高中數(shù)學(xué)習(xí)題2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第三冊 　分類變量與列聯(lián)表

列聯(lián)表與獨立性檢驗

1.為考察A,B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果,進(jìn)行動物試驗,分別得到如下等高條形圖:

1

9

O.S

O..8

O..7

S.6

S.54

S

O..32

O.J

O

根據(jù)圖中信息,在下列各項中，說法最佳的一項是（）

A.藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果

B.藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果

C.藥物A,B對該疾病均有顯著的預(yù)防效果

D.藥物A,B對該疾病均沒有預(yù)防效果

2.（多選題）下列說法正確的是（）

A.事件A與B獨立,即兩個事件互不影響

B.事件A與B關(guān)系越密切，則x,就越大

C.x2的大小是判定事件A與B是否相關(guān)的唯一根據(jù)

D.若判定兩事件A與B相關(guān),則A發(fā)生B一定發(fā)生

3.某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查了52名

中學(xué)生,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是（）

表1

不及格及格合計

男61420

女102232

合計163652

表2

好差合計

男41620

女122032

合計163652

表3

偏高正常合計

男81220

女82432

合計163652

表4

豐富不豐富合計

男14620

女23032

合計163652

A.成績B.視力C.智商D.閱讀量

4.有兩個分類變量X,Y,其列聯(lián)表如下所示,

Y,Y2

X,a20-a

15-a30+a

x2

其中a,15-a均為大于5的整數(shù),若在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為X,Y有關(guān),則a

的值為（）

A.8B.9C.8或9D.6或8

5.在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1671人，經(jīng)過計算x2=7.63,根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析,

是否有99.9%的把握說,打鼾與患心臟病是有關(guān)的:.（填“是”或“否”）

6.如果根據(jù)性別與是否愛好運動的列聯(lián)表得到x2弋3.852>3.841,則判斷性別與是否愛好運

動有關(guān),那么這種判斷犯錯誤的可能性不超過.

7.為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān),在某地對540名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查,結(jié)果是:患

胃病者生活不規(guī)律的共60人，患胃病者生活規(guī)律的共20人,未患胃病者生活不規(guī)律的共260

人,未患胃病者生活規(guī)律的共200人.

⑴根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出2義2列聯(lián)表；

（2）在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下能否認(rèn)為40歲以上的人患胃病與否和生活規(guī)律有關(guān)

系?為什么？

8.“開門大吉”是某電視臺推出的游戲節(jié)目.選手面對1?8號8扇大門,依次按響門上的門鈴,

門鈴會播放一段音樂（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這

首歌的名字,方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金.在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分

為兩個年齡段:20?30;30?40（單位：歲），其猜對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示.

⑴寫出2X2列聯(lián)表；

（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為猜對歌曲名稱與年齡有關(guān)系?說明你的理

由.（下面的臨界值表供參考）

a0.10.050.010.005

X.2.7063.8416.63517.879

擴(kuò)展練習(xí)

1.想要檢驗是否喜歡參加體育活動是不是與性別有關(guān),應(yīng)該檢驗（）

A.H。：男性喜歡參加體育活動

B.H。:女性不喜歡參加體育活動

C.%:喜歡參加體育活動與性別有關(guān)

D.H。:喜歡參加體育活動與性別無關(guān)

2.用等高條形圖粗略估計兩個分類變量是否相關(guān),觀察下列各圖,其中兩個分類變量關(guān)系最強(qiáng)

的是（）

3.某校在兩個班進(jìn)行教學(xué)方式對比試驗,兩個月后進(jìn)行了一次檢測,實驗班與對照班成績統(tǒng)計

如下表所示(單位:人)：

80及80分以上80分以下合計

實驗班351550

對照班20m50

合計5545n

(1)m=,n=;

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到的結(jié)論是.

4.某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件,按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位:mm)的值落在［29.94,30.06)的零

件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件,量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：

甲廠：

[29.86,[29.90,[29.94,[29.98,[30.02,[30.06,[30.10,

分組

29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14)

頻數(shù)12638618292614

乙廠:

[29.86,[29.90,[29.94,[29.98,[30.02,[30.06,[30.10,

分組

29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14)

頻數(shù)297185159766218

(1)兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率分別為

(2)有的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.

5.近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展,2020年某網(wǎng)購平臺“雙11”一天的銷售業(yè)績高達(dá)1682億元人民

幣，平臺對每次成功交易都有針對商品和快遞是否滿意的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出200

次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計,網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.70,對快遞的滿意率為0.60,

其中對商品和快遞都滿意的交易為80次.

(1)根據(jù)已知條件完成下面的2X2列聯(lián)表,并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下

認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對快遞滿意之間有關(guān)系”.

對快遞滿意對快遞不滿意合計

對商品滿意80

對商品不滿意

合計200

(2)為進(jìn)一步提高購物者的滿意度,平臺按分層抽樣方法從中抽取10次交易進(jìn)行問卷調(diào)查,詳

細(xì)了解滿意與否的具體原因，并在這10次交易中再隨機(jī)抽取2次進(jìn)行電話回訪,聽取購物者意

見.求電話回訪的2次交易至少有一次對商品和快遞都滿意的概率.

2

n(ad-bc)

附：X9=，,T(其中n-a+b+c+d為樣本谷量)v

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg")0.100.050.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

6.為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況,研究這一社區(qū)居民在20:00?22:00時間段的休閑方式

與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80人,得到下面的數(shù)據(jù)表:

看電視看書合計

男105060

女101020

合計206080

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“在20:00?22:00時間段

居民的休閑方式與性別有關(guān)系”？

(2)將此樣本的頻率估計為總體的概率，在該社區(qū)的所有男性中隨機(jī)調(diào)查3人,設(shè)調(diào)查的3人在

這一時間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

參考答案

1.為考察A,B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果,進(jìn)行動物試驗,分別得到如下等高條形圖:

根據(jù)圖中信息,在下列各項中，說法最佳的一項是（）

A.藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果

B.藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果

C.藥物A,B對該疾病均有顯著的預(yù)防效果

D.藥物A,B對該疾病均沒有預(yù)防效果

分析：選B.從等高條形圖可以看此服用藥物A后未患病的比例比服用藥物B后未患病的比

例大得多，預(yù)防效果更好.

2.（多選題）下列說法正確的是（）

A.事件A與B獨立,即兩個事件互不影響

B.事件A與B關(guān)系越密切，則x,就越大

C.x2的大小是判定事件A與B是否相關(guān)的唯一根據(jù)

D.若判定兩事件A與B相關(guān),則A發(fā)生B一定發(fā)生

分析:選AB.由事件的獨立性知,A選項正確；由獨立性檢驗的意義知,B選項正確；x2的大小是

判定事件A與B是否相關(guān)的一種方法,不是唯一依據(jù),C選項不正確;若事件A與B相關(guān),則A

發(fā)生B可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,D選項不正確.

3.某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查了52名

中學(xué)生,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是（）

表1

不及格及格合計

男61420

女102232

合計163652

表2

好差合計

男41620

女122032

合計163652

表3

偏高正常合計

男81220

女82432

合計163652

表4

豐—4—?曷，.-1-，不豐富合計

男14620

女23032

合計163652

A.成績B.視力C.智商D.閱讀量

2

八廠、，)

分w析：選>?D.因為乃o六-5-2-X-(-6-X-2-2---1-4-X-1-0--

116X36X32X20

52X82

16X36X32X20'

22

952X(4X20-16X12)52X112

X2--1-6-X-36-X-3-2X-2-0--1-6-X-36-X-3-2X20'

2

)52X962

修52X(8X24-12X8

16X36X32X2016X36X32X20'

2

M_5_2X_(_14_X_30_-6_X_2)_52X4082

16X36X32X2016X36X32X20'

則有;抬＞晨＞后，

所以閱讀量與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大.

4.有兩個分類變量X,Y,其列聯(lián)表如下所示,

Y）Y2

X.a20-a

15~a30+a

x2

其中a,15-a均為大于5的整數(shù),若在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為X,Y有關(guān),則a

的值為（）

A.8B.9C.8或9D.6或8

分析：選C.根據(jù)公式，得

265x[a（30+a）-（15-a）（20-a）]

x=-------------------------

20X45X15X50

i3x（13a-60）

=＞3841,根據(jù)a〉5且15-a＞5,aeZ,求得當(dāng)a=8或9時滿足題意.

20X45X3X2

5.在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1671人，經(jīng)過計算xJ7.63,根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析,

是否有99.9%的把握說,打鼾與患心臟病是有關(guān)的:.（填“是"或“否"）

分析：因為xJ7.63〈10.828=x。.孫，

因此,沒有99.9%的把握說,打鼾與患心臟病是有關(guān)的.

答案:否

6.如果根據(jù)性別與是否愛好運動的列聯(lián)表得到x2g3.852＞3,841,則判斷性別與是否愛好運

動有關(guān),那么這種判斷犯錯誤的可能性不超過.

分析:因為P（x223.841）-0.05.

所以判斷性別與是否愛好運動有關(guān)，出錯的可能性不超過5%.

答案：5%

7.為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān),在某地對540名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查,結(jié)果是:患

胃病者生活不規(guī)律的共60人，患胃病者生活規(guī)律的共20人,未患胃病者生活不規(guī)律的共260

人,未患胃病者生活規(guī)律的共200人.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出2X2列聯(lián)表；

⑵在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下能否認(rèn)為40歲以上的人患胃病與否和生活規(guī)律有關(guān)

系?為什么？

分析：⑴由已知可列2X2列聯(lián)表：

患胃病未患胃病合計

生活規(guī)律20200220

生活不規(guī)律60260320

合計80460510

(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，由計算公式得

/、2

2540X(20X260-200X60)

X仁9.638>6.635=x.ob

220X320X80X460o

因此在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為40歲以上的人患胃病與否和生活規(guī)律有關(guān).

8.“開門大吉”是某電視臺推出的游戲節(jié)目.選手面對1?8號8扇大門，依次按響門上的門鈴,

門鈴會播放一段音樂(將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹)，選手需正確回答出這

首歌的名字,方可獲得該扇門對應(yīng)的家庭夢想基金.在一次場外調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手多數(shù)分

為兩個年齡段:20?30;30?40(單位：歲)，其猜對歌曲名稱與否的人數(shù)如圖所示.

⑴寫出2義2列聯(lián)表;

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為猜對歌曲名稱與年齡有關(guān)系?說明你的理

由.(下面的臨界值表供參考)

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

分析：(1)根據(jù)所給的二維條形圖得到列聯(lián)表:

正確錯誤合計

20?30歲103040

30~40歲107080

合計20100120

/、2

/\皿31宣、上士”，人"33、56m2120X(10X70-10X30)

(2)根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)計算得x=------------------=3>2.706=x,

20X100X40X80ol

所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為猜對歌曲名稱與年齡有關(guān)系.

擴(kuò)展練習(xí)

1.想要檢驗是否喜歡參加體育活動是不是與性別有關(guān),應(yīng)該檢驗()

A.H。:男性喜歡參加體育活動

B.%:女性不喜歡參加體育活動

C.H。:喜歡參加體育活動與性別有關(guān)

D.H。:喜歡參加體育活動與性別無關(guān)

分析：選D.獨立性檢驗假設(shè)有反證法的意味,應(yīng)假設(shè)兩類變量(而非變量的屬性)無關(guān),這時的

xz應(yīng)該很小,如果xz很大,則可以否定假設(shè),如果x2很小,則不能夠肯定或者否定假設(shè).

2.用等高條形圖粗略估計兩個分類變量是否相關(guān),觀察下列各圖,其中兩個分類變量關(guān)系最強(qiáng)

的是

nxi

COx2

分析：選D.由等高條形圖易知,D選項兩個分類變量關(guān)系最強(qiáng).

3.某校在兩個班進(jìn)行教學(xué)方式對比試驗,兩個月后進(jìn)行了一次檢測,實驗班與對照班成績統(tǒng)計

如下表所示(單位:人):

80及80分以上80分以下合計

實驗班351550

對照班20m50

合計5545n

(l)m=n=

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到的結(jié)論是.

分析：(l)m=45-15=30,n=50+50=100.

2

.、.…w2100x(35X30-15X20)

(2)由表中的數(shù)據(jù)得x三-------------------9.091.因為9.091>7.879,

50X50X55X45

所以有99.5%的把握說“教學(xué)方式與成績有關(guān)系”.

答案：(1)30100

⑵有99.5%的把握說“教學(xué)方式與成績有關(guān)系”

4.某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件,按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位:mm)的值落在［29.94,30.06)的零

件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件,量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：

甲廠:

[29.86,[29.90,[29.94,[29.98,[30.02,[30.06,[30.10,

分組

29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14)

頻數(shù)12638618292614

乙廠:

[29.86,[29.90,[29.94,[29.98,[30.02,[30.06,[30.10,

分組

29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14)

頻數(shù)297185159766218

(1)兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率分別為—、―；

(2)有的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.

分析：(1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為

500

320

乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為一二64%

500

甲廠乙廠合計

優(yōu)質(zhì)品360320680

非優(yōu)質(zhì)品140180320

合計5005001000

P

,1000X(360X180-320X140)

X2=------------------------F.35>6.635,

500X500X680X320

所以有99%的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.

答案：(1)72%64%(2)99%

5.近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展,2020年某網(wǎng)購平臺“雙11”一天的銷售業(yè)績高達(dá)1682億元人民

幣，平臺對每次成功交易都有針對商品和快遞是否滿意的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出200

次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計,網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.70,對快遞的滿意率為0.60,

其中對商品和快遞都滿意的交易為80次.

（1）根據(jù)已知條件完成下面的2義2列聯(lián)表,并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下

認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對快遞滿意之間有關(guān)系”.

對快遞滿意對快遞不滿意合計

對商品滿意80

對商品不滿意

合計200

⑵為進(jìn)一步提高購物者的滿意度,平臺按分層抽樣方法從中抽取10次交易進(jìn)行問卷調(diào)查,詳

細(xì)了解滿意與否的具體原因，并在這10次交易中再隨機(jī)抽取2次進(jìn)行電話回訪,聽取購物者意

見.求電話回訪的2次交易至少有一次對商品和快遞都滿意的概率.

2

附：'2"鬻咒）…（其中……為樣本容量）

2

P(x^x(1)0.100.050.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

分析：⑴2X2列聯(lián)表：

對快遞滿意對快遞不滿意合計

對商品滿意8060140

對商品不滿意402060

合計120