高中數(shù)學-曲邊梯形的面積教學設計學情分析教材分析課后反思

曲邊梯形的面積課標分析

一、本課數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)、地位與作用

本節(jié)課選自人教A版選修2-2第一章第五節(jié)定積分概念的第一課時，是新課程增加內(nèi)容之一,

課程標準要求我們通過實例（如曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分

的實際背景，借助幾何直觀體會定積分的基本思想。作為定積分的前奏曲，它將為后面學習

定積分概念及其幾何意義奠定基礎。

二、本課內(nèi)容的承前啟后、與其它知識內(nèi)容的聯(lián)系

前面，已經(jīng)學習了導數(shù)的基礎知識，并且用導數(shù)解決了一些實際問題，如已知位移求速

度，曲線的切線問題，函數(shù)的最大或最小值問題。然而，同時還存在一些問題尚未解決，如

已知速度關于時間的函數(shù)，如何求路程，及如何求常見平面圖形的面積、體積等問題。這些

問題，正是定積分誕生的重要原因。學生在學習了導數(shù)的概念之后，對于“以直代曲”的思

想也已有了淺顯的認識，對于將曲線的微小片段看成線段，從而將曲線近似地看成折線，用

研究直線的方法來研究曲線，這樣的研究方法也是學生比較容易接受的。并且學生對更有實

際意義的曲邊梯形面積有著積極的學習態(tài)度和強烈的求知欲。

教材借助于求曲邊梯形的面積這一直觀具體的實例來引入到定積分的學習中，使學生了

解定積分的實際背景，為定積分概念構(gòu)建認知基礎，為理解定積分概念及幾何意義起到了拋

磚引玉的鋪墊作用。求曲邊梯形面積的過程中蘊涵、滲透定積分的基本思想方法，貫穿于整

個定積分學習的始終。能夠讓學生充分感受用極限的思想方法思考與處理問題。

三、本課內(nèi)容與其它學科的聯(lián)系及應用

本課內(nèi)容與其它學科的聯(lián)系及應用主要體現(xiàn)在物理學中，如求變速運動的位移或路程問

題。如果建立了速度與時間的函數(shù)關系，就可以在坐標系中做出v-t圖象，在圖象上截取一

個時間段，這樣就把求路程或位移問題轉(zhuǎn)化成了一個求曲邊圖形的面積問題。事實上，在研

究運動物體的瞬時速度的時候，所采取的用平均速度代替瞬時速度的做法，也正是求曲邊梯

形的面積中的“無限分割、近似代替”思想的具體體現(xiàn)。

教材分析

一、【教材的地位和作用】

曲邊梯形面積的求解方法“以直代曲”是微積分中重要的思想方法,貫穿整個微積分的始終。

求曲邊梯形面積是定積分概念的引例和重要鋪墊，借助這一實例讓學生初步感受定積分的定

義，了解定積分的實際背景，為理解其概念及幾何意義奠定基礎。

二、【教學目標】

知識與技能目標：

(1)了解定積分概念的實際背景。

(2)初步掌握求曲邊梯形面積的一般步驟。

過程與方法目標：

(1)通過將曲線微小片段中的“曲”看作“直”，體會以直代曲的思想。

(2)通過類比求圓面積的過程，體會有限代無限及無限逼近的極限思想。

情感、態(tài)度與價值觀目標：

(1)通過復習劉徽的割圓術(shù)，增強學生的民族自豪感。

(2)通過探索求曲邊梯形面積的過程，體會“以直代曲”，“逼近”的思想，體驗和認同“有

限和無限對立統(tǒng)一”的辯證觀點，理解用極限的思想方法思考與處理問題。

三、【教學重、難點】

教學重點：

了解定積分的基本思想方法一一“以直代曲”、“逼近”的思想。初步掌握求曲邊梯形

面積的“四步曲”一一“分割、以直代曲、求和、取極限”。

教學難點：

“以直代曲"、逼近”思想的形成過程。

學情分析

學生在學習了導數(shù)的概念之后，對于“以直代曲”的思想也已有了淺顯的認識，對于將

曲線的微小片段看成線段，從而將曲線近似地看成折線，用研究直線的方法來研究曲線，這

樣的研究方法也是學生比較容易接受的。并且學生對更有實際意義的曲邊梯形面積有著積極

的學習態(tài)度和強烈的求知欲。

曲邊梯形的面積教學設計

教學課題曲邊梯形的面積

一、知識與技能：

1.了解曲邊梯形的概念并弄清研究曲邊梯形的必要性

2.理解“以直代曲”的思想，并掌握曲邊梯形的面積的求法

3.理解求曲邊圖形面積的過程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過程中滲透的思想

方法.

二、過程與方法：

課標要求1.在求曲邊梯形面積的過程中，通過“分割一一近似代替一一求和一一取極限”的方

法轉(zhuǎn)化為求小矩形的面積的和

2.通過問題的探究體會以直代曲、以不變代變及無限逼近的思想。通過類比體會從具

體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學思想方法

三、情感態(tài)度與價值觀：

培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化的思想方法和以直代曲的思想方法；體驗和認同“有限和無限對立統(tǒng)

一”的辯證觀點，接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學問題的積極態(tài)度。

知層次

知識,

識記理解應用綜合

知識點1

曲邊梯形的V

概念

知識點2

“以直代曲”V

的意義

知識點3

求曲面梯形的V

一般步驟

1.經(jīng)歷求曲面梯形面積的形成過程，了解定積分概念的實際背景。

目標設計2.理解''以直代曲”的意義

3.理解求曲邊梯形面積的四個步驟；

4.了解“近似代替”時取點的任意性。

情境一：我們在小學、初中就學習過求平面圖形面積的問題。多數(shù)是規(guī)則的平面圖形，但現(xiàn)

實生活中更多的需要我們關注的是一些曲邊圖形。例如：這樣的圖形的面積該怎樣計算？

情境二.對我們來說，最基本最奇妙的曲邊圖形是什么？（師問）意圖：①引出案例，②激

發(fā)學生興趣

早在三國時代我國數(shù)學家劉徽就已經(jīng)提出了著名的割圓術(shù)，以直代曲把圓的面積用其內(nèi)接正

n邊形的面積來計算，提出以直代曲無限逼近的思想。

割圓術(shù)介紹：劉徽在《九章算術(shù)》注中講到

“…割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣…”一一劉

徽

當邊數(shù)n無限增大時，正n邊形面積無限逼近圓的面積

這節(jié)課我們就通過求曲邊圖形的面積來體會曲直轉(zhuǎn)化的思想。（同時課件展示曲邊圖形并給

出定義）

可以發(fā)現(xiàn)，它的形狀類似于一個梯形，但有一邊是曲線廣/⑴的一段。那它叫什么圖形呢？

教師引導揭示曲邊梯形的概念：把由直線％=4"=仇"例,尸0和曲線產(chǎn)網(wǎng)所圍成的圖形稱

為曲邊梯形.

小范圍觀察曲邊上一點及其附近圖示、------/

我們可以用這條直線工來代替點尸附近的曲線，也就是說：在點尸附近，曲線可以看作直

線（即在很小范圍內(nèi)以直代曲）.

例1：對于由y=d與x軸及x=l所圍成的面積該怎樣求？（該圖形為曲邊三角形，是曲邊梯

形的特殊情況）

問題1：能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題？

思路:為了計算曲邊三角形的面積S,將它分割成許多小曲邊梯形.

（把區(qū)間［0,1］分成許多個小區(qū)間，進而把曲邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯

形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的

近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值.）

學生探究：以上所提思路的具體操作步驟是怎樣的？能給出實施方案嗎？

對任意一個小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊”（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下幾種

方案“以直代曲”.（教師引導學生分組討論并回答）

確定出三種方案。用方案一解決本題。

問題2：怎樣分割？分割成多少個？分成怎樣的形狀？還需要對每個小曲邊梯形做怎樣的處

理？

特別幫助：產(chǎn)+22+32+….+〃2〃(〃+1)(2〃+1)

6

問題1：分割區(qū)間時是不是隨便怎么分都行？（不是，為了便于處理，采取等分的方式）

問題2：用分割好的每個小區(qū)間的哪個端點的函數(shù)值作為小矩形的高較好？即用哪個小矩形

,,y

近似代替比較好？如果不是在區(qū)間的兩個端點取，而是在每一個區(qū)間中間取任意一點作I為高,

會

有怎樣的結(jié)果?

問題3：是不是分割越細，面積的近似值就越精確？

情境三：以方案二求例1曲邊梯形面積（學生完成）提問

可以想象方案三的同樣結(jié)果。

總結(jié)：求曲邊梯形面積的四個步驟:

第一步：分割.在區(qū)間［。，句中任意插入1各分點，將它們等分成〃個小區(qū)間［西_］,%］

（z=l,2,???,?）,區(qū)間［%_［,玉］的長度Ax,.=七一七_］；

第二步：近似代替，“以直代取用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小

曲邊梯形面積的近似值；

第三步：求和；

第四步：取極限.

變式：求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x?所圍成的曲邊梯形的面積。

(意圖：鞏固強化曲邊梯形的面積的基本求法四步，便于解決拓展)

拓展提高：求由曲線y=%2(%之0)與直線y=4、y車由所圍成的圖形的面積。

(用變式結(jié)論解決)

課堂練習

1.當〃很大時，函數(shù)/'(X)—在區(qū)間「匕上的值可以用近似代替。

_nn_

A/d)C./(-)D./(0)

nnn

2.在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間二的近似值等于()

A.只能是左端點的函數(shù)值

B.只能是右端點的函數(shù)值

C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值

D.以上答案均不正確

小結(jié):求由曲線尸/tv)對應的曲邊梯形面積的方法

學生回答①求曲邊梯形面積的四個步驟；

②以直代曲、無限逼近思想

曲邊梯形的面積

【課程標準】

?了解求曲邊梯形的面積，了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.

【學習目標】

?了解求曲邊梯形的面積的方法.

?了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.

【自主學習】

?1.什么是連續(xù)函數(shù)？

?2.如圖1,給出曲邊梯形的定義

?：?3.如圖2,求曲邊梯形的面積的方法是什么？分為哪幾步？

?4.求和時常用的結(jié)論

(1)12+22+32+…+〃2=_L(+1)(2〃+1)

6

(2))+23+33+…/=幾“及+1)2

4

【典型例題】

例.求直線40、％=1、y=0及曲線y=/所圍成的圖形(曲邊三角形)面

積s。

【拓展提高】：

求由曲線y=>0)與直線y=4、y軸所圍成的圖形的面積。

【課堂練習】

1.當〃很大時，函數(shù)/'(x)=f在區(qū)間3’上的值可以用近似代替。

nn_

A/d)B.f&C./(-)a/(0)

nnn

2.在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[%，%+]]h的近似值等于()

A.只能是左端點的函數(shù)值

B.只能是右端點的函數(shù)值

C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值

D.以上答案均不正確

我的收獲：___________________________________________________________

我的困惑：___________________________________________________________

教學效果分析

本節(jié)課通過情境創(chuàng)設、割圓術(shù)的動態(tài)演示以及三種方案的動態(tài)演示，已經(jīng)充分激起了學

生的學習興趣和求知欲望，定能充分調(diào)動學生的學習積極性，從而提高學生的學習效率；通

過分組探究，合作交流，使每個學生都能夠變被動學習為主動學習。

但是由于采用的分組探究，合作交流，把任務交給了學習小組，可能會有部分基礎差的

同學跟不上節(jié)奏，所以需要每個小組課下落實到個人。

觀評課記錄

為了貫徹執(zhí)行新課改，本節(jié)課教學時大膽嘗試新的、高效的教學模式。本節(jié)課的教學主

要特點如下：

一、數(shù)學課堂生活化

通過問題情境，體現(xiàn)數(shù)學源于生活又服務于生活的學科魅力，讓學生體會到數(shù)學就在我

們身邊。

二、分組探究，創(chuàng)建高效課堂

通過分組探究，上臺展示，充分調(diào)動了學生主動學習的積極性，使學生真正成為學習的

主人。

三、適當利用信息技術(shù)，使學生“看”到數(shù)學的本質(zhì)

對本節(jié)內(nèi)容中比較抽象的幾個問題，借助信息技術(shù)進行演示，使學生親眼“看”到了無

限逼近的過程，使學生“看”到了“刨光磨平”的逼近思想。

教學反思

本節(jié)課的核心是求曲邊梯形的面積，而本節(jié)課的重點卻不是求解曲邊梯形面積的具體過

程，而是解決該問題的思想方法，這也正是本節(jié)課的難點所在。

在教學過程中，以下幾個方面可能會成為學習本節(jié)課的障礙以及處理方法：

定義曲邊梯形的圖形與例題中的圖形差別比較大，學生不易接受

教材中的兩個圖形：

教學中設計的圖形:

這樣處理，可能更有利于學生接受，更能體現(xiàn)數(shù)學的和諧之美。

2.“以直代曲”和“無限逼近”思想的形成過程

為了使學生重新感知這兩種思想，教學中借助多媒體動態(tài)演示割圓術(shù)，激活學生的思維。

3.求和符號的使用

在實際教學中發(fā)現(xiàn)，教材中是先出現(xiàn)了求和符號，然后又展開計算的，而易于學生接受的方

法是先列出式子，然后利用求和符號簡記。教材中是這樣的：

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