2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性與周期性01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】了解函數(shù)的奇偶性；了解周期函數(shù)的概念.【考情概述】函數(shù)的奇偶性與周期性是新高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，

常以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查，有時(shí)與其他知識(shí)交匯考查，難度

中等，屬于高頻考點(diǎn).

知識(shí)梳理1.偶函數(shù)、奇函數(shù)的概念（1）

一般地，設(shè)函數(shù)

f

（

x

）的定義域?yàn)?/p>

D

，如果?

x

∈

D

，都有－

x

∈

D

，且

，那么函數(shù)

f

（

x

）就叫做偶函數(shù).（2）

一般地，設(shè)函數(shù)

f

（

x

）的定義域?yàn)?/p>

D

，如果?

x

∈

D

，都有－

x

∈

D

，且

，那么函數(shù)

f

（

x

）就叫做奇函數(shù).2.奇、偶函數(shù)的圖象特點(diǎn)偶函數(shù)的圖象關(guān)于

對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于

對(duì)稱.f

（－

x

）＝

f

（

x

）f

（－

x

）＝－

f

（

x

）y

軸原點(diǎn)3.函數(shù)的周期性（1）

一般地，設(shè)函數(shù)

f

（

x

）的定義域?yàn)?/p>

D

，如果存在一個(gè)

?

T

，使得對(duì)每一個(gè)

x

∈

D

，都有

x

＋

T

∈

D

，且

?

，那么函數(shù)

f

（

x

）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)

T

叫做這個(gè)函數(shù)的周期.（2）

如果在周期函數(shù)

f

（

x

）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么

這個(gè)最小正數(shù)就叫做

f

（

x

）的

正周期.非零常

數(shù)f

（

x

＋

T

）＝

f

（

x

）最小常用結(jié)論1.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論（1）

具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于

?對(duì)稱，即函數(shù)為奇函

數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于

對(duì)稱.（2）

如果一個(gè)奇函數(shù)

f

（

x

）在

x

＝0處有定義，即

f

（0）有意義，那

么一定有

?.（3）

如果函數(shù)

f

（

x

）是偶函數(shù)，那么

f

（

x

）＝

f

（－

x

）＝?

?.（4）

奇函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有

?的單調(diào)性；偶

函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有

的單調(diào)性.（5）

若函數(shù)

f

（

x

）是奇函數(shù)，則

f

（

x

）＋

f

（－

x

）＝0.特別地，若

f

（

x

）存在最值，則

f

（

x

）max＋

f

（

x

）min＝

?.原點(diǎn)原點(diǎn)f

（0）＝0

f

（｜

x

｜）相同相反0

｜

a

－

b

｜2

a

2

a

2

a

3.函數(shù)對(duì)稱性的常用結(jié)論（1）

若函數(shù)

y

＝

f

（

x

＋

a

）是偶函數(shù)，則函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于直

線

對(duì)稱.（2）

若函數(shù)

y

＝

f

（

x

＋

b

）是奇函數(shù)，則函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于

點(diǎn)

對(duì)稱.（3）

若對(duì)于R上任意的

x

，都有

f

（

x

）＝

f

（2

a

－

x

），則函數(shù)

y

＝

f

（

x

）的圖象關(guān)于

對(duì)稱；若

f

（

x

）＋

f

（2

a

－

x

）＝2

b

，則函數(shù)

y

＝

f

（

x

）的圖象關(guān)于

對(duì)稱.x

＝

a

（

b

，0）直線

x

＝

a

點(diǎn)（

a

，

b

）

??√?2.（RA一教參P155本章學(xué)業(yè)水平測(cè)試題第2題）已知

f

（

x

）是定義在區(qū)

間[－6，6]上的偶函數(shù)，且

f

（3）＞

f

（1），則下列各式一定成立的是

（

C

）A.

f

（0）＜

f

（6）B.

f

（3）＞

f

（2）C.

f

（－1）＜

f

（3）D.

f

（2）＞

f

（0）C

A.

y

＝｜

sin

x

｜B.

y

＝

cos

x

C.

y

＝tan

x

4.（多選）（RA一P86習(xí)題3.2第5題改編）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又

在區(qū)間（0，＋∞）上是增函數(shù)的有（

BC

）A.

y

＝2－｜

x

｜C.

y

＝

x

2－1D.

y

＝

x

3ABC5.（RA一P86習(xí)題3.2第11題改編）已知函數(shù)

f

（

x

）是定義域?yàn)镽的奇函

數(shù)，當(dāng)

x

≥0時(shí)，

f

（

x

）＝

x

（1＋

x

），則當(dāng)

x

＜0時(shí)，

f

（

x

）＝

?

?.x

（1

－

x

）

解：由題意，得函數(shù)

f

（

x

）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)

x

＜0時(shí)，

－

x

＞0，

f

（－

x

）＝－（－

x

）2＋（－

x

）＝－（

x

2＋

x

）＝－

f

（

x

）；當(dāng)

x

＞0時(shí)，－

x

＜0，

f

（－

x

）＝（－

x

）2＋（－

x

）＝－（－

x

2＋

x

）＝－

f

（

x

）；當(dāng)

x

＝0時(shí)，

f

（0）＝0滿足

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（

x

）為奇函數(shù).總結(jié)提煉

判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）

根據(jù)定義判斷，首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；在定

義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的條件下，再化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)

f

（－

x

）與

f

（

x

）

的關(guān)系作出判斷.（2）

分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從

x

＞0或

x

＜0來(lái)判斷等式

f

（－

x

）＝

f

（

x

）或

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）是否成立，只有當(dāng)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)

間上滿足相同的關(guān)系時(shí)，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

1.（多選）下列函數(shù)中，存在實(shí)數(shù)

a

，使得函數(shù)

f

（

x

）為奇函數(shù)的是

（

ACD

）B.

f

（

x

）＝

x

2＋

ax

ACD

A.3B.4C.5D.6B

（2）

已知函數(shù)

f

（

x

）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，且當(dāng)

x

∈

（1，4]時(shí)，

f

（

x

）＝3

x

－1，則

f

（1）＋

f

（2）＋

f

（3）＋…＋

f

（100）＝

?.解：由函數(shù)

f

（

x

）的周期為3，得

f

（1）＝

f

（4）＝3×4－1＝11，

f

（2）＝3×2－1＝5，

f

（3）＝3×3－1＝8，所以

f

（2）＋

f

（3）＋

f

（4）＝24.所以

f

（1）＋

f

（2）＋

f

（3）＋…＋

f

（100）＝

f

（1）＋

33×[

f

（2）＋

f

（3）＋

f

（4）]＝11＋33×24＝803.803

總結(jié)提煉

函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用（1）

判定：判斷函數(shù)

f

（

x

）的周期性只需證明

f

（

x

＋

T

）＝

f

（

x

）

（

T

≠0）.（2）

應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的

整體性質(zhì).此外，若

T

是函數(shù)的周期，則

kT

（

k

∈Z且

k

≠0）也是函數(shù)

的周期.

A.3B.5C.7D.9D

D

A.（－∞，－1）∪（2，＋∞）B.（－∞，－2）∪（1，＋∞）C.（－2，1）D.（－1，2）C解：當(dāng)

x

＞0時(shí)，－

x

＜0，

f

（－

x

）＝－4

x

－

x

2＝－

f

（

x

）；當(dāng)

x

＜0

時(shí)，－

x

＞0，

f

（－

x

）＝

x

2－4

x

＝－

f

（

x

）；當(dāng)

x

＝0時(shí)，

f

（0）＝

0，滿足

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（

x

）為R上的奇函數(shù).易知

f

（

x

）在定義域上為增函數(shù)，所以原不等式可化為

f

（

a

）＜－

f

（

a

2－

2）＝

f

（2－

a

2）.所以

a

＜2－

a

2，解得－2＜

a

＜1，即實(shí)數(shù)

a

的取值范

圍是（－2，1）.（2）

已知函數(shù)

f

（

x

）的定義域?yàn)镽，當(dāng)

x

∈[－2，2]時(shí)，

f

（

x

）單調(diào)

遞減，且函數(shù)

f

（

x

＋2）為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

C

）C

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

4.若函數(shù)

f

（

x

＋2）為偶函數(shù)，對(duì)任意的

x

1，

x

2∈[2，＋∞），且

x

1≠

x

2，都有（

x

1－

x

2）·[

f

（

x

1）－

f

（

x

2）]＜0，則下列大小關(guān)系正確的

是（

D

）D

考向2

函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合例4（1）

（多選）已知

f

（

x

）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足

f

（

x

）＝－

f

（

x

＋2），當(dāng)0≤

x

≤1時(shí)，

f

（

x

）＝

x

2，則下列結(jié)論正確

的是（

ABD

）A.函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于直線

x

＝1對(duì)稱B.函數(shù)

f

（

x

）是周期函數(shù)C.函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間[2020，2022]上單調(diào)遞增D.函數(shù)

f

（

x

）有最小值－1ABD解：因?yàn)?/p>

f

（

x

）＝－

f

（

x

＋2），所以

f

（

x

－1）＝－

f

（

x

＋

1），即

f

（1＋

x

）＝－

f

（

x

－1）.由題意，得函數(shù)

f

（

x

）是R上

的奇函數(shù)，所以

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（1＋

x

）＝

f

（1－

x

），即函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于直線

x

＝1對(duì)稱.故A正確.因?yàn)?/p>

f

（

x

）＝－

f

（

x

＋2），所以

f

（

x

＋2）＝－

f

（

x

＋4）.所以

f

（

x

＋4）＝－

f

（

x

＋2）＝

f

（

x

）.所以

T

＝4，函數(shù)

f

（

x

）是周

期函數(shù).故B正確.當(dāng)0≤

x

≤1時(shí)，

f

（

x

）＝

x

2，所以函數(shù)

f

（

x

）

在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增.又因?yàn)?/p>

f

（

x

）是R上的奇函數(shù)，所以

f

（

x

）在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于直

線

x

＝1對(duì)稱，所以

f

（

x

）在區(qū)間[0，2]上不單調(diào).由周期性可知，

C錯(cuò)誤.由題意可知，

f

（

x

）min＝

f

（－1）＝－

f

（1）＝－1.故D

正確.

0

[拓展探究]（多選）已知函數(shù)

f

（

x

）的定義域?yàn)镽，且

f

（

x

＋1）為偶函數(shù)，

f

（3

x

＋2）為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

AC

）A.

f

（

x

）的圖象關(guān)于直線

x

＝1對(duì)稱B.

f

（

x

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱C.

f

（

x

＋4）＝

f

（

x

）AC

總結(jié)提煉

函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略（1）

奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題.注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定

義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性.

（2）

奇偶性與周期性的綜合問(wèn)題.此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用

奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)解

析式的定義域內(nèi)求解.（3）

單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問(wèn)題.解決此類問(wèn)題通常先利用

周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

A.

a

＝1B.

f

（

x

）的最小正周期

T

＝4C.

y

＝

f

（

x

）－｜log6

x

｜有4個(gè)零點(diǎn)D.

f

（2023）＞

f

（2022）D解：對(duì)于A，由題意，可得

f

（0）＝

a

－1＝0，解得

a

＝1.故A正確.對(duì)于B，因?yàn)?/p>

y

＝

f

（

x

＋1）是偶函數(shù)，所以

f

（

x

＋1）＝

f

（－

x

＋1），則

f

（2＋

x

）＝

f

（－

x

）.又因?yàn)?/p>

f

（

x

）為奇函數(shù)，所以

f

（－

x

）＝－

f

（

x

），則

f

（2＋

x

）＝－

f

（

x

）.所以

f

（

x

＋4）＝－

f

（

x

＋2）＝

f

（

x

），則

f

（

x

）的最小正周期

T

＝4.故B正確.對(duì)于C，令

f

（

x

）－｜log6

x

｜＝0，則

f

（

x

）＝｜log6

x

｜，

x

＞0，作出

y

＝

f

（

x

）和

y

＝｜log6

x

｜的圖象如圖所示.由圖象可知，

y

＝

f

（

x

）和

y

＝｜log6

x

｜的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以

y

＝

f

（

x

）－｜log6

x

｜有4個(gè)零點(diǎn).故C正確.對(duì)于

D，因?yàn)?/p>

f

（2023）＝

f

（3）＝－

f

（－3）＝－

f

（1）＝－1，

f

（2022）＝

f

（2）＝

f

（0）＝

0，所以

f