高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修 第一冊-高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第一冊 空間向量基本定理 公開課教學(xué)設(shè)計課件資料

1.2空間向量基本定理(二)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

應(yīng)用空間向量基本定理證明異面直線的垂直、兩直線平行，求異面直線成角

以及空間兩點間距離.

2.內(nèi)容解析

選擇性必修第一冊中關(guān)于空間向量安排了四節(jié)內(nèi)容，是必修第二冊中平面向

量內(nèi)容的延續(xù)和拓展，空間向量基本定理的內(nèi)容可以由平面向量的知識類比得至U.

空間向量的四節(jié)知識彼此滲透，彼此銜接，共同完成了空間向量的知識體系.本

節(jié)重點是空間向量基本定理在解決立體幾何問題中線線位置關(guān)系的相關(guān)問題和

兩點間距離問題.

在必修立體幾何內(nèi)容中，證明異面直線垂直、兩直線平行以及異面直線成角

的求法，已經(jīng)有相應(yīng)的定理、定義作為保證.空間向量基本定理中蘊含的基底法

是解決向量問題的基本方法之一，空間向量應(yīng)用在立體幾何中，有利于學(xué)生克服

空間想象力的障礙和空間作圖的困難.利用空間向量基底法解立體幾何問題，可

以把抽象的立體幾何問題平面化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算問題，并具有很強的規(guī)律性和

可操作性.對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心

素養(yǎng)有著重要意義.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

(1)能用向量語言表述直線與直線的夾角以及垂直與平行的關(guān)系.

(2)掌握利用空間向量基本定理中的基底法證明兩直線的垂直和平行，求異面

直線成角的三角函數(shù)值以及空間兩點間距離.

(3)讓學(xué)生體驗向量方法在解決立體幾何問題中的作用.

（4）通過本節(jié)學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）通過在具體問題中選擇恰當(dāng)?shù)幕?，能夠利用直線的方向向量的垂直（平

行）來證明兩直線的垂直（平行），加深對直線方向向量含義的理解.

（2）在證明過程中能夠熟練利用向量的相關(guān)運算，證得最終結(jié)果.

（3）理解直線方向向量的夾角與兩異面直線成角之間的關(guān)系.能夠利用直線方向

向量夾角三角函數(shù)值得到異面直線夾角的三角函數(shù)值.

（4）能夠利用基底法解決空間中兩點間距離問題.

三、教學(xué)問題診斷分析

有空間向量基本定理做支撐，學(xué)生不難接受利用“基底法”解決立體幾何中

的相關(guān)問題.本節(jié)的難點在于三方面：一是解答過程中涉及向量的夾角運算，有

些學(xué)生會出現(xiàn)夾角找錯的情況.二是忽略異面直線成角范圍，導(dǎo)致錯誤答案.三是

對向量的相關(guān)運算不熟練，導(dǎo)致結(jié)果不正確.

教學(xué)中可以適當(dāng)回顧向量夾角定義，以及不同連接方式下向量的夾角，以避

免運算當(dāng)中錯誤的發(fā)生.對于異面直線成角的問題，除了回顧定義外，還可以用

教具進(jìn)行演示，讓學(xué)生領(lǐng)會的更深刻一些.

四、教學(xué)過程設(shè)計

（一）舊知回顧

問題1：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了空間向量基本定理，大家還記得它的內(nèi)容嗎？

師生活動：教師進(jìn)行回答.

追問：在空間向量基本定理中，闡述了基底的選擇標(biāo)準(zhǔn)，那么如何選擇基底?

師生活動：教師進(jìn)行回答.

設(shè)計意圖：本節(jié)課以空間向量基本定理為出發(fā)點，準(zhǔn)確地回顧有利于課程的順利

展開.

問題2：空間向量都可以用基底表示，那么空間向量間的運算都可以轉(zhuǎn)換成什么

數(shù)學(xué)量的運算呢？

師生活動：教師進(jìn)行回答.

設(shè)計意圖：為本節(jié)課內(nèi)容做鋪墊.

（二）概念的理解及鞏固應(yīng)用

問題3：大家還記得如何證明異面直線的垂直嗎？

師生活動：教師進(jìn)行講解.

追問：這種方法是不是有些難想？學(xué)習(xí)了空間向量，異面直線的垂直是不是可以

用向量的方法解決？如何解決？

師生活動：教師講解并指出證明兩條直線的平行和垂直，都可以利用向量法解決.

設(shè)計意圖：例題前的引入環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在頭腦里形成了用向量解決問題的想法.

垂直是兩直線的位置關(guān)系之一，經(jīng)過提示，學(xué)生很容易能夠得到利用空間向量數(shù)

量積為零來解決.

例1如圖，在平行六面體加8-44012中，4?=4加=4,楓=5,ZDAB=60'

/8例=6r.M.N分別為DGC0的中點

求證：MN±AC,

師生活動：教師分析解題思路，講解如何找到合適的基底，提示相關(guān)的計算方法

以及在計算中關(guān)于向量夾角的注意事項.學(xué)生動筆進(jìn)行求解.然后教師給出規(guī)范

解答過程.

設(shè)計意圖：通過具體實例，讓學(xué)生體會利用“基底法”解決異面垂直的證明方法.

問題4：當(dāng)異面直線不垂直時，它們所成的角度又該如何計算呢？

師生活動：教師給予解答.

追問：應(yīng)用空間向量可以解決嗎？

師生活動：教師給出正確的解決方法，更要指出異面直線成角的取值范圍.

設(shè)計意圖：由異面直線垂直的證明方法不難推導(dǎo)出利用向量夾角來計算異面成角

的問題，再注意一下取值范圍，就完美了.

例2.如圖，正方體A5CD-的棱長為1,石,￡6分別為仁。,4。,。7)的中點

(1)求證：EF//AC；

(2)求CE與AG所成角的余弦值.

師生活動：第一問關(guān)于兩直線平行的證明，教師展示規(guī)范解答.此題所涉及的基

底為單位正交基底.第二問的異面直線成角余弦值，教師先指出解決方法，然后

提醒異面直線成角的取值范圍.最后教師給出規(guī)范解答.

設(shè)計意圖：通過具體實例，讓學(xué)生體會空間向量法求解異面直線成角余弦值的過

程.在解答過程中還涉及到向量數(shù)量積以及向量模長的計算，教師要給與相應(yīng)的

指導(dǎo).

問題5：前兩個例題，我們解決了兩直線位置關(guān)系和異面直線成角問題，立體幾

何中其實還有距離問題.如何利用向量基底法解決立體幾何中兩點間的距離呢？

師生活動：首先回顧平面向量中求模長的一般解法,然后教師進(jìn)行例題3的講解.

在講解過程中滲透“求模長就平方”的一般思路.另外，本題還可以利用勾股定

理直接求解.

例3.如圖，在長方體45?！?4。1。1中，加是^。與8。的交點若。14=2,9G=2,DQ=3.

求用知的長.

設(shè)計意圖：通過具體實例，讓學(xué)生體會到利用基底法求兩點間距離的一般步驟和

方法.

（三）本節(jié)知識拓展

事實上，空間中線線、線面位置關(guān)系，三種空間角和空間中的距離問題都可

以用向量基本定理進(jìn)行求解.本節(jié)主要應(yīng)用空間向量基本定理證明異面直線的垂

直、兩直線平行以及求異面直線成角、空間兩點間距離.本節(jié)沒有涉及的其他立

體幾何中的問題，如何利用空間向量基本定理解決，請學(xué)生們課下進(jìn)行探索和研

究.

(四)歸納總結(jié)、布置作業(yè)

歸納總結(jié)：1.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)知識，并回答以下問題：

(1)如何尋找恰當(dāng)?shù)幕祝?/p>

(2)如何利用向量法證明兩直線的垂直和平行？

(3)異面直線成角的取值范圍是什么？如何利用向量法求異面直線成角的余弦

值？

(4)空間兩點間的距離如何利用向量法求得？

2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，大家要仔細(xì)體會用代數(shù)運算研究幾何問題的思想方法，

還要提高直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象幾方面的能力.

設(shè)計意圖：從知識技能、核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)思想三個方面對本節(jié)課進(jìn)行小結(jié).

布置作業(yè)：

1、教科書14頁練習(xí)2.3.

2、教科書15頁習(xí)題1.2第6題.

五、目標(biāo)檢測設(shè)計

1.已知四面體O43C,OB=OC,NAOB=ZAOC=6.

求證：OA1BC

設(shè)計意圖：考查學(xué)生對基底選擇標(biāo)準(zhǔn)