高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) (11)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（11）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.己知異面直線6所成的角為60。，過空間一點(diǎn)。的直線與a,b所成的角均為60。，這樣的直

線有（）

A.1條B.2條"C.3條D.4條

2.己知某圓柱的底面直徑與某圓錐的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，圓錐的底面積是圓

錐側(cè)面積的一半，則此圓錐與圓柱的體積之比為（）

A.8:5V3B.4:5V3C.273:5D.4:11V3

3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該兒

何體的表面積為（）

A.手B.7兀C.當(dāng)D.87r

22

4.a,b,c表示直線,M表示平面，給出下列四個(gè)命題:①若可/M,；②若buM,a//b,則

a//M；③若ale,blc,^a//b；④若則a〃。其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）

A.0B.1C.2D.3

5.在下列條件中，可判斷平面a與平面/?平行的是（）

A.a、口都垂直于平面y

B.a內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等

C.I,，〃是a內(nèi)兩條直線，且”/3,小〃0

D./,優(yōu)是兩條異面直線，S.l//a,m//a,Z///?,m///?

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

6.已知正方體ABCD棱長為2,M為eq上的動(dòng)點(diǎn)J?平面a.下面說法正確的是（）

A.直線A8與平面a所成角的正弦值范圍為［⑨,虺.

32

B.點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí)，平面a截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

C.點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)時(shí)，若平面支經(jīng)過點(diǎn)8,則平面a截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.已知N為DDi中點(diǎn)，當(dāng)ZM+MN的和最小時(shí)，M為CG的中點(diǎn)

三、填空題（本大題共13小題，共65.0分）

7.在正方體4BCD-A$iCiDi中，M,N,。分別是棱。道1，A^,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD】上且

BP=|BDi，則下面說法正確的是.

①M(fèi)N〃平面APC；②GQ〃平面APC；③A,P,M三點(diǎn)共線；④平面MNQ〃平面APC.

8.在直四棱柱ABCC—4B1GD1中，側(cè)棱長為6,底面是邊長為8的菱形，且N4BC=120。，點(diǎn)E

在邊BC上，且滿足BE=3EC,動(dòng)點(diǎn)M在該四棱柱的表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持ME18劣，則

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成的圖形的面積為;當(dāng)MC與平面ABCO所成角最大時(shí),異面直線MG與

AC所成角的余弦值為.

9.在長方體48以）一4$1的。1中，&C和與底面為B1GD1所成的角分別為60。和45。，則異面直

線和所成的角的余弦值為.

10.如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為6cm,該紙片上的正方形ABC。的中心為O.E,F,G,H為

圓。上的點(diǎn)，團(tuán)4BE,團(tuán)8c凡E1CDG,囪4DH分別是以4B,BC,CD,04為底邊的等腰三角形，沿

虛線剪開后，分別以AB,BC,CD,ZM為折痕折起回ABE,團(tuán)BCF,因CDG,回ADH,使得E,凡G,“重

合，得到一個(gè)四棱錐，當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，該四棱錐的外接球的體積為

11.已知四棱錐S-HBCD的所有頂點(diǎn)在同一球面上，底面ABC。是正方形且球心O在此平面內(nèi)，當(dāng)

四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于16+16V3,則球。的體積等于.

12.已知P,A,B,C是球O的球面上的四個(gè)點(diǎn)，P41平面ABC,PA=2BC=6,ABA.AC,則球

O的表面積為.

13.已知兩條直線相、〃，兩個(gè)平面a、0,給出下面四個(gè)命題：@m//n,m1a=>n1

a；②a〃￡,mua,nu￡=m〃n；（3）m//n,m//an//a；④a〃

P，m//n,m1a=>n1

其中正確命題的序號(hào)是.

14.如圖所示，在長方體48。。-4/16。1中，8%=815,點(diǎn)E是棱CQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面BE%

交棱于點(diǎn)F,給出下列命題：

①四棱錐&-BEDiF的體積恒為定值；

②存在點(diǎn)E,使得小。，平面BO/；

③存在唯一的點(diǎn)E,使得截面四邊形的周長取得最小值；

④存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)E,在棱AO上均有相應(yīng)的點(diǎn)G,使得CG〃平面也存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)E,對(duì)

棱4力上任意的點(diǎn)G,直線CG與平面EBD]均相交.其中真命題的是.（填出所有正

確答案的序號(hào)）

15.如圖，已知二面角a-1-0的大小為60。，其棱上有A,8兩點(diǎn)，直線AC,BZ）分別在這個(gè)二面

角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于48,已知AB=2,AC=3,BD=4,則線段CO的長為.

16.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為1的圓柱與半徑為1的半球?qū)佣?，在該封閉幾何

體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且小圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，設(shè)小圓柱體底面

半徑為cos。，則小圓柱體積的最大值為.

17.如圖，已知球。是棱長為1的正方體ABCD-4B1GD1的內(nèi)切球，則平面AC/截球。的截面面

積為.

18.將48=條邊長為1的菱形4BC。沿對(duì)角線AC折成大小等于。的二面角AC—O,若

0e[py],M,N分別為AC.BD的中點(diǎn)，則下面的四種說法中：（需要給圖）

①AC1MN;

②DAI與平面4BC所成的角是0；

③線段MN的最大值是*最小值是手；

④當(dāng)。=］時(shí)，BC與4。所成的角等于

其中正確的說法有(填上所有正確說法的序號(hào)).

19.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,圓心角為120。的扇形，則該圓錐的體積為.

四、解答題(本大題共U小題，共132.0分)

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCD是邊長為4的菱形，/.DAB=60°,PA=PD=2金,

尸為AB的中點(diǎn)，PF1.AC.

(1)求證：面尸4。1面ABCD-,(2)求三棱錐B-PCF的體積.

21.如圖，A,B,C,。為空間四點(diǎn).在△ABC中，AB=2,AC=BC=V2,等邊△ACB以AB為

軸運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)平面4DB_L平面ABC時(shí)，求CD；

(2)當(dāng)AADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有4B1CD?證明你的結(jié)論.

22.如圖，菱形48co的邊長為12,^BAD=60°,AC與BO交于。點(diǎn).將菱形A8C。沿對(duì)角線AC

折起，得到三棱錐B-4CD,點(diǎn)M是棱8C的中點(diǎn)，DM=66

(/)求證：平面0CM平面A8C；

(〃)求二面角M-AD-C的余弦值.

23.如圖:ABC。是平行四邊形,4PI5?ffiABCD,BEHAP,AB=AP=2,BE=BC=1,^CBA=60°.

(1)求證：EC〃平面PAO；

(2)求證：平面「力。1平面后8。；

(3)求直線尸C與平面PABE所成角的正弦值.

24.如圖，三棱柱4BC-4181cl中，CA=CB,AB=AAr,Z-BAAX=

(1)證明：4BJ.&C；

(2)若平面ABC1平面441&B,AB=CB=2,求直線41c與平面B&GC所成角的正弦值.

25.如圖，在四棱錐P-4BCD中，PAI5??ABCD,Z.ABC=/.BAD=90°,AD=AP=4,

AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AQ上.

(/)點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線P4〃BMN；

(〃)若直線MN與平面P2C所成角的正弦值為右求平面P8c與平面所成角。的余弦值.

26.求圖中陰影部分繞A8所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.

27.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面ABC。為平行四邊形，^ADC=45%AD=AC=1,。為

4c的中點(diǎn)，P。，平面A8C。，PD=2,M為P0的中點(diǎn).

(1)證明：PB〃平面ACM.

(2)證明：4D1平面PAC；

(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.

28.如圖,三棱柱4BC-4/iCi中，側(cè)面BBiGC為菱形,&C的中點(diǎn)為0,且A。_L平面BB?C.

(1)證明：BiClAB；

(2)若4cd.AB】，Z-CBBi60,BC=1,求三棱柱ABC-4務(wù)口的高.

29.如圖，邊長為5的正方形A8C￡＞與矩形ABEF所在平面互相垂直，M,N分別為AE,8c的中點(diǎn),

AF=4.

(1)求證：DA_L平面A8EF；

(2)求證：MN〃平面CDEF-,

(3)在線段FE上是否存在一點(diǎn)P,使得AP1MN?若存在，求出FP的長；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

30.如圖，直三棱柱4BC-中，&Ci=BiG，4cli418,M,N分別是公名、AB的中點(diǎn).求

證：

(I)GM_L平面/MBMi；

(UM/J.4M；

(HI)平面4MG〃平面NBiC.

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題考查滿足條件的直線條數(shù)的求法，考查異面直線的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查

函數(shù)與方程思想，是中檔題.

過。作a'〃a,b'〃b設(shè)直線a'、b'確定的平面為a,由異面直線人成60。角，得直線a'、b'所成銳角

為60。，當(dāng)直線/在平面a內(nèi)時(shí)，能推出一條直線/與〃都成60。角；當(dāng)直線/與平面a斜交時(shí)，

若它在平面a內(nèi)的射影恰好落在直線a'、"所成的銳角平分線上時(shí)，直線/與〃所成角相等.由此

能求出結(jié)果.

解：過。作a'〃a，b'//b,

設(shè)直線a'、b'確定的平面為a,

:異面直線“、b成60。角，

直線a'、b'所成銳角為60。

①當(dāng)直線/在平面a內(nèi)時(shí)，

若直線/平分直線a'、b'所成的鈍角，

則直線/與〃、匕都成60。角；

②當(dāng)直線/與平面a斜交時(shí)，

若它在平面a內(nèi)的射影恰好落在

直線a'、b'所成的銳角平分線上時(shí)，直線/與“、人所成角相等.

此時(shí)/與a'、b'所成角的范圍為［30。,90。］,

適當(dāng)調(diào)整/的位置，可使直線/與〃、人也都成60。角，這樣的直線/有兩條.

綜上所述，過點(diǎn)P與a'、b'都成60。角的直線，可以作3條

???a///a,b,//b,

???過點(diǎn)。與a'、b'都成60。角的直線，與“、從也都成60。的角.

故選C.

2.答案：A

解析：

本題考查簡單幾何體的表面積與體積，考查空間想象能力.

由圓錐的性質(zhì)求得圓錐的底面半徑r與母線長/之間的關(guān)系，求出圓錐的體積，再求得圓柱的高為電與

，?的關(guān)系，求得圓柱的體積即可.

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為/,貝Ei=[x]x2仃1，即:2r,所以圓錐的高瓦=V3r.圓

錐的體積匕=-nr2^=—nr3-

1313

由題意，知圓柱的底面半徑為；，設(shè)圓柱的高為電，因?yàn)閳A錐與圓柱的表面積相等，所以3仃2=

2吒）2+2兀（*2,解得九2=|r，

所以圓柱的體積彩=兀6）2九2==兀八，故無=匯=2.

3

N8y2-Ttr5V3

故選A.

3.答案：B

解析：

本題考查了空間兒何體的三視圖，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積和球的表面積和體積.

利用空間幾何體的三視圖得該幾何體，再利用圓柱和球的表面積計(jì)算公式計(jì)算得結(jié)論.

解：由三視圖可知，該幾何體一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱和半徑為1的球的;的組合體，

因此該幾何體的表面積為27rx1x2+2xJrx12+-x4TTx1J77r.

q

故選&

4.答案：B

解析：

本題考查空間中兩條直線的位置關(guān)系，線面平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題.

對(duì)于四個(gè)命題：①平行于同一平面的兩直線有平行、相交、異面三種情況；②由線面平行的判定定

理判斷：③垂直于同一直線的兩直線有平行、相交、異面三種情況；④由線面垂直的性質(zhì)定理判斷.

解：對(duì)于①，可以翻譯為：平行于同一平面的兩直線平行，錯(cuò)誤，還有相交、異面兩種情況；

對(duì)于②，若bua,a//b,若aca,則a〃a不成立，故錯(cuò)誤；

對(duì)于③，垂直于同一直線的兩直線平行，在平面內(nèi)成立，在空間還有相交、異面兩種情況，錯(cuò)誤；

對(duì)于④，垂直于同一平面的兩直線平行，由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確.

故選民

5.答案：D

解析:

本題主要考查了兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系，通過舉例子，和特殊圖形來進(jìn)行判斷，或使用排除法.

解：利用排除法：對(duì)于A：如圖所示：

對(duì)于B：a內(nèi)不共線的三點(diǎn)到0的距離相等，必須是a內(nèi)不共線的三點(diǎn)在0的同側(cè).

對(duì)于C：I,〃，是a內(nèi)的兩條直線且，〃/?,rn//p,/和膽不是平行直線.

故選D.

6.答案：AC

解析：

本題考查了立體幾何的綜合問題，考查學(xué)生的分析推導(dǎo)能力，計(jì)算求解能力，屬于困難題.

對(duì)于A,建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)M(0,2,a)(0SaS2),求出|cos＜四，詞＞|從而即可求解.

對(duì)于8,結(jié)合題意連接40、BD、&B、AC,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可求解.

對(duì)于C,設(shè)平面a交棱于點(diǎn)E(80,2),從而利用空間向量即可求解.

對(duì)于D,將矩形4CG4與矩形CGDiD延展為一個(gè)平面即可推導(dǎo)求解.

解：對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4、OC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系。-xyz,

則點(diǎn)4(2,0,0)、B(2,2,0)、設(shè)點(diǎn)M(0,2,a)(0Wa＜2),

"AM1平面a,則祠為平面a的一個(gè)法向量，且施=(—2,2,a),AB=(0,2,0),

|cos〈艱祠>|=晅晅=T==*=e盧芻，

11\AB\-\AM\2xVa2+8Va2+8L3'2J

所以，直線AB與平面a所成角的正弦值范圍為[①,上],A選項(xiàng)正確；

對(duì)于8選項(xiàng)，當(dāng)例與G重合時(shí)，連接&D、BD、&B、AC,

在正方體4BC0-4為口劣中，CGABCD,

,:BDu平面ABCD，:.BD1CC1；

???四邊形ABCD是正方形，則8DJL4C,

CC]nAC=C>>,-BD_L平面ACC1，

???Au平面ACC],ACX1BD,

同理可證AC】1A1D,

A-[DnBD—D,??4cl平面&BD,

易知回A/D是邊長為2a的等邊三角形，

其面積為，4遇。=手X(2/=2百，

周長為2V2X3=6V2.

設(shè)E、F、Q、N、G、H分別為棱力/1、BBi、BC、CD、DD1的中點(diǎn),

易知六邊形EFQNGH是邊長為魚的正六邊形，且平面EFQNG〃〃平面

正六邊形EFQNGH的周長為6混，面積為6X手x(魚『=38，

則日的面積小于正六邊形EFQNG”的面積，它們的周長相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面a交棱于點(diǎn)E(b,0,2),點(diǎn)M(0,2,l),AM=(-2,2,1).

vAMJ_平面a,DEu平j(luò)fja,

:.AM1DE,

即福?屁=-2b+2=0，得b=1,

???E(1,0,2),

所以，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，

同理可知，點(diǎn)F為棱為&的中點(diǎn)，

則尸(2,1,2),前=(1,1,0)，

而加=(2,2,0)，???市=(麗，

:.EF//DBREF手DB,

由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得DE=V22+02+I2=V5.

BF=J(2-2■+(1—2<+(2-0)2=V5)

??.DE=BF,

所以，四邊形BDEF為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于。選項(xiàng)，將矩形4CG4與矩形CQDiD延展為一個(gè)平面，如下圖所示:

若AM+MN最短，則A、M、N三點(diǎn)共線,

???，

=山乙=2_近,

DNAD2V2+2

VMC=2-&制CG，

所以，點(diǎn)M不是棱CG的中點(diǎn)，。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選AC.

7.答案：②③

解析:

本題考查直線與平面平行的判定，屬基礎(chǔ)題.

解：①M(fèi)N〃4C,連接AM、CN,易得AM、CN交與點(diǎn)P,即MNu面PAC,

所以MN〃面APC是錯(cuò)誤的；②平面APC延展，可知M、N在平面APC上，4N〃GQ所以GQ〃面

APC,是正確的；

③由BP=|BD1，以及由①可知A,P,M三點(diǎn)共線是正確的；

④直線AP延長到例，則M在平面MN。，又在平面APC,面MNQ〃面APC,是錯(cuò)誤的.

故答案為②③.

8.答案：156；互匣

17

解析:

本題考查利用空間向量法解決立體幾何問題，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于難題.

首先可證BD114C,在A8上取凡使得BF=3R4,連接EF,則EF〃、C',可得BD^IEF.記AC

與BC的交點(diǎn)為0,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,在BBi上取一點(diǎn)G,由西-EG=0.

求出G點(diǎn)的位置，從而得到動(dòng)點(diǎn)M軌跡，即可求出動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡圍成的圖形的面積，顯然當(dāng)M與

G重合時(shí)，MC與平面ABCO所成角最大，利用空間向量法求異面直線所成角的余弦值.

在直四棱柱力BCD—ABiGDi中，因?yàn)榈酌媸橇庑?，?cè)棱垂直底面,

所以4c，平面BDD1B1，

又8名u平面8叫81，

所以BO】LAC.

在AB上取F,使得BF=3FA,連接EF,則EF//AC,所以1EF.

記AC與8。的交點(diǎn)為。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則B(4,0,0),Di(-4,0,6),E(l,3>/3,0).

在BBi上取一點(diǎn)G記為G(4,0,t),于是西=(-8,0,6),EG=(3,-3V3,t).

由西?前=一24+6t=0，得t=4,即BG=2GBi，

所以12EFG的邊為點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡.

由題意得尸G=yjBF2+BG2=2g，EF=^AC=：x8遮=6點(diǎn)，

22

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成的圖形的面積為之X6V3XJ(2V13)-(3V3)=156.

顯然當(dāng)M與G重合時(shí)，與平面ABC。所成角最大.

因?yàn)镸(4,0,4),G(0,48,6),

所以西=(-4,473,2).|MQ|=J(-4)2+(4>/3)2+22=2v17，

因?yàn)橹本€AC的一個(gè)方向向量為記=(0,1,0)，

所以cos〈西㈤=繇=篇=等,

即異面直線MG與AC所成角的余弦值為等.

故答案為：15代；出.

17

9.答案：.

4

解析：

本題主要考查異面直線所角的基本求法，若所成的角在直角三角形中，則用三角函數(shù)的定義，若在

一般三角形中則用余弦定理.

設(shè)8亞=a,%C和Q0與底面&BiC也所成的角分別為60。和45。推知8c=a,DC=fa推知表示出

長方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長度推知面對(duì)角線的長度，再用余弦定理求解.

解：設(shè)8$=a,

???B1C和G。與底面&B1G5所成的角分別為60。和45。

???BC=a,DC=—a

3

l25/325/3

?'?A^D=V2Q,DC1=—-—a,AiG=—-—ct

由余弦定理得：cos“出。=”；鬻薩=,

故答案為在.

4

10.答案：咨包

27

解析：

本題主要考查三棱錐的應(yīng)用，熟悉導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法是解答本題的關(guān)鍵，屬于難題.

解：：如圖，連結(jié)OE交AB于點(diǎn)/,設(shè)E,凡G,〃重合于點(diǎn)P.

正方形的邊長為x(x>0),則0/=；,；E=6-f.

該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，???6=2?；,解得x=4.

設(shè)該四棱錐的外接球的球心為Q,外接球半徑為R,則0C=2V2,0P=忡R=2V3，

R2=(2V3-/?)2+(2煙2,

解得R=意外接球的體積V=如|>=畤磐

故答案為隨包

27

11.答案：空空

3

解析：

本題考查球內(nèi)接多面體，球的體積，解題的關(guān)鍵是確定球的半徑，再利用公式求解.

當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐，根據(jù)該四棱錐的表面積等于16+16次，確定該

四棱錐的底面邊長和高，進(jìn)而可求球的半徑為凡從而可求球的體積.

解：解：由題意，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐，

???該四棱錐的表面積等于16+16g,

設(shè)球。的半徑為R,則4C=2R,SO=R,如圖，

該四棱錐的底面邊長為力B=&R，

則有(aR)2+4xgx&RXJ(手尸+R2=16+16百，

???R=2yj2

???球0的體積是。R3=絲&

33

故答案為絲包.

3

12.答案：457r

解析：

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查“分割補(bǔ)形法”，屬于中檔題.

由PA，平面4BC,把四面體PA8C補(bǔ)形為長方體，求出長方體對(duì)角線長，可得四面體外接球的半徑,

代入表面積公式求解.

解：如圖，補(bǔ)全圖形得到一個(gè)長方體，則PO即為球。的直徑.

又P4J■平面ABC,PA=2BC=6,ABA.AC,

所以AD=BC=3,

因此直徑PD=y/PA2+AD2=36,

即半徑為辿.

2

S球=4nR2=457r.

故答案為457r.

13.答案：①④

解析：

本題給出關(guān)于空間線面位置關(guān)系的命題，要我們找出其中的真命題，著重考查了線面平行、面面平

行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得①是真命題;通過在正方體中舉出反例，得到②不正確;根據(jù)線面平

行的判定與性質(zhì)，可得③不正確;根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，可得④是真命題,由

此可得本題的答案.

解：m//n,m1a=>n1a；這是線與面垂直中出現(xiàn)的定理，故①正確；

a///?,mca,nu￡n7n〃n或〃?，"異面，故②不正確；

m//n,m〃a=n〃a或nua,故③不正確：

a//p,m//n,m_La可以先得到n1a進(jìn)而得到n1￡,故④正確，

故答案為①④.

14.答案：①②③④

解析：

本題考查空間中直線與平面的平行，垂直關(guān)系及棱錐的體積計(jì)算，解答的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行

與垂直和面面平行的性質(zhì)定理與判定定理，屬于中檔題.

由/T-BEDIF=,結(jié)合線面平行的定義,可判斷①：由線面垂直的性質(zhì)定理可判

斷②：由面面平行的性質(zhì)和對(duì)稱性，可判斷③；由線面的位置關(guān)系可判斷④.

解：由41-BEDiF=VE-BBM+CCJ/44】〃平面口當(dāng)。［,

可得E”到平面的距離為定值，可得四棱錐Bi-BEDiF的體積為定值，故①對(duì)；

=可得對(duì)角面BBiDi。為正方形，可得當(dāng)D1BD1，

若BE1B1C,由線面垂直的性質(zhì)定理可得J。1BE,即有8山J?平面BD】E,故②對(duì);

由面面平行的性質(zhì)得四邊形8ED1F為平行四邊形，

22

不妨設(shè)4B=a,BC=b,由題意，BB1=>Ja+b,

將BBiGC與。DiGC翻折到同一平面，連接B,BDi與GC的交于點(diǎn)E,即為BE+ED]的最小值

點(diǎn)，

設(shè)EC=t,

222

???四邊形BE。/的周長為2(BE+EDr)=2,J(a+b)+a+b,此時(shí)t=."'；：；虻，

故存在唯一的點(diǎn)E,使得截面四邊形BEQF的周長取得最小值，故③正確.

可作出過CG的平面與EBDi平行，由面面平行的性質(zhì)定理可得

存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)E,在棱AQ上均有相應(yīng)的點(diǎn)G,使得CG〃平面EBD],

同理可得也存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)￡對(duì)棱上任意的點(diǎn)G,直線CG與平面EBDi均相交，

故④正確.

故答案為①②③④.

15.答案：>/17

解析：

本題考查線段長的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用，由題設(shè)條件

2

知CD-CD=[CA+AB+BD)此利用向量法能求出CD的長?

解：???在一個(gè)60。的二面角的棱上，

有兩個(gè)點(diǎn)A、B,AC、8。分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段，

且AB=2,AC=3,BD=4,

TT—>—>)2

CDCD=(CA+AB+80)，

=CA-CA+AB-AB+BD-BD+2CA-AB+2CA-BD+2AB-BD

=9+4+16+2x3x4xcosl20°

=17,

CD的長|同=717.

故答案為g.

327r

16.答案:

7T

解析：

本題考查圓柱體積公式，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，難度較大.

根據(jù)圓柱體積公式構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果.

解：小圓柱的高分為上下兩部分，上部分的高同大圓柱的高相等，

為1,下部分深入底部半球內(nèi).設(shè)小圓柱下部分的高為九(0<九<1),

底面半徑為r(0<r<1).由于r,〃和球的半徑構(gòu)成直角三角形，

即產(chǎn)+F=1,所以小圓柱體積V=nr2(h+1)=TT(1-/i2)(7i+1)(0</i<1),

求導(dǎo)得M=-7T(3/l-l)(/i+1).

當(dāng)0〈九<%>0,體積V單調(diào)遞增；

當(dāng)［<九<1時(shí)，7<0,體積V單調(diào)減.

所以當(dāng)無=5時(shí)，小圓柱的體積取得最大值，

即Knax=〃(l_}xG+l)=等,

故答案為三.

2/

.,、7T

17.答案：

6

解析：

本題考查了正方體和它內(nèi)切球的幾何結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力與數(shù)形結(jié)合的思想.屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征想象出截面圖的形狀，知平面ADG截球的截面是△AC。1的內(nèi)切圓，求出內(nèi)切

圓的半徑計(jì)算即可.，

解：平面AOG截球的截面是AACOI的內(nèi)切圓，

又△AC%是邊長為近的正三角形，則內(nèi)切圓的半徑為,,=^tan-二典、

266

???平面4CD1截球的截面面積為S:萬戶

O

故答案為6?

18.答案：①③

解析：

本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問題及空間角與距離，同時(shí)考查線面垂直的判定及面面垂直

的判定，逐一判斷即可.

解：翻折后如圖所示：

因?yàn)锽M14C,DM1AC,BMClDM=M,

所以AC_L平面又MNu平面BMC,所以AC1MN,

所以①正確，

因?yàn)锳C_L平面BMC,ACu平面ABC,所以平面BMD1平面ABC,

又因?yàn)锽MJ.AC,DMVAC,所以4BMD=8,NBMO或其補(bǔ)角為與平面ABC所成角,

所以O(shè)M與平面ABC所成角為?；蜇?9.

所以②不正確；

又因?yàn)锽M=DM,

所以MN1BD,

在ABM。中，Z.BMD=9,BM=DM=—，

2

當(dāng)。=?時(shí)，/N的最小值為立，

34

當(dāng)。時(shí)，MN的最大值為京

所以③正確。

因?yàn)楫?dāng)9=1時(shí)，則有NBMD=90°,

所以BM1平面ACD,MD_L平面ABC,

所以MZXLBC.

若BC與AQ所成角等于壬即BCJ.AD,

且ACCM。=D.

所以BC1平面AC￡),

這與BM1平面AC。相矛盾，

所以④錯(cuò)誤，

故答案為①③.

19.答案：』

3

解析：

解：如圖，

設(shè)圓錐的底面半徑為r,貝1]2仃=3工學(xué)得r=L

則圓錐的高h(yuǎn)=V32—I2=2或.

圓錐的體積V=izrxI2x2V2=誓7T.

故答案為：

3

由題意畫出圖形，設(shè)圓錐的底面半徑為r,由展開后所得扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長求得底面

半徑，進(jìn)一步求出圓錐的高，代入圓錐體積公式求解.

本題考查圓錐體積的求法，考查剪展問題的求解方法，是中檔題.

20.答案:解：(1)取AQ的中點(diǎn)0,連接P0、尸0、8。,如圖所示；由四邊形ABC。為菱形，所以AC1BD,

又0、F分別為A。、AB的中點(diǎn)，

所以0F//BD,所以4c_L0F；又PF_LAC,OFCPF=F,

所以AC工平面POF；又POu平面尸OF,所以P01AC,又。為AO的中點(diǎn)，

且PA=PD；所以PO1AD,EADCiAC=A,

所以P。，平面ABCD；又P。u平面PAD,

所以平面240_L平面A3CZ)；

(2)由(1)知，2。，平面呂。"，PO=y/PA2-A02=2,

在菱形ABC。中，尸為48的中點(diǎn)，/.DAB=60°,所以8F=2,/.FBC=120°,BC=4,

所以△FBC的面積為SMBC=Tx2x4xsinl20°=273；

所以三棱錐B-PCF的體積為匕/糊一PCF=V三棱錐P-BCF=1-SMBC?P。=5x2遮x2=竽.

解析：本題考查線面垂直的證明，考查三村錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位

置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

(1)4。的中點(diǎn)O,連接P。、FO、BD,先證P014D,且ADnAC=4

故P。_L平面ABCD；又POu平面PAD,故平面PAD，平面ABCD；

(2)推導(dǎo)出P。_L平面BCF,PO=>/PA2-A02=2.故4FBC的面積為S^BC=[X2X4Xsinl20°=

2A/3;三棱錐B—PCF的體積為V三援黜-PCF='三段函-BCF,即可求解?

21.答案：解：（1）取A8的中點(diǎn)E,連接DE,CE,

因?yàn)锳Q8是等邊三角形,

所以DE1AB.

當(dāng)平面ADB_L平面ABC時(shí),

因?yàn)槠矫鍭DBn平面ABC=AB,

所以O(shè)E1平面ABC,

可知OE1CE,

由已知可得DE=V5，CE=1,

在RMDEC中.CD=y/DE2+CE2=2;

（n）當(dāng)4408以A8為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有4B1CD,

證明：（回）當(dāng)力在平面ABC內(nèi)時(shí)，因?yàn)锳C=BC,AD=BD,

所以C,。都在線段AB的垂直平分線上，^ABLCD,

（回）當(dāng)。不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由（1）知ABIDE,

又因4c=BC,

所以AB1CE,

又DEnCF=F,

所以48，平面CDE,

由COu平面CDE,

得ZB1CD,

綜上所述，總有AB1CD.

解析：本題考查了面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定，

(1)取出AB中點(diǎn)E,連接QE,CE,由等邊三角形AOB可得出DE_L4B,又平面4DB，平面ABC,

故QE_L平面A8C,在RMOEC中用勾股定理求出C￡)；

(2)總有力B1CD,當(dāng)。6面ABC內(nèi)時(shí)，顯然有1CD,當(dāng)。在而ABC外時(shí)，可證得AB，平面CDE,

定有4B1CD.

22.答案：解:(/)證明：???ABCD是菱形，

:.AD=DC>0D1AC,

△ADC中，AD=DC=12,AADC=120°,

OD=6,

又M是BC中點(diǎn),

???OM=^AB=6,MD=6A/2,

???OD2+OM2=MD2,

DO1OM,

,：OM,ACcffiABC,OM^AC=0,OM,ACc?ABC,

OD1面ABC,

又：ODu平面ODM,

平面ODM_L平面ABC.

(〃)由題意，ODLDC,OB1OC,又由(/)知。810。，

以?！?gt;,OC,OB為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

由條件知：0(600),4(0,—66,0),M(0,3V3,3)

故初=(0,9於3),同=(6,673,0)，

設(shè)平面AM。的法向量記=(x,y,z),

則產(chǎn)邈=。，即『島+：z=。，令6，則＞3,z=9,

(記?40=0(6%+6V3y=0/

???fn=(3,-V3,9).

由條件知OB1平面ACD,故取平面ACD的法向量為元=(0,0,1),

所以，cos〈沆，元>=言善=與?，

|m||n|31

由圖知二面角M-AD-C為銳二面角，

故二面角M-AD-C的余弦值為迪.

31

解析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、空間思維能力、

運(yùn)算求解能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

(/)推導(dǎo)出0D14C,DO10M,從而可證。01面ABC,由此能證明平面OOM_L平面ABC；

(〃)由0D1OC,OB1OC,OB10D,建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-AD-C的

余弦值.

23.答案：(1)證明：因?yàn)锽E〃P4,BEC平面PA。，P4u平面PAD,

所以BE〃平面PAO,同理8c〃平面PAD,

因?yàn)锽ECBC=B,PAOAD=A,

所以平面PAD〃平面EBC,因?yàn)镋CU平面EBC,所以EC〃平面PAD

(2)證明：因?yàn)锳B=2,BC=1,ACBA60',由余弦定理得，AC=V3.

所以由勾股定理逆定理N3U490,

所以AC1BC,

又因?yàn)镻.虹平面ABCD,BE//AP,

所以BE_L平面ABC。，ACu平面ABC。

所以BEJLAC,則有AC1?平面E8C,ACu平面PAC,

所以平面BEC_L平面PAC.

(3)作CHIAB于，，連結(jié)P”,又因?yàn)镃HIP4

所以CH_L平面PABE,所以NHPC即為線面角，

因?yàn)锳C=>JAB2-BC2=V3>HC==—=恒,PC=122+(V3)2=近，

所以sin/HPC=器—.

PC14

解析：本題考查直線與平面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理以及直線與平面所成角的求解,

屬于中檔題.

(1)先證得BE〃平面尸AD,進(jìn)而得到平面PA?！ㄆ矫鍱BC,通過面面垂直的性質(zhì)，即可得到答案;

(2)先證得BE1平面A8CQ,再通過面面垂直的判定定理，即可得到答案；

(3)先找到直線與平面所成的角，進(jìn)而求出角的正弦.

24.答案：(1)證明：取A8中點(diǎn)E,連結(jié)CE,AXB,aE,

八---------------------q

3

A

vAB=AAlfZ-BAA1=60°,

??.48441是正三角形，

:.ArE1AB,

???CA=CB,

CE1AB,

vCEAArE=E,

:.AB1CEAlf

???AB14傳；

(2)解：由(I)知：ECLAB,EAX1AB,

4/

又面4BC14昭41，

面ABC與面4BB14于AB,

???EC1ABB1A1,

EC1EA1,

EA.EC、E4兩兩相互垂直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

由題設(shè)知4(1,0,0),440,祗0),C(0,0,V3),5(-1,0,0),

：.BC=(1,0,V3),西=標(biāo)=(-1,0,⑹，A^C=(0,-V3,V3),

設(shè)元=(x,y,z)是平面CBBiG的法向量，

(n-BC=0

“卜西=0'

on(%+V3z=0

(x+\/3y=0(

???可取元=(百,1,一1),

二皿禮?！毙l(wèi)普=磔

、/向函5-

.??直線&C與平面BBiGC所成角的正弦值為唱.

解析：本題考查利用線面垂直證明線線垂直，及利用面面垂直的性質(zhì)及平面的法向量求線面的夾角.

(1)證明4B1CEAr,從而證明4814C；

(2)由面面垂直的性質(zhì)證明EC_LEa,建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用平面法向量與

中的夾角的余弦為線面角的正弦，注意符號(hào)的判斷.

25.答案：證明：(I)連結(jié)點(diǎn)AC,BN,交于點(diǎn)E,連結(jié)ME,

?:點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)，AD=4,

???AN=2,■：4ABC=乙BAD=90°,AB=BC=2,

???四邊形ABCN為正方形，.,.E為AC的中點(diǎn)，

???ME//PA,

PA仁平面BMN,直線P4〃平面BMN.

解：(n)?.?PA_L平面ABCD,且AB,ADu平面ABCD,

???PA1AB,PA1AD,

/.BAD=90°,PA,AB,AQ兩兩互相垂直，

分別以AB,AD,AP為x,?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則由4D=AP=4,AB=BC=2,得：

B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,4),

???M為PC的中點(diǎn)，2),

設(shè)AN=4,則N(0,尢0),(0<A<4),則而=(一1,"1,一2)，

FC=(0,2,0),麗=(2,0，-4),

設(shè)平面PBC的法向量為而=(x,y,z),

則/沅￡￡=2y=°,令》=2,得記=(2,0,1),

??,直線MN與平面P8C所成角的正弦值為g,

|MN?沆||—2-2|4

|cos<MN,m>

\MN\-\m\-j5+0-l)2?1-5*

解得a=l,則N(o,l,0),麗=(一2/，0),FM=(-1,1,2),

設(shè)平面BMN的法向量有=(xj,z),

則pt?BM=-x+y+2z=0

(n?B/V=-2x+y=0

令％=2,得元=(2,—4,3),

777145

cos"繇x/5-V29145

平面PBC與平面BMN所成角0的余弦值為巫.

解析：（I）連結(jié)點(diǎn)AC,BN,交于點(diǎn)E,連結(jié)ME,推導(dǎo)出四邊形4BCN為正方形，由此能證明直線

P4〃平面BMN.

（口）分別以AB,AD,A尸為x,?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出平面PBC與平面

所成角。的余弦值.

本題考查線面平行的證明，考查面面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意

向量法的合理運(yùn)用.

26.答案：解：由題意知，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一半球面組成.

在直角梯形ABC￡?中，過。點(diǎn)作DEJ.BC,垂足為E,如圖所示.

在RtADEC中，CD=y]CE24-DE2=51所以S.球=8兀，S圓臺(tái)側(cè)=3STI,S圓臺(tái)下底=2Sit.

故所求幾何體的表面積為S羋球+S圓臺(tái)側(cè)+S圓臺(tái)下?底=687r.

因?yàn)閳A臺(tái)的體積V="兀x22+7（7rX22）（7Tx52）+兀x52）x4=52兀,

半球的體積匕=1x^X7rx23=孩兀，

所以所求幾何體的體積為U-匕=-7T.

解析：本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，表面積和體積的計(jì)算，屬于中檔題.

所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一半球面組成，所求幾何體的表面積為S/球+S窗臺(tái)頗+

S窗臺(tái)正，分別求出各部分表面積，相加即可得到表面積，幾何體的體積為圓臺(tái)的體積減去半球的體

積.

27.答案：解：（1）證明：連接BO,MO,

在平行四邊形ABC。中，因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，

所以。為8。的中點(diǎn)，又M為尸。的中點(diǎn)，所以PB〃MO,

因?yàn)镻BC平面ACM,MOu平面ACM,

所以PB〃平面4cM；

(2)證明：因?yàn)橐?DC=45。，且4D=AC=1,

所以ZAOC=NACO=45°,/.DAC=90°,即4。_LAC；

又PO1平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以尸。J.AD,ACdPO=0,4D1平面PAC；

(3)解：取。。中點(diǎn)N,連接MMAN,

因?yàn)橛脼椤?。的中點(diǎn)，所以MN〃PO,且MN=：PO=1,由PO1平面ABC。，得MN_L平面A8CC

所以/MAN是直線AM與平面ABCD所成的角.

在RtA/M。中，AD=1,AO=-,所以。。=些，

22

AN=-D0=-，MN=1P0=1,

242

.qf,A.△ZMN14^5

在RtAANM中，tan^MAN=—=,

4

即直線AM與平面ABCD所成的正切值為延.

5

解析：本題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、直線與平面所成的