陜西省咸陽(yáng)市永壽縣中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

永壽縣中學(xué)2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第三冊(cè)第六章～第七章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某大學(xué)食堂備有4種葷菜、8種素菜、2種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配成不同套餐的種數(shù)為（）A．14 B．64 C．72 D．802．下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則其成功概率為（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.64．設(shè)甲乘汽車、動(dòng)車前往某目的地的概率分別為0.3、0.5，汽車和動(dòng)車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.6、0.8，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（）A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.685．對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，則的值為（）A．－20 B．－16 C．22 D．306．在某地區(qū)的高三第一次聯(lián)考中，數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)高于120分的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到100分（含80分和100分）之間的人數(shù)為800，則可以估計(jì)參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為（）A．1600 B．1800 C．2100 D．24007．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為分別為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差，則（）A． B． C． D．8．小王、小李等9名同學(xué)相約去游玩，在某景點(diǎn)排成一排拍照留念，則小王不在兩端，且小李不在正中間位置的概率是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若，則的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．610．高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到六個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說法正確的有（）A．如果社區(qū)必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有88種B．如果同學(xué)乙必須選擇社區(qū)，則不同的安排方法有36種C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有150種D．如果甲、丙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有36種11．一個(gè)盒子中裝有3個(gè)黑球和4個(gè)白球，現(xiàn)從中先后無(wú)放回地取2個(gè)球．記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．從甲地去乙地有4班火車，從乙地去丙地有3班輪船，若從甲地去丙地必須經(jīng)過乙地中轉(zhuǎn)，則從甲地去丙地可選擇的出行方式有______種．13．設(shè)隨機(jī)變量，則______．14．由這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，且偶數(shù)數(shù)字從小到大排列（由高數(shù)位到低數(shù)位），這樣的七位數(shù)有______個(gè)．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知二項(xiàng)式的展開式中共有10項(xiàng)．（1）求展開式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；（2）求展開式中含的項(xiàng)．16．（本小題滿分15分）已知有9本不同的書．（1）分成三堆，每堆3本，有多少種不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（用數(shù)字作答）17．（本小題滿分15分）甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)分別為，且甲射中環(huán)的概率分別為，乙射中環(huán)的概率分別為．（1）求的分布列；（2）請(qǐng)根據(jù)射擊環(huán)數(shù)的期望及方差來(lái)分析甲、乙的射擊技術(shù)．18．（本小題滿分17分）某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市個(gè)人數(shù)超過1000的大集團(tuán)和3個(gè)人數(shù)低于200的小集團(tuán)中隨機(jī)抽取若干個(gè)集團(tuán)進(jìn)行調(diào)查，若一次抽取2個(gè)集團(tuán)，全是大集團(tuán)的概率為．（1）在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為小集團(tuán)的概率；（2）若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出大集團(tuán)的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（本小題滿分17分）某公司采購(gòu)了一批零件，為了檢測(cè)這批零件是否合格，從中隨機(jī)抽測(cè)了120個(gè)零件的長(zhǎng)度（單位：分米），按數(shù)據(jù)分成這6組，得到如下的頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)5154040155以這120個(gè)零件的長(zhǎng)度在各組的頻率作為整批零件的長(zhǎng)度在各組的概率．（1）若從這批零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，記為抽取的零件的長(zhǎng)度在中的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若變量滿足，且，則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，如果這批零件的長(zhǎng)度（單位：分米）滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為這批零件是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收，試問該批零件能否被簽收？永壽縣中學(xué)2023～2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試·高二數(shù)學(xué)參考答案，提示及評(píng)分細(xì)則1．B 因?yàn)閭溆?種素菜，8種葷菜，2種湯，所以素菜有4種選法，葷菜有8種選法，湯菜有2種選法，所以要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配制出不同的套餐有種，故選B．2．B 對(duì)于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來(lái)，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．故選B．3．D 隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，設(shè)成功的概率為，．故選D．4．C 設(shè)事件表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件表示甲乘動(dòng)車到達(dá)目的地，事件表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由題意知．由全概率公式得故選C．5．B 因?yàn)?，所以，故選B．6．D 由題設(shè)，若表示數(shù)學(xué)考試成績(jī)，則，而，所以，故參加本次聯(lián)考的總?cè)藬?shù)約為．故選D．7． 因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)可知，，解得，．故選C．8．A 第一種情況：小王在正中間，排法數(shù)為：種排法；第二種情況：小王不在正中間，先排小王有種排法，再排小李有種排法，剩下的同學(xué)有種排法．記“小李不在兩端，且小王不在正中間位置”為事件，則．故選A．9．BC 因?yàn)?，所以或，解得?．故選BC．10．BD 安排甲、乙、丙三位同學(xué)到六個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，選項(xiàng)A：如果社區(qū)必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種）．判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：如果同學(xué)乙必須選擇社區(qū)，則不同的安排方法有（種）．判斷正確；選項(xiàng)C：如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有（種）．判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：如果甲、丙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有（種）．判斷正確．故選BD．11．BC 第一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率第一次取黑球，第二次取黑球的概率；第一次取黑球，第二次取白球的概率，故A錯(cuò)誤；第一次取白球，第二次取黑球的概率；第一次取白球，第二次取白球的概率；第二次取得黑球的概率；第二次取得白球的概率；，故B正確；，，故C正確；；，故D錯(cuò)誤．故選BC．12．12 由分步計(jì)數(shù)乘法原理知從甲地去丙地可選擇的出行方式有（種）．13． 隨機(jī)變量服從．14．90 ①0排在第6位時(shí)，共有個(gè)數(shù)；②0排在第5位時(shí)，共有個(gè)數(shù)；③0排在第4位時(shí)，共有個(gè)數(shù)；故這樣的七位數(shù)共有個(gè)．15．解：（1）因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中共有10項(xiàng)，所以，所以展開式的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為；（2）的展開式的通項(xiàng)公式為，令可得，所以展開式中含的項(xiàng)為．16．解：（1）6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為．（2）從9本書中，先取2本作為一堆，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取3本作為一堆，最后4本作為一堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為．．17．解：（1）由題意得，解得．，解得，所以的分布列為109870.40.20.20.2的分布列為109870.30.30.20.2（2）由（1）得；．由于，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的期望比乙高，但成績(jī)沒有乙穩(wěn)定．18．解：（1）由題意知共有個(gè)集團(tuán)，取出2個(gè)集團(tuán)的方法總數(shù)是，其中全是大集團(tuán)的情況有，故全是大集團(tuán)的概率是，整理得到，解得．若2個(gè)全是大集團(tuán)，共有（種）情況；若2個(gè)全是小