二次函數(shù)的圖像特征

二次函數(shù)的圖像特征二次函數(shù)的圖像特征一、二次函數(shù)的一般形式1.二次函數(shù)的定義：一般形式為y=ax^2+bx+c（a≠0）2.二次函數(shù)的參數(shù)：a、b、c分別為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)1.開口方向：由a的符號(hào)決定-a>0時(shí)，開口向上-a<0時(shí)，開口向下2.頂點(diǎn)：二次函數(shù)圖像的最低點(diǎn)或最高點(diǎn)-頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)：-b/(2a)-頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)：f(-b/(2a))=(4ac-b^2)/(4a)3.對(duì)稱軸：垂直于x軸，通過(guò)頂點(diǎn)的直線-對(duì)稱軸的方程：x=-b/(2a)4.增減性：-a>0時(shí)，x在(-∞，-b/(2a))和(-b/(2a)，+∞)兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增-a<0時(shí)，x在(-∞，-b/(2a))和(-b/(2a)，+∞)兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減5.零點(diǎn)：函數(shù)與x軸的交點(diǎn)-零點(diǎn)的求解：令y=0，解方程ax^2+bx+c=06.圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：-與x軸的交點(diǎn)：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0-與y軸的交點(diǎn)：令x=0，解方程ax^2+bx+c=0三、二次函數(shù)圖像的幾何性質(zhì)1.頂點(diǎn)：二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱軸與圖像的交點(diǎn)2.對(duì)稱軸：垂直于x軸，通過(guò)頂點(diǎn)的直線，將圖像分成兩部分，兩部分關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱3.零點(diǎn)：函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸將零點(diǎn)分成兩部分，兩部分關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱4.開口方向：由a的符號(hào)決定，決定了圖像在頂點(diǎn)兩側(cè)的增減性四、二次函數(shù)圖像的應(yīng)用1.實(shí)際問(wèn)題建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式，分析圖像特征，解決問(wèn)題2.函數(shù)圖像分析：通過(guò)觀察圖像，了解函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、對(duì)稱性等3.函數(shù)圖像變換：了解二次函數(shù)圖像在平移、縮放等變換下的特點(diǎn)五、注意事項(xiàng)1.掌握二次函數(shù)圖像的基本特征，如開口方向、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸等2.了解二次函數(shù)圖像在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用3.培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力和解決問(wèn)題的能力習(xí)題及方法：1.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=x^2+4x+3，求：a.開口方向b.頂點(diǎn)坐標(biāo)c.對(duì)稱軸方程d.函數(shù)的增減性a.開口向上b.(-2,-7)c.x=-2d.在(-∞，-2)和(-2,+∞)兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增e.x=-3和x=12.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=-x^2+2x+1，求：a.開口方向b.頂點(diǎn)坐標(biāo)c.對(duì)稱軸方程d.函數(shù)的增減性a.開口向下b.(1,2)d.在(-∞,1)和(1,+∞)兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減3.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=2x^2-4x+1，求：a.開口方向b.頂點(diǎn)坐標(biāo)c.對(duì)稱軸方程d.函數(shù)的增減性a.開口向上b.(1,-1)d.在(-∞,1)和(1,+∞)兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增e.x=1/24.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=-3x^2+6x-2，求：a.開口方向b.頂點(diǎn)坐標(biāo)c.對(duì)稱軸方程d.函數(shù)的增減性a.開口向下b.(1,7)d.在(-∞,1)和(1,+∞)兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減e.x=2/35.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=x^2-2x-3，求：a.開口方向b.頂點(diǎn)坐標(biāo)c.對(duì)稱軸方程d.函數(shù)的增減性a.開口向上b.(1,-4)d.在(-∞,1)和(1,+∞)兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增e.x=-1和x=36.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=-2x^2+4x+5，求：a.開口方向b.頂點(diǎn)坐標(biāo)c.對(duì)稱軸方程d.函數(shù)的增減性a.開口向下b.(1,7)d.在(-∞,1)和(1,+∞)兩個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減e.x=5/27.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=x^2+4，求：a.開口方向b.頂點(diǎn)坐標(biāo)c.對(duì)稱軸方程d.函數(shù)的增減性a.開口向上b.(0,4)d.在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增8.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=-x^2+2，求：a.開口方向b.頂點(diǎn)坐標(biāo)c.對(duì)稱軸方程d.函數(shù)的增減性a.開口向下b.(0,2)d.在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞減其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：一、配方法求解二次方程1.習(xí)題：求解方程x^2+6x+9=0。答案：通過(guò)配方法，將方程寫成(x+3)^2=0，解得x=-3。2.習(xí)題：求解方程x^2-6x+9=0。答案：通過(guò)配方法，將方程寫成(x-3)^2=0，解得x=3。3.習(xí)題：求解方程x^2+2x-8=0。答案：通過(guò)配方法，將方程寫成(x+4)(x-2)=0，解得x=-4和x=2。二、二次函數(shù)的頂點(diǎn)式1.習(xí)題：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)為(2,-3)，求函數(shù)的解析式。答案：設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x-2)^2-3，由于頂點(diǎn)式已給出頂點(diǎn)坐標(biāo)，故不需要求解a的值，函數(shù)解析式為y=(x-2)^2-3。2.習(xí)題：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)為(-1,5)，求函數(shù)的解析式。答案：設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+1)^2+5，由于頂點(diǎn)式已給出頂點(diǎn)坐標(biāo)，故不需要求解a的值，函數(shù)解析式為y=(x+1)^2+5。三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=x^2+2x+1與一元二次方程x^2+2x+1=0有相同的根，求證。答案：將一元二次方程寫成(x+1)^2=0，可知其根為x=-1，將x=-1代入二次函數(shù)y=x^2+2x+1中，得y=(-1)^2+2(-1)+1=0，故兩者有相同的根。2.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=2x^2-4x+1與一元二次方程2x^2-4x+1=0有相同的根，求證。答案：將一元二次方程寫成2(x-1)^2=0，可知其根為x=1，將x=1代入二次函數(shù)y=2x^2-4x+1中，得y=2(1)^2-4(1)+1=1-4+1=-2，故兩者有相同的根。四、二次函數(shù)的圖像變換1.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=x^2，將其向左平移2個(gè)單位，求新函數(shù)的解析式。答案：新函數(shù)的解析式為y=(x+2)^2。2.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=x^2，將其向上平移3個(gè)單位，求新函數(shù)的解析式。答案：新函數(shù)的解析式為y=x^2+3。五、二次函數(shù)的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系1.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=x^2-4x+3，求判別式Δ的值。答案：Δ=(-4)^2-4*1*3=16-12=4。2.習(xí)題：已知二次函數(shù)y=2x^2+12x+9，求判別式Δ的值。答案：Δ=12^2-4*2*9=144-72=72。總結(jié)：以上知識(shí)點(diǎn)和練習(xí)題主要圍繞二次函數(shù)的圖像特征、配方法求解二次方程、二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、二次函數(shù)與