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第六章定積分及其應(yīng)用

§6.1定積分的概念

教學(xué)目的與要求:

1.使學(xué)生初步掌握定積分這一重要概念的內(nèi)涵與外延。

2.使學(xué)生學(xué)會(huì)用定義計(jì)算、證明某些定積分。

3.使學(xué)生理解和掌握定積分的思想,分割近似求和,取極限。

4.通過知識(shí)學(xué)習(xí),加深對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)的認(rèn)識(shí);體會(huì)數(shù)學(xué)概念形成的抽象化思維

方法;體驗(yàn)數(shù)學(xué)符號(hào)化的意義及數(shù)形結(jié)合方法。

5.掌握定積分的性質(zhì).

重點(diǎn):定積分的數(shù)學(xué)定義。

難點(diǎn):“分割、近似求和、取極限”變量數(shù)學(xué)思想的建立。

課時(shí):2學(xué)時(shí)

6.1.1定積分問題舉例

1.曲邊梯形的面積

設(shè)曲邊梯形是由[凡句上的連續(xù)曲線y=/(x)(/(x)>0),x軸及直線x=a,x=b

所圍成的圖形(圖6-1).顯然,如果y=/(x)三C(C為常數(shù)),則該圖形就是矩形,其

面積可用公式:矩形面積=底又高來計(jì)算.但在一般情況下,y=/(x)不是常量,而是變

量,這正是問題的困難所在.但由于y=/(x)是連續(xù)的,故當(dāng)x變化很小時(shí),/(x)的變化

也很小.這就是說,在一個(gè)很小的區(qū)間上,/*)近似于不變.因此,如果把口,句劃分為

很多的小區(qū)間,在每一個(gè)小區(qū)間上對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形可以用同底的小矩形面積來近似代替

(小矩形的高可用該區(qū)間上的任一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)來代替),這樣把所有小矩

形面積相加便得整個(gè)曲邊梯形面積的近似值.顯然對(duì)于區(qū)間口,句,如果分得越細(xì),曲邊梯

形面積的近似程度越好.而要得到曲邊梯形的精確值,只要使每一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零,

取近似值的極限即可.具體可按如下步驟進(jìn)行.

(1分割:在區(qū)間[凡們中任意插入〃-1個(gè)分點(diǎn).

a=/<玉<x2<---<xj<???<xn_j<xn-b,

將[凡切分成刀個(gè)小區(qū)間=1,2,…,即[%,藥],[…,々],…,,這些小區(qū)間的

XX

長(zhǎng)度也依次記為Ax】=xt-0,A2=x2-xx,--,^xn=xn-xn_,,過每個(gè)分點(diǎn)玉,》2,…,x,i

作平行于y軸的直線段,就把曲邊梯形劃分為n個(gè)小曲邊梯形.

(2)近似代替:在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)。(X-<^<x,),/?)就是曲線上點(diǎn)

(。,/(幻)的縱坐標(biāo),用小矩形的面積/?)Ax,近似代替小曲邊梯形的面積,即

△S產(chǎn)/?ND…

(3)求和:用〃個(gè)小矩形的面積之和來近似代替曲邊梯形的面積,即

S?+???+/《)%=力偏心,.

/=1

(4)取極限:為保證所有的小區(qū)間的長(zhǎng)度隨小區(qū)間的個(gè)數(shù)〃無限增加而無限縮小,令

2=max{Ax,.},則當(dāng)2—0時(shí),就得到曲邊梯形面積的精確值,即

5=網(wǎng)”(沁一

1=1

2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

在勻速直線運(yùn)動(dòng)中,有公式:路程=速度義時(shí)間.但對(duì)變速直線運(yùn)動(dòng),由于速度不是常

數(shù),而是隨時(shí)間變化的變量,就不能用上式來計(jì)算路程,因此必須尋求其他的方法.

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿直線作變速運(yùn)動(dòng),其速度是時(shí)間/的連續(xù)函數(shù)V(r).現(xiàn)采用與求面積相同的

處理方法來求由時(shí)刻7;到時(shí)刻T2這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程S.

(1)分割:在時(shí)間間隔口工]中任意插入”-1個(gè)分點(diǎn),

Tx=tG<tx<t2<--<tn_x<tn=T2,

將口名]分成〃個(gè)小時(shí)間間隔區(qū)間,即[。,""再],…,[*/],將這些小時(shí)間間隔區(qū)間

的區(qū)間長(zhǎng)依次記為A?,=tx-t0,^t2=t2-?,,???,△乙=tn-tn_x.

(2)近似代替:在每個(gè)小時(shí)間間隔區(qū)間中任取一個(gè)時(shí)刻芻(心WtJ,以芻時(shí)刻的

速度丫(。)近似代替質(zhì)點(diǎn)在上各個(gè)時(shí)刻的速度,于是得質(zhì)點(diǎn)在上,這段時(shí)間內(nèi)所

經(jīng)過的路程的近似值為緇?V?)維0=1,2,???,?).

(3)求和:用〃段部分路程的近似值之和近似代替變速直線運(yùn)動(dòng)的路程S,即

S。丫&)絹+V&)2V2+…+V?)純=1?&)△/,.

1=1

(4)取極限:記/L=max0fj,當(dāng);If0時(shí),取上式右端的極限,就得到變速直線

\<i<n

運(yùn)動(dòng)的路程S的精確值,即

5=期£丫(幻仙,.

/=!

3.總成本

設(shè)邊際成本C'(x)為產(chǎn)量x的連續(xù)函數(shù),求產(chǎn)量x從a變到0時(shí)的總成本.

我們按如下步驟進(jìn)行:

(1)分割:在[a,6]內(nèi)任意插入〃—1個(gè)分點(diǎn)

a=/<陽(yáng)<々<…<<xn=p,

把[a,£]劃分成〃個(gè)小產(chǎn)量段,并記每個(gè)小產(chǎn)量段的產(chǎn)量為

△^=看一蒼_],/'=1,2,???,/?

(2)近似代替:在每個(gè)小產(chǎn)量段中任意取一點(diǎn)自,把C'(S)作為該段的近似

平均成本,有

AC,?C'C)AX|,i=1,2,…,〃

(3)求和:把每個(gè)小產(chǎn)量段的成本相加,得總成本的近似值.

Cxfc—

i=\

(4)取極限:令X=max{AxJ,有

\<i<n

r=l

即為所求的總成本.

6.1.2定積分的定義

上述幾個(gè)具體面積、路程及總成本問題,雖然實(shí)際意義不同,但其解決問題的途徑一致,

均為求一個(gè)乘積和式的極限.類似的問題還很多,弄清它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性,

加以抽象與概括,就是定積分的定義.

定義6.1設(shè)函數(shù)〃x)在[凡切上有界.

(1)分割:在[凡句中任意插入〃一1個(gè)分點(diǎn)

a-xa<<x2<---<xn_{<xn-b,

把[凡切分成〃個(gè)小區(qū)間,并記每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為

八\.=七一尤”],j=1,2,…,“

(2)近似代替:在每個(gè)小區(qū)間[xT,xj上任取點(diǎn)自,作乘積

/?)竺,i=l,2,…,〃

(3)求和:力/?)原,;

1=1

(4)取極限:記,=max{AxJ,作極限

1</<n

(1)

i=l

如果對(duì)[凡句任意分割,白在上的任意選取,只要當(dāng)4->0時(shí),極限(1)總

趨于同一個(gè)定數(shù)/.這時(shí),我們稱函數(shù)/(x)在[a,切上可積,并稱這個(gè)極限值/為/(x)在

口,加上的定積分,記作f/(x)dx,即

ffMdx=lim£/?)...

/=!

其中/(X)稱為被積函數(shù),/(x)dx稱為被積表達(dá)式,X稱為積分變量,。稱為積分下限,b

稱為積分上限,[a,切稱為積分區(qū)間.

根據(jù)定積分的定義,前面所舉的例子可以用定積分表述如下:

(1)曲線y=/(x)(f(x)20),x=a,x=b,y=0所圍圖形的面積

(2)質(zhì)點(diǎn)以速度v=p(f)作直線運(yùn)動(dòng),從時(shí)刻T1到時(shí)刻T2所通過的路程

5=(-v(t)dt.

(3)邊際成本為C'(x)在產(chǎn)量x從a變到夕時(shí)的總成本

C=^C'(x)dx.

關(guān)于定積分,還要強(qiáng)調(diào)說明如下幾點(diǎn):

(1)定積分與不定積分是兩個(gè)截然不同的概念.定積分是一個(gè)數(shù)值,它與被積函數(shù)

/(x)及積分區(qū)間[凡切有關(guān),而與積分變量取什么字母無關(guān),因此,有

f(x)dx=1/⑺力.

(2)關(guān)于函數(shù)/(x)的可積性問題,我們不作深入討論,僅直接給出下面兩個(gè)定理,

證明從略.

定理1閉區(qū)間口,切上的連續(xù)函數(shù)必在[凡們上可積.

定理2閉區(qū)間口,們上的只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)必在口力]上可積.

(3)當(dāng)。=6時(shí),規(guī)定j/(x)dx=O.

(4)規(guī)定[于(x)dx=-Jf(x)dx.

(5)定積分的幾何意義:在[a,句上如果/(x)NO,f/(x)dx表示曲線y=/(x),

直線x=a,x=b,y=0所圍成的圖形的面積;如果/(x)<0,則,/(x)dx表示由曲線

y=f(x),直線x=a,x=b,y=0所圍成的圖形的面積的負(fù)值;如果/(x)既取得正值

又取得負(fù)值時(shí),[/(x)dx表示介于x軸,函數(shù)/(x)的圖像及直線x=a,x=b之間的各

部分圖形的面積的代數(shù)和,其中在x軸上方的部分圖形的面積規(guī)定為正,下方的規(guī)定為負(fù),

見圖6-2.

圖6-2

例1利用定積分定義計(jì)算定積分{x2dx.

解:因?yàn)楸环e函數(shù)/在[0,1]上連續(xù),從而可積.所以積分值與[0,1]的分法及昏的取

法無關(guān),故

(1)將[0,1]分成〃等份,取分點(diǎn)七=人,每個(gè)小區(qū)間[x,T,尤」的長(zhǎng)度

n

Ax.=-(z=1,2,…;

n

(2)近似代替:取作A4產(chǎn)/?).=(與2._?=1,2「..,”);

nnn

(3)求和:S4〃2=強(qiáng)/=]嗎(2+》;

(4)取極限:令丸=max{ArJ,當(dāng)4f0時(shí)(〃—>oo)

\<i<n

fX虬=燃孕3=也:(1+》(2+1=;

§6.2定積分的性質(zhì)

在以下所列的性質(zhì)中,均認(rèn)定函數(shù)/(x),g(x)在指定區(qū)間上可積.

性質(zhì)1兩個(gè)函數(shù)的和(差)的積分等于兩函數(shù)積分的和(差),即

f"(x)±g(x)]dx=ff(x)dx±fg(x)dx.

證:由定積分的定義有

f"(X)士gM]dx=hm£"(。)±g?)]蝕=lim£/?)用土姓fg?)上

i=li=li=l

=f(x)dx±[g(x)dx.

該性質(zhì)對(duì)于任意有限個(gè)函數(shù)也成立.

性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面,即

^lrf(x)dx-k^f(x)dx.(%為常數(shù))

性質(zhì)3(定積分的積分區(qū)間可加性)如果將積分區(qū)間切分成兩個(gè)小區(qū)間[a,c]和

[c,b],則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩個(gè)小區(qū)間上定積分之和,即若a<c<b,則

ff(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx.

J(iJaJc

當(dāng)c不介于之間時(shí),上式仍然成立.例如,a<b<c,則

=f/(x)dx+[以x)dx,

于是f/(x)dx=[f(x)dx-[f(x)dx=[f(x)dx+f/(x)dx.

性質(zhì)4如果在[a,切上,/(x)三1,則f'ldx=f'dx=b-a.

JaJa

性質(zhì)5如果在[a,6]上,/(x)>0,則[/(x)dx20.

推論1如果在[a,0上,/(x)Kg(x),則[/(x)dxWjg(x)dx.

推論2^f(x)dx<^\f(x)\dx.

性質(zhì)6(定積分的估值定理)設(shè)M及加分別是函數(shù)/(x)在[a,句的最大值及最小值,

m(b-a)<f(x)dx<M(b—a)(a<b)

以上這些性質(zhì)或推論的證明均可類似性質(zhì)1用定積分的定義或利用性質(zhì)5來完成,請(qǐng)讀

者自行證明.

性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)/(x)在[凡上連續(xù),則在[a,切上至少存在一

點(diǎn)。,使

f/(x)dx=/C)(A-a)(a必訓(xùn).

證:根據(jù)定積分估值定理,有

m<--一ff(x)dx<M,

h-a人

這說明『一f/(x)dx是介于函數(shù)/(x)的最小值機(jī)及最大值M之間的一個(gè)數(shù),根據(jù)閉區(qū)

間上連續(xù)函數(shù)的介值定理,在[a,切上至少存在一點(diǎn)自,使得

;//(x)dx=/C),gWb),

b-ak

即f/(x)dx=/?3-a)(a<^<b).

性質(zhì)7的幾何解釋為:在區(qū)間[a,切上至少存在一點(diǎn)使得以[凡句為底邊,以曲線

y=/(x)為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊、而高為了《)的一個(gè)矩形的面積(見圖6

-3),圖中的正負(fù)符號(hào)是/(x)相對(duì)于長(zhǎng)方形凸出和凹進(jìn)的部分,并稱一L為函

數(shù)/(x)在區(qū)間[a,加上的平均值.

例2估計(jì)積分值的大小.

解:4/(x)=x4,因XG[1,2],則尸(行=4下>0,所以/(x)在[1,2]上單調(diào)增加,

/(x)在口,2]上的最小值z(mì)n=/(l)=l,最大值V=/(2)=16.所以有

1-(2-1)<j2x4Jx<16-(2-l),

即1<fx4dx<16.

例3比較feZx與f(l+x)dx的大小.

解:令"x)=e,—(1+x),因xe[0,l],則>'(x)=e*—lN0(僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成

立),所以/(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,即x>0時(shí),/(x)>/(0)=0,故在(0,1)內(nèi)e'>l+x,

所以

(e'dx〉f(1+x)dx

作業(yè):&91

電1(2)(4)23

§6.3微積分基本公式

教學(xué)目的與基本要求:

1.掌握微積分基本定理的條件,結(jié)論及應(yīng)用方法.

2.熟練掌握定積分的基本公式.

重點(diǎn):微積分基本定理,

難點(diǎn):變上限積分.

課時(shí):2學(xué)時(shí).

在6.1節(jié)我們利用定積分的定義計(jì)算在[0,1]上被積函數(shù)為f(x)=x2的定積分,計(jì)算它

己經(jīng)比較困難,如果被積函數(shù)變得比較復(fù)雜,利用定積分的定義計(jì)算定積分就會(huì)變得非常困

難,甚至不可解.因而,必須尋求計(jì)算定積分的新的方法.

我們知道,物體以變速V。)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí),它在時(shí)間間隔[4,寫]上所經(jīng)過的路程為

s=

但從另一角度來考慮,路程S可用位移函數(shù)S(f)在時(shí)間間隔區(qū),與]上的改變量來表示,

S=S(T2)-SQ).

因?yàn)镾'(f)=v。),即位移函數(shù)SQ)是速度函數(shù)V。)的一個(gè)原函數(shù),所以上式說明:速

度函數(shù)V。)在[工,n]上的定積分,等于原函數(shù)S(f)在口,4]上的改變量.這個(gè)實(shí)例使我們

看到定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系.對(duì)于一般函數(shù)/*),設(shè)尸(x)=/(x),是否也有

f/(x)dx=F3)—F(a)?

為此,我們先討論積分上限函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.

6.3.1積分上限函數(shù)

設(shè)函數(shù)/(X)在區(qū)間[a,句上連續(xù),x為區(qū)間[凡句上的任意一點(diǎn),則/(X)在[凡對(duì)上連

續(xù),因此,定積分[/(x)dx存在,它的值隨上限x的變化而變化.對(duì)于每一個(gè)上限xe[a,h],

都有一個(gè)唯一的確定值與之對(duì)應(yīng),故它是上限x的函數(shù),稱為積分上限函數(shù),記為①(x),

即①(x)=f(x)dx.

這里定積分的上限是無,而積分變量也是x,山于定積分與積分變量所用字母無關(guān),為

了避免混淆起見,我們將積分變量換成f,于是寫成①(x)=(a<x<b).

從幾何上看,①(x)=1/⑺力表示區(qū)間[a,劃上曲邊梯形的面積,如圖6-4中陰影部

分的面積.

圖6-4

枳分上限函數(shù)①(x)具有下面的重要性質(zhì):

定理3如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[出們上連續(xù),則積分上限函數(shù)①(x)=力是

/(x)在[凡切上的一個(gè)原函數(shù),即

①'(x)=;f/⑺小=/(x)(a<x<b).

dxJa

證:任取x及Ax,使x,x+Ax£[〃,/?],則

①a+&)=)力=[7(0^+『珈/⑺力,

于是,

△①=①(x+Ax)-①(x)

M件+AxAXM+AX

=(f(t)dt+[f⑺出,

由積分中值定理,在X與x+Ar之間至少存在一點(diǎn)g,使得

1f⑴dt=fq)Ax.

其中J介于x與;v+?之間,當(dāng)加:30時(shí),x+Axfx時(shí),,從而有Jf冗,所以有

lim——=hm—=lim/(J)=f(x),

ZLr-?0A,A.V->0A.A.V->0

即①'(x)=/(x).

由原函數(shù)的定義可知,積分上限函數(shù)①(x)=['/⑺應(yīng)是函數(shù)/(X)在[凡切上的一個(gè)原

函數(shù).

推論設(shè)/(X)在[a,句上連續(xù),e(x)在句上可導(dǎo),則

-j-『"/?)力=/Ie(x)M(x)?

dx八

證:設(shè)〃=e(x),由定理3與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

=/(?)?—=丹例期98)?

ax

定理3說明了連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù),并初步揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系,從

而有可能利用原函數(shù)來計(jì)算定積分.

6.3.2微積分基本公式

定理4如果函數(shù)尸(x)是口力]上的連續(xù)函數(shù)/(x)的任意一個(gè)原函數(shù),則

f(x)dx=F(b)-F(a).

Jf(l

證:因?yàn)棰?x)=1/(f)df與E(x)都是/(x)的原函數(shù),故

F(x)-①(無)=C,(a<x<b)

其中C為某一常數(shù).

令x=a,得/(0—①(a)=C,且①⑷=[/(/)力=0,即有C=R(a),故

^(x)=F(x)-F(a)=[f(t)dt.

再令尤=8,有

^f(X)dX=F(b)-F(a).

為了方便起見,還常用/")「表示尸(力)一尸(。),即

該式稱為微積分基本公式或牛頓-萊布尼茨公式.它揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)

在聯(lián)系,把定積分的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題,是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁,在微

積分學(xué)中具有極其重要的意義.

例4計(jì)算(/公.

解:由于工丁是產(chǎn)的一個(gè)原函數(shù),所以根據(jù)牛頓一萊布尼茨公式有

3

例5計(jì)算

iY

解:由于??/的一個(gè)原函數(shù)為arcsin己,故

4^2

rtdx.XI.1..K

I",-arcsin—=arcsin——arcsin0=-

2o26

例6計(jì)算「叱小.

JX

解:f=£inxt/(lnx)=^(lnx)||=;.

Ifsinx.2

例7計(jì)算lim上]Ldt.

Xf0xM

解:這是一個(gè)“9,,型的未定式,運(yùn)用洛必達(dá)法則及本節(jié)中的推論來計(jì)算這個(gè)極限.

o

d產(chǎn)_/2d.2du_2

edt=—e——=esinx-cosx,

du小dt

e%=』3=lim亡3=1.

I,inx

所以lim-f

XT。XMx->0%x->0]

作業(yè):色1(2)(4)

4562⑴⑶34

§6.4定積分的換元法

教學(xué)目的與基本要求:

1.熟練掌握定積分的換元積分法和分步積分法.

重點(diǎn):定積分的換元積分法和分步積分法.

課時(shí):2學(xué)時(shí).

牛頓―萊布尼茨公式為定積分計(jì)算提供了簡(jiǎn)便的方法,即把求定積分的問題歸結(jié)為求被

積函數(shù)的原函數(shù)的問題.與不定積分的換元法相對(duì)應(yīng),我們可以用換元法來求定積分.

定理5設(shè)

(1)函數(shù)/(x)在區(qū)間[凡句上連續(xù);

(2)函數(shù)x=e(t)在區(qū)間上是單值的,且有連續(xù)導(dǎo)數(shù);

(3)當(dāng)aW/W/?時(shí),a<(p(t)<b,且e(a)=a,(p(0)=b,貝ij

f/(x)dx=ff[(p(t)](p'(t)dt.

證:由假設(shè)可知,上式兩邊的被積函數(shù)都是連續(xù)的,故它們的定積分和原函數(shù)都存在.設(shè)

尸(X)是/(X)的一個(gè)原函數(shù),由復(fù)合函數(shù)微分法知

ddFAy

-凡夕⑺]=--=f(x)-(p'(t)=/[*)]“"),

dtdxdt

故He。)]是/即(r)]"⑴的一個(gè)原函數(shù).根據(jù)牛頓―萊布尼茨公式

f/(x)dx=b(x*=F3)T(a),

于是「力。(。]。'(,)力="。。)]/

="(£)]--。⑷]=F(b)--⑷,

所以ffMdx=f/蹄⑺心'⑺力(2)

(2)式稱為定積分的換元積分公式.由此定理可知,通過變換x=e(r)把原來的積分

變量X換成新變量f時(shí),在求出原函數(shù)后可以不必像計(jì)算不定積分那樣把它變回原變量X的

函數(shù),只要根據(jù)x=e?),相應(yīng)變動(dòng)積分上下限即可.

「dx

例1求定積分11+Vx

解:令近=,,即%=/,則公=3/力,且當(dāng)x=0忖,f=0;當(dāng)x=8時(shí),r=2,

于是

dx3t2dtJ12i「J2

----=3—t~-t+ln(l+z)=3In3.

\+y/x1+r2八0

22

例2計(jì)算£yja-xdx(a>0).

JI

解:設(shè)x=asinr,則dx=acos/力,且當(dāng)x=0時(shí),t=0;當(dāng)x=a時(shí),t=—,于

2

cos2tdt

例3計(jì)算pcos5xsinxdx.

7T

解:設(shè)f=cosx,則力二-sinxdr,且當(dāng)犬=0時(shí),t=\;當(dāng)工=—時(shí),Z=0.于是

2

Pcos5xsinxdx=-^t5dt=,力

606

在例3中,如果我們不明顯地寫出新變量7,那么,定積分的上、下限就不要改變.

fr5-jr75JZ、cosxf11

J^2cosxsinx6fx=-^2cosxJ(cosx)=------=一(0一%)二不,

例4試證:若〃x)在[-〃,句上連續(xù),則

(1)L〃x)dx=「"JX)+/"Mx;

(2)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),P/(x)dx=0;

(3)當(dāng)/(x)為偶函數(shù)時(shí),£/(x)Jx=2/f(x)dx.

證:(1)因?yàn)閇f(x)dx=£f(x)dx+1f(x)dx,

對(duì)積分式[J(x)dx作變換x=T,則有

£/(x)Jx=-£于(-t)dt=£f(-x)dx,

從而Jj(x)dx=[[/(-x)+/(x)]Jx.

(2)若f(x)為奇函數(shù),即/(—x)=-/(x),由(1)有

[j(x)dx=1"(—x)+/(x)]dx=0.

(3)若f(x)為偶函數(shù),即/(-%)=f(x),由(1)有

「/(x)dx=£[/(-%)+f(x)]dx=21f(x)dx.

例5計(jì)算「"sin:dx.

*1+cos-X

g產(chǎn)xs?mx.r7rtxs,mx,產(chǎn)xs?mx.

解:I-----=dx=I2------dx+L------dx.

*1+COSX切1+COS~X々1+COSX

在后一積分式中作變換工="-乙有

—j=_"二嚶八n%

+1+cosXS1+COSt力1+COSX

十口rxs?mx,rR;s?inx/、不"朽2

于是------z—dx-71V-----z—ax--7iarctan(cosx)=一

卜l+cos2xl+cos2xo4

§6.5定積分的分部積分法

如果函數(shù)〃=u(x),1,二期(%)在[凡。]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則

[udv=uva~vdu,

這就是定積分的分部積分公式.

事實(shí)上(uv)r=UV+UV,

即UV1=(uvY-u'v,

上式兩邊取了由。到匕的定積分,得

ruvdx=f(uv)fdx-fuvdx,

J(IJt?

即iudv=uv^-[vdu.

例1計(jì)算flnxdx.

解:令〃=lnx,v=x,du=-dx,則

X

£Inxdx=xlnx|?-£x-dx=e-x^=1.

例2計(jì)算「x2cosxdx.

角翠:令〃=12,dv=CQSxdx,貝ijd〃=2xdx,v=sinx,于是

]xcosxdx=jxdsinx=(x;inx)|o-]Ixsmxdx=-2jx^nxdx.

再用分部積分公式,得

「x1cosxdx=2「xdcosx=2(XCOSJC)|Q-cosxdx

=21(xcosx)|j-sinx|gJ=一2乃.

i

例3計(jì)算parcsinxdx.

i?i

解:?arcsinxdx=(xarcsinx)2-Fxdarcsinx

=1,£_『X4+2)

26Ji-

吒+G=716.

——+----1.

122

KK

例4證明psin"xdx=Fcosnxd)C,并求/“=fsin"xdx(〃為正整數(shù)).

TT

證:在/“中,用換元積分法,令x=—-t,于是dx=-df,sinx=sin--r=cost.

TTrr

當(dāng)x=0時(shí),t=—;當(dāng)工=—時(shí),,=0,于是,

22

兀兀兀

Psin"xdx=-,cos"tdt=fcos"tdt=rcos"xdx.

再求/〃.當(dāng)〃=0時(shí),有/o=?sin°xdx=、;

當(dāng)〃=1時(shí),有人=,sinxdx=1;

當(dāng)〃22時(shí),由定積分分部積分法有

nn

,,-1

In=『sin"xdx=PsinxJ(-cosx)

nn

二(-sin"7xcosx)5一f(一cosx)d(sin”“x)

=(/?_1)PsinH-2XCOS2Xi2

2sin〃一2x(l-sinx)dx

-(n-l)psin"-2xdx-(n-1)Psin“xdx=(n-l)/?J_2-(H-l)/n,

移項(xiàng),整理得

(n>2).

這個(gè)等式是積分/〃的遞推公式.依此類推,可得,當(dāng)〃為正偶數(shù)時(shí),

/_n—1n-31n-1n—3171

—?/()=-----------

nn-22nn-22,?

當(dāng)〃為大于1的奇數(shù)時(shí),

n-32〃一1tt—342

一?/=-----------

nn-23nn-253

n-\H-3]_TC

"為止偶數(shù)

nn-22~2

合并得/“二

n-\n-342

〃為大于1的奇數(shù)

n〃一253

從上面幾個(gè)例題可知:定積分的分部積分法與不定積分的分部積分法基本相同,只是在

積分過程中,每一步都應(yīng)寫上積分限.

作業(yè):%1(2)(4)(6)(8)(10)(12)%7

《6112

§6.6廣義積分

教學(xué)目的與基本要求:

1.熟練掌握無限區(qū)間上的廣義積分與無界函數(shù)的廣義積分.

重點(diǎn):掌握廣義積分的斂散性的判別法.

課時(shí):2學(xué)時(shí).

定積分存在有兩個(gè)必要條件,即積分區(qū)間有限與被積函數(shù)有界.但在實(shí)際問題中,經(jīng)常

遇到積分區(qū)間無限或被積函數(shù)無界等情形的積分,這是定積分的兩種推廣形式,即廣義積分.

6.6.1無限區(qū)間上的廣義積分

定義2設(shè)函數(shù)/(x)在[凡+8)上連續(xù),取f>a,如果lim/(x)dx存在,則此極限稱為

/(X)在[a,+8)上的廣義積分,記作「"(xWx=lim有時(shí)也說廣義積分

「"/(幻心收斂,若lim不存在,則稱廣義積分「丁(了世發(fā)散.

Jr?r—>+aoJaJa

類似地,可以定義無窮區(qū)間(-8,切匕的廣義積分和(-00,+8)上的廣義積分.

ff(x)dx^lim

£f(x)dx=J/(x)tZx+『f(x)dx.

其中c為任意實(shí)數(shù),此時(shí)[j^dx與/(xMx都收斂是/(xMx收斂的充分必要條

件.

由牛頓-萊布尼茲公式,若牛(x)是/(x)在[a,+8)上的一個(gè)原函數(shù),且limE(x)存在,則

廣義積分

rf{x}dx=limF(x)—F(a).

JaxT+oo

為了書寫方便,當(dāng)limR(x)存在時(shí),常記E(+oo)=limF(x),即

[rf(x)dx=FM=F(+oo)-F(6Z).

另外兩種類型的廣義積分收斂時(shí)也可類似地記為

b+O0

£/(X)JX=F(X)=F(b)~F(-oo),[/(xRx=F(x)=F(+oo)-F(-oo).

-oo"-00

注意:當(dāng)F(+oo),F(-oo)有一個(gè)不存在時(shí),廣義積分發(fā)散.

上述廣義積分統(tǒng)稱為積分區(qū)間為無窮的廣義積分,也簡(jiǎn)稱無窮限積分.

例1計(jì)算無窮限積分]pe-'dx.

圖6-5

xxr

解:Pe~dx=lim[e~dx=lim(-^")=lim(-e-z+1)=1.

Jorf+ooJorf+00o/->+x

此積分在幾何上表示在區(qū)間[0,+8)匕e'和x軸之間圖形的面積(如圖6-5)

例2計(jì)算[—3dx.

J-?l+x

解:「占小匚q一(一9=%,

例3證明廣義積分]“當(dāng)當(dāng)p〉l時(shí)收斂,當(dāng)p41時(shí)發(fā)散.

證:P=1時(shí)

11+8

f-ydx=1—dx-(Inx)|=+oo.

1JP陵+8,”1

當(dāng)P*I時(shí),f7公=(葭)=].

Xl-pI-p>\

[p-1

因此,當(dāng)P>1時(shí),該廣義積分收斂,其值為」一;當(dāng)pWl時(shí),該廣義積分發(fā)散.

例4試討論廣義積分「"xsinxdx的斂散性.

解:因?yàn)?/p>

lim[xsinxdx=limfxd(-cosx)

/->+ooJ0;->+ocJO

=lim(-xcosx+sin=lim(-/cosz+sinr)

TT+co10-

上述極限不存在,所以「"xsinxdx發(fā)散.

6.6.2無界函數(shù)的廣義積分

定義3設(shè)函數(shù)/(x)在\a,b]上連續(xù),而lim/(x)=oo.取£>0,如果極限

L」X-X/+0

lim£f(x)dx存在,則此極限叫做函數(shù)/(x)在[凡句上的廣義積分,仍然記作

,/(刀心,即

(f(x\lx=lim

Ja£->0M

這時(shí)也說廣義積分f/(xMx收斂.如果上述極限不存在,就說廣義積分f/。9發(fā)散

類似地,設(shè)/(X)在卜,“上連續(xù),而lim/(x)=8,取£>0,如果極限limff(x)dx

存在,則定義

ff(x)dx=limf'f(x)dx.

6t->0+M

否則,就說廣義積分發(fā)散.

又設(shè)/(x)在上力]上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù),而lim/(x)=8.如果兩個(gè)廣義積分

[與,/(幻心都收斂,則稱上述兩積分之和為函數(shù)/(X)在上的廣義積分,

£/(x)Jx=£f(x)dx+^f(x)dx,

這時(shí)稱廣義積分收斂;否則,就說廣義積分f/(xRx發(fā)散.

例5計(jì)算廣義積分『JL—(a>0).

解:因?yàn)?/p>

limf,=4-oo,

—。\la2-x2

所以x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn),于是

..CI—£

=limarcsin-----arcsin0=arcsin1=—.

£->o+a2

這個(gè)廣義積分值在幾何上表示位于曲線>=-;"=彳之下,X軸之上,直線x=0與

—%-

x=Q之間的圖形面積(如圖6-6).

圖6-6

例6討論廣義積分的斂散性.

解:因?yàn)楸昏缀瘮?shù)〃x)=4在積分區(qū)間[-1,1]上除x=0外連續(xù),且㈣4=°°?所以x=0

是被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn),于是

所以廣義積分上;必發(fā)散,因而廣義積分發(fā)散.

注意:若該題未注意到x=0是無窮間斷點(diǎn),而直接利用定積分計(jì)算,有

J:5dx=(-[)L=-1-1=一2,則出現(xiàn)錯(cuò)誤,故在積分計(jì)算中一定要注意檢查是否有無

窮間斷點(diǎn).

例7證明廣義積分與當(dāng)q<1時(shí)收斂,當(dāng)q21時(shí)發(fā)散.

證:當(dāng)q=l時(shí)

[―=[―lim[—dx=limInxf=oo.

Jox"*)X£-?0+J/X£->0+£

當(dāng)4聲1時(shí)

1,

fdxx'^,1--,"1

"q

+co,q>1

因此,當(dāng)q<l時(shí),該廣義積分收斂,其值為」一;當(dāng)q21時(shí),該積分發(fā)散.

1-<7

例8

分析:它是一個(gè)定積分區(qū)間為無窮的廣義積分,并且

除0點(diǎn)外,在積分區(qū)間上連續(xù),且lim=00,故廣義積分既是無限

x->0+

區(qū)間的廣義積分,又是無界函數(shù)的廣義積分,因此本題要分成兩種廣義積分來計(jì)算

解:

lim“dx+lim&dx

r->co

=limf(-2上-為(-4)+lim](-2.3(-4)

J—>0/TOOJI

=lim(-2e-1+2"指)+lim(-2e^+21)

=-20-+2+0+2/=2.

注:該廣義積分既是無限區(qū)間的廣義積分,又是無界函數(shù)的廣義積分,可簡(jiǎn)稱為混合型的廣

義積分.

作業(yè):%1(2)(4)(6)2(1)(3)(5)

§6.7定積分的應(yīng)用

教學(xué)目的與要求:

1.學(xué)會(huì)掌握微分法處理問題的基本思想.

2.熟記平面圖形面積及平面曲線的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式.

重點(diǎn):微元法的思想及平面圖形面積.

難點(diǎn):微元法.

課時(shí):6學(xué)時(shí).

6.7.1定積分的元素法

根據(jù)定積分的定義,用它解決實(shí)際問題的基本方法是“分割、近似、求和、取極限”,也就

是下述四個(gè)步驟:

第一步:分割,將所求量尸的定義域可任意分成〃個(gè)小區(qū)間

a=x0<xi---<xn=b.

第二步:近似,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)。作為F在此小區(qū)間上的近似值,

第三步:求和,求出產(chǎn)在整個(gè)區(qū)間[。,可上的近似值,F(xiàn)=

/=1f=l

第四步:取極限,取/l=max(Ar,.)^0時(shí)的極限得到b在[a,b]上的精確值,

/=lim£/C=ff(x)dx.

2->0/=1而

在上述四個(gè)步驟中,第二步最為關(guān)鍵,因?yàn)樗苯記Q定了最后的積分表達(dá)式.在實(shí)際的應(yīng)用

中,通常將上述四步簡(jiǎn)化為以下兩步:

(1)在可上任取一個(gè)子區(qū)間[x,x+dx],求出/在此區(qū)間上的部分量△£.的近似值,

記為dF=f(x)dx(稱為f的元素)

(2)將元素而在[a,句上積分(無限量加)得尸=f/(xMx.

(1)、(2)兩步解決問題的方法稱為定積分的元素法.

利用元素法解決實(shí)際問題最主要的是準(zhǔn)確求出元素表示式dF=/(x)dx.一般地,根據(jù)具體

問題的實(shí)際意義及數(shù)量關(guān)系,在局部[x,x+dx]上,采取以“常量代替變量”,“均勻代替不

勻”,“直線代替曲線”的方法,利用關(guān)于常量,均勻,直線的已知公式,求出在局部[x,x+dx]

上所求量的近似值,從而得到所求元素dQ=/(x)dx,就可化為定積分求解.

下面我們用元素法來討論定積分的?些應(yīng)用問題.

6.7.2平面圖形的面積

1、直角坐標(biāo)情形

由定積分的幾何意義可知,曲線y=/(x)(/(x)20),x軸及直線x=a,x=b所圍

成的平面圖形的面積可以表示為定積分即

A=£/(x)Jx.

其中被積表達(dá)式/(x)dx就是直角坐標(biāo)系下的面積微元dA,如圖6-1所示,它表示高為

/(x),底為dx的一個(gè)矩形面積.

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