實(shí)數(shù)與數(shù)軸教材

實(shí)數(shù)與數(shù)軸使用說(shuō)明：本課件介紹了無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生背景，可以在講實(shí)數(shù)概念時(shí)告訴學(xué)生，使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的實(shí)際意義有所了解。同時(shí)還對(duì)實(shí)數(shù)的定義、分類以及實(shí)數(shù)軸做了介紹，還配了一些練習(xí)題供老師們使用。復(fù)習(xí)：什么叫有理數(shù)？有理數(shù)如何分類？觀察下列數(shù)特點(diǎn)："無(wú)理數(shù)"的由來(lái)

公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的弟子希勃索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的(若正方形邊長(zhǎng)是1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù))這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬(wàn)物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后競(jìng)遭到沉舟身亡的懲處。

不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛壇，得不到正確的解釋，兩個(gè)不可通約的比值也一直被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá).芬奇稱之為“無(wú)理的數(shù)”，17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無(wú)理數(shù)”——這便是“無(wú)理數(shù)”的由來(lái)．

一、無(wú)理數(shù)定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．?dāng)嘁韵抡f(shuō)法是否正確？(1)無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)；(2)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；(3)帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)。數(shù)的發(fā)展歷史

數(shù)系的擴(kuò)張過(guò)程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克（Kronecker，1823-1891）說(shuō)“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”。零與自然數(shù)的產(chǎn)生源于人類在生存活動(dòng)中的原始沖動(dòng)。類似于2+3=5的事實(shí)產(chǎn)生了加法的概念，然而2加上幾會(huì)等于1呢？由此需要定義負(fù)數(shù)：一個(gè)數(shù)的“負(fù)數(shù)”即它與該數(shù)之和等于0；進(jìn)而定義減法。產(chǎn)生零、負(fù)自然數(shù)，合稱整數(shù)；

加法的重復(fù)進(jìn)行產(chǎn)生了乘法，2×3=6就是三個(gè)2相加。然而2乘以幾會(huì)等于1呢？由此需要定義倒數(shù)：一個(gè)數(shù)的“倒數(shù)”即它與該數(shù)之積等于1，進(jìn)而定義除法，產(chǎn)生既約分?jǐn)?shù)，合稱有理數(shù)。

無(wú)理數(shù)是一個(gè)能恰好地描述數(shù)學(xué)特征的案例

從數(shù)學(xué)發(fā)展史看，人類對(duì)無(wú)理數(shù)的發(fā)蒙始于古希臘畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前582-497）學(xué)派，但二千四百年后才產(chǎn)生包括無(wú)理數(shù)在內(nèi)的實(shí)數(shù)嚴(yán)格定義。

乘法的重復(fù)進(jìn)行產(chǎn)生了乘方，23就是三個(gè)2相乘，然而哪個(gè)數(shù)的平方會(huì)等于2呢？畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了這個(gè)問(wèn)題，邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度不是既約分?jǐn)?shù)，后來(lái)用√2表示對(duì)角線的長(zhǎng)度，無(wú)理數(shù)的概念初步形成。

關(guān)于√2不是有理數(shù)的一個(gè)證明

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所作：設(shè)√2是既約分?jǐn)?shù)p/q，即√2=p/q，則2q2=p2，這表明p2是偶數(shù)，p也是偶數(shù)（否則若p是奇數(shù)則p2是奇數(shù)），設(shè)p=2k，得q2=2k2，于是q也是偶數(shù)，這與p/q是既約分?jǐn)?shù)矛盾。

結(jié)論：“不存在這樣的有理數(shù)使其平方等于2”

由于有理數(shù)可表示成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，人們想到用“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，這也是直至19世紀(jì)中葉以前的實(shí)際做法。它看起來(lái)很通俗，不明白無(wú)理數(shù)奧妙的人大體也是這樣理解無(wú)理數(shù)的。但這樣做遇到的困難更大：關(guān)鍵的問(wèn)題是你無(wú)法判斷一個(gè)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)的，也不能將兩個(gè)無(wú)限不循環(huán)的數(shù)進(jìn)行加減乘除。

啟示：

每個(gè)有理數(shù)作為有長(zhǎng)度的線段，對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上的坐標(biāo)。邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線線段也應(yīng)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，這意味著如果只有有理數(shù)，數(shù)軸上存有“空隙”——盡管有理數(shù)非常稠密。應(yīng)當(dāng)填補(bǔ)這些“空隙”使數(shù)軸成為完美的，歐幾里德《幾何原本》中曾記載過(guò)這一思想的雛形。

戴德金歷史上的兩種無(wú)理數(shù)定義戴德金的說(shuō)法，一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)集合

康托的說(shuō)法，一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)（柯西）序列

1874年康托還證明了無(wú)理數(shù)比有理數(shù)多得多，這也意味著，無(wú)形的、不是根式的無(wú)理數(shù)竟比直觀的、根式的無(wú)理數(shù)多得多！數(shù)軸上代表有理數(shù)的點(diǎn)雖然是稠密的——任何兩個(gè)有理數(shù)點(diǎn)之間恒有無(wú)數(shù)多有理數(shù)點(diǎn)，但是除有理數(shù)點(diǎn)外的“空隙”更多?！翱障丁币坏┨顫M，稠密概念發(fā)展成了連續(xù)的概念，數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)完全對(duì)應(yīng)，無(wú)理數(shù)問(wèn)題畫上了永遠(yuǎn)的句號(hào)。數(shù)學(xué)家所知道的無(wú)理數(shù)確實(shí)少的可憐：

知道得最多的只是各式各樣的根式，這是古希臘人即已知道的；其次是π與e兩個(gè)非代數(shù)數(shù)。那些比代數(shù)數(shù)多得多的無(wú)理數(shù)在哪兒？1900年數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert，1862-1943）提出著名的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題即包括了這一內(nèi)容。然而，若稍微追問(wèn)一句“(π+e)是無(wú)理數(shù)還是有理數(shù)”？則至今都沒有嚴(yán)密的答案。總之：

數(shù)學(xué)家心安理得的是建立了無(wú)懈可擊的實(shí)數(shù)體系，在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上，任何閑言碎語(yǔ)都是不足道的。無(wú)理數(shù)所體現(xiàn)的完美無(wú)缺、一絲不茍的純粹理性與無(wú)孔不入、盡人皆知的世俗應(yīng)用，可謂占盡天上人間風(fēng)光，正是數(shù)學(xué)的魅力之所在。二、實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．三、實(shí)數(shù)的分類：

（1）按定義分類：（2）按大小分類：例1

把下列各數(shù)寫入相應(yīng)的集合中：四、實(shí)數(shù)軸

我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)表示的并不都是有理數(shù)，也有無(wú)理數(shù)．如果我們把所有的有理數(shù)連起來(lái)，組成的是一條斷斷續(xù)續(xù)的數(shù)軸，這其中的空缺就是我們剛剛學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)，可見由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)把整個(gè)數(shù)軸填充完整了，所以我們把這個(gè)數(shù)軸又稱為實(shí)數(shù)軸．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．這其中包含著兩層含義：第一，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；第二，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示．?dāng)?shù)軸上的無(wú)理數(shù)

我們把實(shí)數(shù)表示在數(shù)軸上，最直觀地表明了實(shí)數(shù)的大小，以原點(diǎn)為分界線，在原點(diǎn)的右側(cè)，表示正數(shù)，在原點(diǎn)的左側(cè)為負(fù)數(shù)，我們知道數(shù)軸上的實(shí)數(shù)從左到右是由小變大，并且數(shù)軸上的右側(cè)的數(shù)總是比它左側(cè)的數(shù)大，這就引出了實(shí)數(shù)比較大小的問(wèn)題．顯然同有理數(shù)之間的比較大小是類似的．例2、比較大小：說(shuō)明：

實(shí)數(shù)的比較，需要遵循的原則是必須化成同類數(shù)才可作比較，對(duì)于一些無(wú)理數(shù)，若要化成小數(shù)，只能取其近似值，所以需要熟記一些無(wú)理數(shù)的近似值。例3、填空：(1)｜3-π｜=_______．

則x=______；y=______．1）在3.14，sin30°,各數(shù)中，無(wú)理數(shù)有………（）

A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)

2）下列命題中正確的個(gè)數(shù)有………（）

①實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)

②a<a+a

③212的平方根是21

④在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，非負(fù)數(shù)一定是正數(shù)⑤兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和仍是無(wú)理數(shù)

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

3）當(dāng)a<b<0時(shí)，＝

4）若與互為相反數(shù)，則＝

5）已知0<x<1，那么x、、、中，最大的數(shù)是………（）A、x

B、

C、

D、6）比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小：

7）當(dāng)－3＜a＜