小學(xué)幾何五大模型(蝴蝶模型)

任意四邊形、梯形與相似模型

模型三蝴蝶模型（任意四邊形模型）

任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）:

①S]:$2=邑：S3或者S]xS3=S2xS4

②40:℃=（岳+邑）:（邑+53）

蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊

形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。

【例11（小數(shù)報競賽活動試題）如圖，某公園的外輪廓是四邊形4比》,被對角線劃分成四個部分，△

/如面積為1平方千米，AMC面積為2平方千米，勿的面積為3平方千米，公園由陸地面積是

6.92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

【分析】根據(jù)蝴蝶定理求得/A8=3x1+2=1.5平方千米，公園四邊形ABCQ的面積是1+2+3+1.5=7.5平

方千米，所以人工湖的面積是7.5-6.92=0.58平方千米

【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知,

求：⑴三角形BGC的面積；⑵AG:GC=?

【解析】⑴根據(jù)蝴蝶定理，SBGCxl=2x3,那么5\加=6；

⑵根據(jù)蝴蝶定理，AG:GC=（l+2）:（3+6）=l:3.（???）

［例2］四邊形A8CO的對角線AC與即交于點(diǎn)。(如圖所示)。如果三角形A&D的面積等于三角形8。的

面積的L,且AO=2,00=3,那么C。的長度是。。的長度的倍。

3

【解析】在本題中，四邊形ABCD為任意四邊形，對于這種“不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：⑴利用已

知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過畫輔助線來改造不良四邊形。看到題目中給出條

件5.：58必=1：3,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法。又觀察題目中給出的已

知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改

造這個"不良四邊形”，于是可以作垂直8D于H,CG垂直于G,面積比轉(zhuǎn)化為高之比。

再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果。請老師注意比較兩種解法，使

學(xué)生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題。

解法一：?.?AO:℃=5AA皿：S①c=l:3，

???OC=2x3=6,

：.OC:OD=6:3=2:1.

解法二：作于H,。6,5。于6.

?S^ABD=耳S/D，

AH=-CG

39

??S^oD=SADOC，

AO=-CO,

3

：.<9C=2x3=6,

：.OC:OD=6:3=2:1.

［例3］如圖，平行四邊形ABC。的對角線交于。點(diǎn)，ACEF、40EF、尸、/XBOE的面積依次是2、

4、4和6。求：⑴求△OC廠的面積；⑵求AGCE的面積。

【解析】⑴根據(jù)題意可知，△8CD的面積為2+4+4+6=16,那么△BC。和AC。。的面積都是16+2=8,

所以△。CF的面積為8-4=4；

(2)由于△BC。的面積為8,△BOE的面積為6,所以△OCE的面積為8-6=2,

根據(jù)蝴蝶定理，EG:FG=S^COE:SACOF=2:4=1:2,所以又0cE：SAGCF=EG:FG=1:2,

112

刃「么S^GCE=］+2SACEF=§*2=§,

［例4］圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的

面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？

【解析】在ABE,CDE中有NAEB=NCED,所以ABE,CDE的面積比為（AExEB）:（CExOE）。同

理有ADE,BCE的面積比為（AExOE）:（BExEC）。所以有S砥EXSCDE=SADEXSBCE，也就是

說在所有凸四邊形中，連接頂點(diǎn)得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右4個部分，有：上、

下部分的面積之積等于左右部分的面積之積。即S『ABEX6=S的x7,所以有ABE與■的面積

比為7:6,SOE二——x39=21公頃，S,二——x39=18公頃。

6+76+7

顯然，最大的三角形的面積為21公頃。

【例5】（2008年清華附中入學(xué)測試題）如圖相鄰兩個格點(diǎn)間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積

為o

【解析】連接AD、CD、BCo

43

則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式，可以得到AABC的面積為：1+——1=2,AAC。的面積為：3+—-1=3.5,

22

4

A4BD的面積為：2d-----1=3.

2

4412

所以B°：°D=SMBC=2:3.5=4:7,所以加。二鼠;^^=五><3=打.

【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1,求三角形A8C的面積。

【解析】因為BD:CE=2:5,且3D〃CE,所以DA:AC=2:5,SMBC=-^—,SADBr=-x2=—.

［例6］（2007年人大附中考題）如圖，邊長為1的正方形A8C3中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG

的面積.

ADAD

【解析】連接EF.

因為BE=2EC，CF=FD,所以5必自尸=gxgxg)S的,n=4S

因為%&,=；S3根據(jù)蝴蝶定理，AG-.GF=^=6A,

AGDFMDF

所以SA4G￡)=6S=~S=亍XWSABCD=瓦S^CD,

1322

所以SgGE=SME￡>_SgGD~SABCD=~^S^cd=~,

9

即三角形AEG的面積是?.

7

【例7】如圖，長方形A5co中，BE:EC=2:3,DF:FC=1.2,三角形。尸G的面積為2平方厘米，求長

方形A3c。的面積.

【解析】連接AE,FE.

3111

因為BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,所以SDEF=（;義馬義］）S長方形MCD=而§長方形ABCD,

因為長方…，AG6=g4=5:l,所以J=5SG〃=10平方厘米，所以S麗=12平

方厘米.因為SAFD=LS長方形鉆⑦，所以長方形ABCD的面積是72平方厘米.

【例8】如圖，已知正方形ABC。的邊長為10厘米，E為AD中點(diǎn),R為CE中點(diǎn)，G為斯中點(diǎn)，求三角

形BOG的面積.

BCBC

【解析】設(shè)m與CE的交點(diǎn)為。，連接BE、DF.

由蝴蝶定理可知￡O:OC=SBE?:SBS，而S—=；S

所以EO:OC=SBE?:Smg=1:2,故EO=LEC.

DCjUD\^L/，

由于歹為CE中點(diǎn)，所以故EO:EF=2:3,FO:EO=1:2.

2

由蝴蝶定理可知S"D：SBE"=W：EO=1：2，所以lSBED=JS的⑦，

2o

那么皿=[Ss=210x10=6.25（平方厘米）.

Zlolo

［例9］如圖，在AABC中，已知M、N分別在邊4C、BC上，5M與AN相交于。，若AAOM、AABO和

ABON的面積分別是3、2、1,則AMNC的面積是.

【解析】這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來求解.

根據(jù)蝴蝶定理得SWON="EBON=1T1=1

SAAC?22

設(shè)S^MON=X，根據(jù)共邊定理我們可以得

3+

23+2

,解得光=22.5.

q

°kMBCXi+'x

2

【例101（2009年迎春杯初賽六年級）正六邊形A4AAAA的面積是2009平方厘米，耳線與用為線分別

是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是平方厘米.

【解析】如圖，設(shè)線4與耳A的交點(diǎn)為。，則圖中空白部分由6個與AA2a一樣大小的三角形組成，只要求

出了A40A,的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積.

連接44、線4、B6A3.

設(shè)AA,B,B6的面積為”1“，則AB他6面積為”1"，面積為“2",那么必4線面積為線

的2倍，為”4"，梯形AAAA的面積為2x2+4x2=12,MAA的面積為”6“，的

面積為2.

根據(jù)蝴蝶定理，^0=40=5^,s=1:6,故5小辦3=?-，S明令=U,

121

所以S^強(qiáng)：與形A儻4=7：12：1：7，即AA0A的面積為梯形A4AA面積的7，故為六邊形

113

A&A3A4AA面積的q，那么空白部分的面積為正六邊形面積的值x6=］,所以陰影部分面積為

2009xh-1

1148（平方厘米）.

板塊二梯形模型的應(yīng)用

梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）:

22

@S1:53=a:/>

②S]:S3：S2：S4=a2:b2:ab:ab;

③S的對應(yīng)份數(shù)為(a+6)2.

梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)

論，往往在題目中有事半功倍的效果.（具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明）

求梯形的面積.

22

【解析】設(shè)Si為/份，S3為，份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S3=4=b,所以6=2；又因為Sz=2=axb,所以

a=\■那么耳=。2=1,S4=axb=2,所以梯形面積S=+昆+S3+S4=1+2+4+2=9,或者根

據(jù)梯形蝴蝶定理，S=（O+Z?）2=（1+2）2=9.

【鞏固】（2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營）如下圖，梯形ABCD的A5平行于CQ,對角線AC,BD交于0,B

知△AOB與ABOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是

平方厘米.

2

【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC=a:ab=25:35,可得a:b=5:7,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，

S狽與心二片方=52:7?=25:49，所以S=49（平方厘米）.那么梯形ABC「的面積為

25+3X324殳1（平方厘米）.

【例12】梯形ABCD的對角線AC與血交于點(diǎn)。，已知梯形上底為2,且三角形AB。的面積等于三角

形80C面積的—，求三角形AOD與三角形80C的面積之比.

3

AD

2

【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC=ab:b=2-.3,可以求出〃:。=2:3,

2222

再根據(jù)梯形蝴蝶定理，S.:SBOC=a:Z?=2:3=4:9.

通過利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個問題，而沒有像以前一樣，為了某個條件的缺乏而千

辛萬苦進(jìn)行構(gòu)造假設(shè)，所以，請同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論.

【例13]（第十屆華杯賽）如下圖，四邊形ABCD中，對角線4c和瓦）交于。點(diǎn)，已知AO=1,并且

三角形的面積3

那么0C的長是多少？

三角形C8￡）的面積

【解析】根據(jù)蝴蝶定理,三答絲空禁■=也，所以者=3,又AO=I,所以co=*

三角形的面積COCO53

【例14]梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是95？，問三角形A。。的面積是多少？

【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，。：6=1:1.5=2:3,S^iS^=a2:b2=22:32=4:9,

所以SAA（?=4（cnr）.

【鞏固】如圖，梯形ABCD中，KAOB,ACOZ）的面積分別為1.2和2.7,求梯形ABCD的面積.

2

【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，SAOB:SACOD=cr：b=4-.9,所以。力=2:3,

23

S^D:SAOB=ab:a=b:a=3:2,S^D=5C0B=1.2x—=1.8,

樣招

S■VP/O/lOCZJ=L2+L8+1.8+2.7=7.5.

【例15】如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形AOG的面積是“，三角形8CH

的面積是23,求四邊形EGFH的面積.

【解析】如圖，連結(jié)所，顯然四邊形ADEB和四邊形BCE尸都是梯形，于是我們可以得到三角形EFG的面

積等于三角形AOG的面積；三角形8CH的面積等于三角形EFH的面積，所以四邊形EGFH的面積

是11+23=34.

【鞏固】（人大附中入學(xué)測試題）如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2

的面積為36,則三角形1的面積為.

【解析】做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角

45

形3,所以1的面積就是36*------=16,3的面積就是36x-一=20.

4+54+5

【例16]如圖，正方形ABCZ）面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.

【解析】因為M是AD邊上的中點(diǎn)，所以AM:BC=1:2,根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道

S^AMG''S^ABGS&MCG鼠皿=F：（1x2）:（1x2）:2?=1:2:2:4,設(shè)S^AGM=1份,則/“⑺=1+2=3份，

所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12份，S陰影=2+2=4份，所以S陰影：S正方形=1:3,所以S陰影=1

平方厘米.

【鞏固】在下圖的正方形中，￡是邊的中點(diǎn)，AE與加相交于口點(diǎn)，三角形BEF的面積為1平

方厘米，那么正方形48。面積是平方厘米.

【解析】連接DE,根據(jù)題意可知皿：4￡>=1:2,根據(jù)蝴蝶定理得/形=（1+2）2=9（平方厘米），SAECD=3（平

方厘米），那么S=12（平方厘米）.

【例17]如圖面積為12平方厘米的正方形ABC。中，E,尸是QC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.

【解析】因為瓦歹是。C邊上的三等分點(diǎn)，所以M:4B=1:3,設(shè)入0。=1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道

=S/XOFB=3份，SAAOB=9份，5AADE=S^BCF=Q+3）份，因此正方形的面積為4+4+（1+3了=24

份，S陰影=6，所以S陰影：S正方形=6:24=1:4，所以S陰影=3平方厘米，

【例18]如圖，在長方形ABC。中，42=6厘米，4）=2厘米，AE=EF=FB,求陰影部分的面積.

BA

CD

【解析】方法一：如圖，連接DE,OE將陰影部分的面積分為兩個部分，其中三角形A￡D的面積為

2x6+3+2=2平方厘米.

3

由于EF:￡>C=1:3,根據(jù)梯形蝴蝶定理，SDEO:SEFO=3:1,所以S.=工5班尸，而S.=$=2

方法二：如圖，連接。E,FC,由于E尸：。C=l:3,設(shè)S△謝=1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S^OED=3

份，S梯形皿=（1+3）2=16份，S4ADE=%BCF=1+3=4份，因此S長方形筋⑺=4+16+4=24份，

S陰影=4+3=7份，而S長方形詆。=6x2=12平方厘米，所以S陰影=3.5平方厘米

【例19]（2008年“奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級試題）已知ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2,三角形ODE的

面積為6平方厘米.則陰影部分的面積是平方厘米.

【解析】連接AC.

由于ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2,所以CE:AD=2:3,

22

根據(jù)梯形蝴蝶定理，AOC:S^-.SAOD=2:2x3:2x3:3=4:6:6:9,所以S=6（平方厘

米），SAOO=9（平方厘米），又AC?=6+9=15（平方厘米），陰影部分面積為6+15=21（平

方厘米）.

【鞏固】右圖中ABC。是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部

分的面積是平方厘米.

ADAD

【分析】連接AE.

由于AD與8C是平行的，所以AECD也是梯形，那么又。e=.

根據(jù)蝴蝶定理,SAOCDxSAOAE=SAOCExSAOAD=4x9=36,故Sag/=36,

所以S“ocD=6（平方厘米）.

【鞏固】（2008年三帆中學(xué)考題）右圖中ABCC是梯形，AB即是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單

位：平方厘米），陰影部分的面積是平方厘米.

【解析】連接AE.

由于AD與8c是平行的，所以AECD也是梯形，那么SAOCD=SAOAE.

根據(jù)蝴蝶定理，S&OCDxSAOAE=S.OCEx5AOAD=2x8=16,故4℃J=16,所以乂火。=4（平方厘米）.

另解：在平行四邊形皿中，Sw?小=卜16+8）=12（平方厘米），

所以5AAOE=S^E—S.c?=12-8=4（平方厘米），

根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為8x2+4=4（平方厘米）.

【例20]如圖所示，BD、C尸將長方形A8C。分成4塊，ADEF的面積是5平方厘米，ACE。的面積是

10平方厘米.問：四邊形4詼的面積是多少平方厘米？

【分析】連接3尸，根據(jù)梯形模型，可知三角形8EF的面積和三角形DEC的面積相等，即其面積也是10平

方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE的面積為10x10+5=20（平方厘米），所以長方形的面積為

（20+10）x2=60（平方厘米）.四邊形ABEF的面積為60-5-10-20=25（平方厘米）.

【鞏固】如圖所示，BD、C尸將長方形A8CD分成4塊，ADEF的面積是4平方厘米，ACED的面積是6平

方厘米.問：四邊形?的面積是多少平方厘米？

【解析】（法1）連接班1,根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形80^的面積和三角形DEC的面積

相等，即其面積也是6平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形8CE的面積為6x6+4=9（平方厘米），

所以長方形的面積為（9+6）x2=30（平方厘米）.四邊形形石下的面積為30-4-6-9=11（平方厘

米）.

FF4?FDFF?

（法2）由題意可知，—,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，所以三角形3C石的面積為：

EC63EBEC3

2

6+*=9（平方厘米）.則三角形面積為15平方厘米，長方形面積為15x2=30（平方厘米）.四

3

邊形ABE廠的面積為30-4一6—9=11（平方厘米）.

【鞏固】（98迎春杯初賽）如圖，A8CD長方形中，陰影部分是直角三角形且面積為54,?！辏┑拈L是16,OB

的長是9.那么四邊形OECD的面積是多少？

【解析】因為連接ED知道△A3。和△E￡＞。的面積相等即為54,又因為?！辏荆?16：9,所以△AOD的面積

為54+9x16=96,根據(jù)四邊形的對角線性質(zhì)知道：△BEO的面積為：54x54+96=30.375,所以四

邊形OECD的面積為：54+96-30.375=119.625（平方厘米）.

【例21】（2007年“迎春杯”高年級初賽）如圖，長方形A8C。被CE、￡＞廠分成四塊，已知其中3塊的

面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形。的面積為平方厘米.

【解析】連接。E、CF.四邊形成）C尸為梯形，所以5.。。=5八℃，又根據(jù)蝴蝶定理，

=

S\EOD-SAFOC=SgOF'^ACOD,所以^AEOD'^AFOC^AEOF-1^ACOD=2x8=16,所以$莊OD=4（平方厘米），

SAECD=4+8=12（平方厘米）.那么長方形48cp的面積為12x2=24平方厘米，四邊形OF8C的面

積為24-5-2-8=9（平方厘米）.

【例22】（98迎春杯初賽）如圖，長方形A8C。中，A08是直角三角形且面積為54,。〃的長是16,OB

的長是9.那么四邊形OE。的面積是

【解析】解法一：連接DE,依題意S=』*80><40=!><9*49=54,所以AO=12,

AOB22

則S=-xDOxAO=-xl6xl2=96.

AOnDn22

13

又因為S,B=SDOE=54=5X16XOE,所以O(shè)E=61,

1133

得S哂=-xBOxEO=-x9x6-=30~,

BOE2248

35

所以SOECD=5—^5BOE=S.一SBOE=（54+96）—30—=119—.

解法二：由于S\OD：SAOB=OD：O3=16：9,所以SAOD=54X￡=96,而=$AOB=54,根據(jù)

3

蝴蝶定理，AOD^SAOBxS所以SBOE=54x54+96=30石，

o

35

所以SOECD=s^-sBOE=S^-SBOE=（54+96）-30-^119-.

【例23]如圖，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CO相交于K點(diǎn).已知正方形

OEFG的面積48,AK:KB=1:3,則ABKD的面積是多少？

【解析】由于DEPG是正方形，所以ZM與BC平行，那么四邊形AD8C是梯形.在梯形4DBC中，MDK和

AACK的面積是相等的.而AK:KB=1:3,所以AACK的面積是AA8C面積的——，那么ABDK

1+34

的面積也是AABC面積的’.

4

由于AABC是等腰直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么M是BC的中點(diǎn)，而且

AM=DE,可見AABA/和AACM的面積都等于正方形OE尸G面積的一半，所以AA8C的面積與正

方形DEFG的面積相等，為48.

那么ABDK的面積為48x1=12.

4

【例24]如圖所示，ABC。是梯形，A4DE面積是1.8,AABR的面積是9,A8C尸的面積是27.那么陰

影AAEC面積是多少？

（等積變換），所以可得

【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以得到%相XS^FC=S^FDXS.c,而SMFB=S.C

o_S\AFBXS^CDF_9x9_

SMFD_Z-.7_3,

7

并且5AA斯=S"-S^E。=3-L8=L2，而S3B：SABFC=?。篎C=9:27=1:3,

所以陰影AAEC的面積是：5^=SAA￡FX4=1.2X4=4.8.

【例25]如圖，正六邊形面積為6,那么陰影部分面積為多少？

【解析】連接陰影圖形的長對角線，此時六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形蝴蝶定理把

六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所以陰影部分的面積§x6=§.

183

【例26]如圖，已知。是BC中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，尸是AC的中點(diǎn).三角形A8C由①?⑥這6部分

組成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面積是多少平方厘米？

【解析】因為后是八。中點(diǎn)，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，有AD=2EE■且平行于AD,則四邊形AfiEF為梯形.在梯形

ADEF中有③=④，②義⑤二③、④，②：⑤二人獷：FE2=4.又已知②-⑤=6,所以⑤=6+(4-1)=2,

②:⑤x4=8,所以②義⑤=④義④=16,而③=④，所以③=@=4,梯形AQEF的面積為②、③、④、

⑤四塊圖形的面積和，為8+4+4+2=18.有CEF與ADC的面積比為CE平方與CQ平方的比，

444

即為1:4.所以ADC面積為梯形人￡生廠面積的一=-,即為18x—=24.因為。是BC中點(diǎn)，所

4-133

以ABD與ADC的面積相等，而A8C的面積為ABD,4DC的面積和，即為24+24=48平方

厘米.三角形A8C的面積為48平方厘米.

【例27]如圖，在一個邊長為6的正方形中，放入一個邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，

現(xiàn)在分別連接大正方形的一個頂點(diǎn)與小正方形的兩個頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分

的面積為.

【解析】本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定

理來解決一般情況.

解法一：取特殊值，使得兩個正方形的中心相重合，如右圖所示，圖中四個空白三角形的高均為1.5,

因此空白處的總面積為6x1.5+2x4+2x2=22,陰影部分的面積為6x6-22=14.

解法二：連接兩個正方形的對應(yīng)頂點(diǎn)，可以得到四個梯形，這四個梯形的上底都為2,下底都為6,

上底、下底之比為2:6=1:3,根據(jù)梯形蝴蝶定理，這四個梯形每個梯形中的四個小三角形的面積之

Q

比為F:1X3:1X3:32=1:3:3:9,所以每個梯形中的空白三角形占該梯形面積的二，陰影部分的面

16

77

積占該梯形面積的,，所以陰影部分的總面積是四個梯形面積之和的,，那么陰影部分的面積為

1616

7

—x(62-2?)=14.

【例28]如圖，在正方形ABC。中，E、R分別在BC與CD上，且CE=2BE,CF=2DF,連接3尸、

DE,相交于點(diǎn)G,過G作MN、PQ得到兩個正方形MGQA和PCNG,設(shè)正方形MGQA的面積為

S、,正方形PCNG的面積為S?,則.

【解析】連接BD、EF.設(shè)正方形A8CD邊長為3,則CE9=2,BE=DF=1,所以，EF2=22+22=8,

BD2=32+32=18.因為所2?HP=8x18=144=12、所以EF-BD=12.由梯形蝴蝶定理，得

217

SL人Xl「jt尸Lr尸：SLAXrIJRDU?:SLX人L…Kjr：Sno?ljrr!F,=EF:BD:EF-BD:EF-BD=8:18:12:12=4:9:6:6,

9

=4+9+6+6%形如E=石5梯形BDFE,因為^ABCD=3x34-2=—,SACEF=2x2-？2=2,

所以S梯形BDFE=S/^BCD-SMEF=：，所以，％GE=[x:='|.

由于△BGE底邊3E上的高即為正方形PCNG的邊長，所以0V=3x2+1=。，ND=3-§=2,

5555

所以AM:CN=DN:CN=3:2,則5:邑=AM2:CN2=9:4.

【例29]如下圖，在梯形A8C。中，Afi與C。平行，且8=248,點(diǎn)E、尸分別是AD和8c的中點(diǎn),

已知陰影四邊形EMFN的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是平方厘米.

【解析】連接砂，可以把大梯形看成是兩個小梯形疊放在一起，應(yīng)用梯形蝴蝶定理，可以確定其中各個小

三角形之間的比例關(guān)系，應(yīng)用比例即可求出梯形ABCD面積.

13

設(shè)梯形A5CD的上底為距總面積為S.則下底為2〃，EF=j(a+2a)=ja.

33

所以AB:斯=〃：一々=2:3,EF:DC=-a:2a=3:4.

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由于梯形ABF石和梯形ETC。的高相等，所以