整式的基本概念

整式的基本概念一、整式的定義整式是數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，它是由數(shù)字、變量和四則運(yùn)算（加、減、乘、除，但除法必須是整除）組成的代數(shù)表達(dá)式。整式中的數(shù)字因數(shù)叫做整式的系數(shù)，變量叫做整式的變量，變量之間的運(yùn)算叫做整式的運(yùn)算。二、整式的分類1.單項(xiàng)式：只有一個(gè)項(xiàng)的整式稱為單項(xiàng)式。例如：3x^2、-5y、2等。2.多項(xiàng)式：由兩個(gè)或兩個(gè)以上項(xiàng)組成的整式稱為多項(xiàng)式。例如：ax^2+bx+c、2y-3、4x+5等。三、整式的系數(shù)1.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。例如：在單項(xiàng)式3x^2中，系數(shù)是3。2.多項(xiàng)式的系數(shù)：多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式前的數(shù)字因數(shù)叫做多項(xiàng)式的系數(shù)。例如：在多項(xiàng)式ax^2+bx+c中，系數(shù)分別是a、b、c。四、整式的次數(shù)1.單項(xiàng)式的次數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中，變量的指數(shù)叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。例如：在單項(xiàng)式3x^2中，次數(shù)是2。2.多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式中，最高次單項(xiàng)式的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。例如：在多項(xiàng)式ax^2+bx+c中，次數(shù)是2。五、整式的度數(shù)1.單項(xiàng)式的度數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中，變量的指數(shù)叫做單項(xiàng)式的度數(shù)。例如：在單項(xiàng)式3x^2中，度數(shù)是2。2.多項(xiàng)式的度數(shù)：多項(xiàng)式中，最高次單項(xiàng)式的度數(shù)叫做多項(xiàng)式的度數(shù)。例如：在多項(xiàng)式ax^2+bx+c中，度數(shù)是2。六、整式的系數(shù)和次數(shù)1.單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)是數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是變量的指數(shù)。例如：在單項(xiàng)式3x^2中，系數(shù)是3，次數(shù)是2。2.多項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)：多項(xiàng)式的系數(shù)是每個(gè)單項(xiàng)式前的數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是最高次單項(xiàng)式的次數(shù)。例如：在多項(xiàng)式ax^2+bx+c中，系數(shù)分別是a、b、c，次數(shù)是2。七、整式的加減法1.同類項(xiàng)：字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。例如：3x2和5x2是同類項(xiàng)。2.合并同類項(xiàng)：將同類項(xiàng)的系數(shù)相加或相減，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。例如：(3x2+5x2)-(2x2-4x2)=6x^2。八、整式的乘法1.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：將兩個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)相乘，相同字母的指數(shù)相加，其余字母連同指數(shù)作為積的因式。例如：3x^2*5x3=15x5。2.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：將單項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別與多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加。例如：2x^2*(3x+4)=6x3+8x2。3.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：將一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加。例如：(2x+3)*(4x-1)=8x2+12x-2x-3=8x2+10x-3。九、整式的除法1.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：將兩個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)相除，相同字母的指數(shù)相減，其余字母連同指數(shù)作為商的因式。例如：15x5/5x3=3x^2。2.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：將多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。例如：(6x^2+12x+18)/3x=2x+4+6。3.單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式：將單項(xiàng)式分別除以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的商相加。例如：2x^2/（x+2）不能整除，商為2x-4。十、整式的運(yùn)算順序1.先算乘方：在整式運(yùn)算中，先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘除，習(xí)題及方法：習(xí)題：判斷下列表達(dá)式是否為整式，并說(shuō)明理由。5x^2-3x+22(3x-4)+52x^2-3/x答案：a.是整式，因?yàn)樗话瑪?shù)字、變量和四則運(yùn)算。b.是整式，因?yàn)樗梢酝ㄟ^(guò)分配律展開(kāi)為一個(gè)多項(xiàng)式。

c.不是整式，因?yàn)樗ǎ页龜?shù)是變量。

d.不是整式，因?yàn)樗ǎ页龜?shù)是變量。習(xí)題：找出下列多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式，并寫(xiě)出它的系數(shù)。4x^3-2x^2+3x-1-5x^4+3x^3-2x^2+7x-42x^5-3x^4+4x^3-5x^2+6x-7答案：b.次數(shù)最高的單項(xiàng)式是-5x^4，其系數(shù)是-5。a.次數(shù)最高的單項(xiàng)式是4x^3，其系數(shù)是4。

c.次數(shù)最高的單項(xiàng)式是2x^5，其系數(shù)是2。習(xí)題：計(jì)算下列單項(xiàng)式的乘積，并簡(jiǎn)化為最簡(jiǎn)形式。3x^2*4y-5x^3*2x^27z*-2z^2答案：a.3x^2*4y=12x^2yb.-5x^3*2x^2=-10x^5

c.7z*-2z^2=-14z^3習(xí)題：合并同類項(xiàng)。2x^2+5x-3x+4-2x^23x^3-2x^2+4x-5x+7x^2-8x-94a^2b-2ab^2+3ab-4a^2b+ab^2答案：a.2x^2+5x-3x+4-2x^2=5x+4b.3x^3-2x^2+4x-5x+7x^2-8x-9=3x^3+5x^2-9x-9

c.4a^2b-2ab^2+3ab-4a^2b+ab^2=ab^2+3ab習(xí)題：計(jì)算下列多項(xiàng)式的除法。12x^2/4x5x^3-3x^2+x/x^2-2x+16x^4-12x^3+18x^2/3x^2答案：a.12x^2/4x=3xb.5x^3-3x^2+x/x^2-2x+1cannotbesimplifiedfurther.

c.6x^4-12x^3+18x^2/3x^2=2x^2-4x+6習(xí)題：判斷下列除法運(yùn)算是否正確，并說(shuō)明理由。(2x^2+4x+6)/(x+2)=2x+2(3x^3-6x^2+9x-12)/(x-2)=3x^2+6x-9(4x^4-8x^3+12x^2-16x+20)/(2x-5)=2x^3+4x^2其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：一、因式分解因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式表達(dá)為幾個(gè)單項(xiàng)式的乘積的形式。因式分解可以幫助簡(jiǎn)化多項(xiàng)式的運(yùn)算。習(xí)題：因式分解下列多項(xiàng)式。x^2-5x+6x^2+2x+14x^2-12x+9答案與解題思路：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)解題思路：尋找兩個(gè)數(shù)，它們的和是-5，它們的積是6。x^2+2x+1=(x+1)^2解題思路：這是一個(gè)完全平方公式。4x^2-12x+9=(2x-3)^2解題思路：這也是一個(gè)完全平方公式。二、完全平方公式完全平方公式是指一個(gè)二次多項(xiàng)式可以表示為某個(gè)一次多項(xiàng)式的平方。習(xí)題：根據(jù)完全平方公式，完成下列表達(dá)式的因式分解。a^2-2ab+b^2x^2-4x+4y^2+6y+9答案與解題思路：a^2-2ab+b^2=(a-b)^2解題思路：這是完全平方公式的標(biāo)準(zhǔn)形式。x^2-4x+4=(x-2)^2解題思路：這是一個(gè)平移后的完全平方公式。y^2+6y+9=(y+3)^2解題思路：這是一個(gè)平移后的完全平方公式。三、平方差公式平方差公式是指兩個(gè)平方項(xiàng)的差可以表示為兩個(gè)一次項(xiàng)的乘積。習(xí)題：根據(jù)平方差公式，完成下列表達(dá)式的因式分解。a^2-b^2x^2-y^2z^2-w^2答案與解題思路：a^2-b^2=(a+b)(a-b)解題思路：這是平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式。x^2-y^2=(x+y)(x-y)解題思路：這是平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式。z^2-w^2=(z+w)(z-w)解題思路：這是平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式。四、多項(xiàng)式的展開(kāi)多項(xiàng)式的展開(kāi)是指將一個(gè)多項(xiàng)式表達(dá)為多個(gè)單項(xiàng)式的和。習(xí)題：展開(kāi)下列多項(xiàng)式。(x+2)(x+3)(a-b)(a+b)(2x-3)(3x+4)答案與解題思路：(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6解題思路：使用分配律進(jìn)行展開(kāi)。(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2解題思路：使用分配律進(jìn)行展開(kāi)。(2x-3)(3x+4)=6x^2+8x-9x-12=