2023年高中物理競賽振動與波習題

高中物理競賽——振動與波習題一、簡諧運動的證明與周期計算物理情形：如圖5所示，將一粗細均勻、兩邊開口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長為L。當水銀受到一個初始的擾動后，開始在管中振動。忽略管壁對汞的阻力，試證明汞柱做簡諧運動，并求其周期。模型分析：對簡諧運動的證明，只要以汞柱為對象，看它的回復力與位移關系是否滿足定義式①，值得注意的是，回復力系指振動方向上的合力（而非整體合力）。當簡諧運動被證明后，回復力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。本題中，可設汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時位移為x、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S，則此瞬時的回復力ΣF=ρg2xS=x由于L、m為固定值，可令：=k，并且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡諧運動。周期T=2π=2π答：汞柱的周期為2π。學生活動：如圖6所示，兩個相同的柱形滾輪平行、等高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉動，在滾輪上覆蓋一塊均質的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L、滾輪與木板之間的動摩擦因素為μ、木板的質量為m，且木板放置時，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運動，并求木板運動的周期。思緒提醒：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→力矩平衡和ΣF6=0結合求兩處彈力→求摩擦力合力…答案：木板運動周期為2π。鞏固應用：如圖7所示，三根長度均為L=2.00m地質量均勻直桿，構成一正三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉軸轉動。桿AB是一導軌，一電動松鼠可在導軌上運動?，F(xiàn)觀測到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試討論松鼠的運動是一種什么樣的運動。解說：由于框架靜止不動，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設松鼠的質量為m，即：N=mg①再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點為轉軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠也許加速的靜摩擦力f，它們合力矩為零，即：MN=Mf現(xiàn)考察松鼠在框架上的某個一般位置（如圖7，設它在導軌方向上距C點為x），上式即成：N·x=f·Lsin60°②解①②兩式可得：f=x，且f的方向水平向左。根據(jù)牛頓第三定律，這個力就是松鼠在導軌方向上的合力。假如我們以C在導軌上的投影點為參考點，x就是松鼠的瞬時位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關系——=－k其中k=，對于這個系統(tǒng)而言，k是固定不變的。顯然這就是簡諧運動的定義式。答案：松鼠做簡諧運動。評說：這是第十三屆物理奧賽預賽試題，問法比較模糊。假如理解為定性求解，以上答案已經足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進一步的定量運算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運動周期為：T=2π=2π=2.64s。二、典型的簡諧運動1、彈簧振子物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質彈簧連著一個質量為m的小球，置于傾角為θ的光滑斜面上。證明：小球在彈簧方向的振動為簡諧運動，并求其周期T。學生自己證明…。周期T=2π模型分析：這個結論表白，彈簧振子完全可以突破放置的方向而伸展為一個廣義的概念，且伸展后不會改變運動的實質。另一方面，我們還可以這樣拓展：把上面的下滑力換程任何一個恒力（如電場力），它的運動性質仍然不會改變。當然，這里的運動性質不變并不是所有運動參量均不改變。譬如，振子的平衡位置、振動方程還是會改變的。下面我們看另一類型的拓展——物理情形：如圖9所示，兩根相同的彈性系數(shù)分別為k1和k2的輕質彈簧，連接一個質量為m的滑塊，可以在光滑的水平面上滑動。試求這個系統(tǒng)的振動周期T。解說：這里涉及的是彈簧的串、并聯(lián)知識綜合。根據(jù)彈性系數(shù)的定義，不難推導出幾個彈性系數(shù)分別為k1、k2、…、kn的彈簧串、并聯(lián)后的彈性系數(shù)定式（設新彈簧系統(tǒng)的彈性系數(shù)為k）——串聯(lián)：=并聯(lián)：k=在圖9所示的情形中，同學們不難得出：T=2π當情形變成圖10時，會不會和圖9同樣呢？具體分析形變量和受力的關系，我們會發(fā)現(xiàn)，事實上，這時已經變成了彈簧的并聯(lián)。答案：T=2π。思考：假如兩個彈簧通過一個動滑輪（不計質量）再與質量為m的鉤碼相連，如圖11所示，鉤碼在豎直方向上的振動周期又是多少？解：這是一個極容易犯錯的變換——由于圖形的外表形狀很象“并聯(lián)”。但通過仔細分析后，會發(fā)現(xiàn)，動滑輪在這個物理情形中起到了重要的作用——致使這個變換的結果既不是串聯(lián)、也不是并聯(lián)?！锊⑶遥覀兦懊嬉呀涀C明過，重力的存在并不會改變彈簧振子的振動方程，所認為了方便起見，這里（涉及后面一個“在思考”題）的受力分析沒有考慮重力。具體分析如下：設右邊彈簧的形變量為x2、滑輪（相對彈簧自由長度時）的位移為x、鉤子上的拉力為F，則k1x1=k2x2x=F=2k2x2解以上三式，得到：F=x，也就是說，彈簧系統(tǒng)新的彈性系數(shù)k=。答：T=π。再思考：假如兩彈簧和鉤碼通過輕桿和轉軸，連成了圖12所示的系統(tǒng)，已知k1、k2、m、a、b，再求鉤碼的振動周期T。思緒提醒：探討鉤碼位移和回復力關系，和“思考”題類似。（過程備考：設右彈簧伸長x2，則中間彈簧伸長x1=x2鉤碼的位移量x=x1+x2而鉤碼的回復力F=k1x1結合以上三式解回復力系數(shù)k==，所以…）答：T=2π。2、單擺單擺分析的基本點，在于探討其回復力隨位移的變化規(guī)律。相對原始模型的伸展，一是關于擺長的變化，二是關于“視重加速度”的變化，以及在具體情形中的解決。至于復雜的擺動情形研究，往往會超過這種基本的變形，而僅僅是在分析方法上做適當借鑒。物理情形1：如圖13所示，在一輛靜止的小車內用長為L的輕繩靜止懸掛著一個小鋼球，當小車忽然獲得水平方向的大小為a的加速度后（a＜g），試描述小球相對小車的運動。模型分析：小鋼球相對車向a的反方向擺起，擺至繩與豎直方向夾角θ=arctg時，達成最大速度，此位置即是小球相對車“單擺”的平衡位置。以車為參照，小球受到的場力除了重力G外，尚有一慣性力F。所以，此時小球在車中相稱于處在一個方向傾斜θ、大小變?yōu)榈男隆爸亓Α钡淖饔茫瑢俪厍闆r。這是一種“視重加速度”增長的情形。解說：由于擺長L未變，而g視=，假如a很小，致使最大擺角不超過5°的話，小角度單擺可以視為簡諧運動，周期也可以求出來。答案：小球以繩偏離豎直方向θ=arctg的角度為平衡位置做最大擺角為θ的單擺運動，假如θ≤5°，則小球的擺動周期為T=2π物理情形2：某秋千兩邊繩子不等長，且懸點不等高，相關數(shù)據(jù)如圖14所示，且有a2+b2=+，試求它的周期（認為人的體積足夠小）。模型分析：用C球替代人，它事實上是在繞AB軸擺動，類似將單擺放置在光滑斜面上的情形。故視重加速度g視=gcosθ=g，等效擺長l=，如圖15所示。由于a2+b2=+可知，AC⊥CB，因此不難求出=，最后應用單擺周期公式即可。答案：T=2π。相關變換1：如圖16所示，質量為M的車廂中用長為L的細繩懸掛著一個質量為m的小球，車輪與水平地面間的摩擦不計，試求這個系統(tǒng)做微小振動的周期。分析：我們知道，證明小角度單擺作簡諧運動用到了近似解決。在本題，也必須充足理解“小角度”的含義，大膽地應用近似解決方法。解法一：以車為參照，小球將相對一個非慣性系作單擺運動，在一般方位角θ的受力如圖17所示，其中慣性力F=ma，且a為車子的加速度。由于球在垂直T方向振動，故回復力F回=Gsinθ+Fcosθ=mgsinθ+macosθ①*由于球作“微小”擺動，其圓周運動效應可以忽略，故有T+Fsinθ≈mgcosθ②再隔離車，有Tsinθ=Ma③解①②③式得F回=*再由于球作“微小”擺動，sin2θ→0，所以F回=④令擺球的振動位移為x，常規(guī)解決sinθ≈⑤解④⑤即得F回=x顯然，=k是恒定的，所以小球作簡諧運動。最后求周期用公式即可。解法二：由于車和球的系統(tǒng)不受合外力，故系統(tǒng)質心無加速度。小球可以當作是繞此質心作單擺運動，而新擺長L′會小于L。由于質心是慣性參照系，故小球的受力、回復力的合成就很常規(guī)了。若繩子在車內的懸掛點在正中央，則質心在水平方向上應與小球相距x=Lsinθ，不難理解，“新擺長”L′=L。（從嚴謹?shù)囊饬x上來講，這個“擺長”并不固定：隨著車往“平衡位置”靠近，它會加長。所以，這里的等效擺長得出和解法一的忽略圓周運動效應事實上都是一種相對“模糊”的解決。假如非要做精確的運算，不啟用高等數(shù)學工具恐怕不行。）答：T=2π。相關變換2：如圖18所示，有一個均質的細圓環(huán)，借助一些質量不計的輻條，將一個與環(huán)等質量的小球固定于環(huán)心處，然后用三根豎直的、長度均為L且不可伸長的輕繩將這個物體懸掛在天花板上，環(huán)上三個結點之間的距離相等。試求這個物體在水平方向做微小扭動的周期。分析：此題的分析角度大變。象分析其它物理問題同樣，分析振動也有動力學途徑和能量兩種途徑，此處若援用動力學途徑尋求回復力系數(shù)k有相稱的難度，因此啟用能量分析。本題的任務不在簡諧運動的證明，而是可以直接應用簡諧運動的相關結論。根據(jù)前面的介紹，任何簡諧運動的總能都可以表達為E=kA2①而我們對過程進行具體分析時，令最大擺角為θ（為了便于尋求參量，這里把擺角夸大了）、環(huán)和球的質量均為m，發(fā)現(xiàn)最大的勢能（即總能）可以表達為（參見圖19）E=2m·gL(1?cosθ)②且振幅A可以表達為A=2Lsin③解①②③式易得：k=最后求周期時應注意，中間的球體未參與振動，故不能納入振子質量（振子質量只有m）。答：T=π。三、振動的合成物理情形：如圖20所示，一個手電筒和一個屏幕的質量均為m，都被彈性系數(shù)為k的彈簧懸掛著。平衡時手電筒的光斑恰好照在屏幕的正中央O點?，F(xiàn)在令手電筒和屏幕都在豎直方向上振動（無水平晃動或扭動），振動方程分別為y1=Acos(ωt+φ1)，y2=Acos(ωt+φ2)。試問：兩者初位相滿足什么條件時，可以形成這樣的效果：（1）光斑相對屏幕靜止不動：（2）光斑相對屏幕作振幅為2A的振動。模型分析：振動的疊加涉及振動的相加和相減。這里考察光斑相對屏幕的運動事實上是尋求手電筒相對屏幕的振動，服從振動的減法。設相對振動為y，有y=y1?y2=Acos(ωt+φ1)?Acos(ωt+φ2)=?2Asinsin()解說：（1）光斑相對屏幕靜止不動，即y=0，得φ1=φ2（2）要振幅為2A，必須=1，得φ1?φ2=±π答案：初位相相同；初位相相反。相關變換：一質點同時參與兩個垂直的簡諧運動，其表達式分別為x=2cos(2ωt+2φ)，y=sinωt。（1）設φ=，求質點的軌跡方程，并在xOy平面繪出其曲線；（2）設φ=π，軌跡曲線又如何？解：兩個振動方程事實已經構成了質點軌跡的參數(shù)方程，我們所要做的，只但是是消掉參數(shù)，并尋求在兩個具體φ值下的特解。在實際操作時，將這兩項工作的順序顛倒會方便一些。（1）當φ=時，x=?2(1?2sin2ωt)，即x=4y2?2描圖時應注意，振動的物理意義體現(xiàn)在：函數(shù)的定義域?1≤y≤1(這事實上已經決定了值域?2≤x≤2)（2）當φ=π時，同理x=2(1?2sin2ωt)=2?4y2答：軌跡方程分別為x=4y2?2和x=2?4y2，曲線分別如圖21的（a）（b）所示——四、簡諧波的基本計算物理情形：一平面簡諧波向?x方向傳播，振幅A=6cm，圓頻率ω=6πrad/s，當t=2.0s時，距原點O為12cm處的P點的振動狀態(tài)為yP=3cm，且vP＞0,而距原點22cm處的Q點的振動狀態(tài)為yQ=0，且vQ＜0。設波長λ＞10cm，求振動方程，并畫出t=0時的波形圖。解說：這是一個對波動方程進行了解的基本訓練題。簡諧波方程的一般形式已經總結得出，在知道A、ω的前提下，加上本題給出的兩個特解，應當足以解出v和φ值。由一般的波動方程y=Acos〔ω（t-）+φ〕（★說明：假如我們狹義地理解為波源就在坐標原點的話，題目給出特解是不存在的——由于波向?x方向傳播——所以，此處的波源不在原點。同學們自己理解：由于初相φ的任意性，上面的波動方程對波源不在原點的情形也是合用的。）參照簡諧運動的位移方程和速度方程的關系，可以得出上面波動方程所相應質點的速度（復變函數(shù)）v=?ωAsin〔ω（t-）+φ〕代t=2.0s時P的特解，有——yP=6cos〔6π（2-）+φ〕=3，vP=?36πsin〔6π（2-）+φ〕＞0即6π（2-）+φ=2k1π-①代t=2.0s時Q的特解，有——yQ=6cos〔6π（2-）+φ〕=0，vQ=?36πsin〔6π（2-）+φ〕＜0即6π（2-）+φ=2k2π+②又由于=22?12=10＜λ，故k1=k2。解①②兩式易得v=?72cm/s，φ=（或?）所以波動方程為：y=6cos〔6π（t+）+〕，且波長λ=v=24cm。當t=0時，y=6cos（x+），可以描出y-x圖象為——答案：波動方程為y=6cos〔6π（t+）+〕，t=0時的波形圖如圖22所示。相關變換：同一媒質中有甲、乙兩列平面簡諧波，波源作同頻率、同方向、同振幅的振動。兩波相向傳播，波長為8m，波傳播方向上A、B兩