河北省石家莊市第八十九中學2023-2024學年八年級上學期期末考試數(shù)學試卷+

2023-2024學年河北省石家莊八十九中八年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共16小題，共38分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列美麗的圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)有(

)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.若最簡二次根式可以與合并，則a的值可以是(

)A.5 B.4 C.2 D.13.x取下列各數(shù)時，使代數(shù)式有意義的是(

)A.0 B.1 C.2 D.34.下列分式中，最簡分式是(

)A. B. C. D.5.用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于”時，首先應假設這個直角三角形中(

)A.兩個銳角都大于 B.兩個銳角都小于

C.兩個銳角都不大于 D.兩個銳角都等于6.已知，則m的平方根為(

)A. B. C. D.7.如圖，已知，要使≌，添加的條件可以是(

)A.

B.

C.

D.8.如圖所示，，，若數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值為(

)

A. B. C. D.9.如圖所示，在等邊三角形ABC中，，E為AD上一點，，則等于(

)

A. B. C. D.10.如圖，在中，，AC的垂直平分線交AC于點交BC于點E，且與的比為4：1，則的度數(shù)為(

)

A. B. C. D.11.已知實數(shù)m、n滿足，且m、n恰好是等腰的兩條邊的邊長，則的周長是(

)A.10 B.8 C.10或8 D.612.如圖，已知，點P在邊OA上，，點M，N在邊OB上，，若，則(

)A.3

B.4

C.5

D.613.已知，，則a與b的關(guān)系是(

)A. B. C. D.14.對于，，有以下兩個結(jié)論：

①當時，；

②當時，

對于這兩個結(jié)論，說法正確的是(

)A.①對②不對 B.①不對②對 C.①②均對 D.①②均不對15.如圖，點A、B在直線l的同側(cè)，點C在直線l上，且是等腰三角形．符合條件的點C有(

)A.5個 B.4個 C.3個 D.2個16.如圖，在銳角三角形ABC中，，的面積為8，BD平分若M、N分別是BD、BC上的動點，則的最小值是(

)

A.2 B.4 C.6 D.8二、填空題：本題共3小題，共10分。17.已知，，則______.18.如圖，在四邊形ABCD中，，，連接BD，，，若P為BC邊上一個動點，則DP長的最小值為______，若點P為BC邊中點，則DP長為______.

19.如圖，在中，，點F為AB的中點，邊AC的垂直平分線交AC、CF、CB于點D、O、E，連接OA、

若，則的度數(shù)為______；

若，，則線段OA的長為______.

三、解答題：本題共7小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。20.本小題9分

復習備考時，王老師在黑板上寫了一道分式化簡題的正確計算結(jié)果，隨后用字母A代替了原題目的一部分：

求代數(shù)式A，并將其化簡；

當時，求x的值.21.本小題9分

如圖，在中，EF是AB的垂直平分線，，D為CE的中點．

求證：；

若，求的度數(shù)．22.本小題9分

琪琪在解題“計算：”時，發(fā)現(xiàn)“▲”處的數(shù)字印刷不清楚.

若“▲”處的數(shù)字是，請計算結(jié)果；

若該題標準答案的結(jié)果是，通過計算說明原題中“▲”是幾？23.本小題10分

如圖，中，，，AE是BC邊上的中線，過C作，垂足為F，過B作交CF的延長線于

求證：；

若，求BD的長.24.本小題10分

如圖，在中，，，，若點P從點B出發(fā)以的速度向點A運動，點Q從點A出發(fā)以的速度向點C運動，設P、Q分別從點B、A同時出發(fā)，運動的時間為

用含t的式子表示線段AP、AQ的長；

當t為何值時，是以PQ為底邊的等腰三角形？

當t為何值時，為直角三角形？25.本小題12分

為了加快推進環(huán)境建設，構(gòu)建生態(tài)宜居城市，實現(xiàn)“河暢、水清、岸綠、景美”的目標，九龍坡區(qū)計劃安排甲、乙兩個施工隊對一條全長為4100米的河道進行清淤施工，經(jīng)調(diào)查知：甲隊每天清淤的河道長度是乙隊每天清淤的河道長度的倍，甲隊清淤1200米的河道比乙隊清淤同樣長的河道少用2天.

甲、乙兩隊每天清淤的河道長度分別是多少米？

若該條河道先由甲隊單獨清淤2天，余下的河道由甲乙兩隊合作清淤.已知甲隊施工一天的費用為萬元，乙隊施工一天的費用為萬元，求完成該條河道清淤施工的總費用.26.本小題13分

如圖，在中，，點D在內(nèi)，，，點E在外，，

求的度數(shù)；

判斷的形狀并加以證明；連接DE，若，，求AD的長．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：從左數(shù)第一、四個是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．第二是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，第三個圖形是中心對稱圖形不是軸對稱圖形．

故選：

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．

本題考查了軸對稱與中心對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2.【答案】C

【解析】解：，

最簡二次根式可以與合并，

，

解得

故選：

先把化為，再根據(jù)同類二次根式的定義解答即可．

本題考查的是同類二次根式，熟知一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵．3.【答案】D

【解析】解：要使代數(shù)式有意義，

則，

即，

故只有選項D符合題意．

故選：

根據(jù)二次根式被開方數(shù)不小于零的條件進行解題即可．

本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式被開方數(shù)不小于零的條件是解題的關(guān)鍵．4.【答案】B

【解析】解：A、，不是最簡分式，不符合題意；

B、，是最簡分式，符合題意；

C、，不是最簡分式，不符合題意；

D、，不是最簡分式，不符合題意；

故選：

根據(jù)最簡分式的概念判斷即可．

本題考查的是最簡分式，一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．5.【答案】A

【解析】【分析】

用反證法證明命題的真假，應先按符合題設的條件，假設題設成立，再判斷得出的結(jié)論是否成立即可．

本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．

【解答】

解：用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于”時，

應先假設兩個銳角都大于

故選：6.【答案】D

【解析】解：，

，

，

，

即m的平方根為，

故選：

先合并同類項，得出，從而求出m的平方根．

本題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．7.【答案】C

【解析】解：應添加，理由如下：

，

，，即

在和中，

，

≌，

故選：

根據(jù)，可得，又因為，所以添加，根據(jù)SAS可證≌

本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．8.【答案】C

【解析】解：由題意得，，

數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a為：，

故選：

先運用勾股定理求得線段BD的長度，再列式、計算求得此題結(jié)果即可．

此題考查了利用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)的能力，關(guān)鍵是能準確理解題意并列式、計算．9.【答案】C

【解析】解：在等邊三角形ABC中，，

是BC的線段垂直平分線，

是AD上一點，

，

，

，

又，

故選：

先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知AD是BC的垂直平分線，得出，，可求出的度數(shù)．

本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角的關(guān)系；熟練掌握并靈活運用這些知識是解決問題的關(guān)鍵．10.【答案】B

【解析】解：是AC的垂直平分線，

，

，

，

，

與的比為4：1，

，

，

故選：

根據(jù)線段垂直平分線得出，推出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出即可求出答案．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．11.【答案】A

【解析】解：，

，，

解得：，，

分兩種情況：

當?shù)妊切蔚难L為4，底邊長為2時，

的周長；

當?shù)妊切蔚难L為2，底邊長為4時，

，

不能組成三角形；

綜上所述：的周長是10，

故選：

根據(jù)偶次方，算術(shù)平方根的非負性可得：，，從而可得：，，然后分兩種情況：當?shù)妊切蔚难L為4，底邊長為2時；當?shù)妊切蔚难L為2，底邊長為4時；從而進行計算即可解答．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，偶次方，算術(shù)平方根的非負性，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．12.【答案】C

【解析】【分析】此題考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握兩種三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

過P作，交OB于點D，在直角三角形POD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長，再由，利用三線合一得到D為MN中點，根據(jù)MN求出MD的長，由即可求出OM的長．

【解答】解：過P作，交OB于點D，

在中，，，

，

，，，

，

故選：13.【答案】D

【解析】解：，

A.，故本選項不符合題意；

B.ab

，故本選項不符合題意；

C.，故本選項不符合題意；

D.，故本選項符合題意．

故選：

先分母有理化求出，再根據(jù)二次根式的乘法法則，二次根式的加法法則進行計算，最后找出選項即可．

本題考查了二次根式的混合運算，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．14.【答案】C

【解析】解：，

當時，，則，即①正確；

當，即時，，則，即②正確．

綜上，結(jié)論①②均對.

故選：

先運用作差法得到，然后再根據(jù)x的取值分類討論即可解答．

本題主要考查了分式的加減、分式的大小比較等知識點，靈活運用分式的加減運算法則是解答本題的關(guān)鍵．15.【答案】A

【解析】解：如圖，點、、、、為所作，

故答案為：

先以A點為圓心，AB為半徑作弧交直線l于點、，再以B點為圓心，BA為半徑作弧交直線l于點，，最后作AB的垂直平分線交直線l于點

本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形面積公式可求出最小值.過點C作于點E，交BD于點，過點作于，則CE即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長即可．

【解答】

解：過點C作于點E，交BD于點，過點作于，

平分，于點E，于，

，

，

當點M與重合，點N與重合時，的最小值為

三角形ABC的面積為8，，

，

即的最小值為

故選17.【答案】

【解析】解：，，

故答案為：

將a與b代入所求式子中，利用完全平方公式化簡，合并即可得到結(jié)果．

此題考查了二次根式的化簡求值，涉及的知識有：完全平方公式，合并同類二次根式，熟練公式及法則是解本題的關(guān)鍵．18.【答案】

【解析】解：，，

，，

，

由垂線段最短得，時DP最小，

此時，

，

，

，

點P為BC邊中點，

故答案為：3，

根據(jù)等角的余角相等求出，再根據(jù)垂線段最短可知時DP最小，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得；再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)依次求得BD，BC，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求得DP長．

本題考查了30度角的直角三角形的性，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出DP最小時的位置是解題的關(guān)鍵．19.【答案】

【解析】解：，點F為AB的中點，

，CF是AB的垂直平分線，

，

是AC的垂直平分線，

，

，

，

，

，

，

是的一個外角，

，

故答案為：；

是AB的垂直平分線，

，，

設，

，

，

在中，，

，

解得：，

，

故答案為：

利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，CF是AB的垂直平分線，從而可得，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，最后利用三角形的外角性質(zhì)，進行計算即可解答；

利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，然后設，則，最后在中，利用勾股定理進行計算，即可解答．

本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：由題意得：

；

當時，，

去分母，得，

解這個整式方程，得，

經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，

故當時，

【解析】根據(jù)被除式=商除式，被減式=差+減式，然后根據(jù)分式的乘法和加法運算法則進行計算，即可解答；

利用的結(jié)論可得，然后按照解分式方程的步驟進行計算即可解答．

本題考查了解分式方程，分式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．21.【答案】證明：連接AE，

于點D，且D為線段CE的中點，

垂直平分CE，

，

垂直平分AB，

，

；

解：，，

，

，

，

，

，

，，

，

【解析】連接AE，由題意可判定AD垂直平分CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，即可證明結(jié)論；

由等腰三角形的性質(zhì)可求，由直角三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)，即可求得，的度數(shù)，進而可求解．

本題主要考查線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，靈活運用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：由題意得：

；

由題意得：▲

【解析】把▲代入已知條件中的算式，然后按照二次根式混合運算的計算方法進行計算即可；

根據(jù)減數(shù)=被減數(shù)-差和乘數(shù)=積另一個乘數(shù)，列出算式，進行計算即可．

本題主要考查了二次根式的混合運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握把二次根式化成最簡二次根式．23.【答案】證明：，

，

，

在和中，

，，，

≌

解：≌，

是BC邊上的中線，

在中，且，

，

解得，

【解析】證兩條線段相等，通常用全等，本題中的AE和CD分別在三角形AEC和三角形CDB中，在這兩個三角形中，已經(jīng)有一組邊相等，一組角相等了，因此只需再找一組角即可利用角角邊進行解答．

根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理即可求出BD的長．

此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．24.【答案】解：中，，，

又，

，，，；

是以PQ為底的等腰三角形，

，即，

當時，是以PQ為底邊的等腰三角形；

分兩種情況：

①當時，

，，

，

，

解得：；

②當時，則，

，

，

，即，

解得：；

綜上所述，t為3或時，為直角三角形．

【解析】由題意，可知，，，

若是以PQ為底的等腰三角形，則有，即，求出t即可．

分兩種情況，分別由直角三角形的性質(zhì)得出方程，解方程即可．

本題是三角形綜合題目，考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟知等腰三角形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．25.【答案】解：設乙隊每天清