2025版高考物理一輪總復習第5章萬有引力與宇宙航行第14講萬有引力定律及應用相對論提能訓練

第五章第14講基礎過關練題組一開普勒定律的應用1．北京冬奧開幕式24節(jié)氣倒計時驚艷全球，如圖是地球沿橢圓軌道繞太陽運行所處不同位置對應的節(jié)氣，下列說法正確的是(D)A．夏至時地球的運行速度最大B．從冬至到春分的運行時間為公轉周期的eq\f(1,4)C．若用a代表橢圓軌道的半長軸，T代表公轉周期，則eq\f(a3,T2)＝k，地球和火星對應的k值是不同的D．太陽既在地球公轉軌道的焦點上，也在火星公轉軌道的焦點上[解析]依據(jù)開普勒其次定律可知，地球與太陽中心連線在相同時間內掃過的面積相等，依據(jù)S＝eq\f(1,2)r·vΔt，可知地球在近日點的運行速度最大，在遠日點的運行速度最小，故夏至時地球的運行速度最小，A錯誤；依據(jù)對稱性可知，地球從冬至到夏至的運行時間為公轉周期的eq\f(1,2)，由于從冬至到春分地球的運行速度大于從春分到夏至地球的運行速度，可知地球從冬至到春分的運行時間小于從春分到夏至的運行時間，故地球從冬至到春分的運行時間小于公轉周期的eq\f(1,4)，B錯誤；依據(jù)開普勒第三定律可知，全部繞太陽轉動的行星軌道半長軸的三次方與公轉周期的二次方成正比，則有eq\f(a3,T2)＝k，其中k與中心天體的質量有關，地球和火星都是繞太陽轉動，故地球和火星對應的k值相同，C錯誤；依據(jù)開普勒第確定律可知，全部行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處于橢圓的一個焦點上，故太陽既在地球公轉軌道的焦點上，也在火星公轉軌道的焦點上，D正確。2．如圖為人造地球衛(wèi)星的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球軌道，GEO是地球靜止軌道，GTO是地球靜止軌道的轉移軌道。已知地球的半徑R＝6400km，該圖中MEO衛(wèi)星的周期約為(圖中數(shù)據(jù)為衛(wèi)星近地點、遠地點離地面的高度)(A)A．3h B．8hC．15h D．20h[解析]依據(jù)題圖中MEO衛(wèi)星距離地面高度為4200km，可知軌道半徑約為R1＝10600km，靜止軌道上GEO衛(wèi)星距離地面高度為36000km，軌道半徑約為R2＝42400km，為MEO衛(wèi)星軌道半徑的4倍，即R2＝4R1。地球靜止衛(wèi)星的周期為T2＝24h，運用開普勒第三定律得eq\f(R\o\al(3,1),R\o\al(3,2))＝eq\f(T\o\al(2,1),T\o\al(2,2))，解得T1＝3h，A正確。題組二萬有引力定律及重力加速度的理解3．科幻大片《星際穿越》是基于知名理論物理學家基普·索恩的黑洞理論，加入人物和相關情節(jié)改編而成的。電影中的黑洞花費三十名探討人員將近一年的時間，用數(shù)千臺計算機精確模擬才得以實現(xiàn)，讓我們看到了迄今最真實的黑洞模樣。若某黑洞的半徑R約為45km，質量M和半徑R的關系滿足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c＝3×108m/s，G為引力常量)，則該黑洞表面的重力加速度大約為(C)A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2 D．1014m/s2[解析]黑洞實際為一天體，天體表面的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬有引力，設黑洞表面的重力加速度為g，對黑洞表面的某一質量為m的物體，有eq\f(GMm,R2)＝mg，又有eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，聯(lián)立解得g＝eq\f(c2,2R)，代入數(shù)據(jù)解得重力加速度約為1012m/s2，故C項正確。4．(2024·安徽馬鞍山高三模擬)一小物塊掛在豎直彈簧下端并處于靜止狀態(tài)，在地球兩極彈簧的形變量為赤道上形變量的k倍，設地球為一勻整球體，已知地球自轉周期為T，引力常量為G，則地球的密度為(D)A.eq\f(3πk2,GT2k2－1) B．eq\f(3πk2,GT2k－12)C.eq\f(3πkk＋1,GT2k) D．eq\f(3πk,GT2k－1)[解析]地球自轉的角速度ω＝eq\f(2π,T)，設地球質量為M，半徑為R，依據(jù)題意可得Geq\f(Mm,R2)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(G\f(Mm,R2)－mω2R))，又ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得ρ＝eq\f(3πk,GT2k－1)，故D正確，A、B、C錯誤。題組三萬有引力定律的應用宇宙速度5．(2024·廣東卷)2024年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功放射并入軌運行，若核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質量的是(D)A．核心艙的質量和繞地半徑B．核心艙的質量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑[解析]依據(jù)核心艙做圓周運動的向心力由地球的萬有引力供應，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(ω2r3,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知已知核心艙的質量和繞地半徑、已知核心艙的質量和繞地周期以及已知核心艙的角速度和繞地周期，都不能求解地球的質量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑可求解地球的質量。故選D。6．(2024·北京卷)2024年10月9日，我國綜合性太陽探測衛(wèi)星“夸父一號”成功放射，實現(xiàn)了對太陽探測的跨越式突破?！翱涓敢惶枴毙l(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，距地面高度約為720km，運行一圈所用時間約為100分鐘。如圖所示，為了隨時跟蹤和觀測太陽的活動，“夸父一號”在隨地球繞太陽公轉的過程中，須要其軌道平面始終與太陽保持固定的取向，使太陽光能照射到“夸父一號”，下列說法正確的是(A)A．“夸父一號”的運行軌道平面平均每天轉動的角度約為1°B．“夸父一號”繞地球做圓周運動的速度大于7.9km/sC．“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度大于地球表面的重力加速度D．由題干信息，依據(jù)開普勒第三定律，可求出日地間平均距離[解析]因為“夸父一號”軌道要始終保持要太陽光照射到，則在一年之內轉動360°角，即軌道平面平均每天約轉動1°，故A正確；第一宇宙速度是全部繞地球做圓周運動的衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，則“夸父一號”的速度小于7.9km/s，故B錯誤；依據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可知“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C錯誤；“夸父一號”繞地球轉動，地球繞太陽轉動，中心天體不同，則依據(jù)題中信息不能求解地球與太陽的距離，故D錯誤。故選A。7．(2024·山東卷)牛頓認為物體落地是由于地球對物體的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質、且都滿足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，依據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉的周期為(C)A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))[解析]設地球半徑為R，由題知，地球表面的重力加速度為g，則有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球繞地球公轉有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，聯(lián)立有T＝120πeq\r(\f(r,g))，故選C。8．(2024·湖南卷)依據(jù)宇宙大爆炸理論，密度較大區(qū)域的物質在萬有引力作用下，不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質量有關，假如質量為太陽質量的1～8倍將坍縮成白矮星，質量為太陽質量的10～20倍將坍縮成中子星，質量更大的恒星將坍縮成黑洞。設恒星坍縮前后可看成質量勻整分布的球體，質量不變，體積縮小，自轉變快。不考慮恒星與其他物體的相互作用。已知逃逸速度為第一宇宙速度的eq\r(2)倍，中子星密度大于白矮星。依據(jù)萬有引力理論，下列說法正確的是(B)A．同一恒星表面隨意位置的重力加速度相同B．恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大C．恒星坍縮前后的第一宇宙速度不變D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度[解析]恒星可看成質量勻整分布的球體，同一恒星表面隨意位置物體受到的萬有引力供應重力加速度和繞恒星自轉軸轉動的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A錯誤；恒星兩極處自轉的向心加速度為零，萬有引力全部供應重力加速度。恒星坍縮前后可看成質量勻整分布的球體，質量不變，體積縮小，由萬有引力表達式F萬＝eq\f(GMm,R2)可知，恒星表面物體受到的萬有引力變大，依據(jù)牛頓其次定律可知恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大，B正確；由第一宇宙速度物理意義可得eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，整理得v＝eq\r(\f(GM,R))，恒星坍縮前后質量不變，體積縮小，故第一宇宙速度變大，C錯誤；由質量分布勻整球體的質量表達式M＝eq\f(4π,3)R3ρ得R＝eq\r(3,\f(3M,4πρ))，已知逃逸速度為第一宇宙速度的eq\r(2)倍，則v′＝eq\r(2)v＝eq\r(\f(2GM,R))，聯(lián)立整理得v′2＝2v2＝eq\f(2GM,R)＝2Geq\r(3,\f(4πρM2,3))，由題意可知中子星的質量和密度均大于白矮星，結合上式表達式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D錯誤。故選B。實力綜合練9.北京時間2024年10月26日11時14分，神舟十七號載人飛船成功放射，并進入預定軌道，飛船進入近地點200千米、遠地點363千米、傾角41.6度的近地軌道(LEO)。然后變軌進入交會對接軌道，“神十七”飛船接受快速交會對接模式上行，于26日傍晚對接于離地面380公里的中國空間站“天和”核心艙前向端口，航天員于當晚進入空間站。神舟十七號航天員乘組由湯洪波、唐勝杰、江新林3名航天員組成，三名航天員進行了多項科學試驗和技術驗證，為中國航天的發(fā)展積累了寶貴閱歷。下列描述錯誤的是(D)A．飛船進入預定軌道運動軌道是橢圓B．在遠地點運動速度比近地點運動速度小C．預定軌道運行周期比空間站“天和”核心艙小D．中國空間站定點在赤道上空，相對地面靜止[解析]依據(jù)題意可知，其預定軌道上有遠地點和近地點，可知其預定軌道是橢圓，故A正確，不符合題意；依據(jù)開普勒其次定律，在同一軌道上運動過程中，相同時間內與中心天體中心連線掃過的面積相等，設近地點的半徑為r1，速度為v1遠地點的半徑為r2，速度為v2，取極短時間Δt，則有eq\f(1,2)r1v1·Δt＝eq\f(1,2)r2v2·Δt，由于r1<r2，由此可得v1>v2，即在遠地點運動速度比近地點運動速度小，故B正確，不符合題意；依據(jù)萬有引力充當向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，可得T＝eq\r(\f(4π2R3,GM))，由此可知，軌道半徑越大，其周期越大，由于預定軌道半徑小于空間站“天和”核心艙運行軌道半徑，因此預定軌道運行周期比空間站“天和”核心艙小，故C正確，不符合題意；中國空間站軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星軌道半徑，其運行周期小于同步衛(wèi)星，其相對地面并非靜止，故D錯誤，符合題意。故選D。10.(2024·陜西榆林高三校聯(lián)考階段練習)2024年8月29日華為Mate60隆重上市，該手機搭載我國自主研發(fā)的麒麟9000s芯片，手機還有一個最大的亮點就是可以連接天通一號01星實現(xiàn)衛(wèi)星通信。已知天通一號01星P相對于地球的最大張角為θ，如圖所示，已知地球的平均密度為ρ，地球的半徑為R，引力常量為G，天通一號01星的運動可看作繞地球做勻速圓周運動，天通一號01星可視為質點，則依據(jù)以上數(shù)據(jù)可以求出(C)A．天通一號01星距地面的高度為h＝Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－sin\f(θ,2)))B．第一宇宙速度的大小為eq\r(\f(4πGρR,3))C．天通一號01星軌道所在處的重力加速度大小為eq\f(4,3)πGρRsin2eq\f(θ,2)D．天通一號01星運行的周期為T＝eq\r(\f(3π,4ρGsin3\f(θ,2)))[解析]設天通一號01星距地面的高度為h，如圖所示，依據(jù)幾何關系可得eq\f(R,R＋h)＝sineq\f(θ,2)，解得h＝Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin\f(θ,2))－1))，故A錯誤；設第一宇宙速度大小為v，則有Geq\f(Mm1,R2)＝m1eq\f(v2,R)，地球的質量為M＝ρ×eq\f(4,3)πR3，兩式聯(lián)立得解v＝Req\r(\f(4πGρ,3))，故B錯誤；設天通一號01星軌道半徑為r，天通一號01星軌道所在處的重力加速度大小為g′，天通一號01星在軌道所在處有Geq\f(Mm,r2)＝mg′，地球表面物體有Geq\f(Mm1,R2)＝m1g，地球的質量為M＝ρ×eq\f(4,3)πR3，又eq\f(R,r)＝sineq\f(θ,2)，聯(lián)立解得g′＝eq\f(4,3)πGρRsin2eq\f(θ,2)，故C正確；天通一號01星做勻速圓周運動有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，地球的質量為M＝ρ×eq\f(4,3)πR3，依據(jù)幾何關系eq\f(R,r)＝sineq\f(θ,2)，聯(lián)立解得周期T＝eq\r(\f(3π,ρGsin3\f(θ,2)))，故D錯誤。故選C。11．(多選)如圖甲所示，假設某星球表面上有一傾角為θ的固定斜面，一質量為m的小物塊從斜面底端沿斜面對上運動，其速度—時間圖像如圖乙所示。已知小物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(\r(3),9)，該星球半徑R＝6×104km，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π取3.14，則下列說法正確的是(ABD)A．該星球的第一宇宙速度v1＝3.0×104m/sB．該星球的質量M＝8.1×1026kgC．該星球的自轉周期T＝1.3×104sD．該星球的密度ρ＝896kg/m3[解析]依據(jù)牛頓其次定律，物塊上滑過程中，在沿斜面方向上有μmgcosθ＋mgsinθ＝ma1，下滑過程中，在沿斜面方向上有mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，又知v－t圖像的斜率表示加速度，則上滑和下滑過程中物塊的加速度大小分別為a1＝eq\f(6－0,0.6)m/s2＝10m/s2，a2＝eq\f(2,0.4)m/s2＝5m/s2，聯(lián)立解得g＝15m/s2，則該星球的第一宇宙速度v1＝eq\r(gR)＝eq\r(15×6×104×103)m/s＝3.0×104m/s，故A項正確；依據(jù)黃金代換公式GM＝gR2可得該星球的質量M＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(15×6×104×1032,6.67×10－11)kg≈8.1×1026kg，故B項正確；依據(jù)所給條件無法計算出該星球的自轉周期，故C項錯誤；該星球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(8.1×1026kg,\f(4,3)×π×R3)≈896kg/m3，故D項正確。12．(2024·浙江卷)太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。當?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，稱為“行星沖日”，已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表：行星名稱地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑R/AU1.01.55.29.51930則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為(B)A．火星365天 B．火星800天C．天王星365天 D．天王星800天[解析]依據(jù)開普勒第三定律有eq\f(T2,R3)＝eq\f(T\o\al(2,地),R\o\al(3,地))，解得T＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R地)))3)T地，設相鄰兩次“沖日”時間間隔為t，則2π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)－\f(2π,T)))t，解得t＝eq\f(TT地,T－T地)＝eq\f(T地,1－\r(\f(R\o\al(3,地),R3)))，由表格中的數(shù)據(jù)可得t火＝eq\f(T地,1－\r(\f(R\o\al(3,地),R\o\al(3,火))))≈800天，t天＝eq\f(T地,1－\r(\f(R\o\al(3,地),R\o\al(3,天))))≈369天，故選B。