指向高中數(shù)學核心素養(yǎng)的教學特點

指向高中數(shù)學核心素養(yǎng)的教學特點

---------以對均值定理教學片段的分析與改進為例

作者：

李大永/胡鳳娟

作者簡介：

李大永，北京市海淀區(qū)教師進修學校，特級教師；胡鳳

娟，首都師范大學教師教育學院，博士.

原發(fā)信息：

《基礎教育課程》（京）2021年第20213下期第40-47頁

內(nèi)容提要：

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成

和發(fā)展的.從教學實踐來看，如何清晰把握數(shù)學教學來提升

學生的數(shù)學核心素養(yǎng)仍是一線數(shù)學教師面臨的問題.文章結(jié)

合均值定理的教學片段，分析闡釋指向高中數(shù)學核心素養(yǎng)

的教學應該具有整體性、主題性、發(fā)展性等特點.

關鍵詞：

數(shù)學核心素養(yǎng)/整體性/主題性/發(fā)展性

期刊名稱：《高中數(shù)學教與學》

復印期號：2021年07期

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標"）

的重要變化之一是凝練了數(shù)學學科核心素養(yǎng)，數(shù)學學科核心素養(yǎng)成為高中

數(shù)學課程目標的重要組成部分[1].數(shù)學學科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征

的思維品質(zhì)、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學

習和應用的過程中逐步形胡口發(fā)展的.如何在課堂教學中落實數(shù)學核心素養(yǎng)

成為一個廣大教師普遍關注的現(xiàn)實問題[2],大家都感覺缺少可以指引自己

教學的實踐之策.本文基于數(shù)學教學中的一個真實課堂片段，深入分析其背

后的思維活動，在此基礎上，從一線教學研究實踐者的角度來探討如何開

展”指向數(shù)學核心素養(yǎng)的教學"，希望能夠拋磚引玉，引發(fā)更多深入的思

考與研究.

一、教學片段

（教師帶領學生發(fā)現(xiàn)并證明了均值不等式之后）

師：這樣的不等關系對于不等式的問題來說有什么作用呢？接下來，

就需要我們來應用這個定理.下面請看例1.（教師播放PPT呈現(xiàn)題目，同

時讀題）

師：還有個特點是什么呢？

生1沉默.

師：我想讓大家發(fā)現(xiàn)這個不等式的特點：右邊是2,這是個好數(shù)（教

師回到講臺，引導學生看黑板上的均值不等式），這里也有個2.如果我剛

才說的話"這個均值不等式能有什么作用"你領會了，要聯(lián)系均值定理證

明這個不等式的話，你會發(fā)現(xiàn)這個均值定理里也有什么？也有個2.這個2

在哪里？在分母上.題目中2在哪里？在右邊，對吧？均值不等式中的這個

2能‘搬’到右邊嗎？

生：可以a+b2>l,（教師在黑板上寫下來）

師：怎么來的？相信你們都理解，這個不等式和均值不等式在內(nèi)容上

還是一致的，沒問題吧？我們再回到這個題目上，再想想，借用均值定理

如何證明它呢？（教師看學生沒有反應）可以討論，孩子們.

（1分半鐘左右后，一個女生停下筆看向教師）

師：姑娘，我看你好像證明出來了，你來說說，我?guī)湍銓?

生2:不等式左邊通分，

師：能否直接用均值不等式來證明這個結(jié)論呢？

生2沉默不語.

師：好吧，孩子請坐.我來說，你們來看可不可以接受.

（教師邊講邊板書用均值不等式證明的過程）

注：例1中的問題是人教B版、湘教版、上教版三個版本的數(shù)學教科

書在學習均值不等式時共有的例題，可見其重要性.

二、問題提出

從上述的課堂片段中可以看到，教師為了幫助學生運用均值不等式完

成例1，做了大量的引導、啟發(fā)：一方面，引導學生發(fā)現(xiàn)不等特

征—左側(cè)是兩個互為倒數(shù)的正數(shù)之和，右側(cè)是常數(shù)2;另一方面，啟發(fā)

學生建立題干中待求證的不等式和均值不等式結(jié)構(gòu)特征的聯(lián)系，提示"均

值定理中也有2",且?guī)е鴮W生把均值不等式改造成了a+b>l—I,這和

以形式一致.這些行為說明，教師已經(jīng)在課前充分認識到了該班學生

數(shù)學基礎薄弱的狀況，預見到學生在完成例1時會有困難.但是，從學生的

課堂行為來看，教師并沒有達成自己的教學預期，學生兜了一個大圈子才

使用均值不等式完成證明.

實際上，上述這種教與學的現(xiàn)象是具有普遍性的.那么，問題到底出在

哪兒呢？

三、問題分析

在筆者看來，這恰恰是教師對學生核心素養(yǎng)培育落實不足的地方.下面

我們將從證明例1的思維要素、教師教的行為、學生學的行為［3］三個方面

來分析該片段，以期找到問題的原因所在.

(-)證明例1的思維要素分析

首先，需要理解均值不等式本身.公式和定理體現(xiàn)了概念的屬性或者概

念與概念間的關系，反映了某一系統(tǒng)中存在的規(guī)律.均值定理反映了在由兩

個正實數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng)中，這兩個正實數(shù)的算術平均值和幾何平均值間的數(shù)

量關系.數(shù)學中習慣于用符號語言清晰簡潔地表達數(shù)學規(guī)律，因此引入了兩

個字母a,b來表示這兩個正實數(shù)，所以a,b是具有抽象屬性的一般意義

的量，泛指任何兩個具有正實數(shù)屬性的量.可以看到，a,b也可以用其他

字母代替，也就是說^一屋至I一舄什么本質(zhì)區(qū)別，不過是上述規(guī)律的

一種形式化表達而已.

其次，需要從結(jié)構(gòu)上理解均值定理的功能與價值.均值定理反映了兩個

正實數(shù)的和與積的大小關系，從不等式的左右順序看，具有數(shù)量轉(zhuǎn)化的功

能：從左向右，體現(xiàn)了將和的形式縮小為積的形式；從右到左，體現(xiàn)了將

積的形式放大為和的形式.在縮（放）的過程中保持了原有代數(shù)式的次數(shù)特

性.

再次，需要理解待求證的不等式.要能夠理解其所表達的是“兩個互為

倒數(shù)關系的正實數(shù)的和不小于2”;同時，還要將所隱含的信息"兩個互

為倒數(shù)的實數(shù)之積為1"顯性化，使其進入到大腦的工作記憶中.

此外，需要能夠?qū)⒕刀ɡ砗痛笞C結(jié)論聯(lián)系起來，發(fā)現(xiàn)待求證不等

式就是均值定理所描述規(guī)律中的一個特例.

最后，需要具備基本的推理活動經(jīng)驗：一個T殳性的原則（大前

提），一個附屬于前面大前提的特殊化陳述（小前提），以及由此引申出

的特殊化陳述符合一般性原則的結(jié)論.這就是最基本的邏輯判斷三段論

（不需要學生知道三段論的概念）.

（二）教師教的行為分析

從教學片段中教師的教學行為可以看到，教師希望幫助學生克服問題

解決障礙，重心放在了兩個方面：一是對待求證不等式的結(jié)構(gòu)特征認識，

二是建立待求證結(jié)論與均值定理的聯(lián)系.回顧對例1的思維要素分析，就會

發(fā)現(xiàn)，教師缺少了引導學生深刻理解均值定理內(nèi)涵及其功能價值的環(huán)節(jié)，

也缺少對運用公式進行推理的已有經(jīng)驗的喚醒.這是造成學生仍然難以克服

困難的重要原因.

（三）學生學的行為分析

數(shù)學學習離不開解題活動，學生學的效果也往往是通過解題能力來測

評的，這很容易導致學生僅關注解題過程中涉及的知識、技能和方法.但這

些僅是決定解題成敗所需的顯見要素，記住的知識和熟練掌握的技能不一

定能在恰當?shù)膱鼍氨魂P聯(lián)調(diào)用，熟悉的方法也不一定能被有效遷移運用.這

些現(xiàn)象在學生的現(xiàn)實學習中是非常普遍的，足以說明他們還忽視了一些關

鍵性要素.這個關鍵性要素，就是對方法和技能背后的概念性關系的理解，

它需要學生通過協(xié)同思維來實現(xiàn)，這種概念性理解是實現(xiàn)知識、技能和方

法遷移運用的基礎.

從教學片段中可以看到，生2對均值定理的認識處于無所指的形式化

水平，并沒有理解均值定理所表達的規(guī)律（盡管前面已經(jīng)經(jīng)歷了用文字語

言描述均值定理的環(huán)節(jié)），因此，生2將均值不等式中的字母與待求證不

等式中的字母相混淆，認為二者是相同的.所以她在使用均值定理時，采取

的行動是先將左邊通分并進行配方,湊出含有均值定理的表面形式a+b,

才開始使用均值定理.這一學習行為背后，反映出學生缺乏理解和運用公式

的基本學習活動經(jīng)驗.實際上，學生在以往的數(shù)學學習過程中，并不乏學習

公式的經(jīng)歷，但是沒有生成應有的學習這類知識的必要經(jīng)驗.這既有教的問

題，也有學的問題，但主要是教師教的問題.教師在公式教學中缺少幫助學

生總結(jié)反思公式學習的經(jīng)驗，甚至教師本人也缺乏對公式學習的基本思維

特征的抽象概括的經(jīng)驗.

本教學片段中，教師沒有認識到學生在這個方面的學習經(jīng)驗的缺失，

沒有發(fā)現(xiàn)學生在均值定理的形成過程中僅關注了公式的推導證明，只是經(jīng)

歷了對公式語義的描述，并沒有形成對公式形式背后的實質(zhì)意義（反映的

本質(zhì)規(guī)律）的深刻理解.這是在解決例1問題時學生遇到障礙的根本原因.

通過對該問題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，教師進行教學設計需要完整認識和

分析所教內(nèi)容，不僅要關注知識本身，更要關注所教知識的價值以及學生

已有的經(jīng)驗，即培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教學應體現(xiàn)整體性[4].

四、教學改進一指向?qū)W生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升

均值不等式是高一第一學期第一單元的教學內(nèi)容.這個時期的學生在經(jīng)

歷了初中階段的學習后，代數(shù)思維意識、習慣剛剛起步，有待進一步發(fā)

展；數(shù)學基礎薄弱的學生甚至對字母表示數(shù)帶給數(shù)學的變化和意義還缺少

基本的認識，對用符號語言所呈現(xiàn)出來的形式化數(shù)學規(guī)律背后所指的實質(zhì)

意義缺乏理解.此外，對不同類型數(shù)學知識的學習理解框架，大多數(shù)學生也

還沒有建立起來.可以看到，這不是單個知識和技能層面的困難，而是系統(tǒng)

性層面的困難，因此需要系統(tǒng)化地解決困難.為了克服這個困難，同時幫助

學生形成良好的思維習慣，提升數(shù)學核心素養(yǎng)，教師需要在高一初始階段

幫助學生積累公式學習的經(jīng)驗和方法、積累代數(shù)推理的活動經(jīng)驗、鞏固

"代換”的方法、深入理解均值不等式.

第一，積累公式學習的經(jīng)驗和方法.學生在初中階段，不乏公式的學習

經(jīng)歷，也不乏代數(shù)問題的處理經(jīng)歷，但他們?nèi)鄙購倪@些經(jīng)歷中抽象概括出

必要的代數(shù)學習與代數(shù)問題解決的經(jīng)驗.這是學生進入高中階段完成進一步

數(shù)學學習的重要基礎，教師在教學中要充分挖掘利用.如果學生的數(shù)學基礎

非常薄弱，可以在等式和不等式單元增加1個課時，回顧梳理初中的主要

代數(shù)內(nèi)容學習的經(jīng)歷，如平方差公式、完全平方公式、判別式等，從中抽

象概括出公式學習的要點和方法.

第二，積累代數(shù)推理的活動經(jīng)驗.在不等式性質(zhì)的內(nèi)容中，除了落實

"作差比較大小"這一基本方法，還可以適度引導學生用綜合法求證不等

式，例如依據(jù)前面的不等式基本性質(zhì)，用綜合法證明性質(zhì)："若a>b,c

>d，則a+c>b+d."在用綜合法證明的推理過程中，每一步推理,本質(zhì)

上都是三段論，作為依據(jù)的大前提都是符號語言表達的形式化結(jié)論，由于

學生對其形式所指意義已非常熟悉，故不會感覺到任何理解上的困難.但他

們在求證思路的構(gòu)建上可能會有一點小困難，因為需要理解不等式傳遞性

的功能，并具有運用傳遞性功能的經(jīng)驗.教學的目的，不在于讓學生理解這

個求證過程，而是要他們從中分析外顯化求證過程背后的思維過程，積累

代數(shù)推理的思維活動經(jīng)驗.因此，教師可以設計如下任務引導學生自主學

習：

任務1：比較已知"a>b,c>d"和求證目標"a+c>b+d"的差

異，思考基于不等式的基本性質(zhì),如何建立已知和待求證結(jié)論的聯(lián)系.

任務2:嘗試用不等式性質(zhì)建立已知和結(jié)論的聯(lián)系.例如，由a>b可

以得到含有a+c或者b+d的不等式嗎？同理，由c>d可以得到含有結(jié)

論中部分信息的不等式嗎？

學生不難得至!la+c>b+c或a+d>b+d;c+a>d+a或c+b>d+b.

任務3:綜合分析由已知所得的不等式的關系，它們可以幫助你得到

待求證的結(jié)論嗎？

任務4:請清晰表達你的求證過程（要求準確簡潔備注每一步推理的

依據(jù)）.

任務5:回顧反思上述學習任務，概括你在用綜合法進行代數(shù)推理的

過程中收獲了哪些經(jīng)驗（教師組織學生交流分享，并幫助學生做經(jīng)驗提

升）.

第三，鞏固"代換”的方法.有了前面的鋪墊，在均值定理學習中的證

明環(huán)節(jié)，可以設計如下任務，引導學生再次體驗公式運用中的基本方法

"代換”.

任務1:觀察，□"的代僦堂尚正,探尋求i訪法.

【設計意圖】體會代數(shù)運算變形的方向來自明確的目標和待處理代數(shù)

式的結(jié)構(gòu)特征（次數(shù)、系數(shù)、單項式還是多項式等方面）.證明不等式的基

本方法是作差比較，方向是差與0的比較（即符號判斷），可以關聯(lián)初中

------------------I'--

學過的確定符號的代數(shù)式（一）;由代數(shù)id—I的特征（三項式，次

數(shù)具有二倍關系）關聯(lián)到完全平方公式，可獲得求證方法.

【設計意圖】強化認識：代換是由基本不等關系獲得新的不等關系的

重要方法.

第四，深入理解均值不等式的內(nèi)涵和價值.在完成均值定理證明后，教

師先提示學生反思總結(jié)學習公式的基本經(jīng)驗有哪些，組織引導學生交流各

自對均值不等式的理解，之后提出如下任務：

任務1:基于你對均值定理的理解，由均值定理，你可以判斷下列不

等關系中哪些是成立的嗎？

任務2:在完成任務1后，你對均值定理的認識有何變化？（組織學

生交流分享）

然后再給出例1,此時學生已經(jīng)能夠水到渠成地自主解決問題.實際

上，這也為后續(xù)"用均值定理求最值”的學習奠定了很好的思維基礎.

五、指向?qū)W生數(shù)學核心素養(yǎng)提升的教學特點

通過前文對均值定理教學片段的分析與改進，我們不難發(fā)現(xiàn)，在整個

分析、改進設計的過程中，整體性、主題性、發(fā)展性是指向數(shù)學核心素養(yǎng)

教學的特點.

（一）整體性

首先，在數(shù)學內(nèi)容理解上，"把握數(shù)學本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學"

是新課標的基本課程理念，而"把握數(shù)學本質(zhì)"在有限的課時內(nèi)容中是不

可能實現(xiàn)的，只有將一個個概念、定理置于更大的單元、章、主題的范疇

之下，才能識得其數(shù)學本質(zhì)，即必須在整體課程觀下才能把握數(shù)學內(nèi)容的

本質(zhì)⑸.例如，將均值定理置于代數(shù)范疇中加以思辨，才更容易發(fā)現(xiàn)其本

質(zhì)屬性：它是兩個正實數(shù)變量的恒不等關系式，其基本構(gòu)成形式為"同次

和與積"，這一結(jié)構(gòu)決定其具有"和"與"積"縮（放）轉(zhuǎn)化、比較大

小、確定范圍或最值的功能；其適用的場景，除了正實數(shù)的范圍，還有

"和""積"的結(jié)構(gòu)屬性；其使用的基本方法是代換.

其次，在學生學習理解上，掙脫課時的束縛，放眼學生學習的整個經(jīng)

歷，就會發(fā)現(xiàn)僅關注學生所處的特定階段是不夠的.上述片段中，學生學習

的難點實際上不是單一知識和技能層面的，而是高一新生適應更抽象的高

中數(shù)學學習的初高中過渡問題，顯然沒有整體觀念的學情分析是不行的.此

外，整體性還體現(xiàn)在學情分析中，不僅要有基于"四基"的思維基礎分

析，還應有學生的學習習慣和態(tài)度維度的分析.教師只有基于整體觀念進行

學情分析，才能全面準確地抓住學生學習的基本情況，認清學生的學習基

礎，有效設計學習活動，幫助學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

沒有上述這些整體觀念下的內(nèi)容本質(zhì)的把握、學情的分析，就不可能

凝練出適切的主題、確定適當?shù)闹黝}學習目標、制定合理的課時規(guī)劃、設

計有效的學習活動和評價.

（二）主題性

沒有明確的主題，教師的教學在實質(zhì)上很難逃脫課時教學的慣性，難

以有效組織各個課時的教學內(nèi)容，形成課時之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，建立結(jié)

構(gòu)性的主題知識群⑹.在上述教學改進案例中可以看到，"建立良好的數(shù)

學思維習慣”是進行教學改進的核心，也是教學設計的主題，主題對教學

的組織