(shù),*x)=a?+"2+c,其導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則函數(shù)人元)的極小

值是()

Ax

A.〃+〃+c

B.8a+4/?+c

C.3a+2b

D.c

答案D

解析由圖象可以看出，當(dāng)XW(—8,0)時(shí)，/(x)<0,函數(shù)凡r)單調(diào)遞減；

當(dāng)x@(0,2)時(shí),f'(x)>0,函數(shù)貝x)單調(diào)遞增；當(dāng)xW(2,+8)時(shí)，f(%)<0,函

數(shù)凡r)單調(diào)遞減.所以x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值，/(0)=c.

2.函數(shù)負(fù)》)=*3—3/—%:(—2〃<2)有()

A.極大值為5,極小值為一27

B.極大值為5,極小值為一11

C.極大值為5,無極小值

D.極大值為一27,無極小值

答案C

解析f'(x)=3JC2—6x—9=3(x+l)(x—3).

令/'(x)=0,得修=-1,忿=3(舍去).

當(dāng)一2〈尤<一1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)一1<%<2時(shí)，f(x)<0,

故當(dāng)X=—1時(shí)，/(x)有極大值，./(x)極大僅=大-1)=5,無極小值.

3.設(shè)函數(shù)>=段)在R上可導(dǎo)，則/'(xo)=0是y=於)在x=x()處取得極值的

充分不必要條件必要不充分條件

充要條件既不充分也不必要條件

答案B

解析以/u)=d為例,｛工)=/在尤=0處導(dǎo)數(shù)為0,但不取得極值.故/(即)

=0是y=?x)在x=xo處取得極值的必要不充分條件.

4.若函數(shù)?r)=2x3—9J?+12X—a恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則。可能的值為

()

A.4B.6C.7D.8

答案A

解析由題意得了'（》）=6*2-18x+12=6（x—l）（x—2）,由/'（x）>0得x<l或

x>2,由/'（x）<0得l<x<2,所以函數(shù)人x）在（一8,i）,（2,+8）上單調(diào)遞增，在

（1,2）上單調(diào)遞減，從而可知_/U）的極大值和極小值分別為11）,負(fù)2）,若欲使函數(shù)

式幻恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則需使yu）=o或y（2）=o,解得。=5或。=4,而選

項(xiàng)中只給出了4.故選A.

5.設(shè)adR,若函數(shù)y=e、+ax（xeR）有大于零的極值點(diǎn)，則（）

A.a<—1B.a>-1

答案A

解析力=3+以，

'.y'=e*+a,令y'=e*+a=O,則e*=—a.

即x=ln（—a）,X'.'x>0,—a>l,即a<—1.

二'填空題

6.函數(shù)_/（x）=$3—3x—1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

答案3

解析。）=九2—2%一3=（尤+1）（無一3）,函數(shù)在（一8,—1）和（3,十8）上是

2

增函數(shù)，在（一1,3）上是減函數(shù)，由兀￥）板小值=*3）=-10<0,火x）梃大值=八-1）=亍>0

知函數(shù)/U）的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

2

7.函數(shù)_Ax）=1+lnx的極小值為.

答案l+ln2

221x~2

解析由於)=1+lnx知，f(x)=—p+-=-^2-,令/'(x)=0,得x=2.

X,(x),於)取值情況如下表:

X(0,2)2(2,+°0)

—0+

於）l+ln2

?\/U）極小徑=A2）=l+ln2.

8.如果函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷:

①函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

(—3,一內(nèi)單調(diào)遞增；

②函數(shù)y=?r)在區(qū)間

(T3)內(nèi)單調(diào)遞減；

③函數(shù)y=/W在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；

④當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=?r)有極小值；

⑤當(dāng)尤=—3時(shí)，函數(shù)y=/a)有極大值.

其中正確的結(jié)論為.

答案③

解析由導(dǎo)函數(shù)的圖象知：

當(dāng)(—8,一2)時(shí),f(x)<0,.*X)單調(diào)遞減；

當(dāng)％￡(—2,2)時(shí),f(x)>0,/)單調(diào)遞增；

當(dāng)x￡(2,4)時(shí)，f(x)<0,/)單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(4,+8)時(shí)，f(x)>0,/)單調(diào)遞增;

在x=—2時(shí)，/U)取極小值；

在x=2時(shí)，/U)取極大值；

在x=4時(shí)，式x)取極小值.

所以只有③正確.

三'解答題

9.已知函數(shù)y=ar'+/?x2,當(dāng)％=1時(shí)，有極大值3.

(1)求實(shí)數(shù)。，人的值；

(2)求函數(shù)y的極小值.

解⑴y'=3ax'+2bx.

=

川)=3，a+b=3,。，解得a-6,

由題意，知，即<L+2Q1

f(1)=0,，=9.

(2)由(1),知y=—6i+9小.

所以y'=-18x?+18%=-18x(x—1).

令y'=0,解得修=1,》2=0.

所以當(dāng)x<0時(shí)，y'<0；當(dāng)0令<1時(shí)，y'>0；

當(dāng)x>l時(shí)，y'<0.

所以當(dāng)x=0時(shí)，y有極小值，其極小值為0.

10.已知aWR,討論函數(shù),/(x)=e*(x2+ax+a+1)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解f(x)=ev(x2+ax+a+1)+eA(2x+a)

=e'[x2+(a+2)x+(2a+1)].

令/'(x)=O所以f+(a+2)x+2a+1=0冰

①當(dāng)J=(a+2)2—4(2a+l)=a2—4a>0,

即。<0或a>4時(shí)，設(shè)※有兩個(gè)不同的根為，x2,不妨設(shè)xi<X2,

x

所以/'(x)=e(x—xi)(x—x2).

，

X(一8，X|)X1（Xi，X2）X23+0°)

fW+0