高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)組卷 (一)

2015年01月09日986554261的高中數(shù)學(xué)組卷

2015年01月09日986554261的高中數(shù)學(xué)組卷

解答題(共23小題)

1.(2014?天津三模)已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-21nx,g(x)=xe'x.(aGR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)f(x)在(0,-1)上無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值；

(III)若對(duì)任意給定的x()e(0,e］,在(0,e］上總存在兩個(gè)不同的4(i=l,2),使得f⑶)=g(x0)成立，求a

的取值范圍.

2.(2014?湖南二模)已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(aGR,a*0).

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(H)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)的傾斜角為工，問(wèn)：m在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的te［l,

4

32z

2］,函數(shù)g(x)=x+x［^f(x)］在區(qū)間［t,3］上總存在極值？

(III)當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=(p-2)x-2±2e-3.若在區(qū)間口，e］上至少存在一個(gè)沏，使得h(x0)>f

(xo)成立，試求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

3.(2014?聊城一模)已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x?-x在x=0處取得極值.

(I)求實(shí)數(shù)a的值；

(ID若關(guān)于x的方程f(x)=-^x+b在區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

2

(山)證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式2+a+9+..+里>ln(n+1)都成立.

49n2

4.(2014?烏魯木齊一模)已知函數(shù)f(x)=ex-ex(xR)

3

(I)求證：當(dāng)x20時(shí)，f(x)>2x+—；

3

(II)試討論函數(shù)H(x)=f(x)-ax(xGR)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

5.(2014?巴中模擬)f(x)=lx-al-Inx(a>0).

(1)若a=l,求f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最小值；

(2)若a>0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)試比較.嗎？+生?(仁］)的大小."GN*且位2),并證明你的結(jié)論.

2232n22(n+1)

6.(2013?山東)設(shè)函數(shù)f(x)=-^-+c(e=2.71828…，c€R).

2x

e

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及最大值；

(2)討論關(guān)于x的方程llnxl=f(x)根的個(gè)數(shù).

7.(2013?湖北)設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù).

(I)求函數(shù)f(x)=(1+x)1+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值；

nr+1_(n-1)"I/r/(n+1)r+1r+1

(II)證明:^+1<n<

r+1

(III)設(shè)XWR,記因?yàn)椴恍∮赬的最小整數(shù)，例如⑵=2,[兀]=4,[--|]=-1.令

$=病+田說(shuō)+娠+…+加元，求￡]的值?

4444

(參考數(shù)據(jù)：80^344.7,81裝350.5,12聲618.3,126i~631.7)?

8.(2013?泗陽(yáng)縣模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+二W-1(aeR).

X

(I)當(dāng)*0El寸，討論f(x)的單調(diào)性；

(II)設(shè)g(x)=x2-2bx+4.當(dāng)時(shí)，

(i)若對(duì)任意x￡(0,2),存在X2al,2],使f(xi)>g(x2),求實(shí)數(shù)b取值范圍.

(ii)對(duì)于任意xi，X26(1,2]都有|f(x)-f(xn)I《入|-L求人的取值范圍?

1

2XjX2

9.(2013?濟(jì)南二模)設(shè)f(x)Inx,曲線(xiàn)y=f6)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x+y+l=0垂直.

x+1

(1)求a的值；

(2)若VxW[l,+°°),f(x)<m(x-1)恒成立，求m的范圍.

n-

(3)求證：ln%n+l<￡—i---(n€N*)-

i=14i2-1

10.(2013?自貢一模)設(shè)函數(shù)f(x)=x-In(x+71+x2)1

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(II)若x20時(shí)，恒有f(x)<ax3,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(III)令a=工④6，g[弓)⑴飛(衣N*).試證明：a.+a+a+-+a<--

11yZ/V2i/unj

11.(2012?山東)已知函數(shù)f(x)=lRx+k(k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,

X

e

f(D)處的切線(xiàn)與x軸平行.

(I)求k的值；

(H)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(III)設(shè)g(x)=xf'(x),其中f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意x>0,g(x)<l+e2.

12.(2012?邯鄲一模)已知函數(shù)f(x)=aX-1.

X

e

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若對(duì)任意任歐，2],f(t)>1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

13.(2012?溫州二模)已知函數(shù)f(x)~x，e(a<0).

x-a

(I)當(dāng)a=-4時(shí)，試判斷函數(shù)f(x)在(-4,+8)上的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)f(x)在x=t處取到極小值，

(i)求實(shí)數(shù)t的取值集合T：

(ii)問(wèn)是否存在整數(shù)m,使得md_f4m+l對(duì)于任意ET恒成立.若存在，求出整數(shù)m的值；若不存在，

t+1

請(qǐng)說(shuō)明理由.

axo2

14.(2012?鐘祥市模擬)已知函數(shù)f(x)=--——--(a€R,&卉0,),g(x)=bx(b€R).

2,x149

x+—+—

aa

(1)當(dāng)a>工時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

4

(2)當(dāng)a=l時(shí)，若在區(qū)間［2,+oo)上存在一點(diǎn)xo,使得f(xo)<g(x0)成立，求b的取值范圍.

2

15.(2011?眉山二模)已知向量孟二(x,y-ex)，n-(1,x+b)，m//n,(x,y,b,cGR),且把其中x,

y所滿(mǎn)足的關(guān)系式記為y=f(x),若f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，F(xiàn)(x)=f(x)+af'(x)(a>0),且F(x)是R

上的奇函數(shù).

(I)求卜和C的值；

a

(II)若函數(shù)f(x)在［月，/］上單調(diào)遞減，求b的取值范圍；

(III)當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)0VtV4且tx2,曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)A(t,f(t))處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f(x)相交于點(diǎn)B(m,f

(m))(A,B不重合)，直線(xiàn)x=t與y=f(m)相交于點(diǎn)C,Z\ABC的面積為S,試用t表示aABC的面積S(t),

若P為S(t)上一動(dòng)點(diǎn)，D(4,0),求直線(xiàn)PD的斜率的取值范圍.

16.(2010?寧波模擬)已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)?ex定義域?yàn)椋?2,t］(t>-2),設(shè)f(-2)=m,f(t)=n.

(I)試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f(x)在［-2,t］上為單調(diào)函數(shù)；

(II)求證：n>m；

(x)92

(III)求證：對(duì)于任意的t>-2,總存x()€(-2,t),滿(mǎn)足-----」0一=5(t-1)￡并確定這樣的x()的個(gè)數(shù).

xo3

e

2

17.(2010?廣東模擬)已知曲線(xiàn)Ci：y=3-+e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線(xiàn)C2：y=2elnx和直線(xiàn)1：y=2x.

e

(1)求證：直線(xiàn)1與曲線(xiàn)Ci，C2都相切，且切于同一點(diǎn)；

3

(2)設(shè)直線(xiàn)x=t(t>0)與曲線(xiàn)Ci，C2及直線(xiàn)1分別相交于M,N,P,記f(t)=IPMI-INPI,求f(t)在［e^,e］

上的最大值；

m

(3)設(shè)直線(xiàn)x=e(m=0,1,2,3——)與曲線(xiàn)G和C2的交點(diǎn)分別為Am和Bm，問(wèn)是否存在正整數(shù)n,使得AoBo=AnBn?

若存在，求出n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理山.(本小題參考數(shù)據(jù)e=2.7).

18.(2009?遼寧)設(shè)f(x)=ex(ax?+x+l),且曲線(xiàn)y=f(x)在x=l處的切線(xiàn)與x軸平行.

(1)求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)8￡［0,假］時(shí)，|f(cos9)-f(sine)|<2.

19.(2008?遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)=上空-lnx+ln(x+1)-

1+x

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式f(x)2a的解集為(0,+-)?若存在，求a的取值范圍：若不存在,

試說(shuō)明理山.

20.(2007?福建)已知函數(shù)f(x)=ex-kx,

(1)若1<=6,試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若k>0,且對(duì)于任意x€R,f(1x1)>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；

n

(3)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x),求證：F(1)F(2)...F(n)>(6^+1+2),(nGN*).

21.(2012?鹽城二模)已知函數(shù)打(x)=elx-2a+l|,(x)=elx-a|+l1X^R.

(1)若a=2,求f(x)=fj(x)+f2(x)在xW[2,3]上的最小值；

(2)若xW[a,+8)時(shí)，f2(x)>fj(x),求a的取值范圍；

fi(x)+f9(x)|fi(x)-f9(x)|

(3)求函數(shù)g(X)=----------------——------------------在xe[l,6]上的最小值.

1+a

22.(2010?四川)設(shè)f(x)-(a>0且a3l),g(x)是f(x)的反函數(shù).

1-ax

⑴求g(x)；

(2)當(dāng)xe[2,6]時(shí)，恒有g(shù)(x)>log——---------------成立，求t的取值范圍;

a(x2-l)(7-x)

(3)當(dāng)0<a)時(shí)，試比較f(I)+f(2)+...+f(n)與n+4的大小，并說(shuō)明理由.

2

23.已知函數(shù)f(x);alxl--,(a>0,aWl)

X

a

(1)a>l,解關(guān)于x的方程f(x)=3.

(2)記函數(shù)g(x)=f(-x),x6[-2,+8),若g(x)的最值與a無(wú)關(guān)，求a的取值范圍.

2015年01月09日986554261的高中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

解答題(共23小題)

1.(2014?天津三模)已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-21nx,g(x)=xe1x.(aER,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)f(x)在(o,A)上無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值；

(III)若對(duì)任意給定的xo6(0,e］,在(0,e］上總存在兩個(gè)不同的內(nèi)(i=l,2),使得f⑶)=g(x0)成立，求a

的取值范圍.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題.

分析：(I)把a(bǔ)=l代入到f(x)中求出f'(x),令f'(x)>0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令f'(x)

<0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；

(II)f(x)<0時(shí)不可能恒成立，所以要使函數(shù)在(0,-1)上無(wú)零點(diǎn)，只需要對(duì)xe(0,A)時(shí)f(x)>

22

0恒成立，列出不等式解出a大于一個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個(gè)函數(shù)

的最大值即可得到a的最小值；

(III)求出g'(X),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出g(x)的值域，而當(dāng)a=2時(shí)不合

題意；當(dāng)aw2時(shí):求出f'(x)=0時(shí)x的值，根據(jù)xe(0,e］列出關(guān)于a的不等式得到①，并根據(jù)此時(shí)的x

的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到②和③，令②中不等式的坐標(biāo)為一

個(gè)函數(shù)，求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到此函數(shù)的

最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，聯(lián)立①和④即可解出滿(mǎn)足題意a的取值范圍.

解'',解：(I)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=x-1-21nx,則f'(x)=1--,

x

由f'(x)>0,得x>2；

由f'(x)<0,得0<x<2.

故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,2］,單調(diào)增區(qū)間為［2,+8)；

(II)因?yàn)閒(x)<0在區(qū)間(0,A)上恒成立不可能，

故要使函數(shù)f(x)在(0,方)上無(wú)零點(diǎn)，

只要對(duì)任意的x€(0,，f(x)>0恒成立，即對(duì)x￡(0,-),a>2-空空恒成立.

22x~1

—(x-1)~21nx21nx+--2

令］(X)=2-嗎，(0,焉)，則1(x)-----------.一=------，

X-12(X-1)2(X-1)2

再令m(x)=21nx+--2,x6(0,2)，

x2

則m'(x)=-與2=二2(1二)_<0,故m(x)在(0,1)上為減函數(shù)，于是

x2xx22

m(x)>m(-1)=2-21n2>01

從而，1(x)>0,于是1(x)在(o,上為增函數(shù)，所以1(X)<1(-)=2-41n2-

故要使a〉2一空空恒成立，只要ae[2-41n2,+?>),

X-1

綜上，若函數(shù)f(x)在(0,1)上無(wú)零點(diǎn)，貝IJa的最小值為2-41n2；

(III)g'(x)=e'x-xe1x=(1-x)e1x,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(1,e]時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

又因?yàn)間(0)=0,g(1)=1,g(e)=e?ele>0,

所以，函數(shù)g(x)在(0,e]上的值域?yàn)?0,1].

當(dāng)a=2時(shí)，不合題意；

,、_o(2-a)(x--T-1—)

z

當(dāng)a9時(shí)，f(x)=2-a-2=-(2-a)x二2=-------------2^ax￡(0,

XXX

當(dāng)X'_時(shí),f(x)=0.

2~a

由題意得，f(x)在(0,e]上不單調(diào)，故0〈二一<e，即a<2-2①

2-ae

此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),f(x)的變化情況如下:

X(0,—2(二-,e]

2-a2-a2-a

f'(x)-0+

f(x)最小值7

又因?yàn)?，?dāng)x玲0時(shí)，f(x)玲+8,

f(―^―)=a-21n—^―,f(e)=(2_a)(e-1)一2,

2-a2-a

所以,對(duì)任意給定的xoG(0,e],在(0,e]上總存在兩個(gè)不同的Xi(i=l,2),

使得f(xD=g(xo)成立，當(dāng)且僅當(dāng)a滿(mǎn)足下列條件：

f(白)<021n必-40②

.2-agpJ2-a

f(e)>1(2-a)(e-1)-2>1③

令h(a)=a-21n￥—,a€(-8,2~—)>

2-ae

貝iJh'(a)=1-2[ln2-In(21a)]'=1-2=a,令卜,(a)=0,得a=0或a=2,

2-aa-2

故當(dāng)aE(-g,0)時(shí)，h'(a)>0,函數(shù)h(a)單調(diào)遞增；

當(dāng)a€(0,2--)時(shí)，h'(a)<0,函數(shù)h(a)單調(diào)遞減?

e

所以，對(duì)任意a€(-8,2--)，有h(a)sh(0)=0,

e

即②對(duì)任意a€(-8,2-2)恒成立.

e

由③式解得：a<2-—^―④

e-1

綜合①④可知，當(dāng)aC(-8,2--衛(wèi)一]時(shí)，對(duì)任意給定的x()e(0,e],

e-1

在(0,e]上總存在兩個(gè)不同的Xi(i=l,2),

使f(xD=g(xo)成立.

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌

握不等式恒成立時(shí)所滿(mǎn)足的條件，是一道壓軸題.

2.(2014?湖南二模)已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a￡R,a/0).

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(H)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)的傾斜角為工，I'nJ：m在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的te［l,

4

2］,函數(shù)g(x)=x'x2苧(x)］在區(qū)間［t,3］上總存在極值？

(III)當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=(p-2)x-E儂-3,若在區(qū)間口，e］上至少存在一個(gè)xo,使得h(x0)>f

x

(XO)成立，試求實(shí)數(shù)P的取值范圍.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

專(zhuān)題：計(jì)算題；綜合題；壓軸題.

分析：(I)求出f'(x)對(duì)a分類(lèi)討論，由f'(x)>0時(shí)，得到函數(shù)的遞增區(qū)間；令f'(x)V0時(shí)，得到函

數(shù)的遞減區(qū)間；

(II)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)的傾斜角為45。，得到『(2)=1求出a的值

代入到g(x)=x?+x2［學(xué)產(chǎn)(x)］中化簡(jiǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在［t,3］上總存在極值得到g'(t)

<0,g'(3)>0解出m的范圍記即可；

(III)F(x由題意構(gòu)建新函數(shù)F(x))=f(x)-g(x),這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使函數(shù)F(x)在［1,e］上至少有

一解的判斷.

解答：解：(I)Vf,(x)y-a=a(^―^)(x>0),

xx

A(1)當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)>0時(shí)，解得0Vx<l,所以f(x)在(0,1)遞增；

令f'(x)<0時(shí)、解得x>l,所以f(x)在(1,+8)遞減.

當(dāng)a<0時(shí)，f'(x)=-a(2匚)，令(x)>0時(shí)，解得x>l,所以f(x)在(1,+8)遞增；

x

令f'(x)<0時(shí)，解得0<x<l,所以f(x)在(0,1)遞減；

(II)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)的傾斜角為45。，

所以f'(2)=1,所以a=-2,f'(x)=-2+2,

x

32,3232

g(x)=x+x[^+f(x)]=X+X[^+2-2]=X+(2+彳)>x-2x,

；?g'(x)=3X2+(4+m)x-2,

因?yàn)閷?duì)于任意的tqi,2],函數(shù)g(x)=x3+x2[^+f,(x)]在區(qū)間[t,3]上總存在極值，

所以只需g'(2)V0g'(3)>0,解得-里VmV-9；

3

(III).??令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x-P+22-3-21nx+2x+3=px-美---21nx,

XXX

①當(dāng)p《)時(shí),由XW[1,e]得px-20,21nxV0.

XX

所以，在[1,e]上不存在xo，使得h(xo)>f(xo)成立；

2

②當(dāng)p>0時(shí)，P(x)=px-2：+p+左

X

Vx6［l,e］,

A2e-2x>0,px2+p>0,F'(x)>0在［1,e］上恒成立,故F(x)在［Le］上單調(diào)遞增.

，F(xiàn)(x)max=F(e)=pe--2-4.

e

故只要pe-B-4>0,解得p>「^一.所以p的取值范圍是+8).

ee2-1e2-1

點(diǎn)評(píng)：(I)考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，(H)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程的能力，會(huì)根據(jù)

直線(xiàn)的傾斜角求直線(xiàn)的斜率，(III)此處重點(diǎn)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)建一新函數(shù)，并考查

了函數(shù)F(x)在定義域下恒成立問(wèn)題數(shù)式中含字母系數(shù)，需分類(lèi)討論，屬于難題.

3.(2014?聊城一模)已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x?-x在x=0處取得極值.

(I)求實(shí)數(shù)a的值；

(II)若關(guān)于x的方程f(x)=-|x+b在區(qū)間［0,2］上一恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

(III)證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式2+衛(wèi)+9+...心學(xué)>ln(n+1)都成立.

4q.2

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

專(zhuān)題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

分析：(I)函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2-x,對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，在x=0處取得極值，可得f'(0)=0,求得a值；

(II)關(guān)于x的方程f(x)=->|x+b在區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為巾(x)=0,在

區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對(duì)巾(x)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出b的范圍；

(III)f(x)=ln(x+1)-x2-x的定義域?yàn)閧xlx>-1},利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以推出In(x+1)-x2

-x<0,令x,，可以得到In(14-1)〈工+±,利用此不等式進(jìn)行放縮證明；

nnnn2

解答：解：(I)函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2-x

(x)=~—-2x-1

x+a

當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得極值，

???f'(0)=0

故」-一2X0-1=0，

0+a

解得a=l,經(jīng)檢驗(yàn)a=l符合題意，

則實(shí)數(shù)a的值為1；

(II)由a=l知f(x)=ln(x+1)-x2-x

由f(x)=--x+b,得In(x+1)-x2+—x-b=0

22

令巾(x)=ln(x+1)-x2+—x-b,

2

則f(X)=->|x+b在區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于力(x)=0在區(qū)間［0,2］上恰有兩個(gè)不同的

實(shí)數(shù)根.

1_2—3_-(4x+5)(X-1)

(X)7+1*22(x+1)

當(dāng)x€［0,1］時(shí)，巾'(x)>0,于是巾(x)在［0,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(1,2］時(shí)，山’(x)<0,于是巾(x)在(1,2］上單調(diào)遞減,

依題意有6(0)=-b<0,

6⑴=ln(1+1)-1+^-b>0,

2

4)(2)=ln(1+2)-4+3-b<0

解得，ln3-I<b<ln2+A,

2

故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：ln2』)；

2

(III)f(x)=ln(x+1)-x2-x的定義域?yàn)閧xlx>-1},由(1)知f(x)=—>，2;+3)一,

令f'(x)=0得，*=0或*=(舍去)，

2

...當(dāng)-l<x<0時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

???f(0)為f(x)在(-1,+-)上的最大值.

Af(x)<f(0),故In(x+1)-x2-x<0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立)

對(duì)任意正整數(shù)n,取x」>0得，Ind+J)<1+J-

nnnn2

...In(n+1)<n+l,

nn2

故ln2+ln^-ln-^+...+ln^i=ln(n+1).

49n223n

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性，解題過(guò)程中用到了分類(lèi)討論的思想，分類(lèi)討論的思想也是高

考的一個(gè)重要思想，要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用，第三問(wèn)難度比較大，利用了前兩問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行證明，

此題是一道中檔題.

4.(2014?烏魯木齊一模)已知函數(shù)f(x)=ex-ex(xR)

3

(I)求證：當(dāng)xNO時(shí)，f(x)>2x+%;

o

(II)試討論函數(shù)H(x)=f(x)-ax(xGR)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

專(zhuān)題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

分析：本題(I)要通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性；再通過(guò)研究導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到導(dǎo)函數(shù)

的單調(diào)性：再通過(guò)研究導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到不等關(guān)系.本

題(II)要通過(guò)分類(lèi)討論，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

嬉答.?3

…解：(I)令g(x)=f(x)-2x--,(x>0)

o

貝tig，(x)=f(x)-2-x2=ex+ex-2-x2,g"(x)=f(x)-2x,

Vg'"(x)=f(x)-2=ex+e-x-2

當(dāng)xZO時(shí)，ex>0,ex>0,，e*+e,e-*=2

/.g'"(x)>0,函數(shù)y=g"(x)(x>0)為增函數(shù)，

.,.g"(x)>g"(0)=0,即f(x)-2x>0

；?函數(shù)y=g'(x)(x>0)為增函數(shù)，

.*.g'(x)2g'(0)=0,KPex+ex^2+x2

函數(shù)y=g(x)(x>0)為增函數(shù)，

3

Ag(x)>g(0)=0,即當(dāng)xNO時(shí)，f(x)》2x+工成立；

3

(II)(1)當(dāng)a42時(shí)，VH(x)=f(x)-ax

yx-x_x-x

?'?H'(x)=f(x)-a=e+ea>2^/e.e-a=2-a>0

二函數(shù)y=H(x)(xGR)為增函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，H(x)>H(0)=0,當(dāng)x<0時(shí)，H(x)<H(0)=0,

...當(dāng)aS2時(shí)，函數(shù)y=H(x)的零點(diǎn)為x=0,其零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)

(2)當(dāng)a>2時(shí)，?.?對(duì)VxeR,H(-x)=-H(x)

二函數(shù)y=H(x)為奇函數(shù)，且H(0)=0

下面討論函數(shù)y=H(x)在x>0時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：

x-x

由(I)知，當(dāng)xo>O時(shí)，o+o>2-令2=/°+2-*°

Xo-Xo

???H(x)=f(x)-(e+e)x(x>0)

?XXoxx

則H'(x)=f(x)-(e°+e~)-H"(x)=f(x)=e-e

當(dāng)x>0時(shí)，ex>l,0<ex<l,.,.ex-ex>0,AH"(x)>0

函數(shù)y=H(x)(x>0)為增函數(shù)

二當(dāng)OVxMxo時(shí),H'(x)<H'(x0)=0：當(dāng)x>x0時(shí),H'(x)>H'(x0)=0

，函數(shù)y=H(x)(x>0)的減區(qū)間為(0,xo].增區(qū)間為(xo,+oo)

...當(dāng)OVxVxo時(shí),H(x)<H(0)=0

即對(duì)Vx()€(0,x(J時(shí),H(x)<0

又由(I)知，

_3_2_

XXoX-Xo

H(x)=f(x)-(e°+e_)x>2x+^~(e°+e)x=x[-^--(e、°+e--2)]

2

當(dāng)xo>O時(shí)，由③知eX°+eX°>2+Q>-^+2>

X3

XoX

二73(e+e-°-2)>x0

j2

x-xxx

故，當(dāng)xX(eo+eo-2)>0時(shí),(e°+e-°-2)>0

o

2_

(eX°+eX°-2)]>0)即H(x)>0

o

由函數(shù)y=H(x)(x>x0)為增函數(shù)和⑥⑦及函數(shù)零點(diǎn)定理知，存在唯?實(shí)數(shù)

X-X

x*C(XQ?^3(e°+e°-2)]使得H(x*)=0,又函數(shù)y=H(x),xGR為奇函數(shù)

二函數(shù)y=H(x),xGR,有且僅有三個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：本題(I)通過(guò)三階導(dǎo)數(shù)的研究，逐步通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的值的大小，邏輯思維能力要求較高；(II)

通過(guò)分類(lèi)討論后，再分別用單調(diào)性和奇偶性研究零點(diǎn)，對(duì)學(xué)生計(jì)算能力和表達(dá)能力要求高.

5.(2014?巴中模擬)f(x)=lx-al-Inx(a>0).

(1)若a=l,求f(x)的單調(diào)區(qū)間及f(x)的最小值；

(2)若a>0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)試比較一!工?2+1鏘?2+...4^與._(仁1?("1)一的大小.(n€N*且電2),并證明你的結(jié)論.

2232n22(n+1)

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題.

分析：(1)先求出導(dǎo)函數(shù)f'(X),解不等式一(X)>0和f'(x)<0,判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)求出函數(shù)的定義域；求出導(dǎo)函數(shù)，從導(dǎo)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)；導(dǎo)函數(shù)根的大小，進(jìn)行分類(lèi)討論；

判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系求出單調(diào)性.

(3)將要證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為g(x)>0在區(qū)間(1,2)上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的最小值，只

要最小值大于0即可.

解答:解：(1)a=Lf(x)=lx-II-Inx

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)=x-1-Inx,ff(x)=1-——

XX

：.f(x)在區(qū)間［1,+?=>)上是遞增的.

x<l時(shí)，f(x)=x-1-Inx,f'(x)=1--<0

x

：.f(x)在區(qū)間(0,1)減的.

故a=l時(shí)f(x)在［1,+8)上是遞增的，減區(qū)間為(0,1),f(x),nin=f(1)=0

(2)當(dāng)a21,x>a,f(x)=x-a-Inx,f/(x)=1--——工>0,

xx

f(x)在⑶+8)上是遞增的，

0<x<a,f(x)=-x+a-Inx,f(x)=-1--<0

x

Af(x)在(0,a)遞減函數(shù)，

0<a<l,x>a,f(x)=x-a-Inx,

f'(x)=1--——x>l,fr(x)>0,a<x<Lff(x)<0,

XX

f(x)在U，+8)遞增函數(shù)f(x)在⑶1)遞減函數(shù)，

0<x<a時(shí)f(x)=a-x-Inx,ff(x)=-1--<0,

x

：.f(x)在(0,a)遞減函數(shù).

當(dāng)aNl時(shí)f(x)在［a,+8),(0,a)增函數(shù).

當(dāng)OVaVl時(shí)f(x)在［1,+oo),(o,1)增函數(shù).

(3)當(dāng)a=lx>l時(shí)x-1-lnx>01-A

XX

22

.In2,ln3,,Inn2/1,d(iA.

-----+—…+—+1<n-1-

22

3"n23n2

(--—+―-—+...+———―)=n-1-(A-A+-1-A+...+-1-_1_)=n-1-(A--J^)

2X33X4n(n+1)2334nn+12n+1

(n-1)(2n+l)

2(n+1)

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減.考查分類(lèi)討論的

數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)的最值，不等式的證明，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查計(jì)算能力

和分析問(wèn)題的能力，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題

6.(2013?山東)設(shè)函數(shù)f(x)=~^c(e=2.71828…，c€R).

2x

e

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及最大值；

(2)討論關(guān)于x的方程llnxl=f(x)根的個(gè)數(shù).

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.

專(zhuān)題：壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f'(x),分別解出f'(*)>0與廣(x)<0即可得出單調(diào)區(qū)間及極值與

最值；

(2)分類(lèi)討論：①當(dāng)OVxWl時(shí)，令u(x)=-Inx----c,②當(dāng)x>l時(shí)，令v(x)=lnx-——一c.利

2x2x

ee

用導(dǎo)數(shù)分別求出c的取值范圍，即可得出結(jié)論.

/.、e2X-X，2巳2K］-2X，i/i

解：(1)Vf(x)=-——0解f(X)>0,得x<2解f(x)<0,得x>2.

(e2x)2e2x22

二函數(shù)f（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,1）;單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+8）

故f(X)在X」取得最大值，且f(x)J+b

2max2e

(2)函數(shù)y=llnxl,當(dāng)x>0時(shí)的值域?yàn)椋?,+°°).如圖所示:

①當(dāng)0<x<l時(shí)，令u(x)=-Inx-—-c,

2x

e

c=-Inx--1^=g(x),

令h(x)=e2x+x-2x2,則h(x)=2e2x+l-4x>0,Ah(x)在xW(0,1］單調(diào)遞增,

/.l=h(0)<h(x)<h(1)=e2-1.

Ag(x)<0,Ag(x)在xW(0,1］單調(diào)遞減.

?，?c》g(1)二一七??

②當(dāng)xNl時(shí)，令v(x)=lnx-—^―-c，得到c=lnx-轟m(x),

2x

ee

m.|'ZX_1l-2xe3+x（2xT）

Aexe

故m（x）在［1,+8）上單調(diào)遞增，，c2m（1）=--^.

e

綜上①?可知：當(dāng)c<-<時(shí)，方程llnxl=f（x）無(wú)實(shí)數(shù)根;

e

當(dāng)c二一4時(shí)，方程llnxl=f（x）有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

e

當(dāng)時(shí)，方程llnxl=f（x）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類(lèi)討論的思想方法等基

礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力及其化歸思想方法.

7.(2013?湖北)設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù).

(I)求函數(shù)f(x)=(1+x)r+l-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;

什1-(n-l)r+l(n+1)r+lr+l

(II)證明:—<nr<

r+lr+l

(III)設(shè)X6R,記［x］為不小于X的最小整數(shù),例如［2］=2,[兀]=4,[-爭(zhēng)=-1.令

$=病+收+退+…+加元，求￡]的值?

4444

(參考數(shù)據(jù):80^344.7,81裝350.5,124蕊618.3,126mg631.7)?

考導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)列的求和；不等式的證明.

點(diǎn)：

專(zhuān)壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用.

題：

分(I)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(X),令f(x)=0,解得x=O,再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最小

析:值為f(0)=0；

(H)根據(jù)(I)知，即(1+x)r+l>l+(r+l)x,令x，代入并化簡(jiǎn)得門(mén)「<衛(wèi)士-----—