2024年高中數(shù)學(xué)專題4-11大題專項(xiàng)訓(xùn)練指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用30道教師版新人教A版必修第一冊

專題4.11指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用姓名：___________班級：___________考號：___________1．（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx=a(1)求a的值；(2)證明：函數(shù)F(x)=【解題思路】（1）依據(jù)fx（2）依據(jù)定義法證明函數(shù)為增函數(shù)即可.【解答過程】（1）因?yàn)閒x=a所以函數(shù)fx=ax+1(所以a2+1+a又因?yàn)閍＞1，所以（2）由（1）知，F(xiàn)(任取x1,xF===2因?yàn)閤1<x2，所以所以Fx1-所以Fx=f2．（2024·天津市高三階段練習(xí)）設(shè)fx=loga(1)求a的值及fx(2)求fx在區(qū)間0,【解題思路】（1）由f1=2代入可得a的值，列出不等式組（2）依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性推斷fx在區(qū)間0,【解答過程】（1）∵f(1)=2，∴l(xiāng)oga2+loga由1+x>03-∴函數(shù)f(x)（2）f(∴當(dāng)x∈(-1,1]時(shí)，f(x)函數(shù)f(x)在0,3．（2024·安徽省高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若fx<0，求(2)當(dāng)14≤x【解題思路】（1）設(shè)t=（2）設(shè)t=log2x，可得【解答過程】（1）設(shè)t=log2x，所以fx=log解得-1<所以-1<log2即x∈（2）由（1）得，當(dāng)14≤x所以函數(shù)可轉(zhuǎn)化為y=t2當(dāng)t=12時(shí)，y當(dāng)t=-2或t=3時(shí)，即當(dāng)x=2時(shí)，fx當(dāng)x=14或x=8時(shí)，即函數(shù)fx的值域?yàn)?4．（2024·遼寧·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f((1)求函數(shù)fx(2)求不等式fx【解題思路】（1）由對數(shù)運(yùn)算法則化簡函數(shù)式后，把log3（2）把log3【解答過程】（1）f=-log3x+1所以fx的值域?yàn)?∞,（2）依據(jù)題意得-log整理得log3即log3解得log3x<-3所以0<x<1故不等式的解集為0,15．（2024·北京·高二）已知定義域?yàn)榈腞奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x(1)求函數(shù)f(x)在[0,+∞)(2)若不等式fm-xx+【解題思路】（1）依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）依據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為m≤xx【解答過程】（1）解：∵f(x)∴f(0)=20設(shè)x≥0，則f(∵f(x)在(∴f(x)在（2）∵fm∴fm∵f(x)是(-由于x∈[1,2]，∴由于y=1-1x+1在[1,2]得m≤6．（2024·河南安陽·高一期末）已知函數(shù)fx=2ln(1)推斷函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx【解題思路】（1）由對數(shù)的運(yùn)算得出fx（2）依據(jù)基本不等式結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)fx【解答過程】(1)fx是偶函數(shù)，f∵fx∴f-x=ln(2)∵1ex+∴f∴fx的值域?yàn)?7．（2024·河南·高三階段練習(xí)（文））已知f(1)求f((2)求使f(x)>0【解題思路】（1）依據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域可得1+x1-x>0解出范圍即可，判別函數(shù)奇偶性，先看定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后計(jì)算（2）由fx>0得到【解答過程】（1）由題意得1+x1-x>0，即所以定義域?yàn)閧x因?yàn)槎x域?yàn)閧x且f(（2）log21+x1-x>0，∴1+x>1-x綜上x的取值范圍為0<x8．（2024·廣東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=log(1)推斷fx(2)若函數(shù)g(x)=9f(x)+x2+m【解題思路】(1)依據(jù)偶函數(shù)的定義推斷；(2)將gx【解答過程】（1）證明：∵f(x∴=log所以f(（2）g(當(dāng)x∈0,log令3x=t，則y當(dāng)-m2≤1時(shí)，即m≥所以t=1時(shí)，ymin=當(dāng)1<-m2<2時(shí)即-4<解得m=0當(dāng)-m2≥2時(shí)，即m≤所以t=2時(shí)，y解得m=故存在滿足條件的m=9．（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx=bax（其中a，b為常數(shù)，且a>0，(1)求a+(2)當(dāng)x≤-3時(shí)，函數(shù)y=1【解題思路】（1）將點(diǎn)M、N代入函數(shù)fx（2）當(dāng)x≤-3時(shí)，函數(shù)y=1ax+1b的圖象恒在函數(shù)y=2x+【解答過程】（1）∵函數(shù)fx=bax（其中a，b為常數(shù)，且a>0，∴ba=1ba3=9∴a2=9，∴∴a+（2）由（1）得當(dāng)x≤-3時(shí)，函數(shù)y即當(dāng)x≤-3亦即當(dāng)x≤-3設(shè)gx∵y=13x在-∞∴gx=1∴gx∴t<3610．（2024·安徽·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(1)推斷函數(shù)f((2)求不等式f(x)+1<0的解集.（結(jié)果用m【解題思路】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義推斷即可，（2）原不等式化為log2mx-nxmx+nx【解答過程】（1）fx依題意，函數(shù)fx的定義域?yàn)?而f(故f(故函數(shù)fx（2）依題意，log2mx令t=mn，則t所以12<所以13<t故-logt3<即不等式fx+1<0的解集為11．（2024·江西·高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)f((1)求k；(2)解不等式f【解題思路】（1）結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)f(-x（2）結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則，將原函數(shù)化成對數(shù)形式f(x)=【解答過程】（1）∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(-x)=（2）∵f(則不等式等價(jià)于3x+3-x由3x+3-x≥7綜上，不等式的解為-log12．（2024·全國·高一單元測試）已知指數(shù)函數(shù)fx=ax（a>0(1)設(shè)函數(shù)gx=1(2)已知二次函數(shù)hx的圖像經(jīng)過點(diǎn)0,0，hx+1=【解題思路】（1）依據(jù)條件求出f(x)（2）由待定系數(shù)法求得h(【解答過程】（1）由題意知a3=18，解得a=令1-(12)x≥（2）設(shè)h(則h(h(x)得{2m+b=b-2m+b+c=c+1，解得又h(0)=c=0所以h(x)=又f(x)=(12)13．（2024·河南·高二開學(xué)考試（文））已知函數(shù)fx(1)求a的值及fx(2)求不等式fx+2【解題思路】（1）由偶函數(shù)的定義列式子可求出a的值，對函數(shù)化簡后，利用基本不等式可求出其最小值，（2）先推斷出f(x)【解答過程】（1）由題意得f(-x)=f(x)，即ln(e-2x+1)-ax=ln(e（2）對于y=ex+1ex，任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2，則y2-y1=ex2+1ex2-ex14．（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)fx=b?ax（a,b為常數(shù)，(1)試確定函數(shù)fx(2)若關(guān)于x的不等式1ax+1b【解題思路】（1）依據(jù)題意，得到方程組ab=6b?a（2）依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=12x+【解答過程】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)fx=b?a可得ab=6b?a3=24，結(jié)合a所以函數(shù)fx的解析式為f（2）解：要使12x+只需保證函數(shù)y=12x+因?yàn)楹瘮?shù)y=12所以當(dāng)x=1時(shí)，y=1所以只需m≤56即可，即實(shí)數(shù)m15．（2024·甘肅·高一期中）已知函數(shù)f(x)=ln((1)求函數(shù)f(x)(2)設(shè)m>0，若對于隨意x∈1m,【解題思路】（1）依據(jù)題意結(jié)合指對數(shù)運(yùn)算求解；（2）先依據(jù)區(qū)間的定義求m的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)及作差法求g(x)【解答過程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(所以ln(1+a)=0，解得所以f(（2）因?yàn)閙>0且m>1m，所以因?yàn)間(x)=x2所以g(x)的最大值是g因?yàn)間=m所以g(若g(x)<-ln(即m2-2m設(shè)h(任取m1,m則h=m因?yàn)?<m1<0<m1-1<m2所以hm1-所以h(m)在區(qū)間(1,+∞)所以m2-2m所以1<m<2，所以m的取值范圍是16．（2024·陜西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=logax+2(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得fx在-1,34【解題思路】（1）先求出函數(shù)的定義域，再利用換元法求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）令t=-x2-x+2，則由-1≤x≤34【解答過程】（1）由題意可得x+2>0,1-x>0,解得-2<x<1，即當(dāng)a=2時(shí)，f令t=-x2-x對稱軸為x=-則函數(shù)t=-x2-x因?yàn)閥=所以fx在-2,-12（2）fx令t=-因?yàn)?1≤所以t=-x+1當(dāng)0<a<1時(shí)，fx在-1,則loga1116=2，即當(dāng)a>1時(shí)，fx在-1,3則loga94=2，即綜上，a的值為114或317．（2024·河北邢臺·高三階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f-x-fx(1)求k的值；若函數(shù)fx的定義域?yàn)?,4，求h(2)設(shè)hx=x4+xlnx-【解題思路】（1）利用f-x-fx=0可求得k（2）依據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可確定gx在R上單調(diào)遞增，由此可得gx在0,3上的最小值為g0=1，依據(jù)能成立的思想，結(jié)合hx【解答過程】（1）∵f∴2k-1=0，解得：k若fx定義域?yàn)?,4，則由0≤2x≤4得：0≤x≤2∵f2x+∴當(dāng)x∈0,2時(shí)，22x+1∈2,17（2）由（1）得：gx∵y=2x+1在R又y=12x在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈0,3時(shí)，∵對隨意的x1∈0,3，存在x∴存在x2∈e,e∵y=x3+∴2m≥e3+1，解得：m18．（2024·山東·高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)gx=log3x，函數(shù)y(1)求y=(2)是否存在實(shí)數(shù)m>0，使得對?x∈R，不等式【解題思路】（1）依據(jù)反函數(shù)的定義及性質(zhì)可知fx與gx互為反函數(shù)，即可求出（2）由（1）可得不等式即為2m-3<m?3x恒成立，令t【解答過程】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)y=fx的圖像與y所以fx與g因?yàn)間x=log（2）解：不等式2m-3<令t=3xt>0，則關(guān)于t的不等式2m令ht=mt因?yàn)閙>0，所以ht在0,+∞上單調(diào)遞增，依題意只需h所以0<m19．（2024·安徽·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(1)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于直線y=(2)已知函數(shù)g(x)=fx2f【解題思路】（1）由題意可知hx=ax，然后將點(diǎn)（2）由（1）得g(x)=logax2-4【解答過程】（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=logax(所以hx=ax（因?yàn)辄c(diǎn)P(2,16)在函數(shù)h所以16=a2，解得a=4（2）gx=log①當(dāng)0<a<1時(shí)，由12二次函數(shù)φt=t可得最大值為φ-解得a=12②當(dāng)a>1時(shí)，由12≤二次函數(shù)φ(t)=可得最大值為φ-loga2=綜上，實(shí)數(shù)a的值為1220．（2024·廣東·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(1)求不等式f((2)若?x1∈[1,3],?x2【解題思路】（1）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得4x（2）由題可得fx【解答過程】（1）由4x可知f(x)由log34x令t=2x解得2≤t由2≤2x≤16所以不等式f(x)≤4（2）由題意，?x1∈[1,3]所以gx因?yàn)閒(x)=所以f(x)又?x2∈[0,2]，使得g因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=x2①當(dāng)m≤1時(shí)，g(x)所以0≤m②當(dāng)m>1時(shí)，g(x)max所以m>1綜上所述，m的取值范圍為[0,+∞21．（2024·寧夏·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx(1)求k的值；(2)若函數(shù)hx=2fx+1【解題思路】（1）依據(jù)偶函數(shù)的定義列出等式結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算即可求解；（2）依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的單調(diào)性問題，進(jìn)而依據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【解答過程】（1）由f(x)是偶函數(shù)可得，則log2即2kx所以(2k故2k（2）由（1）得fx所以hx令t=2x為使h(①m=0②m>0-③m<0-綜上：m的范圍為-122．（2024·全國·高一單元測試）若函數(shù)y=T(x)對定義域內(nèi)的每一個(gè)值x1，在其定義域內(nèi)都存在唯一的(1)推斷定義在區(qū)間[2,3]上的函數(shù)f(x)=(2)若函數(shù)g(x)=3x-1在定義域[【解題思路】（1）依據(jù)函數(shù)定義可得f(x)∈[3,4]，再推斷對隨意x1，x2∈[2,3]對應(yīng)（2）由題設(shè)可得g(x)∈[3m-1,3n-1]，依據(jù)“YL【解答過程】（1）不是，理由如下：因?yàn)閒(x)=x+1對隨意x1，x2∈[2,3]所以定義在[2,3]上的f(x)=（2）g(x)=3x-1由于g(x)對隨意x1∈[m,n]，則g(所以13n-1≥3m-113所以m+n-因?yàn)閚>m>0，所以n所以m2+n=m23．（2024·陜西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx(1)求實(shí)數(shù)k的值;(2)解關(guān)于m的不等式f2m+1(3)設(shè)gx=log2a?2x+aa≠0【解題思路】（1）依據(jù)偶函數(shù)的定義及性質(zhì)干脆化簡求值；（2）推斷x≥0（3）由函數(shù)fx與gx圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，可得【解答過程】（1）函數(shù)的定義或?yàn)镽，∵函數(shù)fx∴f-x=∴2kx∴k（2）∵f當(dāng)x≥0時(shí)，2x≥1∴fx在又函數(shù)fx為偶函數(shù)，所以函數(shù)fx在0,+∞∵f∴2m+1解得m<-2或m所以所求不等式的解集為-∞（3）∵函數(shù)fx與gx圖象有∴g即a?2x設(shè)t=2x>0，則又t=2x所以方程a-1t∴a-1≠0解得22-2<a<124．（2024·湖南·高一階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f-x-fx(1)求fx(2)若不等式g4x-a?(3)設(shè)hx=x2-2mx+1，若對隨意的【解題思路】（1）依據(jù)f-x（2）依據(jù)gx單調(diào)性得4（3）因?yàn)閷﹄S意的x1∈0,3，存在x2∈1,3，使得gx1≥hx2【解答過程】（1）由題意知，log2即2kx=log故fx（2）由（1）知，gx所以gx在R所以不等式g4x-a?即a<設(shè)t=2x，則t>0，4x所以a<4故實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞（3）因?yàn)閷﹄S意的x1∈0,3，存在x所以gx在0,3上的最小值不小于hx在因?yàn)間x=log所以當(dāng)x∈0,3時(shí)，又hx=x2-當(dāng)m≤1時(shí)，hx在1,3上單調(diào)遞增，hx所以12當(dāng)1<m<3時(shí)，hx在1,mhxmin=hm=1-當(dāng)m≥3時(shí)，hx在1,3上單調(diào)遞減，hx所以m≥3綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是1225．（2024·福建南平·高二期末）已知函數(shù)fx=a(1)求a的值，并證明函數(shù)fx(2)解不等式f【解題思路】（1）利用奇函數(shù)的定義式求解a的值或者特殊函數(shù)值對稱求解a，再利用單調(diào)性定義法證明函數(shù)fx（2）由（1）中fx【解答過程】(1)解：解法一：由fx=即a-2求得a解法二：由fx=a即a-求得a=1經(jīng)檢驗(yàn)：fx證明：?x1,f=由x1>x2得所以，函數(shù)y=fx(2)解：由（1）得函數(shù)y=fx由flog32x解得x∈26．（2024·全國·高一單元測試）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)m=-1時(shí)，求f(2)若fx≤2對隨意的x∈【解題思路】（1）依據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得0<6x+m?5x【解答過程】（1）解：當(dāng)m=-1時(shí)fx=即6x>5x，即65x>1（2）解：由fx≤2對隨意的所以0<6x+即-65x因?yàn)閥=165所以gx=165x所以hx=-65x所以-1<m?2，即27．（2024·河北保定·高二期末）已知函數(shù)f(x)=(1)求f((2)若不等式f(x)?1【解題思路】（1）依據(jù)已知條件，以及偶函數(shù)的性質(zhì)f(-（2）利用分別參數(shù)法處理恒成立問題，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對式子化簡變形，求函數(shù)的最值.【解答過程】(1)因?yàn)閒(0)=1，所以f(0)=log因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f所以2bx=log故f((2)因?yàn)椴坏仁絝(x)?12x+m對x設(shè)g(因?yàn)閤?0，所以2x?1故m?1，即m的取值范圍為28．（2024·上海市高一期中）已知常數(shù)k∈R，函數(shù)y=(1)若圖像F經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，求k的值.(2)對于（1）中求得的k，解方程log2(3)是否存在整數(shù)k，使得y有最大值且該最大值也是整數(shù)?假如存在，求出k的值;假如不存在，請說明理由.【解題思路】（1）依據(jù)題意得到log2（2）依據(jù)題意得到log2（3）首先令t=2x得y=log2-t2【解答過程】（1）由題知：log2-4+2k+4=1（2）當(dāng)k=1log即-4整理得：2x2-9?2當(dāng)x=0時(shí)，-40當(dāng)x=3時(shí)，-故x=0（3）y=log2-2x2令-t2+因?yàn)閠>0，所以0<設(shè)gt=-t2+gt=-t-當(dāng)k2≤0時(shí)，即k≤0時(shí)，g此時(shí)gt當(dāng)0<kgt在區(qū)間0,k2所以gt即ymax因?yàn)閗>0，所以log令log24+k24=n，且n解得k=22n此時(shí)gtmax=8所以存在k=4使得y有最大值329．（2024·河南商丘·高二期末（文））已知定義在R上的函數(shù)f