新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊5 .5 .2 簡單的三角恒等變換2

5.5.2簡單的三角恒等變換

【學(xué)習(xí)目標】1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式2了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三

角恒等變換的基本思想方法.3.能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及證明三角恒

等式，并能進行一些簡單的應(yīng)用.

知識梳理梳理教材夯實基礎(chǔ)

-------------------------------------------------------------------1--------------------

輔助角公式:

asinx+bcosxtand=~

■思考辨析判斷正誤

a/1+cosa

1.cos2=\--2-----X）

a\

2.對任意a￡R,sin]=]cosa都不成立.（X）

3.若cosa=g,且a￡（0,兀），貝Icos?=乎.（V）

4.又寸任意。者「有sina+小cosa=2sin（a+§.（V）

題型探究探究重點素養(yǎng)提升

--------------------------------------------------------------------------------------------------N--------------------

一、三角恒等式的證明

1+sin6-cos8?1+sin8+cos82

'?T1+sin^+cos01+sincos0sin&

過

俎

69夕￡

+

2os-22

c2c

方

左邊

證

法

明-202

￡e應(yīng)

22

e9

--

sin2cos22

eeeene

s-s??si

co2sin2co2sm2

所以原式成立.

(1+sin8—cose)2+(l+sin8+cos呼

方法二左邊=

(1+sin8+cos8)(1+sincos6)

2(1+siney+Zcos2。4+4sin°2

;=右邊.

(1+sin02—cos202sin0+2sin20sin0

所以原式成立.

反思感悟三角恒等式證明的常用方法

⑴執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡；

(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子;

(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之,

即化異求同;

(4)比較法：設(shè)法證明“左邊一右邊=0”或“左邊/右邊=1”；

(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事

實為止，就可以斷定原等式成立.

跟蹤訓(xùn)練1求證:

2sinxcosx1+cosx

(sinx+cosx-l)(sincosx+1)sinx'

2sinxcosx

證明左邊=

2sin^cos卷-2sin?(2sin^cos^+2six^^

______2sinxcos%_______sinx

..0X(2—?c?7—

4sincos2-sin2I2sin

x八/

COST；ZCOSo1I

22I+cosx_j__

===：=右邊.

.x.xxsinx

sin22sin呼os]

所以原等式成立.

二、三角恒等變換的綜合問題

例2已知函數(shù)段)=4cos5>sin(0x+§(0>O)的最小正周期為兀.

⑴求。的值；

TT

(2)討論危)在區(qū)間[0,小上的單調(diào)性.

角星(1次1)=4coscox-

=2gsincox-coscox+2y[2cos2cox

=^2(sin2C9X+COS2cox)+Ji

=2sin（2cox+予+y/2.

因為火x）的最小正周期為兀，且G>0,

2兀

從而有漏=兀，故G=1.

（2）由（1）知，兀c）=2sin（2尤

若OWx芍，則畀2x+g苧

當(dāng)今W2x+gw^,即04竦，/（尤）單調(diào)遞增;

當(dāng)*2x+g,,即上譽時，作）單調(diào)遞減.

綜上可知，段）在區(qū)間［。,切上單調(diào)遞增，在區(qū)間低，,上單調(diào)遞減.

反思感悟研究三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性和最值問題，通常是把復(fù)雜的三角函數(shù)通過恰當(dāng)

的三角變換，轉(zhuǎn)化為一種簡單的三角函數(shù)，再研究轉(zhuǎn)化后函數(shù)的性質(zhì).在這個過程中通常利

用輔助角公式，將y=〃sin%+Z?cosx轉(zhuǎn)化為y=Asin（x+9）或y=Acos（%+g）的形式，以便研究

函數(shù)的性質(zhì).

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)7（%）=5吊2工一sir?。;一看），了￡R.

（1）求加）的最小正周期；

⑵求於）在區(qū)間［一?向上的最大值和最小值.

l-cos2x1-COS（2X-3）

解（1）由已知，有40=-2----------——Z

所以於）的最小正周期r=y=7i.

⑵因為於）在區(qū)間［蘭磊上是減函數(shù)，在區(qū)間［—5鼻上是增函數(shù),

且/（一§=—W）=T偌）=坐，

所以凡X）在區(qū)間一爭［上的最大值為坐，最小值為一去

三、三角函數(shù)的實際應(yīng)用

例3如圖，有一塊以點。為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形A8CZ)

開辟為綠地，使其一邊落在半圓的直徑上，另兩點8,C落在半圓的圓周上.已知半圓

的半徑長為20m,如何選擇關(guān)于點。對稱的點A,。的位置，可以使矩形ABC。的面積最大,

最大值是多少？

DOA

解連接。2（圖略），設(shè)/492=仇

則A8=08sin0=20sin。，OA=OBcos6>=20cos3,且

因為A,。關(guān)于原點對稱，

所以AD=20A=40cos0.

設(shè)矩形ABC。的面積為S,則

S=AD-AB=40cos6-20sin0=4OOsin20.

因為6G（o,B,所以當(dāng)sin23=1,

JT

即6=4時，5max=400(m2).

此時AO=OO=lM(m).

故當(dāng)A,。距離圓心。為1即m時，矩形ABC。的面積最大，其最大面積是400nA

反思感悟(1)三角函數(shù)與平面幾何有著密切聯(lián)系，幾何中的角度、長度、面積等問題，常借

助三角變換來解決；實際問題的意義常反映在三角形的邊、角關(guān)系上，故常用三角恒等變換

的方法解決實際的優(yōu)化問題.

(2)解決此類問題的關(guān)鍵是引進角為參數(shù)，列出三角函數(shù)式.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應(yīng)怎樣截取，才能使△048

的周長最大？

7T

解設(shè)NA03=a,貝iJOvzq,ZkOAB的周長為/,

OB

則AB=Rsina,OB—Reosa,

.\l=OA+AB+OB—R+Rsina+Rcosa

=E（sina+cosa）~\-R

=y[2Rsm（a+^+R.

..八兀.兀?兀3兀

?0<?<2，??^<0+^<彳.

：.l的最大值為也R+R=（也+1）K,

11?I7CJC口）7C

此時M，1+4=],即。=不

即當(dāng)a4時，△。48的周長最大.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

伶，2兀），則sin今等于（

1.已知cosa=5，aG

答案

解析

.aaV10

A2evT,71sin2

2.若函數(shù)y（x）=—sin2x+3（xdR）,則/（%）是（）

A.最小正周期為鄂勺奇函數(shù)

B.最小正周期為兀的奇函數(shù)

C.最小正周期為2兀的偶函數(shù)

D.最小正周期為兀的偶函數(shù)

答案D

解析於）=――「+*=；cos2x.故選D.

3.下列各式與tana相等的是（）

1-cos2a

1+cos2a

1—cos2。

sin2a

答案D

1—cos2a

解析

sin2a2sinacosacosa

4.函數(shù)產(chǎn)一小sinx+cosx在［一?，方上的值域是

答案［0,小］

角星析y=—小sinx+cosx=

又???-亞通

答案2

解析卷一COS^=g,

.I.1..4

..1—sin1=5，?*sina=q

一7??兀.3

?]＜。＜兀,??cosck~~5.

5

■課堂小結(jié)一

1.知識清單：

⑴半角公式；

(2)輔助角公式；

⑶三角恒等變換的綜合問題；

(4)三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用.

2.方法歸納：換元思想，化歸思想.

3.常見誤區(qū)：半角公式符號的判斷，實際問題中的定義域.

課時對點練---------注-重-雙-基、強-化--落-實

g基礎(chǔ)鞏固

1.設(shè)5兀＜夕＜6兀，cos2=a,則sina等于()

yjl+a［］一〃/1+afl—a

A-2B-2C.-y2D.一'2

答案D

包e

<371

解析,.?5?！础！?兀,4q2

..sin^—―

2.設(shè)a=^cos6°—孚sin6°,/?=2sin13°cos13°,1—cos5a

,則有（)

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

答案c

解析由題意可知，q=sin24。，Z?=sin26°,c=sin25°,而當(dāng)0。4<90。，y=sinx為增函數(shù),

a<c<b,故選C.

3.已知函數(shù)危）=2852%一5皿2%+2,則（）

A.兀0的最小正周期為兀，最大值為3

B.八工）的最小正周期為兀，最大值為4

C.八工）的最小正周期為2兀，最大值為3

D.1工）的最小正周期為2兀，最大值為4

答案B

3335

解析易知fix)=2cos2x—sin2x+2=3cos2x+1=2(2cos2x—1)+]+1=]cos2x+],

則/（X）的最小正周期為71,

當(dāng)％=配（%￡2）時，兀i）取得最大值，最大值為4.

4.化簡（sin]+cos?）2+2sin2^—S^（）

A.2+sinaB.2+也sin（a一空

C.2D.2+也sin（a+今

答案C

解析原式=l+2sin1cos]+l—cos

=2+sina—cos=2+sina—sina=2.

5.設(shè)函數(shù)段)=2cos2x+5sin2x+a(a為實常數(shù))在區(qū)間[o,卻上的最小值為一4,那么a的

值等于()

A.4B.16C.14D.—3

答案C

角翠析/(%)=2cos2'+小sin2x+〃=l+cos2x+小sin2%+a=2sin(2x+^+a+l.

,7Ti7T兀7兀

當(dāng)xe[0,,時,2x+臚[不yj,

?\Ax)min=2-(一§+a+1=-4.

??4=4.

6.若3sin%一5cosx=2小sin(x+9),(pG(—n,兀)，貝U9=

答案-I

解析因為3sinx—d5cosx

TT

因為夕￡（一兀，兀），所以夕=—%.

7.若。是第二象限角，且25sin29+sin夕-24=0,貝!Jcos]

3

答案±5

解析由25sin2e+sin0-24=0,

又。是第二象限角，

24

得sin8=W或sin夕=—1（舍去）.

_______7

故cos6=—yj1—sin20=一云，

e9

,61+cos--

92=?2

由cos2-----2-----得cos,25

又5是第一、三象限角，

/3O

所以cos2=±v

,,ksm4%cos2rcosx

'電1+cos4x1+cos2x1+cosx

考點利用簡單的三角恒等變換化簡求值

題點綜合運用三角恒等變換公式化簡求值

答案tan

名刀+42sin2xcos2xcos2xCOSJT

解析原式=2cos22X.1+COS2XTT?^

_sin2%cosx_2sinxcosxcosx

1+COS2x1+COSX2cos2%1+cosX

sinxx

~~i=tan不

7ee

知

已-

cose---e-

9.^22

解因為?！?兀，2K),

所以sin|+cos^=1.

10.已知函數(shù)式無尸小sin(2x—5)+2sin2Q—制(x￡R).

(1)求函數(shù)“X)的最小正周期；

(2)求使函數(shù)"x)取得最大值的x的集合.

解(1),.,?=^/3sin|^2x-^+2sin2(x-^

.\Xx)的最小正周期為T=-^=7l.

(2)當(dāng)加0取得最大值時，sin(2x—§=1,

兀兀5兀

有2x—w=2fai+](%￡Z),即I=左兀+適(％￡Z),

工所求X的集合為]光卜=%兀+得，kezL

%綜合運用

11.函數(shù)加)=sin2x+小sinxcosx在區(qū)間去上的最大值是()

3

A.1B.2C，2D.3

答案C

。1—cos2x,A/3

角牛析fM=2+為一sin2%

6)+V

13

?\/(X)max=1+5=5,故選C.

12.化簡：tan70°cos10°(V3tan200-l)=.

答案T

女……sin70°…1.sin20°八

解析原式=cos70o-cos10(小cos20。-1)

sin70°/sin20。-cos20。

=COS10°---------^7^-----

cos70cos20

sin70°2sin(—10。)

cos10°-

cos70cos20°

sin70。sin20。

cos70°cos20°

13.設(shè)OWQW兀，不等式8f—8xsina+cos2a20對任意x￡R恒成立，則a的取值范圍是

研至二「八0,兀］「5兀一

合案L不」。［不'兀

角星析/=（8sina）2—4X8Xcos2aW0,

即2sin2a—cos2aW0,所以4sin2a^1,

所以一3Wsina

因為OWaW兀，所以

14.函數(shù)y=sin2x+sinxcosx+l的最小正周期是,單調(diào)遞增區(qū)間是

f,71,,3兀\

合案713兀一于E+旬，k^Z

y=sin2x+sinxcosx+1=-_1=-^sin^2x—^)+1.

解析

最小正周期丁=竽=兀.

令一^-\~2kji<2x—不］+2%兀，%￡Z,

7T371

解得一d+E<x<f+E,kGZ.

oo

所以小）的單調(diào)遞增區(qū)間是（E-f,防r+T卜GZ）.

才拓廣探究

371

15.已矢口sin2夕=弓，0<2夕<］，貝U

宏安—

口水2

解析

Qcos或-lj-sin6

表(sin0cos曰+cosOsin號

sin8

1——------

cos夕一sin夕cos91——tan8

sin3+cos3sin8tan3+r

—cos”z+i

3兀

因為sin2夕=予°<2。<2,

3

4sin2951

所以cos2夕=亍