2024八年級數(shù)學(xué)下冊重點突圍專題03一元二次方程定義及解法含解析新版浙教版

Page1專題03一元二次方程定義及解法【典型例題】1．（江西南昌·九年級期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】（1）依據(jù)因式分解法解一元二次方程；（2）依據(jù)公式法解一元二次方程．(1)解：原方程可化為即或，∴，；(2)解：∵，，，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，駕馭解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2．（廣西玉林·九年級期末）已知關(guān)于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0（m≠0）．(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；(2)若方程的兩個根都是正整數(shù)，求整數(shù)m的值．【答案】(1)見解析(2)1或2【解析】【分析】（1）依據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)不為0和根的判別式解答即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝1，x2＝，由已知可得出為不等于1的整數(shù)，結(jié)合m為整數(shù)即可求出m值．(1)由題意可知：m≠0，∵Δ＝（m+2）2﹣8m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，∴Δ≥0，故不論m為何值時，方程總有兩個實數(shù)根；(2)解：由已知，得（x-1）（mx-2）=0，∴x-1=0或mx-2=0，∴，，當(dāng)m為整數(shù)1或2時，x2為正整數(shù)，即方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，∴整數(shù)m的值為1或2【點睛】本題考查一元二次方程的根與其判別式的關(guān)系、解一元二次方程，熟知一元二次方程的根與其判別式的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（江蘇太倉·九年級期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．y＝2x﹣1 B．x2＝6 C．5xy﹣1＝1 D．2（x+1）＝2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)一元二次方程的定義逐個推斷即可．只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【詳解】解：A．含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項不合題意；B．x2＝6是一元二次方程，故本選項符合題意；C．含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項不合題意；D．是一元一次方程，故本選項不合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了一元二次方程定義，推斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)留意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．2．（江蘇邳州·九年級期中）一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．0、1、1 B．0、－1、1 C．1、－1、1 D．2、－1、1【答案】C【解析】【分析】依據(jù)一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步驟對選項進行推斷即可．一元二次方程的一般形式是：（是常數(shù)且a≠0）特別要留意a≠0的條件．這是在做題過程中簡潔忽視的學(xué)問點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【詳解】一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是故選C【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，駕馭一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．3．（廣東禪城·九年級期末）一元二次方程x2﹣8x＋5＝0配方后可化為（）A．（x﹣4）＝19 B．（x＋4）＝﹣19 C．（x﹣4）2＝11 D．（x＋4）2＝16【答案】C【解析】【分析】利用配方法求解即可．【詳解】解：∵∴∴故選C．【點睛】本題考查了配方法．解題的關(guān)鍵在于嫻熟運用配方法．4．（安徽廬江·九年級期末）關(guān)于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，則（）A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)≥1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)一元二次方程的一般形式知，二次項系數(shù)不為零即可求得a的取值范圍．【詳解】由題意知：∴故選：A【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，特別留意二次項系數(shù)不為零．5．（廣東禪城·九年級期末）若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是（）A．2 B．±2 C．±4 D．±2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系：當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根解答即可．【詳解】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴△=m2－4×4=0，解得：m=±4，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟知一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．二、填空題6．（廣東惠城·九年級期末）方程x2＝3x的根是_____．【答案】0或3【解析】【分析】本題應(yīng)對方程進行變形，提取公因式x，將原式化為兩式相乘的形式，再依據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0”來解題．【詳解】解：x2＝3xx2﹣3x＝0即x（x﹣3）＝0∴x＝0或3故答案為：0或3【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有干脆開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要依據(jù)方程的特點靈敏選用合適的方法．本題運用的是因式分解法．7．（山東天橋·九年級期末）假如x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一個實數(shù)根，那么m＝________；【答案】2【解析】【分析】把x=1代入方程x2-3x+m=0得1-3+m=0，然后解關(guān)于m的方程．【詳解】解：把x=1代入方程x2-3x+m=0得1-3+m=0，解得m=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．8．（廣東揭西·九年級期末）已知一元二次方程（m－2）＋3x－4＝0，那么m的值是_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)一元二次方程的定義進行計算即可．【詳解】解：由題意可得：且，且，，故答案為：．【點睛】本題考查了確定值，一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭一元二次方程的定義，即．9．（廣東·深圳市龍崗區(qū)百合外國語學(xué)校三模）已知a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，則代數(shù)式2a﹣的值為___．【答案】3【解析】【分析】把代入已知方程可求得，然后等式兩邊都除以a整理即可．【詳解】解a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，把x＝a代入2x2﹣3x﹣5＝0得2a2﹣3a﹣5＝0，所以2a2﹣3a＝5，∵a≠0，∴等式兩邊都除以a得即．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，一元二次方程的解就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，理解一元二次方程的根的定義和駕馭整體代入法是解題關(guān)鍵．10．（江蘇太倉·九年級期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k﹣1）＞0，然后解不等式即可．【詳解】解：依據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k﹣1）＞0，解得：k＜2．故答案為：k＜2【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2?4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．三、解答題11．（福建長樂·九年級期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)x1=0，x2=2；(2)，【解析】【分析】（1）利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，再進一步求解即可；（2）利用配方法求解即可．(1)解：，因式分解得：x(x-2)=0，∴x=0或x-2=0，解得x1=0，x2=2；(2)解：整理得：x2-2x=1，配方得：x2-2x+1=1+1，即(x-1)2=2，∴x-1=，解得x1=，x2=．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：干脆開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是依據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．12．（山東嶗山·九年級期末）解方程：(1)4x(2x+1)＝3(2x+1)；(2)﹣3x2+4x+4＝0．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可；（2）依據(jù)公式法解一元二次方程即可(1)(2)【點睛】本題考查了解一元二次方程，駕馭解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．13．（河南淇縣·九年級期末）解下列方程：(1)（配方法）(2)(適當(dāng)方法）【答案】(1)x1=?，x2=?1(2)x1=3，x2=6【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．(1)解：移項得：，兩邊同時除以3得：，配方得：，即，開方得：x+=或x+=?，解得：x1=?，x2=?1；(2)解：移項得：，提公因式得：，∴x?3=0或2x?6?x=0，∴x1=3，x2=6．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程的實力，嫻熟駕馭解一元二次方程的幾種常用方法：干脆開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．14．（江蘇廣陵·九年級期末）解方程：(1)．(2)．【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可．(1)解：，，，，．(2)解：，，，，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵是嫻熟駕馭因式分解法解一元二次方程．15．（江蘇泗陽·九年級期中）解方程：（1）（2）．【答案】（1），；（2），【解析】【分析】依據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解得（2）解得【點睛】本題考查了解一元二次方程，駕馭解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．16．（天津紅橋·九年級期中）解下列關(guān)于x的方程．(1)x2－5x＋1＝0；(2)（2x＋1）2－25＝0．【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可得答案；（2）利用干脆開平方法解方程即可得答案．(1)x2－5x＋1＝0∵，，．∴．∴方程有兩個不等的實數(shù)根．∴，即，．(2)（2x＋1）2－25＝0移項，得，干脆開平方得：，∴，．【點睛】本題考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：干脆開平方法、配方法、公式法、因式分解法等，嫻熟駕馭并靈敏運用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵．17．（湖南溆浦·九年級期末）解方程(1)(2)【答案】(1)；(2)，【解析】【分析】（1）原方程運用因式分解法求解即可；（2）將方程整理為，再運用公式法求解即可．(1)解：，∴；(2)整理得，這里∴∴∴，【點睛】本題考查解一元二次方程，嫻熟駕馭解一元二次方程的各種方法是解答本題的關(guān)鍵．18．（江蘇寶應(yīng)·九年級期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)公式法解一元二次方程即可；（2）依據(jù)因式分解法解一元二次方程即可．(1)(2)解得【點睛】本題考查了解一元二次方程，駕馭解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．19．（江蘇·南京市金陵匯文學(xué)校九年級期末）解下列一元二次方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）利用干脆開方法求解．(1)解：，，解得：；(2)解：，，解得：．【點睛】此題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是駕馭常見的解法：如公式法、因式分解法、配方法．20．（廣東省深圳市沙灣試驗學(xué)校九年級期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2＋2x﹣5＝0；(2)；(3)3x2﹣2＝4x；(4)2x2﹣4x＋1＝0【答案】(1)x1=-1+，x2=-1-；(2)x1=x2=-；(3)x1=，x2=；(4)x1=1+，x2=1-．【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用公式法求解即可；（4）利用配方法求解即可．(1)解：x2+2x-5=0，移項得：x2+2x=5，配方得：x2+2x+1=5+1，即（x+1）2=6，∴x+1=±，∴x1=-1+，x2=-1-；(2)解：x2+x+=0，（x+）2=0，∴x+=0，∴x1=x2=-；(3)解：3x2-2=4x，3x2-4x-2=0，∵a=3，b=-4，c=-2，∴Δ=（-4）2-4×3×（-2）=40＞0，∴x=，∴x1=，x2=；(4)解：2x2-4x+1=0，x2-2x=-，x2-2x+1=-+1，即（x-1）2=，∴x-1=±，∴x1=1+，x2=1-．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的實力，嫻熟駕馭解一元二次方程的幾種常用方法：干脆開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．21．（廣東·深圳市龍崗區(qū)布吉中學(xué)九年級階段練習(xí)）解下列方程：(1)（x－1）2＝4；(2)x2＋3x－4＝0；(3)（4x－3）（1－x）＝0；(4)（x－1）2＝2（x－1）．【答案】(1)x1＝3，x2＝－1(2)x1＝－4，x2＝1(3)x1＝，x2＝1(4)x1＝3，x2＝1【解析】【分析】（1）方程利用平方根定義開方即可求出解；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用因式分解法求出解即可；（4）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．(1)解：開平方得：x﹣1=±2，解得：x1=3，x2=﹣1；(2)解：分解因式得：（x+4）（x﹣1）=0，可得x+4=0或x﹣1=0，解得：x1=﹣4，x2=1；(3)解：由原方程可知4x﹣3＝0或1﹣x＝0，解得：x1＝，x2＝1；(4)解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，解得：x1＝3，x2＝1．【點睛】此題考查了開平方法和因式分解法解一元二次方程，嫻熟駕馭因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．22．（廣東澄?！ぞ拍昙壠谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程的一個根為，求m的值；(2)若方程沒有實數(shù)根，求m的取值范圍．【答案】(1)3(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)一元二次方程的根的定義把代入中進行求解即可；（2）依據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可．(1)解：把代入得：，解得：；(2)解：∵方程沒有實數(shù)根，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判別式，熟知相關(guān)學(xué)問是解題的關(guān)鍵．23．（廣東江城·九年級期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0總有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若它的一個實數(shù)根是2，求m的值．【答案】(1)(2)1【解析】【分析】（1）依據(jù)題意得出△＞0，代入求出即可；（2）將方程的實數(shù)根2代入方程后求出m的值即可．(1)依據(jù)題意得Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＝4m﹣3＞0，解得m＞；(2)∵方程的一個實數(shù)根是2，∴可把x＝2代入原方程，得22﹣3×2﹣m+3＝0，解得m＝1．所以m的值為1．【點睛】本題考查了根的判別式和一元二次方