趙振江-儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定數(shù)學(xué)建模

儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定摘要近幾年，由于國內(nèi)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，油量用品大幅度增加。儲油罐作為加油站常用的貯存設(shè)施，對油品在不同液面高度的貯存量進(jìn)行精確的計(jì)量變得尤為重要！加油站通常利用地下儲油罐來儲存燃油，并采用流量計(jì)和油位計(jì)來測量進(jìn)出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)來得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。然而，儲油罐在使用了較長時(shí)間后，由于地基變形等原因使得罐體的位置發(fā)生變位，導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變，影響儲油罐讀數(shù)的精確度，從而對人類的生產(chǎn)發(fā)展造成一定的影響，比如影響承包企業(yè)的正常運(yùn)作、影響石油交易的正常進(jìn)行，還可能造成一定的安全隱患。本文的目的即為對附件中的數(shù)據(jù)深入分析，建立實(shí)際儲油罐無變位以及變位后罐內(nèi)儲油量和油位高度的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，從而判定儲油罐是否發(fā)生變位，以便相關(guān)工作人員及時(shí)進(jìn)行調(diào)整。問題一，我們首先列出小橢圓儲油罐內(nèi)油量容積和油量高度的關(guān)系式(無變位以及變位后兩種情況)，進(jìn)行數(shù)值積分求解后，利用SPSS畫出變位前理論和實(shí)際出油量的曲線進(jìn)行比較，如果兩者吻合得較好，則說明“理論符合實(shí)際”，同時(shí)還用MATLAB畫出變位后曲線。當(dāng)然我們就可以利用理論的標(biāo)定模型來研究罐體變位后對罐容表的影響了。最后，利用MATLAB軟件編程分段得出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。問題二，我們在求罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)的一般關(guān)系時(shí)可將實(shí)際問題分成兩個(gè)階段分析即先翻轉(zhuǎn)后縱向傾斜。將兩個(gè)關(guān)系式整合后，得到所求的函數(shù)關(guān)系并積分求解。然后用MATLAB進(jìn)行擬合確定變位參數(shù)即。用MATLAB分段計(jì)算罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。對于模型的正確性與方法的可靠性的分析我們運(yùn)用MATLAB編程得出理論出游值，與實(shí)際測量值進(jìn)行T-檢驗(yàn)即可。關(guān)鍵詞：儲油罐變位數(shù)據(jù)分析代數(shù)求解MATLAB擬合T-檢驗(yàn)一、問題重述現(xiàn)在的石油生產(chǎn)和日常加工過程中需要把原油儲存到儲油罐中，隨著網(wǎng)絡(luò)和信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，儲油罐的液位測量以及開發(fā)和設(shè)計(jì)基于罐容表數(shù)據(jù)的信息化管理系統(tǒng)是是非常重要的！一般加油站地下的儲油罐，都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，即采用流量計(jì)和油位計(jì)來測量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。然而許多儲油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。如下圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。本建模題目研究解決的是儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對于圖1所示的實(shí)際儲油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進(jìn)/出油過程中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。油油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3m油位高度圖1儲油罐正面示意圖油位探針

油位探針油位探針α地平線圖2儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針（a）無偏轉(zhuǎn)傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3m（b）橫向偏轉(zhuǎn)傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針圖3儲油罐截面示意圖圖3儲油罐截面示意圖(b)小橢圓油罐截面示意圖(b)小橢圓油罐截面示意圖α油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小橢圓油罐正面示意圖圖4小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖二、問題分析對于加油站的儲油罐，為了準(zhǔn)確判定儲油罐是否發(fā)生變位，進(jìn)而方便相關(guān)工作人員及時(shí)對罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。于是建立實(shí)際儲油罐無變位以及變位后罐內(nèi)儲油量和油位高度的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是我們需要解決的核心問題。要確定儲油罐內(nèi)油體體積與油面高度讀數(shù)的關(guān)系，其核心是要解決儲油罐內(nèi)油體體積。由于儲油罐內(nèi)油體并不是一個(gè)規(guī)則的幾何體，所以，將采用定積分的方法計(jì)算油體體積，其核心是計(jì)算油體的橫截面面積。三、模型假設(shè)1、儲油罐的剛體表面沒有變形；2、油面高度的讀數(shù)是正確的即讀數(shù)器沒有誤差；3、儲油罐罐壁厚度為零，因?yàn)榕c容積相比非常的??；四、符號及變量說明h------------油位高度讀數(shù)；-----------實(shí)際油罐的縱向傾斜角度；-----------實(shí)際油罐的橫向傾斜角度；五、模型的建立與求解5.1問題一模型的建立與求解：本問題中所考慮的儲油罐是一個(gè)橢圓柱體。當(dāng)儲油罐縱向傾斜（無橫向傾斜）時(shí)，為了建立儲油罐內(nèi)油量容積和油量高度的關(guān)系，我們先考慮儲油罐沒有變位時(shí)，儲油罐內(nèi)油量容積和油量高度的關(guān)系。5.1.1儲油罐無變位情形Oxy(0,-h)(0-b)由題目中的圖4提供的儲油罐幾何體可知，該幾何體與垂直其中心線的平面的截面情形如圖所示，其橫截面是一個(gè)橢圓面。設(shè)該橢圓的半長軸為，半短軸為b，如下圖1所示Oxy(0,-h)(0-b)圖1建立直角坐標(biāo)系記罐體中油量橫截面積為，則根據(jù)定積分（1）油量的體積（2）為油面高度，為罐體長度。由于該體積公式在計(jì)算過程中并沒有考慮到罐內(nèi)其他物體（出油管、進(jìn)油管等）所占體積，所以，以此計(jì)算罐內(nèi)油量體積是有誤差的。以附件1中的無變位進(jìn)油數(shù)據(jù)表進(jìn)行計(jì)算和比較得到下圖2。圖2實(shí)驗(yàn)采集油量、模型計(jì)算油量與油面高度關(guān)系從圖中可知，根據(jù)無變位進(jìn)油數(shù)據(jù)表中的油面高度，按上述油量體積計(jì)算公式計(jì)算得到的油量與實(shí)驗(yàn)采集油量存在誤差的。該誤差（模型計(jì)算油量-實(shí)驗(yàn)采集油量）的散點(diǎn)圖如下圖3：圖3模型計(jì)算油量與實(shí)驗(yàn)采集油量的差如圖所示，誤差隨油面高度在變化。由于無法計(jì)算罐內(nèi)其他物體（進(jìn)油管、出油管等）所占體積，所以，采用最小二乘法，擬合油量誤差與油面高度的關(guān)系。觀察誤差散點(diǎn)圖，油量誤差與油面高度的關(guān)系接近一條直線關(guān)系。設(shè)通過Matlab中的函數(shù)polyfit，可以得到，這樣一來就得到校正了誤差油量計(jì)算模型：（3）以附件1中的無變位進(jìn)油數(shù)據(jù)表再進(jìn)行計(jì)算和比較得到下圖4。從圖中可以直觀地觀察到，修正后模型計(jì)算油量與實(shí)驗(yàn)采集油量比較吻合。圖4實(shí)驗(yàn)采集油量、修正模型計(jì)算油量與油面高度關(guān)系5.1.2儲油罐變位情形假設(shè)油罐沿橢圓柱體中心線傾斜度角，油面高度為（米），如圖5所示。此時(shí)，儲油罐罐體底面方程：，罐內(nèi)油體在坐標(biāo)面YOZ上的投影為一個(gè)直角梯形?？芍菪蔚纳系?下底。為了計(jì)算油體體積，沿橢圓柱體中心線上任取一點(diǎn)（為橢圓柱體的長度），過點(diǎn)做垂直于橢圓柱體中心線的平行于上下底面的平面，該平面與油體的橫截面面積可能是一個(gè)橢圓，可能是橢圓的部分，也可能截面面積為零。如圖所示。當(dāng)時(shí)，，橫截面面積xxzy（4）其中，。所對應(yīng)的油體體積可由計(jì)算出。，，其中，。當(dāng)時(shí)，平面與罐內(nèi)油體的橫截面是一個(gè)橢圓，其面積為，從到所對應(yīng)油體體積由計(jì)算出。當(dāng)時(shí)，平面與罐內(nèi)油體不相交，所以橫截面面積為零，因此所對應(yīng)的油體體積為零。所以，當(dāng)罐體縱向傾斜度時(shí)，罐內(nèi)油體體積與油面高度的關(guān)系為（5）其中為符號函數(shù)。由于該體積公式在計(jì)算過程中并沒有考慮到罐內(nèi)其他物體（出油管、進(jìn)油管等）所占體積，所以，以此計(jì)算罐內(nèi)油量體積是有誤差的。以附件1中的變位進(jìn)油數(shù)據(jù)表進(jìn)行計(jì)算和比較得到下圖6。圖6儲油罐變位時(shí)，實(shí)驗(yàn)采集油量、模型計(jì)算油量與油面高度關(guān)系從圖中可知，根據(jù)變位進(jìn)油數(shù)據(jù)表中的油面高度，按上述油量體積計(jì)算公式計(jì)算得到的油量與實(shí)驗(yàn)采集油量存在誤差的。該誤差（模型計(jì)算油量-實(shí)驗(yàn)采集油量）的散點(diǎn)圖如下圖7：圖7儲油罐變位時(shí)，模型計(jì)算油量與實(shí)驗(yàn)采集油量的差如圖所示，誤差隨油面高度在變化。由于無法計(jì)算罐內(nèi)其他物體（進(jìn)油管、出油管等）所占體積，所以，采用最小二乘法，擬合油量誤差與油面高度的關(guān)系。觀察誤差散點(diǎn)圖，油量誤差與油面高度的關(guān)系接近一條直線關(guān)系。設(shè)通過Matlab中的函數(shù)polyfit，可以得到，這樣一來就得到校正了誤差油量計(jì)算模型：（6）以附件1中的變位進(jìn)油數(shù)據(jù)表再進(jìn)行計(jì)算和比較得到下圖8。從圖中可以直觀地觀察到，修正后模型計(jì)算油量與實(shí)驗(yàn)采集油量比較吻合。圖8儲油罐變位時(shí)，實(shí)驗(yàn)采集油量、修正后模型計(jì)算油量與油面高度關(guān)系罐容標(biāo)示：修正前油面高度油量體積修正后油面高度油量體積0.170.130.10-3.670.2281.860.20207.720.3595.240.30520.690.4965.660.40890.650.51371.880.501296.400.61798.520.601722.560.72232.490.702156.040.82661.410.802584.470.93072.420.902994.9813450.711.003372.781.13776.621.103698.231.24012.731.203933.895.2問題2模型的建立與求解在這里主要討論題目中圖1所示實(shí)際儲油罐幾何體，建立儲油罐內(nèi)油體體積與油面高度的關(guān)系，也分兩種情形來討論。先考慮無變位即無縱向傾斜也無橫向傾斜的情形（，）。5.2.1實(shí)際儲油罐無變位油油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3m油位高度圖9儲油罐正面示意圖油位探針Oyxz以左邊球罐頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓柱體中心線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。為了得到罐內(nèi)油量體積，只要計(jì)算油體與平面的截面面積，然后從到求定積分，就可得到罐內(nèi)油體體積與油面高度的關(guān)系。設(shè)油量在左邊球冠內(nèi)的體積為，圓柱體內(nèi)的體積為，右邊球冠內(nèi)的體積為，由于左右兩邊球冠形體相同，因此。另外，根據(jù)問題1罐體無變位時(shí)油體體積計(jì)算公式，可得到（7）其中，為油面高度讀數(shù)，為油罐中圓柱體部分的圓柱體半徑，為圓柱體的高。下面計(jì)算，為此，先計(jì)算球冠所在的球面的半徑.由于（8）OO圓柱體底面直徑1m這樣，球冠所在的球面其方程為：，在平面上的投影的方程為：，油面在平面上的投影為直線。過點(diǎn)（0，0，z）的做平行于坐標(biāo)面平面，該平面與球冠的交線是一個(gè)圓，其半徑為，此時(shí)，球冠體內(nèi)的油體與該平面的截面是一個(gè)圓面或部分圓面如下圖所示。油面直線方程油面直線方程所以當(dāng)時(shí)，截面面積（9）其中，。所以油體在球冠體內(nèi)體積（10）當(dāng)時(shí)，截面面積從到，球冠體內(nèi)沒有油，所以此時(shí)球冠體內(nèi)的油體積（11）設(shè)，則球冠內(nèi)油體體積（12）其中為符號函數(shù)。所以當(dāng)儲油罐無縱向和橫向傾斜時(shí)，儲油罐內(nèi)油體體積與油面高度的關(guān)系為：（13）按體積模型（13）計(jì)算的罐容標(biāo)示如下：縱向傾斜度、橫向傾斜度的罐容標(biāo)示：油面高度10cm20cm30cm40cm50cm油量（升）590.711682.073101.884783.016682.46油面高度60cm70cm80cm90cm100cm油量（升）8767.9311012.9513394.6715892.5918487.9油面高度110cm120cm130cm140cm150cm油量（升）21162.9423900.9126685.5929501.232332.22油面高度160cm170cm180cm190cm200cm油量（升）35163.2337978.8440763.5343501.4946176.53油面高度210cm220cm230cm240cm250cm油量（升）48771.8451269.7753651.4855896.557981.97油面高度260cm270cm280cm290cm300cm油量（升）59881.4361562.5562982.3764073.7264664.43無變位油罐、的罐容與油面高度的關(guān)系5.2.2儲油罐變位情形設(shè)儲油罐（如圖9所示）縱向傾斜度、橫向傾斜度。同上一樣建立空間坐標(biāo)系。油位探針油位探針α地平線圖10儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線xyxzxOx由于儲油罐橫向傾斜只影響到油面到罐底的高度，并不改變罐體內(nèi)油體的幾何形狀。設(shè)橫向傾斜度，油面到罐底的高度為，則（14）RRh為油面高度讀數(shù)。油面在坐標(biāo)面上的投影為直線，其方程為：（15）左邊球冠所在的球面方程為：（16）右邊球冠所在的球面方程為：（17）為了求得油體體積，為此，先求過點(diǎn)（0，0，z）平行坐標(biāo)面的平面與油體的橫截面面積，然后從到求定積分。記為油體在左邊球冠體內(nèi)的體積，為油體在圓柱體內(nèi)的體積，為油體在右邊球冠體內(nèi)的體積。5.2.3計(jì)算在坐標(biāo)面上，對任意的（），直線（15）上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)（取上半圓）。過點(diǎn)（0，0，z）平行于坐標(biāo)面的平面與油體的截面只可能為下面一種情形之一。半徑為半徑為情形a情形a情形b情形b當(dāng)時(shí)，橫截面為情形a，截面面積為：。當(dāng)，且點(diǎn)時(shí)，橫截面為情形b，其截面面積為：。所以，截面面積因此5.2.4計(jì)算在坐標(biāo)面上，對任意的（），直線（15）上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)。過點(diǎn)（0，0，z）平行于坐標(biāo)面的平面與油體的截面只可能為下面一種情形之一。半徑為半徑為情形a情形a情形b情形b當(dāng)時(shí)，橫截面為情形a，截面面積為：。當(dāng)，且時(shí)，橫截面為情形b，其截面面積為：。當(dāng)，且時(shí)，橫截面面積為零。所以，截面面積因此5.2.5計(jì)算在坐標(biāo)面上，對任意的（），直線（15）上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)（取上半圓）。過點(diǎn)（0，0，z）平行于坐標(biāo)面的平面與油體的可能沒有截面（如果），此時(shí)，右邊球冠體內(nèi)沒有油即，當(dāng)截面只可能為下面一種情形之一。半徑為半徑為情形a情形a情形b情形b當(dāng)時(shí)，橫截面為情形a，截面面積為：。當(dāng)，且時(shí)，橫截面為情形b，其截面面積為：。所以，截面面積因此至此，5.3參數(shù)，的確定因?yàn)閷?shí)際罐內(nèi)油量初值未知，所以罐內(nèi)儲油量的準(zhǔn)確值是未知的。由附件2的檢測數(shù)據(jù)可以知道不同時(shí)刻的出油量，并由模型表達(dá)式計(jì)算得到儲油量的改變量，問題可歸結(jié)為求解的最小值問題：。利用附件2中的部分?jǐn)?shù)據(jù)（如前半部分），借助于Matlab軟件，利用數(shù)值積分得到：當(dāng)參數(shù)度、度時(shí)是最小?？v向傾斜2.11度、橫向傾斜4.31度的罐容標(biāo)示：油面高度10cm20cm30cm40cm50cm油量（升）354.7610