高中數(shù)學(xué)空間向量立體幾何復(fù)習(xí)

第一部分、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)+公式

1、簡單幾何體相關(guān)知識(shí)

【必記公式】

1.柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積

面積體積

圓柱S假=27nV=Sh=nt^h

v=/=>%

圓錐S憾=

一Inr-r

J

V—；（S上+S下+“S上S下）〃

，

圓臺(tái)5?=7r（r1+r2）Z

=+/*2+32）人

面積體積

直棱柱5-=Chjz=Sh

正棱c—\ch'

JM一_2_____V—3^

正棱

SL；（C+C，）3

(上下上下

臺(tái)-3S+s+?ysM

C=47rA2

球Q球面_________________________

2、點(diǎn)線面之間的關(guān)系判定及其性質(zhì)

平行關(guān)系判定

直線與平面平行關(guān)系的判定

文字語言圖形語言符號(hào)語言

平面外一條直線與

判

此平面內(nèi)的一條直線

定VlUd,tfCg,

平行，則該直線與此平

定L__1Wa,：.l//a

面平行（線線平行n線

理

面平行）

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一條直線與一個(gè)平面

性平行，則過這條直線

VIIIa,

質(zhì)的任一平面與此平面

IU[J,aCp=b,

〃

定的交線與該直線平/a

：d//b

理行（簡記為“線面平行

=＞線線平行”）

平面與平面平行關(guān)系的判定

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一個(gè)平面內(nèi)的兩條aXP,

判

相交直線與另一個(gè)平bUfi

定

面平行，則這兩個(gè)平面/XJaV\b-P,

定

平行（簡記為“線面平b__/aUa,bUa,

理

行與面面平行”）?.a//p

文字語言圖形語言符號(hào)語言

性如果兩個(gè)平行平面同vaup

質(zhì)時(shí)和第三個(gè)平面川交,aC\y=a,

定那么官們的交線平夕n；，=b,

理行：.a//b

必記結(jié)論

Q)兩個(gè)平面平行…其中二個(gè)平面內(nèi)的任意二條直線平行于另二

個(gè)平面.一

⑵來在兩個(gè)至行手面之間的里任線段長度相等,…

(3)經(jīng)過平面外二點(diǎn)有且只有二個(gè)平面與已知平面坐行」

(4)兩條直線被三個(gè)主任里面所截…截得的對(duì)應(yīng)線段成比例、…

⑸如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面,…那么這兩個(gè)平面互相

平行一

⑹如果二個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另二個(gè)平面內(nèi)

的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行.

垂直關(guān)系判定

直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果一條直線I與平面?內(nèi)的住意直線都垂直,就說直線/

與平面?互相垂直.

\文字語言圖形表示符號(hào)表示

判條直線與一個(gè)平面內(nèi)il-La,iLb

定的兩條相交宜線都垂aC\b—O

OZ_La

定直，則該直線與此平面aUa

理垂直bUa

性

兩直線垂直于同一個(gè),1?b

質(zhì)7a工a

平面，那么這兩條直^a//b

定bl.a

線平行U

理

i.…直線與平面垂直的定義常常逆用z…即4La.，.…

2.…若平行直線中二條垂直壬平面,…則另二條也垂直于該平

面一

3,…垂直于同二條直線的兩個(gè)平面平任,…

4,_過二點(diǎn)有且只有二條直線與已知田面垂直,…

,5..T…過二點(diǎn)有且只?有二.個(gè)受面與,已知直線垂直,…

平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是“：問加,就說這

兩個(gè)平面互相垂直.

\文字語言圖形表示符號(hào)表示

判

一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平

定Ua,/U.

面的一條垂線，則這

定a邛

兩個(gè)平面互相垂直

理

性如果兩個(gè)平面互相垂直，a邛、

質(zhì)則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于

>=>ZJ_a

定它們交線的直線垂直d“/-L”\

理于另?個(gè)平面

1,…兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況,…正方體中

任意相鄰的兩個(gè)面都是互相垂直的,…

…,由定理可知.?…要證明至面與千面垂直2可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直

線史尋找里面的垂線zi即證明線面.垂直;…

其余類型

3.直線與平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，

叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角.

(2)線面角e的范圍：ee[o,磬

4.二面角的有關(guān)概念

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半"血所組成的圖形叫做

二面角.

(2)二面角的平面角：過二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面

內(nèi)分別作與棱垂”的射線,則兩射線所成的角叫做二面角的

平面角.

第二部分、解題技巧+推論

較多，選擇記憶

109.證明直線與直線的平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(4)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(5)轉(zhuǎn)化為面面平行.

110.證明直線與平面的平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為面面平行.

111.證明平面與平面平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

112.證明直線與直線的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為相交垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；

(4)轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.

113.證明直線與平面垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；

(5)轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.

114.證明平面與平面的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律

(1)加法交換律：a+b=b+a.

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).

(3)數(shù)乘分配律：入(a+b)=入a4-入b.

117.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(bWO),a〃bo存在實(shí)數(shù)入使a=、b.

P、48三點(diǎn)共線oZ尸||4804戶=〃4。》=(1一/)以+/加.

力8||8。萬、C力共線且48、C0不共線o4月=，CZ5且/6、C0不共線.

118.共面向量定理

向量P與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的o存在實(shí)數(shù)對(duì)x,y,使p=ax+by.

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的=存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使加=%忘+V加，

或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使。戶=64+x而+j力值.

119.對(duì)空間任一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A、B、C,滿足O戶=.YQ】+J，O月+二

(x+y+z=后)，則當(dāng)％=1時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)。，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)左

時(shí)，若Oe平面ABC,則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若0史平面ABC,則P、A、B、C四點(diǎn)不共

面.

4B、C、D四點(diǎn)共面u>4方與4方、尼共面o45=<掂+)，就=

Ob=(\-x-y)OA+xOB+)^dC(。任平面ABC).

120.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,

z，p=xa+yb+zc.

推論設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,

y,z,使方=xCU+ym+zOd.

121.射影公式

己知向量和軸/,e是/上與/同方向的單位向量.作A點(diǎn)在/上的射影/,作B點(diǎn)在/

上的射影則

AB=|陰cos{a,e）=a?e

122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=（q,a2M3），b=（4也也）則

⑴a+b=（A+4,a?+b2,a3+b3）；

（2）a—b=（t/j-bx,a2-b2,a3-b3）?

⑶入a=（2小尤0，％生）（入WR）；

⑷a?b=axbx+a2b2+a3b3；

123.設(shè)A（XQI，4）,B（x2,y2,z2）,則

AB=OB—OA—（x2—再,為—必,z2—Z［）.

124.空間的線線平行或垂直

T-?

設(shè)。=（不，M*1）,6=（工2）2*2），貝U

再=XX2

TT―?T——

a||Z><=>df=Ab（b00）<=>?M=%必；

51=也

—?—?—?一

a±b<=>ab=0<=>M勺+MJA+二1二2二。-

125.夾角公式

設(shè)&=（?！浮?，。3），b=（4，d，4）,則

,、a.b,+a、b、+ah

cos（a,b）==JL*,--3-工——.

Qa；+d；+°；也;+b；+b；

推論（q4+a2b2+。3b了<（a：+a；+a；）（b；+b；+6）,此即三維柯西不等式.

126.四面體的對(duì)棱所成的角

四面體WBCD中，.4C與80所成的角為8，則

co、a=IQB2+C。）—（8。2+。/）|

-2ACBD

127.異面直線所成角

cos0=|cos卜?|

_1。攻_|演.0+必.2）二1;21

X222

IaI?131+二:-72+V2+-2

（其中8（0<6K90）為異面直線。力所成角，分別表示異面直線a,6的方向向量）

128.直線與平面所成角

AB,m—

/3=arcs'\n————-（m為平面a的法向量）.

\AB：\\m\

129.若A48C所在平面若P與過若AB的平面a成的角氏另兩邊4C,BC與平面a成的

角分別是優(yōu)、%，48為A48C的兩個(gè)內(nèi)角，則

siira+sin2&=（siirA+sill2B）sin20.

特別地，當(dāng)ZJC8=90時(shí)，有

222

siiiq+sin07=sin0.

130.若A48C所在平面若p與過若AB的平面a成的角6,另兩邊ZC,BC與平面a成的

角分別是仇、2，/、8'為AAB。的兩個(gè)內(nèi)角，則

tan24+tail21=（sin2A+sin25）tan20.

特別地，當(dāng)4408=90時(shí)，有

22

siiiq+siij2%=sin0.

特別地，當(dāng)408=90時(shí)，有

222

sillq+sin32=siii0.

131.二面角a-/-尸的平面角

"7?〃Hl?77—―

0=arccos—.―?或;T-GTCOS—：~—（in,〃為平面a,4的法向量）.

|加||〃||W||H|

132.三余弦定理

設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，且BC_LAC,垂足為C,又設(shè)A0與AB所成的角為斗，AB與AC

所成的角為%,A0與AC所成的角為6.貝Jcos<9=cos4COS%.

133.三射線定理

若夾在平面角為夕的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是4,%,與二面角

的棱所成的角是。，則有siii2@siife-snrq+siii2%-2sm^sin。,cos。；

14一％區(qū)0W18O-（4+%）（當(dāng)且僅當(dāng)。=90時(shí)等號(hào)成立）.

134.空間兩點(diǎn)間的距離公式

若A（X［，M，Z］）,B（X2,^2,Z2）?則

z廣I畫=4ABAB=Jny+G-vy+Gf.

135.點(diǎn)0到直線/距離

6屈而二G鏟（點(diǎn)P在直線/上，直線/的方向向量a=p］,向量b=P0）.

\a\

136.異面直線間的距離

\CDn\

（44是兩異面直線，其公垂向量為〃，c、。分別是/「A上任一點(diǎn)，d為

\n\

間的距離）.

137.點(diǎn)8到平面a的距離

（〃為平面a的法向量，43是經(jīng)過面a的一條斜線，Jea）.

1〃1

138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式

d=也孑+7〃2+〃2孑2〃〃7cos8.

+nr+1-277/77cosl^EA.AF)

d=

d=y/h2+nr+n2-2nmcos(pC(p=E-AA-F).

(兩條異面直線a、b所成的角為e,其公垂線段44'的長度為h.在直線a、b上分別取兩

點(diǎn)E、F,AE=m,AF=n,EF=d).

139.三個(gè)向量和的平方公式

(a+b+c)2=t+3+c+2ab+2bc+2c-a

=J+B-+J+21a|.|B|cos(q,B)+2.|c]cos(B,c)+21c|.|a\cos(c,a^

140.長度為/的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為小小4,夾角分別為

4、%、%,則有

22222

/=/；+/；+/；0cos24+cos^,+cos03=1osin2+sin%+sin4=2.

(立體幾何中長方體對(duì)角線長的公式是其特例).

141.面積射影定理

cos6

(平面多邊形及其射影的面積分別是S、S’,它們所在平面所成銳二面角的為。).

142.斜棱柱的直截面

己知斜棱柱的側(cè)棱長是I,側(cè)面積和體積分別是S斜棱柱1M和喔卜棱柱，它的直截面的周長和面積

分別是q和岳，則

①S斜棱柱側(cè)=cj-

②/棱柱=SJ.

143.作截面的依據(jù)

三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.

144.棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的

比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比(對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相

似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方)；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的

比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.

145.歐拉定理(歐拉公式)

P+尸-石=2(簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).

(1)E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地，若每個(gè)面的邊數(shù)為〃的多邊形，則面數(shù)F與棱

數(shù)E的關(guān)系，E=31F\

2

(2)若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為機(jī)，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：E=-mV.

2

146.球的半徑是R,則

其體積/=—4乃及3,

3

其表面積S=4IH2.

147.球的組合體

(1)球與長方體的組合體：

長方體的外接球的直徑是長方體的體對(duì)角線長.

(2)球與正方體的組合體：

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長,

正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長.

(3)球與正四面體的組合體：

棱長為。的正四面體的內(nèi)切球的半徑為逅叫外接球的半徑為逅a.

124

148.柱體、錐體的體積

嚏體(S是柱體的底面積、。是柱體的高).

腺體(S是錐體的底面積、〃是錐體的高).

第三部分、立體幾何常見輔助線技巧

類型一：建立平行關(guān)系

通過三角形的中位線或者平行四邊形構(gòu)造線線的平行關(guān)系，對(duì)于求解線面平行，面面平行，線面垂直，面面垂直，異面

直線夾角以及共面問題均有很大的幫助。

『配中點(diǎn)”利用中位線建立平行關(guān)系

例題1:如圖，四雌P-ABCD,ADllBC,SAD=2BC,

且E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn)，求證：APll平面BEF。

證明：

連接AC,CE,且AC與BE相交于點(diǎn)0,連接OF,如下圖：

?.?ADiiBC,且AD=2BC,

且E是AD的中點(diǎn),可得：

四曲ABCE>￥行四呼

.-.0是AC的中點(diǎn)，又F是PC的中點(diǎn)

.?.0F是工ACP的中途

/.OFllPA

?.,PAC平面BEF,OFc平面BED

.?.APii平面BEF

分別做PC,PD的中點(diǎn)M,N兩點(diǎn)，連接EM,MN,

BC

?.MN為±PCD的中位線,.-.MNIICD且MN=1/2CD

又是AB的中點(diǎn)，..AEllCD且AE=1/2CD

,四邊形AEMN是平行四邊形,則EMIIAN,

vPA±?ABCDr.'.PA±AD,又4DA=45。，"PAD?

腰直角三角形

又N是PD中點(diǎn)，.,.ANJ.PD

又「ABCD形,/.CD±AD,又PA±CD,

.?（口_1_面PAD,.-.CD±AN,又上面否PD_LAN,

.?.AN,面PCD

X-.EMllAN一1EMJ■面PCD

又.EMu面PEC,.-.PEC±PCD

例題3:已知：Ai,Bi,G和Az,Bz,C2分別是兩條異面

直線Li和Lz上的任意三點(diǎn)，M,N,R,T分別是A1A2,

BIA2,BIB2,CiC2的中點(diǎn)，求證：M,N,R,T四點(diǎn)共面。

證明：

根據(jù)三角形的中位線可知：

MNnLi,NRilL

又Li與L2為異面直線，且MN與NR相交于點(diǎn)N

則M,N,R三點(diǎn)可以確認(rèn)一個(gè)平面B

連接,且中點(diǎn)連接,如下圖所示：

BIC2S,RS,ST

根據(jù)上圖可知:

RSIIR,又已知RNIlk,fiRSDRN=R

.-.R,S,N三級(jí)線

又M不在R,S,N所在的直線

木髓經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面可知：

M,N,R,T四點(diǎn)共面

2構(gòu)造平行四邊形建立平行關(guān)系

例題1：如圉，三棱柱ABC-AiBiG中，底面ABC是等邊

三角形，側(cè)面BCGBi是矩形，AB=AiB,N是BK的中

點(diǎn)，M是核AAi上的一點(diǎn)，且AAi±CM,證明：

MNII平面ABC

證明：

連接BM,取BC得中點(diǎn)P,連接AP,NP,如下圖：

?.AAiilBBi.,.AAl±BC

?.AAi±MC,BCOMC=C,

.?,AAiJ■平面BCM

.'.AAi±MB

,.AB=AiB

r.M是AAi的中點(diǎn)，

.-.NPilMA，且NP=MA

四邊形AMNP是平行四邊形

.".MNllAP

?.?MNc平面ABC,APc平面ABC

.\MNli平面ABC

例題2:如圖，在正方體ABCD-AiBiJDi中，邊長為4,

已知BiE=DiF=l,則試求BE與DF所成角的余弦值。

解：

作AiBi邊上找一點(diǎn)G,使得AiG=DiF，連接FG，作EHllAG

-.AiG=DiF

可得：四邊形ADFG為平行四邊形

.-.DFliAG，又EHIIAG

.-.DFllEH

/.BE與DF所成的角轉(zhuǎn)換成BE與EH所成的角

在々BEH中,可知EH=EB=g,BH=2

IS

由余弦定理可得：cosa=一

17

類型二：建立垂直關(guān)系

通過等腰三角形底邊中線，三垂線定理或者面面垂直構(gòu)造線線的垂直關(guān)系，對(duì)于求解線線垂直，線面垂直，面面垂直,

線面夾角和二面角，甚至幾何體的夕展球半徑問題都有顯著的影響。

等腰三角形一-做底邊的垂線

例題1：如圖，三棱錐P-ABC中，-PAB是等邊三角形，

zPAC=zPBC=90°,求證：AB±PC

證明：

取AB的中點(diǎn)M,連接CM,PM

?rPAB是等邊三角形一\PB=PA

又PC=PC,zPAC=zPBC=90°

"PBaPAC,，BC=AC

/.-ACB是等腰三角形，M是AB的中點(diǎn),.-.CM±AB

又在等邊二PAB中，M是AB的中點(diǎn),/.PMJ.AB

..ABJ■面PMC

.-.AB±PC

例題2:如圉所示，已知直四棱柱ABCD-AiBiJDi中，

AD±DC,ABIIDC,且滿足DC=DDi=2AD=2AB=20

(1)求證DBJL平面BiBCJ

(2)求二面角Ai-BD-J的余弦值。

解：

(1)證明暗

⑵分別取BD,DJ中點(diǎn)M,N,連接AiM,AiN,MN

由(1)可得:DBiBCi,XMNliBCi

故MN_LDB

又AID=AIBr.'.AiM±DB

故NAIMN即為二面角Ai-BD-J的平面角

1372

易得：MN=-BCi=—,AiM=——

222

MN<3

故在占AiMN中coszAiMN=-------=—

A]M3

例題3:三頻P-ABC,PA±PB,AC±BC,且AB=6,

求三棱錐P-ABC的外接球表面積。

解：

取AB的中點(diǎn)0,連接OP,0C

-.-PAB是直角三角形，AB為斜邊

.1.OP=OA=OB

同理可知:OC=OA=OB

即OP=OA=OB=OC

1

.-.0就是三棱錐P-ABC的球心,R=-AB=3

2

HfgiaS=4nR2=36n

2三垂線定理一-直接作垂線

過A作AOJ■平面BCD于點(diǎn)0,連接OB,0C,0D

可得：AO±CD

又AB_LCD

，CD_L平面AOB,

.-.BO±CD

同理可得：CO±BD

.-.0為二BDC的垂心

.?QD_LBC,又ACLLBC

.\BC_L平面AOD

.'.BC±AD

例題2:如圖，ABCD-AiBiGDi是正四棱柱，側(cè)棱長為1

,底面邊長為2,E是側(cè)棱BC的中點(diǎn)，求面CiDE與

面CDE所成二面角的正切值。

解:

過點(diǎn)C作CM_LDE,垂足為M,連接CiM

?rCCiJ■面ABCD

.?.CCI_LDE,又CMJLDE

J.DEJ■面CCiM

.-.DE±CiM

.-.zCiMC即為二面角Ci-DE-C的平面角

?.E為BC的中點(diǎn),且ABCD為正方形

則有：DECM=CEDC

又CD=2CE=2

2V5

則CM=7一，又JC=1

C[CJi

貝（ItanzCiMC=----=一

CM2

例題1：如圉，在以A、B、C、D、E、F為頂點(diǎn)的五面體

中,平面CDEF,平面ABCD,FC=FB,四邊形ABCD為

平行四邊形，且NBCD=45°,求證:CD±BF

證明:

過點(diǎn)F作FG±CD，連接BG,

?.?面CDEFJ■面ABCD

可得:GF±ABCD,.-.GF±GB,

又FB=FC,GF=GF,

.?』FGC"FGB

,-.GB=GC

又NBCD=45°

.-.-BCG為等腰直角三角形

即BG±CD,CD±FG

.\CDJL面BGF

.-.CD±BF

例題2:如圉，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,

BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把-DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P

的位置，使得平面PEF,平面ABFD,試求DP與平面

ABFD所成角的正弦值.

解：

在平面DEF中，過P作PH_LEF于點(diǎn)H,連接DH,

由于EF為面ABCD和面PEF的段,PH±EF,

則PH_L面ABFD，故PH_LDH.

則DP與平面ABFD所成角為NPDH

又可知BF_LEF,則BF_L面PEF,

則PF_LBF,又已知DEuBF

.-.PF±DE

又PF_LPD

.-.PFJ.?PDE

VDEIIBF,BFJ■面PEF,則DE±PE

設(shè)正方形邊長為2a,