高中數(shù)學(xué)-橢圓復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

橢圓的學(xué)情分析

在本節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線與圓的方程、曲線與方程的

概念，對(duì)解析幾何有初步認(rèn)識(shí)，能用坐標(biāo)法研究幾何圖形。學(xué)生對(duì)

橢圓概念的形成及精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言描述存在一定困難。而在推導(dǎo)橢

圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)會(huì)遇到兩個(gè)困難：一是建立合適的坐標(biāo)系使橢圓方程

最簡(jiǎn)單；二是化簡(jiǎn)方程。而學(xué)生已有的知識(shí)與能力不能完全勝任，

需要教師作適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。

效果分析

由學(xué)生自己畫圖建立橢圓形象，又由學(xué)生根據(jù)畫圖過程歸納出

橢圓的定義，接著推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，引導(dǎo)學(xué)生分析橢圓方程的

特點(diǎn)，歸納參數(shù)與橢圓形狀之間的關(guān)系.再通過例題和練習(xí)掌握橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn).

第一，在講解"頂點(diǎn)"定義時(shí)，單純定義為橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),

沒把握住頂點(diǎn)的重要特征，即"頂點(diǎn)是橢圓與其對(duì)稱軸的交點(diǎn)"，如果

把握住這一點(diǎn)，在講解時(shí)就應(yīng)先講"對(duì)稱性"，再講"頂點(diǎn)"；二是本節(jié)

課對(duì)幾何性質(zhì)的導(dǎo)入，是由學(xué)生回顧上節(jié)所講特征三角形的三邊與角

的大小關(guān)系開始的，而多數(shù)人對(duì)特征三角形的記憶是很模糊的，上節(jié)

課在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)上學(xué)生吸收的并不好，如果把它放在本節(jié)課"頂點(diǎn)"之

后再講解，會(huì)顯得更自然一些；三是"對(duì)稱性"的講解過于單薄，學(xué)生

既然很快就觀察出了這個(gè)性質(zhì)，何不趁熱打鐵，再從代數(shù)的角度證明

一下呢？過于避重就輕的做法不利于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

教材分析

【知識(shí)與技能】

1、掌握橢圓的定義，能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述橢圓的概念；

2、能選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3、理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義。

【過程與方法】

1、通過研究旦德林雙球模型發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何性質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的

核心素養(yǎng)；

2、利用橢圓的幾何性質(zhì)提煉出橢圓的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素

養(yǎng)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

3、通過推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，掌握解析

幾何的研究方法。

【情感、態(tài)度和價(jià)值觀】

1、通過發(fā)現(xiàn)生活中的橢圓，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密相連，感受到數(shù)

學(xué)的有用；

2、通過利用旦德林雙球模型探究橢圓的定義，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與創(chuàng)新意識(shí)；

3、通過推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，感受算法優(yōu)化的重要性，從橢圓圖形

的對(duì)稱性、方程的簡(jiǎn)潔性體會(huì)數(shù)學(xué)的美與簡(jiǎn)潔。

橢圓

編寫:審核：祝繼玲

教師寄語:用微笑坦望前景,用拼搏鑄就輝煌。

［考綱傳真］1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì).

2.會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率.

知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義

1.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)為，尸2的距離的和等于常數(shù)(大于尸聲2|)的點(diǎn)的軌跡叫

做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓

2.集合尸={M||MR|+|M尸2|=2a},|尸1尸2|=2。(a>0,c>0,且a,c為常數(shù))：

(1)若a>c,則M點(diǎn)的軌跡為；

(2)若亡￡,則M點(diǎn)的軌跡為；

(3)若心，則M點(diǎn)的軌跡為

橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，

(1)其周長(zhǎng):

⑵其面積為反叫=/1211日(利用橢圓定義，余弦定理和面積公式推出)

1+cos。2

3運(yùn)用:學(xué)情自測(cè)

▼

1.（思考辨析）判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.（）

（2）橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)Fi,Fi構(gòu)成△PBB的周長(zhǎng)為2a+2c（其中a為橢

圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距）.（）

（3）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（）

（4）方+5=1（0工份表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.（）0

92

2..（2011?新課標(biāo)全國(guó)卷）橢圓￡+?=1的離心率為（）

10o

A1c也D也

/A,.3*2v-x?3i-j?2

3.己知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為/且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C：/+尸

—2x—15=0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

人5+9=118號(hào)+(=1C.^+/=lD..?=l

91

4.(2015?廣東高考)橢圓會(huì)+5=1(*0)的左焦點(diǎn)為4,0),則〃?=()

A.2B.3C.4D.9

攻考向，，三級(jí)提能基礎(chǔ)能力探究逐級(jí)提升解題能2

考向一：待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

1.（教材改編）橢圓京J+三=1的焦距為4,則相等于（）

?11/III'fit'4

A.4B.8C.4或8D.12

2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)尸（3,0）,

則橢圓的方程為.

3.經(jīng)過點(diǎn)p（-2夜,0）,Q（0,右），求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程o

考向二：利用定義及性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

1.（課本42頁）如果點(diǎn)M（X,y）在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式：

加+（丫+3）2+收+（川=10,點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？寫出它的方程。

變式1：(2016.鹽城模擬)已知兩圓Ci：(x—4)?+y2=]69,C2：(x+4)2+y2

=9,動(dòng)圓在圓G內(nèi)部且和圓。相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡

方程為（）

A支—JC--^=lDMJ

A-64481048十641c-48641^64十481

?2

2.（2014?大綱全國(guó)卷）已知橢圓C：a十方=1（?〉0）的左、右焦點(diǎn)為R、Fi,

離心率為竽，過尸2的直線/交C于A、8兩點(diǎn).若aAF歸的周長(zhǎng)為4小，則C

的方程為（）

22222P.2

A.y+2-=1B.y+/=1五D.^+^-=1

變式2：已知橢圓C：$+/=1（。>">0）的兩焦點(diǎn)Fi（-4,0）,尸2（4,0）,點(diǎn)P

在橢圓C±.若除.而2=0,△PFiB的面積為9,則橢圓方程為.

小結(jié)1.求橢圓方程的方法

（1）利用橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意常數(shù)2a>陰川這一條件.

（2）利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，再根

據(jù)條件建立關(guān)于a,6的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題

方便，也可把橢圓方程設(shè)為加一+〃*=1（於0,/?>0,/〃的形式.

考向三：求橢圓的離心率

1.已知橢圓盤十敏=1（。>。〉0）的兩焦點(diǎn)為K、尸2,以乃尸2為邊作正三角形，

若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為.

99

2（2014?江西高考）設(shè)橢圓C：，+%=l（a>b>0）的左，右焦點(diǎn)為R,Fi,

過尸2作工軸的垂線與C相交于A,8兩點(diǎn),F方與y軸相交于點(diǎn)。，若

則橢圓C的離心率等于.

變式1.（2016?廣州模擬）設(shè)Fi,尬分別是橢圓C：.+冬=1（?！?gt;0）的左、

右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓C上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，NPBF2=30。，則橢圓

的離心率為o

小結(jié)2：求橢圓離心率的方法

1.直接求出4,C的值，利用離心率公式直接求解.

2.列出含有a,b,c的齊次方程（或不等式），借助于/=。2一/消去乩轉(zhuǎn)化為含有e

的方程（或不等式）求解.3與離心率有關(guān)的不等式。

當(dāng)堂訓(xùn)練：

1.已知橢圓點(diǎn)+占=1的離心率為與，則％的值為（）

1910

A.-21B.21C.一石或21D.^或一21

2.已知4,A2分別為橢圓C：「+g=l（a>Z?>0）的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓C

4

上異于Ai,A2的任意一點(diǎn)，若直線而1,出2的斜率的乘積為一泰則橢圓C的

離心率為（）

3.（2016?廈門模擬）橢圓E：'=l（a>0）的右焦點(diǎn)為R直線y=x+m與

橢圓E交于A,B兩點(diǎn)，若△必B周長(zhǎng)的最大值是8,則機(jī)的值等于（）

A.0B.1C.小D.2

22

4.方程為2+5=l（a>力0）的橢圓的左頂點(diǎn)為/,左、右焦點(diǎn)分別為￡、￡,

ab

〃是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，若3萬開=加+2硒，則該橢圓的離心率為（）

A3B.§號(hào)D5

?2

5.（2016?長(zhǎng)沙模擬）已知過橢圓也+$=l（a>/?>0）的左頂點(diǎn)A（—a,O）作直線I

交y軸于點(diǎn)P,交橢圓于點(diǎn)Q,若△AOP是等腰三角形，且的=23，則橢圓

的離心率為.

橢圓自測(cè)

基礎(chǔ)過關(guān)

1.設(shè)Q，22為定點(diǎn)，尸|&|=10，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF||+|M&I=8,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）

A.線段B.橢圓C.圓D.不存在

2.橢圓25/+16/=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（±3,0）0）

C.魅,°）D.（0,土卻

3.橢圓手+?2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為人、Fz，過Q作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為

P,則IPBI等于()

A.當(dāng)B./C.^D.4

?2

4.已知橢圓，+方=13>匕>0),M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)i為橢圓的左焦點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)

P的軌跡是()

A.圓B.橢圓C.線段D.直線

?292

5.曲線會(huì)++=1與占+恚7=1(0<%<9)的關(guān)系是()

A.有相等的焦距，相同的焦點(diǎn)

B.有相等的焦距，不同的焦點(diǎn)

C.有不相等的焦距，不同的焦點(diǎn)

D.以上都不對(duì)

6.橢圓系+方=1(心。>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Q、尸2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF」FiB，|PFI|=5-

|眸|=呈14求橢圓C的方程.

7.AABC的三邊a,b,c成等差數(shù)列,且a>b>c,A,C的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),求頂點(diǎn)

B的軌跡方程.

二、能力提升

72

8.設(shè)尸卜尸2分別是橢圓器+5=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓上，且而赤2=0,則府j+

PF2|=________.

9.已知從一/0),B是圓尸：口一分+尸縱尸為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交

BF于P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

10.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Q(—1,0)和/2(1,0)的距離的積等于常數(shù)43>1)的點(diǎn)的軌跡，

給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；③若點(diǎn)尸在曲線C上，則△QPF2

的面積不大于3

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

-)2

11.已知點(diǎn)M在橢圓經(jīng)+]=1上，MP'垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線，垂足為P',并且M

為線段PP'的產(chǎn)點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡方程.

12.P是橢圓￡+==1(“>〃>0)上的任意一點(diǎn)，Q,佗是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OQ

=即|+而2，求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程.

橢圓課標(biāo)分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是研究橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于概念性知

識(shí)。

從知識(shí)上，本節(jié)是在選擇性必修2直線與圓的方程的基礎(chǔ)上，對(duì)

曲線與方程概念的進(jìn)一步實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)也是研究橢圓幾何性質(zhì)的基

礎(chǔ)；

從方法上，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步研究雙曲線、拋物線提供了

研究方法與理論基礎(chǔ)。

在研究橢圓定義與方程的過程中，滲透數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直

觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

因此，本節(jié)內(nèi)容起到承上啟下的重要作用，是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)。

橢圓課后反思

課后的反思過程中我發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)問題：第一，在講解“頂點(diǎn)”定義時(shí)，單純

定義為橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，沒把握住頂點(diǎn)的重要特征，即"頂點(diǎn)是橢圓與其對(duì)

稱軸的交點(diǎn)"，如果把握住這一點(diǎn)，在講解時(shí)就應(yīng)先講“對(duì)稱性"，再講"頂點(diǎn)”；

二是本節(jié)課對(duì)幾何性質(zhì)的導(dǎo)入，是由學(xué)生回顧上節(jié)所講特征三角形的三邊與角

的大小關(guān)系開始的，而多數(shù)人對(duì)特征三角形的記憶是很模糊的，上節(jié)課在這個(gè)

知識(shí)點(diǎn)上學(xué)生吸收的并不好，如果把它放在本節(jié)課"頂點(diǎn)"之后再講