2023年第一學(xué)期《數(shù)學(xué)建?！吩囶}卷及答案

2023-2023第一學(xué)期《數(shù)學(xué)建模》選修課試題卷姓名：學(xué)號(hào)：成績(jī)：10頁(yè)10頁(yè)5分，共15分)模型模型是所爭(zhēng)論的系統(tǒng)，過(guò)程事物或概念的一種表達(dá)形式，也可只依據(jù)試驗(yàn)。圖樣放大或縮小而制成的樣品，一般用于展覽或試驗(yàn)或鑄造機(jī)器零件等用的模子。數(shù)學(xué)模型當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造作為某種形式語(yǔ)言〔既包括常用符號(hào),函數(shù)符號(hào)，謂詞符號(hào)等符號(hào)集合〕解釋時(shí)，這個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造就稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型。抽象模型二、簡(jiǎn)答題〔每題總分值8分，共24分〕模型的分類(lèi)依據(jù)模型替代原型的方式，模型可以簡(jiǎn)潔分為形象模型和抽象模型兩類(lèi).形象模型：直觀(guān)模型、物理模型、分子構(gòu)造模型等;抽象模型：思維模型、符號(hào)模型、數(shù)學(xué)模型等。數(shù)學(xué)建模的根本步驟種必要的信息。模型假設(shè)：為了利用數(shù)學(xué)方法，通常要對(duì)問(wèn)題作出必要的合理的假設(shè)，是，問(wèn)題的主要特征凸顯出來(lái)，無(wú)視問(wèn)題的次要方面。把問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。模型求解：利用的數(shù)學(xué)方法來(lái)求上一步所得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題詞時(shí)往往還要做進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。果是否穩(wěn)定。模型檢驗(yàn)：分析所得結(jié)果的實(shí)際意義，與實(shí)際狀況進(jìn)展比較看是否符合實(shí)際；模型應(yīng)用：所建立的模型必需在實(shí)際中才能產(chǎn)生效益。數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀(guān)模型比繁為簡(jiǎn)?；y為易，便于人們承受科學(xué)治理，科學(xué)決策調(diào)控市場(chǎng)乃至個(gè)人能高效個(gè)工作和生活等眾多方面發(fā)揮著重要作用。三、解答題〔總分值20分〕F題(9n+5,9n+1)某金融機(jī)構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付,設(shè)立一筆總額$540AB為$540萬(wàn).經(jīng)過(guò)相當(dāng)一段時(shí)期業(yè)務(wù)狀況,覺(jué)察每過(guò)一周,各公司的支付基金在流通A10％BBA,A$260,B司基金額$280萬(wàn).按此規(guī)律,兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢(shì)如何?假設(shè)金融專(zhuān)家認(rèn)為每個(gè)公司的支付基金不能少于$220萬(wàn),那么是否在什么時(shí)間需要將基金作特地調(diào)動(dòng)來(lái)避開(kāi)這種情形?解：設(shè)此后第KABAk單位：萬(wàn)美元)，那么此刻有：Ak+1=0.9Ak+0.12BkBk+1=0.1AK+0.88Bkk=0,1……其中，初始條件：A0=260，B0=280AkBk112〔單位：萬(wàn)美元〕BAkBkBk200？利用線(xiàn)性代數(shù)的學(xué)問(wèn)將差分方程組寫(xiě)成矩陣的形式Ak+10.90.12AkBk+1=0.10.88Bk其中A0260B0= 280 是初始值，利用矩陣對(duì)角化方法可以求解。.四、綜合題〔21分〕M.(7n+3,7n+5,7n+6)度為hO飛機(jī)的水平速度始終保持為常數(shù)u.出于安全考慮，1飛機(jī)垂直加速度的最大確定值不得超過(guò)g10

g1.s處開(kāi)頭降落，試確定出飛機(jī)的降落曲線(xiàn).2.s所能允許的最小值.答：論文題目；飛機(jī)著陸問(wèn)題論文摘要〔不得超過(guò)300字：飛機(jī)著陸問(wèn)題是爭(zhēng)論飛機(jī)在降落時(shí)的關(guān)鍵問(wèn)題，這關(guān)系著飛機(jī)上乘客的安全問(wèn)題，故而為削減飛機(jī)降落期間的問(wèn)題，從而提出此論文。關(guān)鍵詞〔不得少于三個(gè)：飛機(jī)著陸問(wèn)題，垂直速度，水平速度，飛行距離論文正文：?jiǎn)栴}提出；如今飛機(jī)已經(jīng)成了人們?nèi)粘Ｂ眯械慕煌üぞ咧?，所以需要解決飛機(jī)的安全著陸，那么怎樣才能安全呢？問(wèn)題分析4個(gè)隱蔽的假定條件，因此我承受三次拋物線(xiàn)〔方程假設(shè)如下〕來(lái)模擬飛機(jī)的降落曲線(xiàn)模型假設(shè)〔0〕=0，f〔0〕=0；〔l〕=h，f〔l〕=0；遠(yuǎn)小于重力加速度。模型設(shè)計(jì)：設(shè)飛機(jī)開(kāi)頭降落時(shí)距離落點(diǎn)的水平距離為l k機(jī)高為h(m〔場(chǎng)的地面高度取作0。飛機(jī)在整個(gè)降落過(guò)程中，飛機(jī)的水平速度保持不變；模型的解法與結(jié)果假設(shè)飛機(jī)降落曲線(xiàn)的三次拋物線(xiàn)方程為：依據(jù)上述所得到的條件求出方程中的四個(gè)待定系數(shù)abcd運(yùn)行環(huán)境下輸入如下公式：輸入：f=a*x^3+b*x^2+c*x+dD[f,x]輸出： 即為f(x)f’(x)輸入：運(yùn)行后得到如下解：把上述解代入f〔x〕，則運(yùn)算后即可得到f〔x〕的表達(dá)式如下：2hf〔x〕=-l3

3hlx3 + x2l2代入具體數(shù)據(jù)進(jìn)展驗(yàn)證并畫(huà)出飛機(jī)的降落曲線(xiàn)15km，在Mathmatica運(yùn)行環(huán)境下輸入：爭(zhēng)論飛機(jī)降落時(shí)的鉛直加速度先爭(zhēng)論飛機(jī)鉛直加速度應(yīng)滿(mǎn)足的條件：求導(dǎo)法，可求出飛機(jī)在點(diǎn)〔x，y〕處的鉛直速度為：dydy*dxuf”(x)dx dx dt我們以v

運(yùn)行環(huán)境下輸入：yv[x]uD[f,x]y

v[x]u(y

l2

6hx2)l3〔x，y〕處的鉛直加速度如下：d2y

ddy

”x*dx

dt2

dtdt dx dt〔x，y〕處的鉛直加速度：a[x]u*D[u(y

l2

6hx2l3

),x]輸出：a

[x]u2(6hy l2

12hx )l3模型的優(yōu)缺點(diǎn)及改進(jìn)的方向:飛機(jī)降落問(wèn)題的主要在于分析其水平速度和垂直速度，在考慮風(fēng)速的狀況下最好的計(jì)算出其降落的條件，距離。參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)建模案例精選朱道元等編著北京：科學(xué)出版社，2023五、復(fù)述題〔21分〕R.(3n+2〕模型假設(shè)：對(duì)椅子和地面應(yīng)當(dāng)做一些必要的假設(shè)：形。地面的高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)消滅連續(xù)〔沒(méi)有像臺(tái)階那樣的狀況〕，即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。對(duì)于椅腳的間距和椅腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。假設(shè)1明顯是合理的。假設(shè)2相當(dāng)于給出了椅子能放穩(wěn)的條件，由于假設(shè)地面高3是要排解這樣的狀況：地面上與椅腳間距和椅腳長(zhǎng)度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，消滅深溝或凸峰〔即連續(xù)變化的〕，致使三只腳無(wú)法同時(shí)著地。模型構(gòu)成:中心問(wèn)題是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子四只腳同時(shí)著地的條件和結(jié)論表示出來(lái)。首先要用變量表示椅子的位置。留意到椅腳連線(xiàn)呈正方形，以中心為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的轉(zhuǎn)變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表1-1ABCDACX軸重合，椅θABCDA’B’C’D’的位置，所以對(duì)對(duì)角線(xiàn)ACxθ表示椅子的位置。θ的函數(shù)。雖然椅子有四個(gè)腳，因而有四個(gè)距離，但是由于正方形的中心對(duì)稱(chēng)性，只要設(shè)兩A、Cf〔θ〕，B、D兩腳與地面之和為2，fg3，椅子在θ，f〔θ〕g〔θ〕中至少有一個(gè)、f(θ)>0.這樣，轉(zhuǎn)變椅子的位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：f〔θ〕和g〔θ〕是θ的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于任意θ，f〔θ〕*g〔θ〕=0，且g〔0〕=0，f〔0〕>0.則存在θ0，使f〔θ0〕=g〔θ0〕=0.θf(wàn)〔θ〕、g〔θ〕，就把模型的假設(shè)條件和椅腳同時(shí)著地的結(jié)論用簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)，從而構(gòu)成了這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。模型求解：上述命題有多種證明方法，這里介紹其中的一中90°〔π/2〕，ACBDg〔0〕=0f〔0〕>0可知g〔π/2〕>0f〔π/2〕=0.h〔θ〕=f〔θ〕-g〔θ〕.h〔θ〕>0h〔π/2〕<0.fgh也是連續(xù)函數(shù).θ0〔0<θ0<π/2〕h〔θ0〕=0，即f〔θ0〕=g〔θ0〕=0.由于這個(gè)實(shí)際問(wèn)題格外的簡(jiǎn)潔和直觀(guān)，模型的解釋和驗(yàn)證就略去了。J-S試題分以下幾局部完成論文題目；論文摘要〔不得超過(guò)300字〕關(guān)鍵詞〔不得少于三個(gè)〕論文正文：?jiǎn)栴}提出〔按你的理解對(duì)所給題目做更清楚的表述；問(wèn)題分析〔型；模型假設(shè)〔有些假設(shè)須作必要的解釋?zhuān)荒Ｐ驮O(shè)計(jì)〔對(duì)消滅的數(shù)學(xué)符號(hào)必需有明確的定義