指向高中數學核心素養(yǎng)的教學特點

指向高中數學核心素養(yǎng)的教學特點

---------以對均值定理教學片段的分析與改進為例

作者：

李大永/胡鳳娟

作者簡介：

李大永，北京市海淀區(qū)教師進修學校，特級教師；胡鳳

娟，首都師范大學教師教育學院，博士.

原發(fā)信息：

《基礎教育課程》（京）2021年第20213下期第40-47頁

內容提要：

數學學科核心素養(yǎng)是在數學學習和應用的過程中逐步形成

和發(fā)展的.從教學實踐來看，如何清晰把握數學教學來提升

學生的數學核心素養(yǎng)仍是一線數學教師面臨的問題.文章結

合均值定理的教學片段，分析闡釋指向高中數學核心素養(yǎng)

的教學應該具有整體性、主題性、發(fā)展性等特點.

關鍵詞：

數學核心素養(yǎng)/整體性/主題性/發(fā)展性

期刊名稱：《高中數學教與學》

復印期號：2021年07期

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標"）

的重要變化之一是凝練了數學學科核心素養(yǎng)，數學學科核心素養(yǎng)成為高中

數學課程目標的重要組成部分[1].數學學科核心素養(yǎng)是具有數學基本特征

的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現，是在數學學

習和應用的過程中逐步形胡口發(fā)展的.如何在課堂教學中落實數學核心素養(yǎng)

成為一個廣大教師普遍關注的現實問題[2],大家都感覺缺少可以指引自己

教學的實踐之策.本文基于數學教學中的一個真實課堂片段，深入分析其背

后的思維活動，在此基礎上，從一線教學研究實踐者的角度來探討如何開

展”指向數學核心素養(yǎng)的教學"，希望能夠拋磚引玉，引發(fā)更多深入的思

考與研究.

一、教學片段

（教師帶領學生發(fā)現并證明了均值不等式之后）

師：這樣的不等關系對于不等式的問題來說有什么作用呢？接下來，

就需要我們來應用這個定理.下面請看例1.（教師播放PPT呈現題目，同

時讀題）

師：還有個特點是什么呢？

生1沉默.

師：我想讓大家發(fā)現這個不等式的特點：右邊是2,這是個好數（教

師回到講臺，引導學生看黑板上的均值不等式），這里也有個2.如果我剛

才說的話"這個均值不等式能有什么作用"你領會了，要聯系均值定理證

明這個不等式的話，你會發(fā)現這個均值定理里也有什么？也有個2.這個2

在哪里？在分母上.題目中2在哪里？在右邊，對吧？均值不等式中的這個

2能‘搬’到右邊嗎？

生：可以a+b2>l,（教師在黑板上寫下來）

師：怎么來的？相信你們都理解，這個不等式和均值不等式在內容上

還是一致的，沒問題吧？我們再回到這個題目上，再想想，借用均值定理

如何證明它呢？（教師看學生沒有反應）可以討論，孩子們.

（1分半鐘左右后，一個女生停下筆看向教師）

師：姑娘，我看你好像證明出來了，你來說說，我?guī)湍銓?

生2:不等式左邊通分，

師：能否直接用均值不等式來證明這個結論呢？

生2沉默不語.

師：好吧，孩子請坐.我來說，你們來看可不可以接受.

（教師邊講邊板書用均值不等式證明的過程）

注：例1中的問題是人教B版、湘教版、上教版三個版本的數學教科

書在學習均值不等式時共有的例題，可見其重要性.

二、問題提出

從上述的課堂片段中可以看到，教師為了幫助學生運用均值不等式完

成例1，做了大量的引導、啟發(fā)：一方面，引導學生發(fā)現不等特

征—左側是兩個互為倒數的正數之和，右側是常數2;另一方面，啟發(fā)

學生建立題干中待求證的不等式和均值不等式結構特征的聯系，提示"均

值定理中也有2",且?guī)е鴮W生把均值不等式改造成了a+b>l—I,這和

以形式一致.這些行為說明，教師已經在課前充分認識到了該班學生

數學基礎薄弱的狀況，預見到學生在完成例1時會有困難.但是，從學生的

課堂行為來看，教師并沒有達成自己的教學預期，學生兜了一個大圈子才

使用均值不等式完成證明.

實際上，上述這種教與學的現象是具有普遍性的.那么，問題到底出在

哪兒呢？

三、問題分析

在筆者看來，這恰恰是教師對學生核心素養(yǎng)培育落實不足的地方.下面

我們將從證明例1的思維要素、教師教的行為、學生學的行為［3］三個方面

來分析該片段，以期找到問題的原因所在.

(-)證明例1的思維要素分析

首先，需要理解均值不等式本身.公式和定理體現了概念的屬性或者概

念與概念間的關系，反映了某一系統(tǒng)中存在的規(guī)律.均值定理反映了在由兩

個正實數構成的系統(tǒng)中，這兩個正實數的算術平均值和幾何平均值間的數

量關系.數學中習慣于用符號語言清晰簡潔地表達數學規(guī)律，因此引入了兩

個字母a,b來表示這兩個正實數，所以a,b是具有抽象屬性的一般意義

的量，泛指任何兩個具有正實數屬性的量.可以看到，a,b也可以用其他

字母代替，也就是說^一屋至I一舄什么本質區(qū)別，不過是上述規(guī)律的

一種形式化表達而已.

其次，需要從結構上理解均值定理的功能與價值.均值定理反映了兩個

正實數的和與積的大小關系，從不等式的左右順序看，具有數量轉化的功

能：從左向右，體現了將和的形式縮小為積的形式；從右到左，體現了將

積的形式放大為和的形式.在縮（放）的過程中保持了原有代數式的次數特

性.

再次，需要理解待求證的不等式.要能夠理解其所表達的是“兩個互為

倒數關系的正實數的和不小于2”;同時，還要將所隱含的信息"兩個互

為倒數的實數之積為1"顯性化，使其進入到大腦的工作記憶中.

此外，需要能夠將均值定理和待求證結論聯系起來，發(fā)現待求證不等

式就是均值定理所描述規(guī)律中的一個特例.

最后，需要具備基本的推理活動經驗：一個T殳性的原則（大前

提），一個附屬于前面大前提的特殊化陳述（小前提），以及由此引申出

的特殊化陳述符合一般性原則的結論.這就是最基本的邏輯判斷三段論

（不需要學生知道三段論的概念）.

（二）教師教的行為分析

從教學片段中教師的教學行為可以看到，教師希望幫助學生克服問題

解決障礙，重心放在了兩個方面：一是對待求證不等式的結構特征認識，

二是建立待求證結論與均值定理的聯系.回顧對例1的思維要素分析，就會

發(fā)現，教師缺少了引導學生深刻理解均值定理內涵及其功能價值的環(huán)節(jié)，

也缺少對運用公式進行推理的已有經驗的喚醒.這是造成學生仍然難以克服

困難的重要原因.

（三）學生學的行為分析

數學學習離不開解題活動，學生學的效果也往往是通過解題能力來測

評的，這很容易導致學生僅關注解題過程中涉及的知識、技能和方法.但這

些僅是決定解題成敗所需的顯見要素，記住的知識和熟練掌握的技能不一

定能在恰當的場景被關聯調用，熟悉的方法也不一定能被有效遷移運用.這

些現象在學生的現實學習中是非常普遍的，足以說明他們還忽視了一些關

鍵性要素.這個關鍵性要素，就是對方法和技能背后的概念性關系的理解，

它需要學生通過協同思維來實現，這種概念性理解是實現知識、技能和方

法遷移運用的基礎.

從教學片段中可以看到，生2對均值定理的認識處于無所指的形式化

水平，并沒有理解均值定理所表達的規(guī)律（盡管前面已經經歷了用文字語

言描述均值定理的環(huán)節(jié)），因此，生2將均值不等式中的字母與待求證不

等式中的字母相混淆，認為二者是相同的.所以她在使用均值定理時，采取

的行動是先將左邊通分并進行配方,湊出含有均值定理的表面形式a+b,

才開始使用均值定理.這一學習行為背后，反映出學生缺乏理解和運用公式

的基本學習活動經驗.實際上，學生在以往的數學學習過程中，并不乏學習

公式的經歷，但是沒有生成應有的學習這類知識的必要經驗.這既有教的問

題，也有學的問題，但主要是教師教的問題.教師在公式教學中缺少幫助學

生總結反思公式學習的經驗，甚至教師本人也缺乏對公式學習的基本思維

特征的抽象概括的經驗.

本教學片段中，教師沒有認識到學生在這個方面的學習經驗的缺失，

沒有發(fā)現學生在均值定理的形成過程中僅關注了公式的推導證明，只是經

歷了對公式語義的描述，并沒有形成對公式形式背后的實質意義（反映的

本質規(guī)律）的深刻理解.這是在解決例1問題時學生遇到障礙的根本原因.

通過對該問題的分析，我們發(fā)現，教師進行教學設計需要完整認識和

分析所教內容，不僅要關注知識本身，更要關注所教知識的價值以及學生

已有的經驗，即培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教學應體現整體性[4].

四、教學改進一指向學生數學核心素養(yǎng)的提升

均值不等式是高一第一學期第一單元的教學內容.這個時期的學生在經

歷了初中階段的學習后，代數思維意識、習慣剛剛起步，有待進一步發(fā)

展；數學基礎薄弱的學生甚至對字母表示數帶給數學的變化和意義還缺少

基本的認識，對用符號語言所呈現出來的形式化數學規(guī)律背后所指的實質

意義缺乏理解.此外，對不同類型數學知識的學習理解框架，大多數學生也

還沒有建立起來.可以看到，這不是單個知識和技能層面的困難，而是系統(tǒng)

性層面的困難，因此需要系統(tǒng)化地解決困難.為了克服這個困難，同時幫助

學生形成良好的思維習慣，提升數學核心素養(yǎng)，教師需要在高一初始階段

幫助學生積累公式學習的經驗和方法、積累代數推理的活動經驗、鞏固

"代換”的方法、深入理解均值不等式.

第一，積累公式學習的經驗和方法.學生在初中階段，不乏公式的學習

經歷，也不乏代數問題的處理經歷，但他們缺少從這些經歷中抽象概括出

必要的代數學習與代數問題解決的經驗.這是學生進入高中階段完成進一步

數學學習的重要基礎，教師在教學中要充分挖掘利用.如果學生的數學基礎

非常薄弱，可以在等式和不等式單元增加1個課時，回顧梳理初中的主要

代數內容學習的經歷，如平方差公式、完全平方公式、判別式等，從中抽

象概括出公式學習的要點和方法.

第二，積累代數推理的活動經驗.在不等式性質的內容中，除了落實

"作差比較大小"這一基本方法，還可以適度引導學生用綜合法求證不等

式，例如依據前面的不等式基本性質，用綜合法證明性質："若a>b,c

>d，則a+c>b+d."在用綜合法證明的推理過程中，每一步推理,本質

上都是三段論，作為依據的大前提都是符號語言表達的形式化結論，由于

學生對其形式所指意義已非常熟悉，故不會感覺到任何理解上的困難.但他

們在求證思路的構建上可能會有一點小困難，因為需要理解不等式傳遞性

的功能，并具有運用傳遞性功能的經驗.教學的目的，不在于讓學生理解這

個求證過程，而是要他們從中分析外顯化求證過程背后的思維過程，積累

代數推理的思維活動經驗.因此，教師可以設計如下任務引導學生自主學

習：

任務1：比較已知"a>b,c>d"和求證目標"a+c>b+d"的差

異，思考基于不等式的基本性質,如何建立已知和待求證結論的聯系.

任務2:嘗試用不等式性質建立已知和結論的聯系.例如，由a>b可

以得到含有a+c或者b+d的不等式嗎？同理，由c>d可以得到含有結

論中部分信息的不等式嗎？

學生不難得至!la+c>b+c或a+d>b+d;c+a>d+a或c+b>d+b.

任務3:綜合分析由已知所得的不等式的關系，它們可以幫助你得到

待求證的結論嗎？

任務4:請清晰表達你的求證過程（要求準確簡潔備注每一步推理的

依據）.

任務5:回顧反思上述學習任務，概括你在用綜合法進行代數推理的

過程中收獲了哪些經驗（教師組織學生交流分享，并幫助學生做經驗提

升）.

第三，鞏固"代換”的方法.有了前面的鋪墊，在均值定理學習中的證

明環(huán)節(jié)，可以設計如下任務，引導學生再次體驗公式運用中的基本方法

"代換”.

任務1:觀察，□"的代僦堂尚正,探尋求i訪法.

【設計意圖】體會代數運算變形的方向來自明確的目標和待處理代數

式的結構特征（次數、系數、單項式還是多項式等方面）.證明不等式的基

本方法是作差比較，方向是差與0的比較（即符號判斷），可以關聯初中

------------------I'--

學過的確定符號的代數式（一）;由代數id—I的特征（三項式，次

數具有二倍關系）關聯到完全平方公式，可獲得求證方法.

【設計意圖】強化認識：代換是由基本不等關系獲得新的不等關系的

重要方法.

第四，深入理解均值不等式的內涵和價值.在完成均值定理證明后，教

師先提示學生反思總結學習公式的基本經驗有哪些，組織引導學生交流各

自對均值不等式的理解，之后提出如下任務：

任務1:基于你對均值定理的理解，由均值定理，你可以判斷下列不

等關系中哪些是成立的嗎？

任務2:在完成任務1后，你對均值定理的認識有何變化？（組織學

生交流分享）

然后再給出例1,此時學生已經能夠水到渠成地自主解決問題.實際

上，這也為后續(xù)"用均值定理求最值”的學習奠定了很好的思維基礎.

五、指向學生數學核心素養(yǎng)提升的教學特點

通過前文對均值定理教學片段的分析與改進，我們不難發(fā)現，在整個

分析、改進設計的過程中，整體性、主題性、發(fā)展性是指向數學核心素養(yǎng)

教學的特點.

（一）整體性

首先，在數學內容理解上，"把握數學本質，啟發(fā)思考，改進教學"

是新課標的基本課程理念，而"把握數學本質"在有限的課時內容中是不

可能實現的，只有將一個個概念、定理置于更大的單元、章、主題的范疇

之下，才能識得其數學本質，即必須在整體課程觀下才能把握數學內容的

本質⑸.例如，將均值定理置于代數范疇中加以思辨，才更容易發(fā)現其本

質屬性：它是兩個正實數變量的恒不等關系式，其基本構成形式為"同次

和與積"，這一結構決定其具有"和"與"積"縮（放）轉化、比較大

小、確定范圍或最值的功能；其適用的場景，除了正實數的范圍，還有

"和""積"的結構屬性；其使用的基本方法是代換.

其次，在學生學習理解上，掙脫課時的束縛，放眼學生學習的整個經

歷，就會發(fā)現僅關注學生所處的特定階段是不夠的.上述片段中，學生學習

的難點實際上不是單一知識和技能層面的，而是高一新生適應更抽象的高

中數學學習的初高中過渡問題，顯然沒有整體觀念的學情分析是不行的.此

外，整體性還體現在學情分析中，不僅要有基于"四基"的思維基礎分

析，還應有學生的學習習慣和態(tài)度維度的分析.教師只有基于整體觀念進行

學情分析，才能全面準確地抓住學生學習的基本情況，認清學生的學習基

礎，有效設計學習活動，幫助學生發(fā)展數學核心素養(yǎng).

沒有上述這些整體觀念下的內容本質的把握、學情的分析，就不可能

凝練出適切的主題、確定適當的主題學習目標、制定合理的課時規(guī)劃、設

計有效的學習活動和評價.

（二）主題性

沒有明確的主題，教師的教學在實質上很難逃脫課時教學的慣性，難

以有效組織各個課時的教學內容，形成課時之間的內在邏輯聯系，建立結

構性的主題知識群⑹.在上述教學改進案例中可以看到，"建立良好的數

學思維習慣”是進行教學改進的核心，也是教學設計的主題，主題對教學

的組織