2025屆新高考數(shù)學沖刺精準復習從函數(shù)觀點看一元二次方程和不等式

2025屆新高考數(shù)學沖刺精準復習從函數(shù)觀點看一元二次方程和不等式01課前自學02課堂導學目錄【課時目標】了解一元二次不等式的概念；了解二次函數(shù)的零點；了

解三個“二次”的聯(lián)系；掌握一元二次不等式的解法.【考情概述】三個“二次”是新高考考查的重點內容之一，常以選擇

題或填空題的形式進行考查，有時與其他知識交匯考查，難度中等，屬

于高頻考點.

知識梳理1.一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次

不等式.2.求解一元二次不等式的步驟（1）

檢查二次項系數(shù)

a

的符號，對于

a

＜0的一元二次不等式，把它的

二次項系數(shù)化為正數(shù)；（2）

計算對應方程的判別式Δ的值，如果Δ≥0，求出對應的一元二次

方程的根；如果Δ＜0，說明對應方程沒有實數(shù)根；（3）

畫出對應的一元二次函數(shù)的圖象，結合圖象寫出不等式的解集.3.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式之間的對應關系Δ＝

b

2－4

ac

Δ＞0Δ＝0Δ＜0

y

＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

＞0）的圖象

ax

2＋

bx

＋

c

＝0

（

a

＞0）的根有兩個不相等的

實數(shù)根

x

1，

x

2

（

x

1＜

x

2）沒有實數(shù)根

ax

2＋

bx

＋

c

＞0

（

a

＞0）的解集{

x

｜

x

＜

x

1或

x

＞

x

2}R{

x

｜

x

＜

x

1或

x

＞

x

2}

RΔ＝

b

2－4

ac

Δ＞0Δ＝0Δ＜0

ax

2＋

bx

＋

c

＜0

（

a

＞0）的解集{

x

｜

x

1＜

x

＜

x

2}??{

x

｜

x

1＜x

＜

x

2}??4.一元二次方程

ax

2＋

bx

＋

c

＝0（

a

＞0）的根的分布分布情況

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

＞0）的大致圖象得出的結論兩根都小于

k

（

x

1＜

k

，

x

2＜

k

）

兩根都大于

k

（

x

1＞

k

，

x

2＞

k

）

一個根小于

k

，一個大于

k

（

x

1＜

k

＜

x

2）

f

（

k

）＜0

f

（

k

）＜0分布情況

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

＞0）的大致圖象得出的結論兩根都在區(qū)間（

m

，

n

）內

兩根有且僅有一根在

區(qū)間（

m

，

n

）內（有

四種情況，只畫了一

種）

?

或

f

（

m

）＝0或

f

（

n

）＝0（后兩種需檢驗另一個根是否在區(qū)間（

m

，

n

）內）

f

（

m

）

f

（

n

）＜

0

分布情況

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

＞0）的大致圖

象得出的結論一根在區(qū)間（

m

，

n

）

內，另一根在區(qū)間

（

p

，

q

）內，且

m

＜

n

＜

p

＜

q

常用結論1.｜

x

｜＞

a

（

a

＞0）的解集為

?

；｜

x

｜＜

a

（

a

＞0）的解集為

?.記憶口訣：“大于取兩邊，小于取中間”.（－∞，－

a

）∪（

a

，＋

∞）（－

a

，

a

）

f

（

x

）

g

（

x

）＞0

f

（

x

）

g

（

x

）＜0

3.一元二次不等式恒成立問題的轉化策略不等式

ax

2＋

bx

＋

c

＞0在R上恒成立?

；不等式

ax

2＋

bx

＋

c

＜0在R上恒成立?

?.

回歸課本[注：“SJ一”指蘇教版必修第一冊教材]

?√??2.（RA一P55習題2.3第5題改編）已知集合

A

＝{

x

｜

x

2－16＜0}，

B

＝

{

x

｜

x

2－4

x

＋3＞0}，則

A

∪

B

等于（

D

）A.（1，3）B.?C.（－4，1）∪（3，4）D.R

A.（－3，0）B.[－3，0）C.（－3，0]D.[－3，0]DC4.（多選）（SJ一P69習題3.3第10題改編）下列實數(shù)

m

的值中，能使二

次函數(shù)

y

＝

x

2－5

x

＋

m

存在兩個均大于1的零點的是（

BC

）A.4B.5C.6D.8BC

考點一

一元二次不等式（組）的解法例1解關于

x

的不等式（組）：（1）0＜

x

2－

x

－2≤4；

（2）

ax

2－2≥2

x

－

ax

（

a

∈R）.

總結提煉

1.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：（1）

注意二次項系數(shù)是否含參，若含參，則先討論二次項系數(shù)與0的

關系；（2）

判斷對應方程根的個數(shù)，注意判別式與0的大小關系，能因式分

解的先分解因式；（3）

討論根的大小，從而確定解集的形式.2.已知不等式的解集求參數(shù)的值，要充分理解三個“二次”的關系，

將不等式與對應函數(shù)、方程進行熟練轉換，體會其中蘊含的數(shù)學思想

方法——函數(shù)與方程思想.3.解分式不等式要先將其轉化為一元二次不等式.

A.最小值4B.最小值－4C.最大值4D.最大值－4A考點二

一元二次方程的實數(shù)根的分布問題例2已知關于

x

的一元二次方程

x

2＋2

mx

＋2

m

＋1＝0，其中

m

為實數(shù).（1）

若該方程有兩個實數(shù)根，其中一個根在區(qū)間（－1，0）內，另一

個根在區(qū)間（1，2）內，求實數(shù)

m

的取值范圍；

解：設

f

（

x

）＝

x

2＋2

mx

＋2

m

＋1.（2）

若該方程的兩個不相等的實數(shù)根均在區(qū)間（0，1）內，求實數(shù)

m

的取值范圍.

總結提煉

解一元二次方程實數(shù)根的分布問題主要考慮的因素對應函數(shù)圖象的開口方向、對應方程的判別式的符號、對應函數(shù)

圖象的對稱軸與區(qū)間端點的位置關系、對應函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)

值的符號，常采用數(shù)形結合的思想進行等價轉化.

[對點訓練]

2.（2023·全國高三專題練習）已知關于

x

的方程

x

2＋（

m

－3）

x

＋

m

＝0滿足下列條件，請分別求出實數(shù)

m

的取值范圍.（1）

有兩個正根；

解：令

f

（

x

）＝

x

2＋（

m

－3）

x

＋

m

.（2）

一個根大于1，一個根小于1；（2）

由題意，得

f

（1）＝2

m

－2＜0，解得

m

＜1，即實數(shù)

m

的取值范

圍是（－∞，1）.（3）

一個根小于2，一個根大于4.

考點三

一元二次不等式恒成立與能成立問題考向1

恒成立問題例3已知函數(shù)

f

（

x

）＝

mx

2－

mx

－1，其中

m

為實數(shù).（1）

若對于任意的

x

∈R，不等式

f

（

x

）＜0恒成立，求實數(shù)

m

的取值

范圍；

（2）

若對于任意的

x

∈[1，3]，不等式

f

（

x

）＜5－

m

恒成立，求實數(shù)

m

的取值范圍；

（3）

若不等式

f

（

x

）＜0對一切

m

∈[1，2]恒成立，求實數(shù)

x

的取

值范圍.

總結提煉

1.一元二次不等式恒成立問題的處理方法：解決恒成立問題一定要分清主元與參數(shù)，通常已知范圍的量為主元，

待求范圍的量為參數(shù).2.形如

f

（

x

）≥0（

f

（

x

）≤0）在區(qū)間[

a

，

b

]上恒成立問題的求解思

路：（1）

根據(jù)函數(shù)的單調性，求其最值，令

f

（

x

）

min

≥0（

f

（

x

）

max

≤0），從而確定參數(shù)的取值范圍.（2）

分離參數(shù)，先研究新函數(shù)的最值，再解不等式確定參數(shù)的取值

范圍.[對點訓練]

3.已知函數(shù)

f

（

x

）＝

x

2－2

tx

＋2，其中

t

∈R.

（1）

若

t

＝1，且對任意的

x

∈[

a

，

a

＋2]，都有

f

（

x

）≤5，求實數(shù)

a

的取值范圍；

（2）

若對任意的

x

1，

x

2∈[0，4]，都有｜

f

（

x

1）－

f

（

x

2）｜≤8，求

實數(shù)

t

的取值范圍.

考向2

能成立問題例4已知函數(shù)

f

（

x

）＝2

x

2＋4

x

－

k

，

g

（

x

）＝

x

2－2

x

，其中

k

∈R.

（1）

若存在

x

∈[－3，3]，使得

f

（

x

）≤

g

（

x

）成立，求實數(shù)

k

的取

值范圍；解：（1）

存在

x

∈[－3，3]，使得

f

（

x

）≤

g

（

x

）成立，即2

x

2＋4

x

－

k

≤

x

2－2

x

在區(qū)間[－3，3]上有解，即

x

2＋6

x

－

k

≤0在區(qū)間[－3，3]

上有解.所以（

x

2＋6

x

－

k

）min≤0.當

x

∈[－3，3]時，

y

＝

x

2＋6

x

－

k

為增函數(shù)，所以當

x

＝－3時，

x

2＋6

x

－

k

取得最小值，為－9－

k

.令－

9－

k

≤0，解得

k

≥－9，即實數(shù)

k

的取值范圍是[－9，＋∞）.（2）

若對任意

x

1∈[－3，3]，總存在

x

2∈[－3，3]，使得

f

（

x

1）≤

g

（

x

2）成立，求實數(shù)

k

的取值范圍.解：（2）

若對任意

x

1∈[－3，3]，總存在

x

2∈[－3，3]，使得

f

（

x

1）

≤

g

（

x

2）成立，則

f

（

x

）max≤

g

（

x

）max.當

x

∈[－3，3]時，易知函

數(shù)

f

（

x

）＝2

x

2＋4

x

－

k

＝2（

x

＋1）2－

k

－2在區(qū)間[－3，－1]上單調

遞減，在區(qū)間[－1，3]上單調遞增，且｜3－（－1）｜＞｜－3－（－

1）｜；函數(shù)

g

（

x

）＝

x

2－2

x

＝（

x

－1）2－1在區(qū)間[－3，1]上單調

遞減，在區(qū)間[1，3]上單調遞增，且｜3－1｜＜｜－3－1｜.所以

f

（

x

）max＝

f

（3）＝2×32＋4×3－

k

＝30－

k

，

g

（

x

）max＝

g

（－3）

＝（－3）2－2×（－3）＝15.所以30－

k

≤15，解得

k

≥15，即實數(shù)

k