高考高中數(shù)學(xué)必考：函數(shù)常用性質(zhì)超全面總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必考：函數(shù)常用性質(zhì)超全面總結(jié)

【高考微專題】“剪不斷，理還亂”

——函數(shù)常用性質(zhì)例談

【導(dǎo)讀】

函數(shù)常用性質(zhì)包括泡調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性和周期性,一中奇偶性、對(duì)稱性和周期性之

間有「絲萬縷的聯(lián)系，可以做到??知:求■,,?看起來有點(diǎn)我扯不消的“二:用戀”關(guān)系，單單是

這樣，可能學(xué)生.還不會(huì)覺得函數(shù)?繁雜;在這?:位牽扯不清的同時(shí)，單調(diào)性也不什寂寞，。

他們:個(gè)乂一起發(fā)生各種關(guān)聯(lián),在本來就已經(jīng)混亂的局面上又加r一把火

今天我們就來理清楚這個(gè)混亂的問題,先從我是玳，再到他們是i隹,最后是我們應(yīng)該怎

么樣，這樣個(gè)認(rèn)知的過程。卜?而，我們開始吧!

【知識(shí)梳理】

主要考點(diǎn)：小調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等

一、函數(shù)的的調(diào)性

1.函數(shù)單調(diào)性的定義

增函數(shù)減函數(shù)

?般地，設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,如果時(shí)「定義域/內(nèi)某個(gè)|/間。上的任

意兩個(gè)自變量的值1，三

定義

-'l.r,<x2ll-t,都仃那么?再<當(dāng)時(shí)，都仃/(xj>/(xj,那

就說函數(shù)/(.v)佐卜:間。1：足增函數(shù)么就說函數(shù)/(.、?)任1<間。上是減函數(shù)

設(shè)x,,x2e,[a,b],xl*x1.若仃(怎-x,)[/(xj-/(x,)]>0或"*)~~"%)>0，則f(x)在閉

區(qū)間[a,句上是增函數(shù)；花行(&一x,)[/(xJ_/(x,)]<0或--"一)<0,則/(x)住閉區(qū)間

X'f

[a,b]K是減函數(shù).此為函數(shù)不調(diào)性定義的等價(jià)形式.

2.單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，區(qū)間。叫做函數(shù)/(x)的單調(diào)|<問.

注意：色)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概0,一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上，可以有不同的單

調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“U”連接.

(2)函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的

定義域.

(3)”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是月”與“函數(shù)在區(qū)間3上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念，注意區(qū)分，顯然

Ba.4.

(4)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制.例如函數(shù)y=L分別在

X

(-8,0),(O,+a>)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個(gè)定義域,即(一8,0)11(0,田)內(nèi)單調(diào)

遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0)和(0,+00).

3.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論

(D若〃x),g(x)均為區(qū)間.4上的增(減)函數(shù),則/(x)+g(x)也是區(qū)間.4上的增(減)函數(shù);

(2)若k>0,則"(x)與/(x)的單調(diào)件相同；若上<0,則獷(x)l/(x)的雅調(diào)性相反；

(3)函數(shù)y=/(x)(/(x)>0)住公共定義域內(nèi)與”_/(x),y=卷的單調(diào)性相反；

(4)函數(shù)y=/(."(/(X)20)任公共定義域內(nèi)與y=J而的單調(diào)性相同；

(5)奇函數(shù)在其關(guān)「原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同,偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)

性相反；

(6)些重要函數(shù)的單調(diào)性:

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①J.=X+：的單調(diào)性：在（73,-1］和［1,+OD）上單調(diào)遞增，在（-1,0）和（0,1）上單調(diào)遞減;

('1)y=ax+—(a>0,6>0）的單調(diào)性:在I二單調(diào)遞增,

x

和Sa上單調(diào)遞減.

4.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/（X）的定義域?yàn)?,如果存住實(shí)數(shù)M滿足

<1）對(duì)于任意的xe/,都有/（x）4"；（3）對(duì)于任意的xe/,都有/（x）>M；

條件（2）存在x°e/,使得/（x0）=M（4）存在使得〃%）=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

注意：T）函數(shù)的值域--定存在，而函數(shù)的最值不一定存住;

（2）若函數(shù)的最（tt存在，則?定是位域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值,

若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.

二、函數(shù)的奇偶性

1.函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)「函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意?個(gè)X,都圖象美于

偶函數(shù)

有〃-X）=/（切,那么函數(shù)/（X）是偶函數(shù)y軸對(duì)■稱

如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都圖象關(guān)于

奇函數(shù)

有f（-x）=那么函數(shù)/（X）是奇函數(shù)原點(diǎn)對(duì)稱

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判斷了(-x)的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果〃-x)-/(x)=O或

與R=l(/(x)*0),則函數(shù)/(X)為偶函數(shù).如果/(-x)+/(x)=0或與，=-l(/(x)+0),

/(x)/(X)

則函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意

?個(gè)X,-X也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

2.函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論

1)奇函數(shù)在關(guān)f原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)

性相反.

(2)/(x),g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論:

fMg(x)y(x)+g(x)/*)-g(K)/(X)g(x)/(g(x))

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

(3)若奇函數(shù)的定義域包括0,則〃0)=0.

(4)若函數(shù)〃x)是偶函數(shù)，則/(-x)=/(x)=/(W).

(5)定義在(-8,+8)1：的任意函數(shù)/(X)都可以唯濃示成個(gè)奇函數(shù)與?個(gè)偶函數(shù)之和.

(6)若函數(shù)y=/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(x)+〃-x)為偶函數(shù)，〃x)-/(-.v)為奇

函數(shù)，為偶函數(shù).

(7)掌握?些立耍類型的奇偶函數(shù)：

①函數(shù)/(x)=a*+/*為偶函數(shù)，函數(shù)/(x)=a'-ar為奇■函數(shù).

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②函數(shù)/(》)=：「、7rzi(。〉0且。工1)為奇函數(shù).

。。a+1

③函數(shù)y(x)=iog“匕￡(a>ona*i)為奇函數(shù).

l+x

M?函數(shù)/(x)=log.(x++1),a>011.</*1)為奇函數(shù).

三、函數(shù)的周期性

1.周期函數(shù)

時(shí)于函數(shù))，=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)7,使得節(jié)工取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有

f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱7■為這個(gè)函數(shù)的周期.

2.最小正周期

如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存任一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做

/(x)的最小正周期(若不特別說明，7?股都是指最小正周期).

注意：并不是所行周期函數(shù)都行最小正周期.

3.函數(shù)周期性的常用結(jié)論

設(shè)函數(shù)y=/(x),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x-a),則函數(shù)的周期為2a;

,2若/(x+a)=-/(x),則函數(shù)的周期為2a；

③若/(x+u)=」一,則函數(shù)的周期為2a；

/(A)

④若/(x+a)-----,則函數(shù)的周期為2a；

/(x)

⑤函數(shù)/(X)關(guān)于直線X=a與X=b對(duì)稱，那么函數(shù)/(X)的周期為2g-aI；

⑥若函數(shù)〃x)關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)傳,0)時(shí)稱，則函數(shù)/W的周期是2\b-a\;

⑦公函數(shù)/(x)大『直線x=。時(shí)稱，乂關(guān)廣點(diǎn)@，0)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期是4|6-叫

⑧若函數(shù)〃x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于內(nèi)線x=a對(duì)稱，則其周期為3；

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。若函數(shù)/(“是奇函數(shù)，其圖象關(guān)「直線x=。對(duì)稱，則其周期為40.

四、函數(shù)的對(duì)稱性

1、對(duì)稱性的概念

(1)函數(shù)軸對(duì)稱:如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一條直線對(duì)折,直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合,則

稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的軸對(duì)稱，該直線稱為該函數(shù)的對(duì)稱軸.

(2)對(duì)稱中心:如果一個(gè)函數(shù)的圖像沿一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。,所得的圖像能與原函數(shù)圖像完全重

合>則稱該函數(shù)具備對(duì)稱性中的中心對(duì)稱,該點(diǎn)稱為該函數(shù)的對(duì)稱中心.

2、常見函數(shù)的對(duì)稱性

(1)-個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性

對(duì)廣函數(shù)f(x),對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都有：

①/(a+x)=/(a-x)(或/(x)=/(2a-x);O函數(shù)［(x)圖像關(guān)于宜線x=a對(duì)稱；

②/(a+x)=/(b-x)。函數(shù)/(x)圖像關(guān)f-直線》=等對(duì)稱；

【括號(hào)內(nèi)加和是常數(shù),這個(gè)常數(shù)除以2即為對(duì)稱軸】

3/S+x)+/(a-x)=0(或/(a+x)=-/(a-x))<=>函數(shù)/(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱;

④/(a+.v)+/(b-x)=0(或f(a+x)=-f(b-x)，<=>函數(shù)/(x)圖像關(guān)于點(diǎn)［一^—,oj對(duì)稱;

⑤f(a+x)+f(b-x)=2c=函數(shù)/(x)圖像關(guān)了點(diǎn)(竽,c)對(duì)稱;

【函數(shù)值加和為零(或函數(shù)值互為相反數(shù))，括號(hào)內(nèi)的加和為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)除以2為對(duì)稱

中心橫坐標(biāo)】

(2)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性

①函數(shù)y=f(x)與函數(shù))?=/(2a-x)的圖像關(guān)I-白線x=a時(shí)稱；

②函數(shù)y=/(x+a)與函數(shù)丁=/(b-x)的圖像關(guān)「在線》=容對(duì)稱；

③函數(shù)y=/(x)Lj函數(shù)2b-y=/(2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.

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【例題精講】

一、簡單單調(diào)性問題

[1.11(2019黃沛二模)若函數(shù)/(刈=卜"2，x'L在區(qū)間[0,內(nèi))上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)用的

[lg|x-m|,x>\

取值范圍為.

【答案】(田,2

\ioJ

7W<19

【解析】山題意喬解得

l2-2<lg|l-/w|10

[1.2](2019奉賢二模)已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0,+o>)單調(diào)遞減，

"ix+y=2019時(shí)，恒行/(x)+/(2019)>f(y)成立,則x的取值范圍是_______.

【答案】(y,0)

【解析】由題意，可以用特殊函數(shù)做，比如y=/(x)=-x,則可得-x-2019>-y=-(2019-x),

可解得x<0.

[1.31(2019普陀二模)設(shè)函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù),記g(r)=/(x)-x2,且函數(shù)g(x)

在區(qū)間[0,+8)上是增函數(shù)，則不等式/(A+2)-/(2)>A-2+4x的解集是.

【：，案】(-8,-4)o(0,+co)

【解析】介意:由題意可得，函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，由/(x+2)-/(2)>x?+4x得,

/(x+2)-卜+2丁>/(2)-22,即g(x+2)>g(2),:虱*)為偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+8)遞增，

.,Jx+21>2..1x<-4或x>0.即解集為(-8,-4)0(0,+s)

解法：：取特殊值，不妨設(shè)/(x)=2/,解得解集為(-s,-4)U(0,+s).

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[1,4]<2019長寧嘉定?模)某位喜歡思考的同學(xué)在學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)提出「如卜兩個(gè)命題:

己知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镈,xt,x2eD.

①若當(dāng)/(怎)+/。2)=0時(shí),都有$+電=0,則函數(shù)y=/(x)是D上的奇函數(shù).

②若當(dāng)/(項(xiàng))〈/(三)時(shí)，都有演〈三,則函數(shù)y=/(x)是。匕的增函數(shù).

卜列判斷正確的是()

A、I.和②都是真命題B、①是真命題，②是假命題

C、；1:和都是假命題D、①是假命題，②是其命題

【解析】村于命題①，存在另個(gè)角度思考，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱沒rr說明，其次不能衣示住

意性即存在/(&)+/(%)=0,有&+%=0，不符合奇函數(shù)的定義.

對(duì)于命題②，同樣也不能表示任意性，即存在/(演)</(5)，有占<三，也不符合單調(diào)增函

數(shù)的定義.故，1和⑵都是假命題，故答案選C.

[15](202()黃浦:模)己知函數(shù)/(x)=a'+6(。>0,。*1)的定義域和值域都是[-2,0].則

/(-1)=

【答案】6-3

0<a<l

【解析】由題意得:⑴/(一2)=0,解得T，此時(shí)/(-1)=石-3；②"(-2)=-2,無

/(0)=-2b=-3,/(0)=0

(“-3)x,x41是忖)上的減函數(shù)，那么。的取值范圍是()

[1.6]-知函數(shù)/(x)=

-2ax,x>l

A、(0,3)B、(0,3]C、(1,3)D、13)

[JD

a—3<0

【倘析】由題意得:-2a<0,解得aeR,3),

(a-3)xl>-2axl

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[1.7](2020金山：模)已知函數(shù)/(x)=lg匕土+sinx+l，若/(而)=4,則/(_>?)=______.

1+X

【答案】-2

【解析】易知函數(shù)y=1g-~—為奇函數(shù)，令g(x)=/(x)-1=1g-~—+sinx為奇函數(shù)，

1+x1+x

g(m)=/(m)—1=3,g(—，")=/(-，")一1=—g(，")=—3,2.

【1.8]已知函數(shù)/(x)隹及上是單調(diào)函數(shù)，艮滿足時(shí)任意xeR，都有/|/(x)-2']=3,則〃3)

的值是()

A,3B、7C^9D、12

【答案】C

【解析】?.?函數(shù)/⑴是R上的單調(diào)函數(shù)，乂//(x)-2']=3,可令，=/(x)-23.?J(x)=2'+r,

又???/(f)=3,即2'+/=3,解得f=1,r./(x)=2'+l,.,./(3)=9.

2、簡單奇偶性問題

[21](2019奉賢-模)函數(shù)g(x)對(duì)任意的xeR，ffg(x)+g(-x)=x'.設(shè)函數(shù)/(x)g(A")~y，

且/(x)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增，若/(a)+/(a，-2)近0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】[-2』

【解析】g(x)=/(x)+千g(x)+g(-x)=/(*)+^-+/(-x)+^-=x1=>/(x)+/(-x)=0

“X)是在R上的奇函數(shù)，/(&)+/(/-2)W0=>f(a)<-f[a!-2)=f(2-a2)即aW2-『

ae[-2,l]

[2.2](2019金山-模)設(shè)函數(shù)/(x)=lg(l+|x|)-一二,則使得/(2x)</(3x-2)成立的x的

1+X

取值范圍是.

7

【答(-<x),M)D(2,+8)

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【解析】由題可得/(x)=/(-x),當(dāng)x20時(shí),/(X)=增-減=增,

2

故只需：|2.v|<|3x-2|,(Wft1xe(-00,|-)u(2,+co)

[2.3](2019寶山一模)關(guān)于函數(shù)/(x)=-y^的下列判斷,其中正確的是(:〉

A、函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形.B、函數(shù)的圖像是中心時(shí)稱圖形.

C、函數(shù)有最大值.D、當(dāng)*>0時(shí)，y=/(x)是減函數(shù).

【答柒】A

[firtill由--230,得xw±3定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由/(-*)=—4—=—=/")

(-X)-2x-2

所以是偶函數(shù)，圖像是軸對(duì)稱圖形，A正確，B錯(cuò)誤.函數(shù)值域?yàn)镽,C錯(cuò)誤.

當(dāng)x>0時(shí)，y=/(x)的減IW間為(0,e)U(&,+8),D錯(cuò)誤，選A

[2.4](2019虹口二模)若函數(shù)/(x)=log,(9'+l)+fcv(ksR)為偶函數(shù),則％的值為____.

【答案】-1

QA.1

【解析】由/(k)-/(—x)=log,-----+2kx=log9X+2kx=2x+2kx=0可得k=-l

9-*+13

[25](2019楊浦：模)若定義域?yàn)?F,0)U(0,+8)的函數(shù)/(r)=[j2'”>°是奇函數(shù)，

[2"+”1x<0

則實(shí)數(shù)m的值為.

【答案】-1

【斛折】由已知，/(1)=1./(-l)=|+m,：/(*)是奇函數(shù)，,g+g+n?=O,...m=-1,經(jīng)

檢驗(yàn)，當(dāng)〃7=-1時(shí)，/")是奇函數(shù)，故〃?=T.

[2.6](2020金山：模)函數(shù)/(x)是定義住K上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，^ixe[0,l]

時(shí)，〃x)=4.若函數(shù)g(x)=/(x)-x-,"行三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)切的取值范圍是(

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B、(1-V2.V2-1)

C、(4A---,4A-+-)(A-eZ)D、(4k+1-4k+及-1)(keZ.)

44

【答案】c

【解析】由題意，函數(shù)/(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也關(guān)于直線x=-l對(duì)稱，作出圖像如圖，易知函

數(shù)周期為7=4.

g(x)=Off：個(gè)不同的解，即/(x)=x+m方程Tf3個(gè)不同的解，

即函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=x+w的圖像有3個(gè)不同的交點(diǎn)，

由圖像易知，相切時(shí)候?yàn)榕R界條件，此時(shí)有2個(gè)交點(diǎn)，

Vx=x+m,令7=正整理得/一，+，"=0,A=0,解得小=1，

由對(duì)稱性可知，在xe[-2,2]的這個(gè)周期內(nèi)，滿足題意的，”取值范圍為

又?.?函數(shù)/(x)的周期為4,.??加€[4*-1,4*+；),keZ.

[27](2020松江二模)若函數(shù)/(x)=logz(2'+l)+b是偶函數(shù)，則4=.

【答案】」

2

(W析】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)是偶函數(shù)，.?./⑴=/(-1),解得K=_；.

[2.8](2020浦東二模)已知函數(shù)/(x)=x2+alog2(Y+2)+a-2的零點(diǎn)有且只有?個(gè)，則實(shí)

數(shù)a的取值集合為.

【答案】{1}

【解析】易知函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，乂因?yàn)楹瘮?shù)/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，../(0)=0,;“=1.

第11頁共43頁

[2.9](2019松江一模)已知函數(shù)/(x)=a-島(常數(shù)aeR).

1)討論函數(shù)/(x)的奇偶性，并說明理由;

(2)當(dāng)“X)為奇函數(shù)時(shí)，若對(duì)任意的xeR.3],都有/(x)Z?成立，求m的最大值.

【答案】(1)若當(dāng)a=l時(shí)，/(x)為奇函數(shù)；(2)山,即帆的最大值是]

【解析】(I)若/(x)為奇函數(shù)，必有〃0)=a-l=0得a=l.

、“…22X-12-x-11-2X

2|a=1Hj?/(x)=1---------,f(-x)=-------二———二-/(x)，

2*+12X+12-x+l2r+l

工當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),/(x)為奇函數(shù)

又/(l)=a-|,/(-l)=a-g,二對(duì)任意實(shí)數(shù)a,都有/(-1-/(I),

.??/(X)不可能是偶函數(shù)

(2)由條件可得:m<21/(x)=2Ia—)=(2X+1)+——-3恒成立,

2T+12r+1

記，=2*+1,則由xe[2,3]得f€[5,9],

此時(shí)函數(shù)g(/)=/+：-3在丘[5,9]上單調(diào)遞增，

所以g⑺的最小值是g(5)=￡,

所以加與二，即用的最大值是

55

[2.10](2020楊浦模)己知函數(shù)/(X)=2'+￡,其中。為次常數(shù).

(1)若/(0)=7,解關(guān)于x的方程/(x)=5；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性,并說明理由.

【7；案】(1)x=1或x=logz3；

(2)a=l時(shí)為偶函數(shù)，。=-1時(shí)為奇函數(shù)，費(fèi)非奇非偶函數(shù)

【解析】(1)由/(0)=1+。=7,所以。=6,

方程2'+擠=5即⑵y-5W+6=0,

第12頁共43頁

解得x=1或不=log,3

(2)解法：函數(shù)的定義域?yàn)镽

①當(dāng)。=1時(shí),/(x)=2x+—,

21

時(shí)任意xwR,均有/(-x)=27+3=5+2'=/(x)

所以/(x)=2，+*為偶函數(shù)；

V

②當(dāng)。=-1時(shí)，/(A-)=2-^?,

對(duì)任意xeR,均有/(-x)=2-x——1-----21—/(x)

2r2*

所以/(x)=2*+5為奇函數(shù)；

③當(dāng)awlHaw-l時(shí)，/(x)=2A+^-.

由/⑴=2+人，f(-l)=-+2a

22

/⑴+/(-1)=^+不。#0./⑴-/(-1)=#0

所以/*)=2、/為非奇非偶函數(shù)。

2,解法：：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽.

/(x)為奇函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)/(-x)+/(x)=0而任意xeR恒龍江，

2-，+*+2?+>0,即⑵+3)(l+a)=0,

x任意l+a=0?即a=—1.

【說明】：/(0)=0=。=一1，須將0=-1代I可解析式驗(yàn)證/(f)=-/(》)恒成立.

/(X)為偶函數(shù)當(dāng)IL僅當(dāng)/(—?)-/*)=0對(duì)任意xeR恒成立,

2T+—2'—不-=0*H|J(2'——1)=0?

,:x任意:.a-1=0>即a=1.

綜上所述：當(dāng)。=1時(shí)/(X)為偶函數(shù)；當(dāng)a=7時(shí)/(x)為奇函數(shù)；

當(dāng)"±1時(shí)/(x)為非奇非偶函數(shù).

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[2,11](2020普陀二模)設(shè)函數(shù)/(x)=F"l-2MXM0是偶函數(shù)

[g(x)0<x<w

(1)求實(shí)數(shù)m的值及g(x);

(2)設(shè)函數(shù)g(x)住區(qū)間［0.附］上的反函數(shù)為gT(x),當(dāng)g"⑵>log《(。>0口.亦1,時(shí)，求實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

【備案】(1,w=2.g(x)=3*-l；(2)(0,-)U(l,+oo)；

【解析】(D???函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，...定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱Fl/(-x)=/(x),則加=2,

當(dāng)0<xv2時(shí)，/(x)=g(x),Wi］-2<-x<0,/(-x)=3x-l=/(x),

g(x)=3*-l.

(2)函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,2］卜.的反函數(shù)為g\x),

則3?、?1=2,npg-'(2)=1,

22

明。g1<l，則產(chǎn)產(chǎn)或性廣I

0<a<Ia>1

2

即0<a<,或a>1,

.,.實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)U(1,+8).

3、函數(shù)的周期性和對(duì)稱性

［311(2019奉賢?模)天干地支紀(jì)年法，源于中國.中國自古便有十天千與十二地支.

十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；

十二地文：廣、H、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.

天干地支紀(jì)年法是按順咋以個(gè)大干和個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，

天干天呷”起,地支由“子”起，比如第一年為“甲子”,第二年為“乙丑”,第三年為“丙

支”，…，以此類推.排列到“癸酉”后,天干回到“甲，嚏新開始，即“甲戌”，“乙亥”,之后地

支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推.已知2016年為丙申年，那么到改革開放100

年時(shí)，即2078年為年.

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【答案】戊戌

【解析】等基數(shù)列，天干以10為周期，地支以12為周期,分別計(jì)算.

[32]2019靜安一模)若定義住實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱,

且當(dāng)0vxv1時(shí)，/(x)=J,則方程f(x)=L在區(qū)間《10)內(nèi)的所有實(shí)根之和為.

1答案】24

【解析】(1)易知數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，且周期為4,則由對(duì)稱關(guān)系知：

玉+*+/+…+/=2x(-3)+2x1+2x5+2x9=24.

[3.3](2019普陀一模)記。為常數(shù)，記函數(shù)/(x)=Llog?！挂?a>0Ila*1,0<x<a)

2a-x

的反函數(shù)為/T(X),則/T(J;)+/T(：7J)+/T(J7)+…+尸(區(qū))=_______

la+1la+12。+12a+1

【笞案】a2

【解析】由題意得:

12a22o-l

-----1-----=------I-=-----=-1

2a+12。+12a+12a+1

乂+外=1

/(x1)+/(x,)=l+log?-^---士一=1

a—x{a—x2

x,x2.

------=—=1a=X)+x2

]+廣舄卜『

卜廣(高卜廣(擊)+???

2a+1

第15頁共43頁

x<0

[3.4](2019虹口二模)若函數(shù)f(x)=，則/(2019)的值為.

/(x-l)-/(x-2)x>0

【答案】-1

【解析■】x>0,/(x+3)=/(x+2)-/(x+1)=[/(X+1)-/(x)]-/(x+l)=_/(x)，

/(x+6)=-/(x+3)=/(A),；./(2019)=/(3)=-/(0)=-1.

[3.5](2019浦東二模)一知/(')=。,-q+0,則時(shí)任意非零賣數(shù)。,6，(\,”,",，，方程

切'?)+布(》)+7=0的解集不可能為()

A、｛2019｝B、｛2018,2019｝C、｛1,2,2018,2019｝D、｛1,9,81,729)

(]D

【解析】本題考察且合方程，肛』+"y+，=01),f(x)a\x-+c②，先解決前者，后分

析后希函數(shù)圖像，當(dāng))f程?行-解，記為外，.得外代入H程⑵得：丹=°卜-耳+c,即為

常住函數(shù)y=y0與函數(shù)/(x)=akM+c交點(diǎn)問題，若交點(diǎn)有1個(gè)，則原方程為1解，故A

選項(xiàng)可以；若有兩交點(diǎn)，即兩解，則B選項(xiàng)可以；若方程①有兩解，記為外,為，同上，則

看函數(shù)y=M，y=%與函數(shù)/*)=a|x6|+c的交點(diǎn)，可行4個(gè)交點(diǎn)，從圖像中可得，其4

個(gè)解兩兩關(guān)于直線x=b對(duì)稱,對(duì)于C選項(xiàng),可知4個(gè)解兩兩關(guān)于直線x=1010對(duì)稱,可滿

足；D選項(xiàng)不存在自線x=b使得這4個(gè)解兩兩關(guān)于內(nèi)線x=b對(duì)稱，則不可能成立；故選

D.

[3.6](2020崇明一模)已知函數(shù)“X)是定義在R上的周期為2的奇?函數(shù).當(dāng)0<xvl時(shí)，

f(x)=x3-ax+\,則實(shí)數(shù)a的值等于.

【答案】2

【解.析】T=2,1)=/(1),???/(x)為奇函數(shù)，/(1)=-/(-1),；./⑴=-/(1),即/(1)=0,

/(1)=2—a=0(即a=2.

第16頁共43頁

［37］(2020擰浦一模)已知時(shí)于任意給定的正實(shí)數(shù)上函數(shù)/a)=2'+h2T的圖像都關(guān)于

直線X=〃7成軸對(duì)稱圖形，則〃7=.

【容￡】log2k

【解析】由題意知，f(x)=f(2m-x),：.2s+k-2'5=22m'x+k-2x-2m=-^-2x+22"'.2'1,

：.2‘M=k,;.，”=；log2a.

4、抽象函數(shù)問題

［4.1］設(shè)/(x)是尺上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()

A、〃x)/(-x)是奇函數(shù)B、〃x)|/(-x)|是奇函數(shù)

C、〃x)-/(-x)是偶函數(shù)D、/(x)+/(-x)是偶函數(shù)

【答案】D

【解析】由于xeR,對(duì)于A,令尸(x)=/(x)/(-x),F(-x)=/(-A)/(X),F(x)=F(-x),

則尸(x)為偶函數(shù),同理可得y=/(x)-/(-x)為奇函數(shù),y=/(x)+/(-x)為偶函數(shù)，對(duì)于B

是無法確定的，可舉反例，y=x,y=x—1，y=0等.

【4.2］已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足〃x+4)=-/(x),I］.隹區(qū)間［0,4］上是減函數(shù)，則

()

A、/(10)</(13)</(15)B、/(13)</(10)</(15)

C、/(15)</(10)</(13)D、/(15)</(13)</(10)

【答案】B

【，洋折】lll/(x+4)=-/(x)ur知7=8,又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為偶函數(shù)，且在［0,4］遞減，由圖像可

知，函數(shù)住［4,8］上遞增，/(15)=/(7)=/(-1)=/(I)>/(2)=/(10)>/(3)=/(5)=/(13),故

選B.

第17頁共43頁

[4,3]已知定義為&的函數(shù)/(x)滿足〃-x)=-/(x+4),且函數(shù)/(x)在區(qū)間(2,+?)上單調(diào)

遞增.如果為<2<七,ILjTj+x2<4,則/(xJ+/(X2)的值(

A、恒小于0B、恒大于0C、可能為0D、可正可負(fù)

【答案】A

【解析】III/(-x)=-/(x+4)知，函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在區(qū)間(2,七?)

上單調(diào)遞增，當(dāng)Xo+X[=4時(shí)，/(Xo)+/(xj=0,現(xiàn)在X]+x?<4,x0>x2,f(x0)>f(x2),

，/(a)+/(三)<。.

【4.4]已知定義在區(qū)間(0,+?))上的函數(shù)滿足/%=/(A-)-/(.V,).IL當(dāng)x>l時(shí),

<X2,

/(X)<0.

(1)求八1)的值；

(2)判斷/(x)的單調(diào)性;

(3)若〃3)=-1,解不等式/(|x|)<-2.

【答案】(1)0；(2)減函數(shù)；(3)(-oo,-9)U(9,+8)：

【解析】(1)令%=x?=l"(ihO；

(2)JfiXj>x,>0././I—|<0,

A㈤

由/仁卜/(&)-/“)，可得

/(a)-/(均)=彳.)<0,

二.函數(shù)f(x)K(0,+oo)為減函數(shù).

第18頁共43頁

(3)令*=93=3,.?.《，=7?⑼一/(3),Zv/(3)=-l,.-./(9)=-2,

.,./QX|)<-2可化為/QX|)</(9),Fh(2)知/(x)為(0,+00)的減函數(shù)，

：]x|>9,xe(-oo,-9)U(9,-H?).

5、函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用

[51](2020閔行二模)已知/(x+2)是定義在R上的偶函數(shù)，』再,三e[2,+oo)Fix產(chǎn)x?時(shí),

總有二三三—<0,則不等式/(-3田+1)</(12)的解提為_____.

/區(qū))-/(三)

【答案】(1,+8)

【解析】由題意，/(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，且在[2,+00)遞減，；./(-3"1+1)</(12)=>-3"'+1>12

(舍)或-3?"+1<-8,解得x>l

[5.2](2020虹.11-模)已知函數(shù)/(》)=k+2|.雙幻=k+;|,定義函數(shù)

產(chǎn)(X)=?[/(')'當(dāng)/(X)-8(X)，若對(duì)任意的XGR,都有尸(x)=尸(2-X)成立，則f的取值為

[g(x),當(dāng)/(x)>g(戈).

()

A、-4-2C、0D、2

【答案】A

【解析】函數(shù)/(x)對(duì)稱軸為x=-2,g(x)對(duì)稱軸為x=T,,.,F(x)=77(2-x),關(guān)于x=l對(duì)稱,

[5.3](2020黃浦一模)已知函數(shù)J，=/(K)ijy=g&)的圖像關(guān)于直線丁二x對(duì)稱，若

x

f(x)=x+log2(2+2),則滿足/(x)>log,3>g(x)的式的取值范圍是.

(??>：](0,logJ5)

第19頁共43頁

xv

【倘析】/(x)=A+log,(2+2)=log2丫+2(2)]>log23*解彳.}?x>0：g(x)<log23的x的范

圍,即當(dāng)工<log?3時(shí)，/(x)的范圍，???/(x)單調(diào)遞增，.?J(x)</(log23)=log215,即

8(》)<10823的解為為<108215；綜E：xe(0,log,15).

[54](2020寶山二模)己知〃x)是定義在&上的奇函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)X，4

做冷。，

都行XJ5)-?'"(三)<0,則函數(shù)g(x)=X(

NF0,x=0,

A,是偶函數(shù)，且在(0,+oo)上單調(diào)遞減.B、是偶函數(shù)，且在(0,48)上單調(diào)遞增.

C、是暫函數(shù)，且單調(diào)遞減.D、是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增.

【答案】A

【解析】當(dāng)xwO,g(x)=Z^，/(-x)=-/(x),g(-x)="=g(x),

X-XX

.?.g(x)為偶函數(shù).當(dāng)0<苦<2，/(占)一芭/(三)<0二三/(i)_./(三)>0,

Xl~X2

即吃/區(qū))>菁/區(qū))="")>"")=>g(M)>g(X2)，即g(K)在(0,+00)上單調(diào)遞減.

X]x2

[55](2019青浦一模)對(duì)于在某個(gè)區(qū)間[a,”)上有意義的函數(shù)〃x),如果存在一次函數(shù)

g(x)=fcv+b使得對(duì)■于任總的xw[a,+oo),仃|/(K)-g(K)|sl恒成立，則稱函數(shù)g(x)是函數(shù)/(X)

在區(qū)間[。,例)上的弱漸近函數(shù).

(1)若函數(shù)g(x)=3x是函數(shù)/&)=3丫+史在區(qū)間[4,+8)上的弱漸近函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值

范圍；

(2)證明：函數(shù)以刈二2工是函數(shù)/8)=2，口企區(qū)叫2,+8)上的弱漸近函數(shù).

【答案】(1)|w|<4=>-4</w<4

(2)函數(shù)8(外=2不是函數(shù)/(》)=2"工工在區(qū)間[2,收)上.的弱漸近函數(shù).

【解析】1)因?yàn)楹瘮?shù)g(K)=3x是函數(shù)/(K)=3K+巴■住1<間[4,+8)上的弱漸近函數(shù)，

第20頁共43頁

所以|/(')-8(戈)|二?41，即|向引為|在區(qū)間［4,+00)上恒成立,

即|?w|<4=>-4<w<4

(2)|/(x)-g(x)\=|2Vx2-1-2x|=2|Vx2-1-x|

x€[2,+co),/.\f(x)-g(x)|=?|x-Jx2-1|=2(x-Vx2-1)

____2-Vx2-lj(x+y/x2-ij2

令人(丫)=|/。)-g(x)|=2(K-7X2-1)=一

x+\lx2-1x+yjx2-1

任取2<X,<A,?則3WK；一1<x；-1,<Jx；一1<Jx；-1

j,22

0<X]+—1<k,+Jx；—1------/>------/h(xj>/7(A,,)

K[+4x；—1X,+yjXy-1

即函數(shù)A(x)=|/(x)-g(x)\=2(x-\/x2-1)住區(qū)間[2,上單調(diào)遞減，

所以|/(x)-g(x)|?0,4-23卜

又,即滿足g(x)=2x使得對(duì)丁“E點(diǎn):的xe[2,+oo)仃|/(x)-g(x)|vl恒成立,

所以函數(shù)g(x)=2x是函數(shù)/(》)=2/^工任區(qū)間[2,+oo)上的弱漸近函數(shù)

[5.6],2019閔行?模)對(duì)「函數(shù))，=/(.、-)，方函數(shù)尸(x)=/(x+l)-/(x)是增函數(shù)，則稱函

數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)X.

⑴若/(6=心+2，，求尸(x)的解析式,并判斷了(x)是否具有性質(zhì)小

(2)判斷命題“減函數(shù)不具有性質(zhì)人”是否真命題,并說明理由;

(3)若函數(shù)/(x)=fcv2+/(x20)具有性質(zhì)N,求實(shí)數(shù)★的取值范圍，并討論此時(shí)函數(shù)

g(x)=/(sinx)-sinA-住區(qū)間上零點(diǎn):的個(gè)數(shù)。

【答案】(1)具有；(2)假命題；

(3)當(dāng)ke-1,o|lb]-,零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)《=0時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3；當(dāng)%<0,+8)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)

數(shù)為4；

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【解析】(1)F(X)=/(A+1)-/(X)=(X+1)2+2X+1-X2-2A=2X+2X+1,

lWF(A)=2X+2x4-1rE(-co,+ao)上是增函數(shù)，所以/(x)具有性質(zhì)A

(2)舉例：/(x)=-A(x20)是減函數(shù)，F(xiàn)(x)=/(x+1)-/(.v)=-\/x+l+>/x

1

可得F(X)=-y/x4-1+\/x=-在［O,X)上單調(diào)遞增,

x/x+1+>/x

所以f(x)=-^(x>0).性質(zhì)X,所以該命題是假命題.：

(3)F(x)=^(x+l)'+(A*+1)3-kx2-x3=3x2+(2Ar+3)x+/:+l(x>0),

因?yàn)閒(x)=kx2+x3(x>0)具有性質(zhì)A>則-2W0=上>--

62

g(x)=/(sinx)-sinx=^sin2x+sin3x-sinA*?lllg(K)=0f號(hào)

Arsin2x+sin3x-sinx=0=>sinx=0或ksinx=-sin2x+1=x=0或x=不或

k=-^sin.v-——j.re(0,^)?設(shè)sinx=r,則左=一卜一1)/w(0,1］,ill函數(shù)

k=<0』的圖像可知：

'--Ike-0卜h/=/j>l,sinx=無解；

>l］攵=0時(shí)，t.=l,sinx=1x=—;

2

當(dāng)￡w(0,+co)時(shí)，/=/,e(0,l),sinA=/,在(0,”)上Tf兩個(gè)解；

綜上所述：與丘-：,())時(shí)，g(x)任區(qū)間［0用上的書點(diǎn)個(gè)數(shù)為2

當(dāng)左=0時(shí),g(k)在區(qū)間［0,可上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3

當(dāng)kw(0,+oo)時(shí)，g(x)在區(qū)間［0,1］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4

第22頁共43頁

[5.7](2019長寧嘉定一模)已知函數(shù)/(x)=-/+mx+l,g(x)=2sin(cox+-).

6

(1)若函數(shù)y=/(x)+2x為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)用的值；

(2)若。>0,g(x)<g(rl)tH.函數(shù)g(x)在[0,夕上單調(diào),求實(shí)數(shù)。的值；

(3)令0=1,若當(dāng)演?1,2]時(shí)，總仃勺?°，可，使得g(》2)=/(A)，求實(shí)數(shù)m取值范圍.

【答案】(1)zw=-2；(2)@=(3)/we[l,2]；

[iij-'i-析】(1)設(shè)A(x)=f(A)+2xf則A(K)=-x2+(m+2)x+1

由于h(x)是偶函數(shù)，所以對(duì)任意X￡&,/?(-X)=，7(.v)成'X.

即一(一x)2+2)