高中數(shù)學(xué)《正態(tài)分布》導(dǎo)學(xué)案

第二章隨機(jī)變量及其分布

DIERZHANG2.4正態(tài)分布

卜課前自主預(yù)習(xí)

知識(shí)導(dǎo)學(xué)

知識(shí)點(diǎn)6正態(tài)曲線

1.正態(tài)曲線

1_

函數(shù)V-71(7,xW(—8,+8),其中實(shí)數(shù)〃，^①乂))

為參數(shù)，我們稱(chēng)甌"X)的圖象為回正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱(chēng)因正態(tài)曲線.

2.正態(tài)曲線的性質(zhì)

⑴曲線位于x軸回上方,與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線圓對(duì)稱(chēng)；

(3)曲線在x="處達(dá)到峰值夜]]

(4)曲線與x軸之間的面積為螞1；

(5)當(dāng)。一定時(shí)，曲線的位置由"確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移，如

圖甲所示；

(6)當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定，a越大，曲線越“矮胖”，總體分布

越分散；c越小，曲線越“瘦高”.總體分布越集中，如圖乙所示：

甲乙

知識(shí)點(diǎn)!一正態(tài)分布

一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)。，伏。<與，隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P(

Kx)dx,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)園口和圓◎確定,

因此正態(tài)分布常記作NQi,。2),如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X?N3,

o2).

知識(shí)點(diǎn)匚^

3G原則

(1)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值

①P(U—o<XWu+e=?0.6826；

②P(pi—20VxW口+2°)=園0.9544；

③P(u—3o<XWu+3o)=國(guó)0.9974.

(2)通常服從正態(tài)分布N(p,4)的隨機(jī)變量x只取理啜一3。，口+3分之間的

值.

H知識(shí)拓展

正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，它由參數(shù)口，◎唯一確定，常記

作N3,W),其中四是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值

去估計(jì)，。是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).參

數(shù)中?？捎烧龖B(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性求得：正態(tài)曲線關(guān)于x=H對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x=N時(shí)達(dá)到

峰值J-

Y27ro

理論上可以證明，正態(tài)變量在區(qū)間也一(5,口+司，(|i—2a,j.i+2o],(p—3o,

口+3。]內(nèi)的取值的概率分別為0.6826,0.9544,0.9974,由于正態(tài)分布在(一8,十8)

內(nèi)取值的概率為1,可以推出它在區(qū)間3—2o#+2o|之外的取值的概率為0.0456,

在區(qū)間⑴一3°,口+3可之外的取值的概率為0.0026,于是正態(tài)變量的取值幾乎都

在*=N三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3◎原則.

R自診小測(cè)

1.判一判(正確的打"J"，錯(cuò)誤的打"X")

(1)函數(shù)(Pm，x)中參數(shù)中。的意義分別是樣本的均值與方差.()

(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)N，o的變化而變化

的.()

(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).()

答案(1)X(2)X(3)V

2.做一做

13

--Q"

(1)已知正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)=2幾，xd(—8,+oo),則該正態(tài)

分布的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為.

(2)設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(同，W)(cn>0)和N(R2,?)(。2>0)的密度函數(shù)圖象如圖

所示，則有用[12,QI02.

(3)在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果,服從正態(tài)分布N(l,o2)(o>0).若匕在(0,1)內(nèi)

取值的概率為0.4,則4在(0,2)內(nèi)取值的概率為.

答案(1)0亞<(3)0.8

解析(1)對(duì)照正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)=，

XG(—8,4-CO)f

可得p=0,。=也￡

(2)可知N(同，OT),N(p,?)的密度曲線分別關(guān)于直線X=|41,X=pi2對(duì)稱(chēng)，

因此結(jié)合所給圖象知同〈同，且N(同，W)的密度曲線較N(w，?)的密度曲線“高

瘦”，因此OI<O2.

(3)可知正態(tài)分布N(l,。2)的密度曲線關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng).若1在(0,1)內(nèi)取

值的概率為0.4,則《在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.

卜課堂互動(dòng)探究

探究1正態(tài)分布密度曲線

例1如圖所示是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫(xiě)出其正態(tài)分布的概率密度

函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差.

［解］最大值是

段白，所以〃=20.

11

由；解得<7=\[2.

yjlit(T2也

1■一2。/

于是概率密度函數(shù)的解析式是叭x)=2,尤e(—8,+

8).總體隨機(jī)變量的期望是4=20,方差是拉=(6)2=2.

拓展提升

利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的實(shí)質(zhì)性?xún)牲c(diǎn)：一是對(duì)稱(chēng)軸

宗.這兩點(diǎn)確定以后,相應(yīng)參數(shù)"“便確定了‘代入%“⑴

x=",另一個(gè)是最值

中便可求出相應(yīng)的解析式.

［跟蹤訓(xùn)練1］若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最

大值為志?

(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；

(2)求正態(tài)總體在(-4,4］上的概率.

解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸

對(duì)稱(chēng)，即〃=0.

由慮=忌？得°=4.

故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是

%.“(z)=—,N￡(一8,+8).

4，27r

(2)P(—4<XW4)=P(0—4<XW0+4)=P〃一c<XW〃+a)=0.6826.

探究2利用正態(tài)分布求概率

例2若隨機(jī)變量e服從正態(tài)分布N(0,l)，已知P(?—1.96)=0.025,則

P(?<1.96)=()

A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975

［解析］?.?隨機(jī)變量j服從正態(tài)分布N(0,D，得〃=0,其圖象關(guān)于y軸對(duì)

稱(chēng)，二P(|cl<l.96)=1-2P(e<-1.96)=1-2X0.025=0.950.

［答案］C

拓展提升

利用正態(tài)密度曲線圖象的性質(zhì)，即正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).

例3已知。?N(4,f)，且P(2<36)=0.6826,貝U,「(匕一2|<4)

[解析],.飛?N(4,『)且P(2<：<6)=0.6826,

Ll+(7=6,

二〃=4,結(jié)合“3a”原則可知

'.0=1.

???P(H-2]<4)=P(—2<?6)

=P(-2<e<2)+P(2<4<6)

=1[P(-2<。<10)一P(24<6)]+P(2<《<6)

=1P(-2<*10)+京2<0<6)

=夕。(〃一3(7<jW〃+3<7)+P(//—tr<：W〃+<7)]

=1(0.9974+0.6826)

=0.84.

[答案]20.84

拓展提升

求在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率的方法

(1)利用X落在區(qū)間(//—<7,〃+可，(//—2<T,//+2(T],(//—3cr,〃+3司內(nèi)的概率

分別是0.6826,0.9544,0.9974求解.

(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性及面積為1的性質(zhì)求解.

①熟記正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，從而在關(guān)于對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相

等.

②P(X<a)=l—P(X2a)；

P(X<〃-a)—P(X〉〃+a).

[跟蹤訓(xùn)練2]設(shè)J?N(2,l),試求：

(l)P(l苦W3)；

(2)尸(3GW4)；

(3)P(G0).

解?N(2,l),二〃=2,<7=1.

(1)尸(14忘3)=〃(2—1<。<2+1)=2(//—。<?；颉?<7)=0.6826.

⑵：P(3<〈W4)=P(0<<W1)

[P(0<jW4)一尸(1<〈W3)]

=2

=3P(jti-2tr<<f</z+2a)一P(/i一+cr)]

=1[0.9544-0.6826]

=0.1359.

(3)：PyW0)=Pe>4),

.\P(e<0)=1[l-P(0<c<4)]

=1(l-0.9544)=0.0228.

探究3正態(tài)分布的應(yīng)用

例4某年級(jí)的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,l()2),如果規(guī)定低

于60分為不及格，那么

(1)成績(jī)不及格的人數(shù)占總?cè)藬?shù)多少？

(2)成績(jī)?cè)?0?90分內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)多少？

［解］(1)設(shè)學(xué)生的得分為隨機(jī)變量X,

則X?%(70,1。2),其中〃=70,<7=10.

成績(jī)?cè)?0?80分之間的學(xué)生人數(shù)的概率為

產(chǎn)(70—10<X<70+10)=0.6826,

二不及格的人數(shù)占

|x(l-0.6826)=0.1587.

即成績(jī)不及格的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15.87%.

(2)尸(70—20<X<70+20)=0.9544,

二成績(jī)?cè)?0?90分內(nèi)的學(xué)生占

1［P(50<X<90)-P(60<X<80)］=0.1359.

即成績(jī)?cè)?0?90分內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的13.59%.

拓展提升

求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法

(1)根據(jù)題目中給出的條件確定〃，。的值；

(2)將待求問(wèn)題向%〃+可，(//—2a,〃+2司，(//—3<7,〃+3司這三個(gè)區(qū)間

進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

(3)利用上述區(qū)間求出相應(yīng)的概率.

［跟蹤訓(xùn)練3］某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X服從正態(tài)分布N(4,0.52)(單

位：cm),質(zhì)量檢查人員從該廠生產(chǎn)的1000個(gè)零件中隨機(jī)抽查一個(gè)，測(cè)得它的外

直徑為5.7cm,該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？

解由于X服從正態(tài)分布N(4,0.52),由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，

正態(tài)分布N(4,03)在(4—3X0.5,4+3X0.5)內(nèi)，

即(2.5,5.5)之外的取值的概率只有0.0026.

而5.7在(2.5,5.5),這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，

出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，

因此可以認(rèn)為該廠生產(chǎn)的這批零件是不合格的.

--------------------------------------1沸轆陽(yáng)

1.理解正態(tài)分布的概念和正態(tài)曲線的性質(zhì).①正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).從而在關(guān)于.「=〃對(duì)

2.正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：稱(chēng)的區(qū)間上概率相等.

(1)熟記P(〃-+?P(〃-20Vx4〃+2a)?②P(XVa)=l—P(X>a),P(XV〃-a)=P(X)〃

P(〃-3aVX&R+3。)的值.+a),

(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性和曲線與z軸之間的.—milntv—/、I-"P(/L」VXV〃+6)

若b</，則P(XV〃-ZO=-------e——匕?

面積為1.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的函數(shù)研尤)=

——+4i-4

e6

A/6TT

,則()

A.〃=2,o=3B.//=3,o=2

C.//=2,o,=y[3D.〃=3,a=小

答案C

---------------e

72^x73

解析由磯x)=,得〃=2,<7=小.故選C.

2.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,『),若P(X>c)=a，則P(X>4—c)等于()

A.aB.1—a

C.2aD.1—2a

答案B

解析因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(2,4)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，所

以P(X〉4~c)=P(X<c)=1-P(X>c)=l-a.

3.已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生成績(jī)X?N(110,52),據(jù)此估計(jì)，

大約有57人的分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間為()

A.(90,100]B.(95,125]

C.(100,120]D.(105,115]

答案C

57

解析:X?N(ll0,52),.?.〃=]](),(7=5,又而=o.95-p。/—2<7VXW〃+2<7)

=P(100<XW120).

4.如圖是三個(gè)正態(tài)分布X?N(0,025),丫?N(0』)，Z?N(0,4)的密度曲線，則

三個(gè)隨機(jī)變量X,匕Z對(duì)應(yīng)曲線分別是圖中的、、.

答案①②③

解析在密度曲線中，a越大，曲線越“矮胖”；a越小，曲線越“瘦高”.

5.在某市組織的一次數(shù)學(xué)考試中，全體參加考試學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分

布N(60/00),已知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有13人.試求此次參加數(shù)學(xué)考試

的學(xué)生共有多少人？

解設(shè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閄,共有〃人參加數(shù)學(xué)考試，

VX-7V(6O,1OO),，〃=60,a=10.

,P(X>90)=^[1-尸(30<XW90)]=1x(l-0.9974)=0.0013.

1313

又尸(X〉90)=7,.?.%=0.0013,A=10000,

即此次參加數(shù)學(xué)考試的學(xué)生共有10000人.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.設(shè)隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布M2,9),若PC>c+l)=P《<c—l),則c=()

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析解法一：由P0c+l)=Pe<c—1)可知2=(c'+l"(c—D,解得。=2.

解法二：???P(〈>c+l)=P(0<c—1),

二正態(tài)曲線關(guān)于x=c對(duì)稱(chēng)，又N(2,9),...c=2.

2.已知隨機(jī)變量X?N(0』)，則X在區(qū)間［-3,+8)內(nèi)取值的概率等于()

A.0.8874B.0.0026

C.0.0013D.0.9987

答案D

解析尸(X2—3)=；P(—3WXW3)+；=0.9987.

3.設(shè)X?M10O8),則OQX+1)等于()

A.1.6B.3.2

C.6.4D.12.8

答案B

解析；X?N(10,0.8),/.D(X)=0.8,/.￡>(2X+1)=4Z)(X)=3.2.

4.某次市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)服從正態(tài)分布，相應(yīng)的正

態(tài)曲線如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是()

A.三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差相同

B.甲、乙、丙三科的總體的平均數(shù)不相同

C.丙科總體的平均數(shù)最小

D.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小

答案D

解析由圖象知甲、乙、丙三科的平均分一樣，但標(biāo)準(zhǔn)差不同，。甲〈。乙所故

選D.

5.為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1000名年齡在

17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)

分布N也,2,且正態(tài)分布密度曲線如圖所示.若體重大于58.5kg小于等于62.5

kg屬于正常情況，則這1000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是()

058.560.562.5%

A.997B.954

C.819D.683

答案D

解析由題意可知，〃=60.5,(7=2,

故P(58.5<X^62.5)=P(//-<7<X^+<r)=0.6826,從而屬于正常情況的人數(shù)是

1000X0.6826^683.

二'填空題

6.某班同學(xué)共有48人，數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，其平均分是80分,

標(biāo)準(zhǔn)差是10分，則該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?0-90分的約有人.

答案33

解析依題意，得"=80,(7=10,

所以P(70<c<90)=PQi-+<7)=0.6826,

所以48X0.6826仁33(人).

即該班約有33人的成績(jī)?cè)?0?90分.

7.設(shè)隨機(jī)變量X?N(l,22),則y=3X—l服從的總體分布可記為.

答案y?M2,62)

解析因?yàn)閄?ML22),所以〃=葭。=2.

又y=3X-l,所以E(y)=3E(X)—1=3〃-1=2,

D(Y)=9D(X)=62.

：.y-N(2,62).

8.某一部件由三個(gè)電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常

工作，且元件3正常工作，則部件正常工作.設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：

小時(shí))均服從正態(tài)分布M1000,502),且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該

部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為.

元件1

元件3

元件2

答案i3

O

解析設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的事件分別記為A,