普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試臨考沖刺卷（五）理科數(shù)學(xué)

普通高等學(xué)校2018年招生全國統(tǒng)一考試臨考沖刺卷(五)理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知命題，，則是成立的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分有不必要 D．充要【答案】B【解析】，因?yàn)?，所以是成立的必要不充分條件，選B．2．已知復(fù)數(shù)，，，是虛數(shù)單位，若是實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】復(fù)數(shù)，，．若是實(shí)數(shù)，則，解得．故選A．3．下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】A是奇函數(shù)，故不滿足條件；B是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故滿足條件；C是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不滿足條件；D是偶函數(shù)但是在上不單調(diào)．故答案為B．4．已知變量，之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且，之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：12340.13.14則（）A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．【答案】B【解析】由題意，，代入線性回歸方程為，可得，，，故選B． 5．若變量，滿足約束條件，則的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．【答案】C【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知：目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，．本題選C．6．已知等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)都不為，且成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由成等比數(shù)列得，，，，，，選C．7．我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有如下問題：“今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸．問：三女何日相會(huì)？”意思是：“一家出嫁的三個(gè)女兒中，大女兒每五天回一次娘家，二女兒每四天回一次娘家，小女兒每三天回一次娘家．三個(gè)女兒從娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相會(huì)？”假如回娘家當(dāng)天均回夫家，若當(dāng)?shù)仫L(fēng)俗正月初二都要回娘家，則從正月初三算起的一百天內(nèi)，有女兒回娘家的天數(shù)有（）A． B． C． D．【答案】C【解析】小女兒、二女兒和大女兒回娘家的天數(shù)分別是33，25，20，小女兒和二女兒、小女兒和大女兒、二女兒和大女兒回娘家的天數(shù)分別是8，6，5，三個(gè)女兒同時(shí)回娘家的天數(shù)是1，所以有女兒在娘家的天數(shù)是：33+25+20（8+6+5）+1=60．故選C．8．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三視圖可知，該多面體是如圖所示的三棱錐，其中三棱錐的高為2，底面為等腰直角三角形，直角邊長為2，表面積為，故選A．9．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，的幾何意義是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓的面積的，故，，故選D．10．已知，是函數(shù)的圖象上的相異兩點(diǎn)，若點(diǎn)，到直線的距離相等，則點(diǎn)，的橫坐標(biāo)之和的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，由基本不等式有，故，所以，選B．11．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】該三棱錐的圖象如圖所示，由，，，可得，，易證平面．在中，由余弦定理可得，即，以為軸，以為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)三棱錐的外接球球心為，則，解得：，，，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為，故選C．12．在等腰梯形中，且，，，其中，以，為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為，以，為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的離心率為，若對(duì)任意都有不等式恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，過作交于，則，，所以，，所以，，所以，令，則，因，故，所以，選C．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則_________．【答案】【解析】∵，∴，即，∴，∴．14．閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果為__________．【答案】【解析】由題設(shè)中提供的算法流程圖中的算法程序可知：當(dāng)，時(shí)，，，，運(yùn)算程序依次繼續(xù)：，，；，，；，，；，，；，運(yùn)算程序結(jié)束，輸出，應(yīng)填答案．15．在中，，，是的外心，若，則______________．【答案】【解析】由題意可得：，，，則：，，如圖所示，作，，則，，綜上有：，求解方程組可得：，故．16．已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)．若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則的范圍為__________．【答案】【解析】，，當(dāng)時(shí)，；，故函數(shù)，作函數(shù)與的圖象如下，過點(diǎn)時(shí)，，，，；故，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：60分，每個(gè)試題12分．17．已知在中，，且．（1）求角，，的大?。唬?）設(shè)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，若，求的值．【答案】（1），，；（2）或．【解析】（1）由已知，又，所以．又由，所以，所以，所以為直角三角形，，．（2）．所以，，由，得，所以，所以，所以或．18．某學(xué)校為了解高三復(fù)習(xí)效果，從高三第一學(xué)期期中考試成績中隨機(jī)抽取50名考生的數(shù)學(xué)成績，分成6組制成頻率分布直方圖如圖所示：（1）求的值；并且計(jì)算這50名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的樣本平均數(shù)；（2）該學(xué)校為制定下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃，從成績?cè)诘耐瑢W(xué)中選出3位作為代表進(jìn)行座談，記成績?cè)诘耐瑢W(xué)人數(shù)位，寫出的分布列，并求出期望．【答案】（1），；（2）見解析．【解析】（1）由題，解得，．（2）成績?cè)诘耐瑢W(xué)人數(shù)為6，成績?cè)谌藬?shù)為4，，，，；所以的分布列為：．19．如圖，多面體中，是正方形，是梯形，，，平面且，分別為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）∵，是正方形，∴，∵分別為棱的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴，∵，，∴平面，∴，從而，∵，是中點(diǎn)，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由已知，，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，令，則，由（1）可知平面，∴平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面和平面所成銳二面角為，則，所以，平面和平面所成銳二面角的余弦值為．20．已知橢圓：的離心率為，焦距為，拋物線：的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)．（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）上不同于的兩點(diǎn)，滿足，且直線與相切，求的面積．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，依題意有，，解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．又拋物線：開口向上，故是橢圓的上頂點(diǎn)，，，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）顯然，直線的斜率存在．設(shè)直線的方程為，設(shè)，，則，，，即，聯(lián)立，消去整理得，．依題意，，是方程的兩根，，，，將和代入得，解得，（不合題意，應(yīng)舍去）聯(lián)立，消去整理得，，令，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，，符合要求．此時(shí)，，．21．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）在函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間上．若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在兩點(diǎn)為，．【解析】（1）∵，又，∴，故所求切線方程為即．（2）設(shè)所求兩點(diǎn)為，，，，不妨設(shè)，∵，由題意：，∵在上單調(diào)遞增，∴，，又，∴，∴，解得：，（舍），，（舍）所以，存在兩點(diǎn)為，即為所求．（二）選考題（共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做第一題計(jì)分）22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)程為（為參數(shù)），設(shè)直線與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求出曲線的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)為曲線的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．【答案】（1）的普通方程為；（2）的最小值為．【解析】（1）將，的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；，① ，②①×②消可得：，因?yàn)椋?，所以的普通方程為．?）直線的直角坐標(biāo)方程為：．由（1）知曲線與直線無公共點(diǎn)，由于的參數(shù)方程為（為參數(shù)，，），所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離為：，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．23