高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)第五章函數(shù)應(yīng)用培優(yōu)2

高中數(shù)學(xué)北師大版(2019)必修第一冊(cè)第五章函數(shù)

應(yīng)用培優(yōu)專練2

第I卷(選擇題)

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明

一、單選題

1.已知函數(shù)，(x)=,X若函數(shù)g(x)=,f(x)-ox+a存在零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

2.若不等式(仆+3)評(píng)-垃,0對(duì)任意的X?0,4w)恒成立，則()

A.ab2=9B.crh-9?avOC.b=9『，avOD.b?=9a

log?x,x>0

2

3.已知函數(shù)/(")=i函數(shù)g(x)=x。若函數(shù)y=/(x)-g(x)有3個(gè)

ax+—

2-緊。

零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(5,+8)B.3同C.(5s口.(或

4.對(duì)于a/eR,定義運(yùn)算"◎'：a?b=\a~ah'a~b設(shè)/(x)=(2x-l)&x-l),且

b-ab,a>b

關(guān)于X的方程/?=eR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根為,J七，則%+%+七的取值

范圍是()

/、x2-ax+2,x>a/、

5.已知函數(shù)x<4，若對(duì)于任意正數(shù)左，關(guān)于X的方程/(x)=Z都恰

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)

6.已知IwR,函數(shù)/。)=|/-4|+/+船的定義域?yàn)镽,若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,4)上有

兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是()

A.-7<k<—2B.4v-7或Q-2

C.-7<k<0D.—2<As<0

二、多選題

7.已知函數(shù)f(x)=,+3x+l卜小|,則下列結(jié)論正確的是()

A.若/(x)沒(méi)有零點(diǎn)，貝ijae(7o,0)

B.若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則。?1,5)

C.若f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則。=1或。=5

D.若“X”恰有4個(gè)零點(diǎn)，則ae(5,r)

x2-x+l,O<x<1,

8.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/(x),當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=|1下列說(shuō)法中

----,x>1.

I2x-1

正確的是()

A.當(dāng)一;<西時(shí)，恒有/(再)>/(工2)

B.若當(dāng)xe(O,汨時(shí)，的最小值為二,則機(jī)的取值范圍為

4|_2o

C.不存在實(shí)數(shù)公使函數(shù)尸(x)=f(x)-履有5個(gè)不相等的零點(diǎn)

D.若關(guān)于x的方程/U)-7"(x)-口=0所有實(shí)數(shù)根之和為0,則。=-=

L4」4

第H卷(非選擇題)

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明

三、填空題

他竺x>0

9.設(shè)f(x)=JX'(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=r(x)-(2,〃-l)/(x)+2,

-2019%,x<0

若函數(shù)g(x)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

10.已知定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)/(X),若對(duì)任意xe(0,+8)都有

(\

f/(x)+log,x=3,則方程〃x)=2+&的解集為.

11.某廠商為推銷自己品牌的可樂(lè)，承諾在促銷期內(nèi)，可以用3個(gè)該品牌的可樂(lè)空罐換

1罐可樂(lè).對(duì)于此促銷活動(dòng)，有以下三個(gè)說(shuō)法：

①如果購(gòu)買10罐可樂(lè)，那么實(shí)際最多可以飲13罐可樂(lè)；

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

②欲飲用100罐可樂(lè)，至少需要購(gòu)買67罐可樂(lè):

n—1

③如果購(gòu)買〃(〃eN*)罐可樂(lè)，那么實(shí)際最多可飲用可樂(lè)的罐數(shù)/(〃)=〃+f.(其中

［司表示不大于x的最大整數(shù))

則所有正確說(shuō)法的序號(hào)是.

12.若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)尸，。滿足條件：①P,Q都在函數(shù)/(x)的圖象上；②P,

Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)(RQ)是函數(shù)“X)的圖象上的一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”).已知函數(shù)

"x)=|k+21*x<0且"6若此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有且只有一對(duì)’則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是

四、解答題

13.已知函數(shù)f(x)=l-b)(其中“，8eR且a*0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(1)求。，6的值；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，

①判斷y=在區(qū)間(0,+?)上的單調(diào)性(只寫出結(jié)論即可)；

②關(guān)于x的方程/(d')-x+ln%=0在區(qū)間(0,ln4］上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)Z的取值范

圍.

14.2021年5月，“共和國(guó)勛章”獲得者、“雜交水稻之父”袁隆平先生辭世，他的功績(jī)將

永遠(yuǎn)被人們銘記：在他和幾代科學(xué)家的共同努力下，中國(guó)用全世界7%的耕地，養(yǎng)活了

全世界22%的人口，目前，我國(guó)年人均糧食占有量已經(jīng)穩(wěn)定在470千克以上，遠(yuǎn)高于國(guó)

際公認(rèn)的400千克糧食安全線，雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)建模小組的同學(xué)想研究假如沒(méi)有雜交水稻

的推廣，沒(méi)有合理的人口、土地政策，僅以新中國(guó)成立時(shí)的自然條件為前提，我國(guó)年人

均糧食占有量會(huì)如何變化？根據(jù)英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯《人口論》的觀點(diǎn)“人口呈幾何

級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，而生活資料呈直線型增長(zhǎng)”，該小組同學(xué)做了以下研究.根據(jù)馬爾薩斯的理

論，自然狀態(tài)下人口增長(zhǎng)模型為y=y°e”①(其中，表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，兒表示r=o時(shí)的

人口數(shù)，，表示人口的年平均增長(zhǎng)率，y表示f年后的人口數(shù)，單位：萬(wàn)人)根據(jù)國(guó)家統(tǒng)

計(jì)局網(wǎng)站的數(shù)據(jù)，我國(guó)1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬(wàn)和67207萬(wàn).該

小組同學(xué)根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)，以1950年末的數(shù)據(jù)作為f=0時(shí)的人口數(shù)，求得①式人口增

長(zhǎng)模型.

(1)請(qǐng)求出該小組同學(xué)①式的人口增長(zhǎng)模型；

(2)根據(jù)馬爾薩斯的理論，該小組同學(xué)把自然狀態(tài)下糧食增長(zhǎng)模型近似看作直線型模

型，通過(guò)查閱我國(guó)1950年末至1959年末糧食產(chǎn)量，得到糧食增長(zhǎng)模型近似為

產(chǎn)600什13600(其中，表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y表示第［年的糧食年產(chǎn)量，單位：萬(wàn)

噸)./(0=--------不—(/wN)表示從1950年末開始第，年的年人均糧食占有量,

單位：噸/人.

/㈤

①求滿足＜1的正整數(shù)A的最小值.

/(I)

②按此模型，我國(guó)年人均糧食占有量能達(dá)到400千克嗎？試說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：ln67207-ln55196a9x0.02188,In130000-In55196?39.15x0.02188,

e002188?1.022,55196xl.02223?91050.

15.已知函數(shù)〃x)=e'+eT.

(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，研究/(x)的單調(diào)性；

(2)若g(x)=*—2x+0'(x—1)有唯一零點(diǎn)，求。的值.

16.已知aeR,函數(shù)f(x)=+.

(1)若a=T,用單調(diào)性定義證明函數(shù)/(x)在((),一)上是減函數(shù);

(2)若a=l,求y=/(x)(xNl)的值域；

(3)若存在王＜0＜七,使/(百)=/(々)，求a的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案

1.B

【分析】

若函數(shù)g(x)=/(x)-or+a存在零點(diǎn)，即有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)和丁=依-。

圖像的交點(diǎn)，結(jié)合圖像，找到臨界值，即可得解.

【詳解】

若函數(shù)g(x)=/(x)-G：+a存在零點(diǎn)，

即/(x)=or-a有解，

轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)和了=以一。圖像的交點(diǎn)，

如圖所示，

丫=以一4恒過(guò)(1,0),

過(guò)端點(diǎn)(-2」)與(1,0)的直線的斜率&=、1m-0=v1，

—2—13

設(shè)3=口-4與丫=/相切與(%*),

則切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為e&,

則過(guò)切點(diǎn)的直線方程為y-e“=(xF),

又切線過(guò)(1,0),則-*=*(1-X。)，

所以x<)*=2e*,得々=2,

此時(shí)切線斜率為『，

由圖可知，若函數(shù)g(x)=/(x)-ar+a存在零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是或〃之/,

答案第1頁(yè)，共21頁(yè)

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化零點(diǎn)為函數(shù)圖像的交點(diǎn)，關(guān)鍵是求出臨界

值，在求切線方程時(shí)，切入口是設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解，同時(shí)考查了直線

斜率問(wèn)題，設(shè)及知識(shí)點(diǎn)較多，屬于較難題.

2.B

【分析】

先分析特殊點(diǎn)對(duì)。力的要求，再結(jié)合函數(shù)的趨勢(shì)，排除掉一些范圍，最終確定函數(shù)

f(x-)=ax+3,g(x)=V-6的零點(diǎn)相同，得到關(guān)系式，最終求出答案.

【詳解】

".,(ax+3)(/-6),,0對(duì)任意X€[0,+oo)恒成立，

???當(dāng)x=0時(shí)，不等式等價(jià)為-初,,0,即4.0,

當(dāng)xf+8時(shí)，X2-h>0<此時(shí)奴+3<0,則

設(shè)，(x)=ox+3,g(x)=x2-b,

若匕=0,則g(x)=f>o,

函數(shù)/(x)=or+3的零點(diǎn)為x=-』，則函數(shù)/(x)在(0,-3)上/(x)>0,此時(shí)不滿足條件；

aa

若a=0,則/(x)=3>0,而此時(shí)xf+8時(shí)，g(x)>0不滿足條件，故/;>()；

???函數(shù)f(x)在(0,—|)上/(%)>0,則(-■!，+<?]上/(X)<0,

而g(x)在(0,+oo)上的零點(diǎn)為x=四，且g(x)在(0,揚(yáng))上g(x)<0,

貝！](石，+8)上g(x)>0,

二要使("+3)(/-b)?0對(duì)任意xw[0,+<?)恒成立，

則函數(shù)〃*)與g(x)的零點(diǎn)相同，即-』=揚(yáng)，

a

??.a2b=9,

答案第2頁(yè)，共21頁(yè)

【分析】

先作出兩函數(shù)的圖像，由圖像可知當(dāng)x>0時(shí)，"x)=bg；x與g(x)=V有1個(gè)交點(diǎn)，所以只

要當(dāng)X40時(shí)，/(x)=ax+g-9與g(x)=V有兩個(gè)交點(diǎn)即可，結(jié)合圖像可得/(x),g(x)的圖

象在18,一；)上有兩交點(diǎn)，則在卜別上沒(méi)有交點(diǎn)，即直線y=-ox-；a弋與y=Y在

,8,一；)有兩交點(diǎn)，且〃x),g(x)的圖象在上沒(méi)有交點(diǎn)，即/+以+；〃++0在

1-8,-；)有兩個(gè)解，且/(x)=g(x)在上沒(méi)有解，然后利用方程根的分布進(jìn)行求解即

可

【詳解】

如圖當(dāng)x>0時(shí)，/(幻=陛：*與8*)=/有1個(gè)交點(diǎn).

要使y=/(x)-g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，貝！|當(dāng)*40時(shí)，

f(x)=ax+^與g(x)=/有兩個(gè)交點(diǎn)即可，

若aW(),xV(),fM<-,兩函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)，所以。>0,

4

畫出〃X),g(X)圖象,如下圖所示,

根據(jù)圖象/(x),g(x)的圖象在-g<x<0內(nèi)至多有一個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)/(X),g(X)的圖象在18,一；)上有兩交點(diǎn)，則在卜；，。)上沒(méi)有交點(diǎn).

答案第3頁(yè)，共21頁(yè)

即直線y=與y=/在1-8,-；)有兩交點(diǎn)，且/(x),g(x)的圖象在上沒(méi)

有交點(diǎn).

115=0在18,一；)有兩個(gè)解，且/(x)=g(x)在(-川上沒(méi)有解.

即%2-\-ax+—a-\----

24

a>0

設(shè)//(x)=x2+?,且a.0+_L一/<0

24

解得。＞5或。＜-3(舍去)，且

所以此時(shí)5＜。＜葭

若在-g＜x＜0上f(x),g(x)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，則在(7,-；］上.f(x),g(x)的圖象有1個(gè)

交點(diǎn)

即/+依+：4++0在,8,-g)有1個(gè)解,且/(X)=g(X)在(jo)上有1個(gè)解.

則△=/_4(ga+?)=0且a-0+g-券20,此時(shí)無(wú)解.

要使/(x),g(x)在(YO,0)只有兩交點(diǎn)，貝ij5＜a＜券.

故選：B

此題考查函數(shù)與方程，考查由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力,

答案第4頁(yè)，共21頁(yè)

屬于較難題

4.A

【分析】

2尤2_xx<0

,一八，再結(jié)合函數(shù)圖像可知/+占=1，再求出*

1一廠4-X,X>0

的范圍，即可求得結(jié)果.

【詳解】

2x2

小啪門…，、c八小/n/(-D-(2x-D(x-1),2x-1<x-1

由題設(shè)知/(x)=(2x-l)③(x-l)=<,、c,,

[(x—1)~—(2x—l)(x-1),2,x—1>x—1

OvY<0

/'一八，畫出函數(shù)的圖像，如下圖

-x+xx>0

{y

i<

y

由當(dāng)關(guān)于x的方程/(x)=?reR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，r的取值范圍

是fe(o,￡),

設(shè)玉<0<々<與，則尤2，七是-W+X=f的兩個(gè)根，關(guān)于X=；對(duì)稱，故々+七=1,

下面求士的范圍：[2犬-]=、解得：匕叵

I西<04

Q?e|/O,-|、,.?.1+8/e(l,3),.-.l->/l+8re(l->/3,0),故王e(^^I-,0、

'JI4,

f-V31

所以玉+々+凡￡—5—4

故選：A.

答案第5頁(yè)，共21頁(yè)

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

5.B

【分析】

分〃=0、。＞0、三種情況討論，作出函數(shù)/（X）的圖象，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)

數(shù)。的等式與不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)。的取值.

【詳解】

.、fx2+2,x＞0,,、

當(dāng)。=0時(shí)，〃X）=，作出函數(shù)/（X）的圖象如下圖所示：

I,X＜U

由圖可知，當(dāng)0＜女＜2時(shí)，關(guān)于x的方程/（x）=&有且只有一個(gè)實(shí)根，不合乎題意;

x2-ax+2,x>a

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)=-x+a,-a<x<a,如下圖所示:

-x-a,x<-a

函數(shù)f（x）在（F,-a）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在（4a）上單調(diào)遞增,

由題意可得/-/+2=|2a|=2?,解得a=1；

答案第6頁(yè)，共21頁(yè)

2一—?一

右”0,則\<x-ax+2,x>a，如,下圖所不:

-x-a,x<a

由題意可得'a此時(shí)a無(wú)解.

A=a--8>0

綜上所述，4=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

答案第7頁(yè)，共21頁(yè)

6.A

【分析】

寫出人力的分段函數(shù)解析式，利用函數(shù)/（刈在區(qū)間（。，韋上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用參數(shù)分

,4

—,xG（0,2）

離法轉(zhuǎn)化為％=,有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)g（x）的圖像與直線》=%有兩個(gè)交點(diǎn),

---------,XG[2,4）

數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】

4+fee,xw(0,2)

/(x)=|x2-4|+x2+kx=

2x2+fcc-4,xe[2,4)

44

—,xe(0,2)—,xe(0,2)

Xx

令/(x)=0利用參數(shù)分離法得左=令g(x)=<

4-2x2

xe[2,4)xe[2,4)

x

函數(shù)fM在區(qū)間（。，4）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的圖像與直線y=A在區(qū)間

（0,4）上有兩個(gè)交點(diǎn),

故選：A

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

答案第8頁(yè)，共21頁(yè)

7.AC

【分析】

當(dāng)x=0時(shí)，判斷x=0不是的零點(diǎn)；當(dāng)XHO時(shí)，由〃x)=0,分離參數(shù)得a=x+J+3,

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線V=a與函數(shù)y=x+1+3圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出y=x+'+3的圖象，運(yùn)

XX

用數(shù)形結(jié)合的思想逐一判斷可得選項(xiàng).

【詳解】

解：當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=1*0,所以x=0不是“X)的零點(diǎn)；

當(dāng)XX。時(shí)，由f(x)=O,gp|x2+3x+l|-iz|x|=O,得a=x+：+3,

則/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于直線y=“與函數(shù)>=X+5+3圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，x+->2.lx^-=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,即x=l時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x>0時(shí)，

xVxx

y=x+-+3>5,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，

X

當(dāng)xvO時(shí)，^+―=-f-x+—1<-2/%?—=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=，，即1二一1時(shí)取等號(hào)，所以

x-X)Vxx

當(dāng)％<0時(shí)，x+-+3<l,當(dāng)且僅當(dāng)x=—l時(shí)取等號(hào)，

X

作出函數(shù)y=x+2+3的大致圖象(如下圖所示)，

X

由圖可知：若/(X)沒(méi)有零點(diǎn)，則故A正確；

若“X)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則ae{0}U(l,5),故B不正確；

若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則。=1或。=5,故C正確；

若“X”恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a?0,l)U(5,”)，故D不正確，

故選：AC.

答案第9頁(yè)，共21頁(yè)

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及x>0時(shí)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可判斷AB選項(xiàng)，聯(lián)立

y="與）+1可判斷相切時(shí)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為］,當(dāng)女工。，x>0時(shí)最多一個(gè)交點(diǎn)，可判

斷C,根據(jù)函數(shù)奇偶性與對(duì)稱性判斷D.

【詳解】

x2-x+l,0<x<l,

當(dāng)x>0時(shí)，/?=1L」一,X>1且“X）為R上的奇函數(shù),

2x-l21

X——

2

不是單調(diào)遞減函數(shù)，則/（汨）>f（X2）不成

立，故A不正確;

?Q73

對(duì)于B，令^--=解得x=±，由圖象可知，當(dāng)xw（0,汨時(shí)，/（%）的最小值為：，

2x-l464

-17'

則"zw,故B正確；

2o

答案第10頁(yè)，共21頁(yè)

對(duì)于C,聯(lián)立I)：山，，得x2-(z+i)x+l=0,

[y=x-x+l

△=(-1)2-4=/+24-3=0,存在2=1,使得△=0,此時(shí)x=l,可知最多有3個(gè)不同的

交點(diǎn)，

???不存在實(shí)數(shù)火，使關(guān)于x的方程/(x)="有,5個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C正確；

對(duì)于D,由「/(x)--31[f(x)-a]=0可3得/(X)==或f(x)=%

_4J4

3

???函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，若關(guān)于x的兩個(gè)方程/(x)=j與/。)=。所有根的和為0,

???函數(shù)/(x)=43的根與fM=a根關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。=-39,

44

317175

但x>0時(shí)，方程/有2個(gè)根，分別為兩根之和為

42o263

3

若關(guān)于x的兩個(gè)方程fM=：與/(%)=。所有根的和為0,

4

則/(x)="的根為―，此時(shí)〃=八一3)=。(5、1=一7,故D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用奇函數(shù)的對(duì)稱性得出函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵所在，結(jié)合函數(shù)的

單調(diào)性，函數(shù)值的變換，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，屬于難題.

9.m>2

【分析】

求函數(shù)廣(X),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)/(X)的圖象，設(shè)，=f(X),若函數(shù)g(x)恰

有4個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為函數(shù)6(/)=『-(2m-1)/+2有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足f>l或利用一元

二次函數(shù)根的分布進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)x>0時(shí)，:(勸=叫以，

X

由尸(%)>0得：解得0cx<e,

由廣。)<0得：l-//u<0,解得%>e,

即當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)/(力取得極大值，同時(shí)也是最大值，f(e)=1,

當(dāng)?+/(幻-0,

答案第11頁(yè)，共21頁(yè)

當(dāng)xf0,fix)-=o,

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖,

設(shè)r=f(x),

由圖象知，當(dāng)f>l或t<0,方程r=/(x)有一個(gè)根，

當(dāng)，=0或f=l時(shí)，方程f=/(x)有2個(gè)根，

當(dāng)0</<1時(shí)，方程r=/(x)有3個(gè)根，

則g(x)=f2(x)-(2m-l)f(x)+2,等價(jià)為h(t)=r+2,

當(dāng)f=O時(shí)，〃(0)=2K0,

二若函數(shù)g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，

則等價(jià)為函數(shù)帕)="-⑵"墳+2有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足f>l或0<f<l,

|/?(0)=2>0

則

[/?(1)<0

h(I)=1—2m+1+2=4-2m<0

解得：，?1>2,

故答案為：m>2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及.求的導(dǎo)

數(shù)，研究函數(shù)的f(x)的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.

10.{4,16).

【分析】

由題可求=2Tog/,再利用數(shù)形結(jié)合即求.

2

【詳解】

答案第12頁(yè)，共21頁(yè)

?定義在(0，+8)上的單調(diào)函數(shù)f(x),對(duì)任意x?0,+8)都有//(x)+10g,x=3,

k27

令f(x)+k)g/=c,貝I]〃c)=3,

在上式中令x=c，則“c)+l°g|C=c'，10g|C=c-3,解得c=2,

22

故〃x)=2—log/,

2

由〃x)=2+&得，2-log產(chǎn)=2+4即1og2x=?,

2

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=iog?x和y=4的圖像，

可知這兩個(gè)圖像有2個(gè)交點(diǎn)，即(4,2)和(16,4),

則方程〃力=2+4的解集為{4,16}.

故答案為：{4,16}.

11.②③.

【分析】

①10罐可樂(lè)有10個(gè)可樂(lè)空罐，第一次可換3罐可樂(lè)還剩1個(gè)空罐，第二次可換1罐可樂(lè)還剩2

個(gè)空罐，由此算出最多可飲用的可樂(lè)罐數(shù)；

②：先分析購(gòu)買66罐可樂(lè)的情況，再分析購(gòu)買67罐可樂(lè)的情況，由此確定出至少需要購(gòu)買

的可樂(lè)罐數(shù)；

③：先分析購(gòu)買1到9罐可樂(lè)分別可飲用多少罐可樂(lè)以及剩余空罐數(shù)，然后得到規(guī)律，再分

奇偶罐數(shù)對(duì)所得到的規(guī)律進(jìn)行整理，由此計(jì)算出/(〃)的結(jié)果.

【詳解】

①：購(gòu)買10罐可樂(lè)時(shí)，第一次可換3罐還剩1個(gè)空罐，第二次可換1罐還剩2個(gè)空罐，所以最

答案第13頁(yè)，共21頁(yè)

多可飲用10+3+1=14罐可樂(lè)，故錯(cuò)誤；

②：購(gòu)買66罐時(shí)，第一次可換22罐可樂(lè)，第二次可換7罐可樂(lè)還剩1個(gè)空罐，

第三次可換2罐可樂(lè)還剩2個(gè)空罐，第四次可換1罐可樂(lè)還剩2個(gè)空罐，所以一共可飲用

66+22+7+2+1=98罐；

購(gòu)買67罐時(shí)，第一次可換22罐可樂(lè)還剩I個(gè)空罐，第二次可換7瓶可樂(lè)還剩2個(gè)空罐，

第三次可換3罐可樂(lè)，第四次可換1罐可樂(lè)還剩1個(gè)空罐，所以一共可飲用

67+22+7+3+1=100罐；

所以至少需要購(gòu)買67罐可樂(lè)，故正確；

③：購(gòu)買1到9罐可樂(lè)分別可飲用可樂(lè)罐數(shù)以及剩余空罐數(shù)如下表所示：

購(gòu)買數(shù)飲用數(shù)剩余空罐數(shù)

111

222

341

452

571

682

7101

8112

9131

由表可知如下規(guī)律：

(1)當(dāng)購(gòu)買的可樂(lè)罐數(shù)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)剩余空罐數(shù)為1,當(dāng)購(gòu)買的可樂(lè)罐數(shù)為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)

剩余的空罐數(shù)為2；

(2)實(shí)際飲用數(shù)不是3的倍數(shù)；

(3)每多買2罐可樂(lè)，可多飲用3罐可樂(lè)，

(4)實(shí)際飲用的可樂(lè)罐數(shù)要比購(gòu)買的可樂(lè)罐數(shù)的1.5倍少0.5或1；

設(shè)購(gòu)買了〃罐可樂(lè)，實(shí)際可飲用的可樂(lè)罐數(shù)為了(〃)，

答案第14頁(yè)，共21頁(yè)

3〃]

3m-2(n=2ni-l,meN']~~(?=2m-\,meNj

所以，(")=/，即〃〃)=?。，即

3mT(〃=2〃?,〃?eN)=2肛mwN*)

n—\/

〃+n=2m-l/nwN")

/(?)=,

n-2/

/?+n=2m,mwN')

又因?yàn)镕，q可看作一，即不大于?的最大整數(shù)，所以/(〃)=〃+等成立,

故正確;

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解答本題時(shí)，一方面需要通過(guò)具體購(gòu)買的可樂(lè)罐數(shù)去分析實(shí)際飲用的可樂(lè)罐數(shù),

另一方面需要對(duì)實(shí)際的購(gòu)買情況進(jìn)行歸納，由此得到購(gòu)買的可樂(lè)罐數(shù)與實(shí)際飲用的可樂(lè)罐數(shù)

的關(guān)系，從而解決問(wèn)題.

⑵(；，l)u(l，+8)

【分析】

若此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有且只有一對(duì)，則等價(jià)為函數(shù)/(x)=log〃x,(x>0)與y=-|x-2|,

(0<x<4),只有一個(gè)交點(diǎn)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，然后分。>1和0<。<1兩種情況討論

即可

【詳解】

當(dāng)TWO時(shí)，函數(shù)y=|x+2]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為—y=|—x+2],即y=—|x—2],(0<x44),

若此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有且只有一對(duì),

則等價(jià)為函數(shù)/(x)=log〃x,(尤>0)與y=—|x-2|,(0<x<4),只有一個(gè)交點(diǎn)，作出兩個(gè)函

數(shù)的圖象如圖:

若a>l,則〃x)=log,X,(x>0)與y=-|x-2|,(0<xW4),只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件,

當(dāng)x=4時(shí)，j=-|4-2|=-2,若0<”1,

要使兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足〃4)<—2,Bpiog?4<-2=loga-4w^<4,

得a〈一;或a〉；，vO<a<l,綜上;<a<l或々>1,

答案第15頁(yè)，共21頁(yè)

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是［；,l］u(l，+8),

故答案為：G，I)U(I,+8).

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為對(duì)稱函

數(shù)的相交問(wèn)題，利用函數(shù)圖像求解，考查分類討論思想，有一定的難度

13.(1)或二:⑵①在區(qū)間(0,+?)上單調(diào)遞增；②2&+3＜心日.

【分析】

(1)由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知：〃T)+〃X)=O,結(jié)合函數(shù)解析式可得=1即可

求參數(shù).

(2)由已知得/(x)=ln：W，①y=/(e')為"1-高，g(r)=lnr的構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，

由它們?cè)?0,+?)上均單調(diào)遞增，即知y=.f(e')的單調(diào)性；②由①整理方程得k=e'(e'+l)

ex-1

在區(qū)間(O』n4］上有兩個(gè)不同的解，令〃=/_］,〃€(0,3］有％=〃+,3,結(jié)合基本不等式

求其最值，進(jìn)而確定&的取值范圍.

【詳解】

(1)由題意知：〃-尤)+/(x)=0,整理得儂('x+匕S-I1=0,即

x-\X+1

(a-蛾V-6=爐-1,對(duì)于定義域內(nèi)任意x都成立,

答案第16頁(yè)，共21頁(yè)

（"力=1a=2a=-2

,解得b=I或

b2=\b=-\

\ci=z

⑵由。>。知：k=1

由ekg⑺=lnt在(0,+?)上均單調(diào)遞增,

y=f(e')在區(qū)間(0,+?)上的單調(diào)遞增.

②由①知In巴]一x+lnZ=O,可得In吐Llnd+ln%=0,即左=￡｛上）在區(qū)間（0,ln4]

xx

e+le'+le

上有兩個(gè)不同的解，令“=e=l,(0,3］

...卜=e'(e'+l)=("+1("+2)=〃+2+3N2,號(hào)+3=20+3當(dāng)且僅當(dāng)〃=0時(shí)等號(hào)成立,

e*-1uu\u

而％="+*2+3在((),&［上遞減，在［也3］上遞增，且〃=3時(shí)4=7與0.

u3

?.2^+3<fc<—.

3

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)利用函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合解析式列方程求參數(shù)值；

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成判斷單調(diào)性，應(yīng)用參變分離、換元思想，將方程轉(zhuǎn)化為

k="+2+3在“?0,3］上存在不同的“對(duì)應(yīng)相同的女值，求參數(shù)范圍.

14.

(1)卜55196x1.022’

(2)①24；②不能；理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)由題意得67207=55196/，，兩邊取自然對(duì)數(shù)化筒計(jì)算可求得"，從而可求得①式的人

口增長(zhǎng)模型，

答案第17頁(yè)，共21頁(yè)

…f(k)600左+13600600(上一1)+13600

(2)①由音可得------不一<-~~/了一，化簡(jiǎn)計(jì)算得%>23.8,從而

f(I)%e%e(?"

可求出正整數(shù)%的最小值，

②由①當(dāng)&>23.8時(shí)，〃由</依-1),所以當(dāng)發(fā)>23時(shí),/(由最大,計(jì)算”23)。0.301,

從而得0.301x1000=301<400,進(jìn)而可得結(jié)論

(1)

由題意可得%=55196,則67207=55196e",In67207=In(55196^,r)=ln55196+9r,

所以9r=ln67207—ln55196=9x0.02188,所以r=0.02188,

所以y=55196e3.3s55196x1.022'.

(2)

①由f(k扃)<1,得管/)、<〃/i)、，所600k+13600以600(^-1)+13600，

化簡(jiǎn)得600〃+13600<(60(U+13000)，，即600k+13600<(600火+13000)x1.022,解得

0.132女>3.14,%>23.8因?yàn)榛馂檎麛?shù)，所以正整數(shù)k的最小值為24,

②由①當(dāng)%>23.8時(shí)，/(*)</(*-1),所以當(dāng)女>23時(shí)，f(k)最大,

600x23+13600600x23+1360027400

"23)=比0.301,gp0.301x1000=301<4(X),

55196xl.0222391050

所以按此模型，我國(guó)年人均糧食占有量不能達(dá)到400千克.

15.(1)“X)在區(qū)間(0,+功上單調(diào)遞增，在區(qū)間(F,0)上單調(diào)遞減；(2)a=g.

【分析】

(1)易知函數(shù)的定義域?yàn)镽,容易證明函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，，先探討函數(shù)在(0,+8)上的單

調(diào)性，再根據(jù)偶函數(shù)的特征得到函數(shù)在(—,0)上的單調(diào)性.

(2)根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)g(x)向左平移一個(gè)單位后是偶函數(shù)(定義為力(力)，現(xiàn)在考慮

函數(shù)/?(x)只有一個(gè)零點(diǎn)即可，???函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，.??唯一的零點(diǎn)必然在40處，

解得即可.

【詳解】

(1)“X)的定義域?yàn)?F，m),對(duì)任意的X,有/(f)=ef+e'=/(x),

答案第18頁(yè),共21頁(yè)

所以函數(shù)〃x)=e、+為偶函數(shù).

先考慮了(X)在(口，伊)上的單調(diào)性：

e(O,M),且“<X2，

有f(xj_f(%)=(e，+e』)_(W+ef)=(e'y)+(e』-e』)

由工2>』>0,得e*—e-vO,eX|+X2>1,ef+傳>0,于是〃與)一/(毛)<°，

即〃芭)</(々)，所以〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以〃x)在(—,0)上單調(diào)遞減.

綜上所述，/(x)在區(qū)間(0,”)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(—,0)上單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)間(x)=x2_2x+a(e*T+eTM)

=(x-l)2+a[e,-|+e'(x-1)]-l

將g(x)的圖像向左平移1個(gè)單位得至1」/7(耳=丁+。卜，+葭)-1,

對(duì)任意的xeR,有MT)=MX)，故Mx)是偶函數(shù).

要使g(x)有唯一零點(diǎn)，即/?(x)有唯一零點(diǎn)，而從”的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

故"(0)=0,求得”=g.

由(1)可知，當(dāng)a=g時(shí)，力⑺在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，在(3,0)上單調(diào)遞減，又包0)=0,

故可知Mx)有唯一零點(diǎn)0,符合題意，故〃=；.

16.(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)as(-00-1)0(-1,1).

【分析】

(1)根據(jù)單調(diào)性的定義，先設(shè)自變量加三并給定大小關(guān)系，再根據(jù)/(百)-/(々)與0的大