高中數(shù)學學習技巧大全

第一部分高中數(shù)學活題巧解方法總論

第一篇數(shù)學具體解題方法

代入法直接法定義法參數(shù)法交軌法幾何法弦中點軌跡求法比較法基本不等式法

綜合法分析法放縮法反證法換元法構(gòu)造法數(shù)學歸納法配方法判別式法序軸標根法

向量平行法向量垂直法同一法累加法累乘法倒序相加法分組法公式法錯位相減法

裂項法迭代法角的變換法公式的變形及逆用法降幕法升影法“1”的代換法引入輔助角

法三角函數(shù)線法構(gòu)造對偶式法構(gòu)造三角形法估算法待定系數(shù)法特殊優(yōu)先法先選后排法

捆綁法插空法間接法篩選法（排除法）數(shù)形結(jié)合法特殊值法回代法（驗證法）特殊圖

形法分類法運算轉(zhuǎn)換法結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換法割補轉(zhuǎn)換法導數(shù)法象限分析法補集法距離法變

更主元法差異分析法反例法閱讀理解法信息遷移法類比聯(lián)想法抽象概括法邏輯推理法

等價轉(zhuǎn)化法根的分布法分離參數(shù)法抽簽法隨機數(shù)表法

第二篇數(shù)學思想方法

函數(shù)與方程思想數(shù)形結(jié)合思想分類討論思想化歸轉(zhuǎn)化思想整體思想

第三篇數(shù)學邏輯方法

比較法綜合法分析法反證法歸納法抽象與概括類比法

第二部分部分難點巧學

一、看清“身份”始作答——分清集合的代表元素是解決集合問題的關(guān)鍵

二、集合對實數(shù)說：你能運算，我也能！——集合的運算（交、并、補、子等）

三、巧用集合知識確定充分、必要條件

四、活用德摩根定律，巧解集合問題

五、“補集"幫你突破——巧用“補集思想”解題

六、在等與不等中實現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化——融函數(shù)、方程和不等式為一體

七、邏輯趣題欣賞

八、多角度、全方位理解概念——談對映射概念的掌握

九、函數(shù)問題的靈魂——定義域

十、函數(shù)表達式的“不求”藝術(shù)

十一、奇、偶函數(shù)定義的變式應用

十二、巧記圖象、輕松解題

十三、特殊化思想

十四、逆推思想

十五、構(gòu)造思想

十六、分類思想

十七、轉(zhuǎn)化與化歸思想

十八、向量不同于數(shù)量、向量的數(shù)量積是數(shù)量

十九、定比分點公式中應注意人的含義

二十、平移公式中的新舊坐標要分清

二十一、解斜三解形問題，須掌握三角關(guān)系式

二十二、活用倒數(shù)法則巧作不等變換——不等式的性質(zhì)和應用

二十三、小小等號也有大作為——絕對值不等式的應用

二十四、“抓兩頭，看中間”，巧解“雙或不等式”——不等式的解法

二十五、巧用均值不等式的變形式解證不等式

二十六、不等式中解題方法的類比應用

二十七、吃透重點概念，解幾學習巧入門

二十八、把握性質(zhì)變化，解幾特點早領(lǐng)悟

二十九、重點知識外延，概念的應用拓展

三十、把握基本特點，穩(wěn)步提高解題能力

三十一、巧記圓錐曲線的標準方程——確定圓錐曲線方程的焦點位置

三十二、巧用圓錐曲線的焦半徑公式

三十三、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題

三十四、求軌跡的常用方法

三十五、與圓錐曲線有關(guān)的最值問題、定值問題、參數(shù)范圍問題

三十六、空間問題向平面轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)——平面的基本性質(zhì)

三十七、既不平行，也不相交的兩條直線異面

三十八、從“低（維）”到“高（維”'，判定線面、面面的平行，應用性質(zhì)則相反

三十九、相互轉(zhuǎn)化——研究空間線線、線面、面面垂直的“利器”

四十、找（與所求角有關(guān)的線）、作（所缺線）、證（為所求）、算（其值）-

解空間角問題的步驟

四十一、作（或找垂線段）、證（為所求）、算（長度）——解距離問題的基本原則

四卜二、直線平面性質(zhì)集中展示的大舞臺——棱柱、棱錐

四十三、突出球心、展示大圓、巧作截面——解有關(guān)球問題的要點

四十四、排歹I」、組合問題的巧解策略

四十五、二項式定理的要點透析

四卜六、正確理解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別

四卜七、要正確理解事件、準確判定事件屬性

四十八、求隨機事件的概率的方法步驟

四十九、重要的概率模型

五十、抓住關(guān)鍵巧判斷——試驗、隨機試驗、隨機變量的判斷

五十一、隨機變量與函數(shù)的關(guān)系

五十二、離散型隨機變量分布列的兩條性質(zhì)的巧用

五十三、理解是學習數(shù)學的上方寶劍——數(shù)學期望的巧妙理解

五十四、三與EJ的本質(zhì)區(qū)別

五十五、巧用公式快計算——公式DJ=EJ2—（EJ）2的理解與應用

五十六、公式的比較與巧記

五十七、化難為易、化繁為簡巧歸納

五十八、湊結(jié)論，一錘定音

五十九、取特殊，直接代換

六十、巧設(shè)問，判斷函數(shù)的連續(xù)性

六十一、注意理解曲線y=f（x）在一點p（x0,yo）的切線概念

六十二、加強理解函數(shù)y=f（x）在（a,b）上的導函數(shù)

六十三、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

六十四、利用導數(shù)證明不等式

六十五、函數(shù)y=f（x）在點x=x0處的極值理解

六十六、求可導函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a,b）上的極值方法

六十七、分清實部與虛部，轉(zhuǎn)化為方程或不等式是判定復數(shù)類型的基本方法

六十八、利用復數(shù)相等條件轉(zhuǎn)化為方程組，復數(shù)問題實數(shù)化是求復數(shù)的基本方法

六十九、記住常用結(jié)論，簡化復數(shù)運算

七十、應用復數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求與復數(shù)有關(guān)的問題

第一部分高中數(shù)學活題巧解方法總論

一、代入法

若動點P（x,y）依賴于另一動點。（%,打）而運動，而。點的軌跡方程已知（也可能易于求得）

且可建立關(guān)系式/=/（x）,y（）=g（x），于是將這個。點的坐標表達式代入已知（或求得）曲線的

方程，化簡后即得P點的軌跡方程，這種方法稱為代入法，又稱轉(zhuǎn)移法或相關(guān)點法。

【例1】（2009年高考廣東卷）已知曲線C：y=Y與直線/：%—y+2=0交于兩點4（4，力）

和8（4,%），且乙<》8,記曲線C在點A和點8之間那一段L與線段所圍成的平面區(qū)域（含

邊界）為D設(shè)點P（s/）是L上的任一點，且點尸與點A和點8均不重合.若點。是線段48的中點，

試求線段P。的中點M的軌跡方程；

【巧解】聯(lián)立y=x2與y=x+2得4=-1,NB=2,則中點。（g,|）,

15

--F5--Ft

設(shè)線段尸。的中點M坐標為（x,y）,則x=2]—,y=2/_,

即s=2x—」/=2y—°,又點P在曲線C上，

22

2

2y—之=（2x—‘）2化簡可得y^x-x+—,又點P是L上的任一點，

228

且不與點A和點6重合，則—l<2x—工<2,即一1<x<2,

244

中點M的軌跡方程為y=——x+U（--<x<-）.

844

【例2】（2008年，江西卷）設(shè)尸（％0，為）在直線x=〃？（y#±機,0<機<1）上，過點P作雙曲線

》2->2=i的兩條切線尸4、PB,切點為A、B,定點M（90）。過點A作直線x-y=0的垂線，

垂足為N,試求AAA/N的重心G所在的曲線方程。

【巧解】設(shè)4（石,％）,8（尤2，%），由已知得到％為彳°，且（1）垂線AN的

方程為：y-yt=-x+xt,

由"十/得垂足N（土匕工,土土上）,設(shè)重心G（x,y）

x—y=022

,、c3

9x-3y——

1/1x.+y.._______m

王=

.”+/一)4

解得■

9y-3x+—

m

X=4

由玉2_y；=1PTW(3x-3^--)(3x+3y--)=2

mm

i?

即(X――1—)2-》2=之為重心6所在曲線方程

3m-9

巧練一：（2005年，江西卷）如圖，設(shè)拋物線C:y=/的焦點為R動點P在直線2=0上

運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點.，求4APB的重心

G的軌跡方程.

巧練二：（2006年，全國I卷）在平面直角坐標系xOy中，有一個以6（0,-石）和工（°，百）為焦點、

離心率為41的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C,動點P在C上，C在點尸處的切線與x、y

2

軸的交點分別為A、B,且向量=04+。8,求點M的軌跡方程

二、直接法

直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則通過準確的運

算、嚴謹?shù)耐评?、合理的驗證得出正確的結(jié)論，從而確定選擇支的方法叫直接法。從近幾

年全國各地的高考數(shù)學試題來看，絕大大部分選擇題的解答用的是此法。但解題時也要“盯

住選項特點”靈活做題，一邊計算，一邊對選項進行分析、驗證，或在選項中取值帶入題

設(shè)計算，驗證、篩選而迅速確定答案。

22

【例1】（2009年高考全國II卷）已知雙曲線C：二一二=1（。〉0力〉0）的右焦點為F,過F且斜

ab

率為百的直線交C于A、B兩點。若獲=4而，則C的離心率為（）

*7OQ

（A）-（B）-（C）-（D）-

5555

【巧解】設(shè)42，%)，B(x2,y2),F(c,O),EiJAF=4FB,得(。一范,一口)=4(々一。,為)

??必=_4為，設(shè)過F點斜率為V3的直線方程為x=i+c

Y--2—ch2Oh2r

由《73消去X得：(----a2)y2+—j^y+b4=0,

b2x2-a2y2-a2b2=0'”

6b2c6h2c

…二一礪中-3y=-

2向〃-3ab化簡得

將乃=-4%代入得，

3/3b4

-4y2

3后Kb~-3a2

2b2c

%二V3(b2-3a2),4/A」3/>4

22-

2=3-，,,3s2-3a)-4s2—3/)

>2~~4(b2-3a2)

化簡得：16c2=9(3。2-/)=9(3。2-。2+。2),25c2=36a2,e2=||,即6=^。

故本題選(A)

【例2】(2008年，四川卷)設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x)―/(x+2)=13,若

/⑴=2,貝U/(99)=()

2

(A)13(B)2(D)

13

131313

【巧解】???/(x+2)=——，.?./(x+4)=------------——=/(x)

/(x)/(x+2)13

fW

1313

???函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且T=4,/(99)=/(4x24+3)=/(3)=

7(i)T

故選(C)

巧練一:(2008年，湖北卷)若/(x)=-g/+刈n(x+2)在(-1,+8)上是減函數(shù)，則b的取值范

圍是()

A.[-l,+oo)B.(-1,-KO)C.(-oo,-l]D.(-00,-1)

巧練二：(2008年，湖南卷)長方體ABCD—A]B]CiDl的8個頂點在同一個球面上，且AB=2,

AD=&AAt=\,則頂點A、8間的球面距離是()

A.2缶B,也rC.叵D.叵

24

三、定義法

所謂定義法，就是直接用數(shù)學定義解題。選擇題的命題側(cè)重于對圓錐曲線定義的考查，凡題目中

涉及焦半徑、通徑、準線、離心率及離心率的取值范圍等問題，用圓錐曲線的第一和第二定義解題，

是一種重要的解題策略。

【例1】（2009年高考福建卷，理13）過拋物線V=2Px（p>0）的焦點F作傾斜角為45°的直線交

拋物線于A、B兩點，線段AB的長為8,則〃=.

f__￡

【巧解】依題意直線48的方程為y=x—3,由）'=*一萬'消去y得：

y2=2px

2

x-3px+—=0,設(shè)&*,，)，B(x2,y2),.,.xl+x2-3p,根據(jù)拋物線的定義。

IBFI—%2+~>IA.FI—X]+—?,IABI—X]+x、+p=4p=8,:.p=2,

故本題應填21,

【例2】（2008年，山東卷，理10）設(shè)橢圓G的離心率為a，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線

13

C2上的點到橢圓G的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標準方程為（）

X1_y2

(B)

22

(D)工21

__"1

222

241312

【巧解】山題意橢圓的半焦距為c=5,雙曲線上的點P滿足IIP《ITPF211=8<1名尸2I，

.?.點P的軌跡是雙曲線，其中c=5,a=4,：.b=3,故雙曲線方程為二?一4=1,...選（A）

4232

巧練一：（2008年，陜西卷）雙曲線5=1（?！?力>0）的左、右焦點分別是B，F(xiàn)2,過E作

ab-

傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點，若MF?垂直于x軸，則雙曲線的離心率為（）

__

A.B.y/3C.D.

3

巧練二：（2008年，遼寧卷）已知點P是拋物線=2x上的一個動點，則點P到點（0,2）的距離

與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（）

（A）（B）3（C）V5（D）-

22

四、向量坐標法

向量坐標法是一種重要的數(shù)學思想方法，通過坐標化，把長度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標之間的關(guān)系,

使問題易于解決，并從一定程度上揭示了問題的數(shù)學本質(zhì)。在解題實踐中若能做到多用、巧用和活用，

則可源源不斷地開發(fā)出自己的解題智慧，必能收到事半功倍的效果。

【例1】(2008年，廣東卷)在平行四邊形ABCD中，AC與BO交于點。，E是線段0。的中點，AE

的延長線與C。交于點F.若8。*,則AF=()

11211112

A.—a+—bB.—a+—bC.—a+—bD.-a+—b

423324

【巧解】如圖所示，選取邊長為2的正方形A8CO

則5(2,0),C(2,2),0(0,2),0(1,1),￡(-,-)

22

yB得嗚2)

...直線4E的方程為y=3x,聯(lián)立

y:23

,2....

AF=(-,2),設(shè)則Af=x(2,2)+

2

..；2x—2y=4解之得x=2,),=」，.?.9=2就+'訪=21+!g,故本題選B

l2x+2y=l333333

【例2】已知點。為AA8C內(nèi)一點，且04+206+3。。=0,則AA08、A4OC、A5OC的面積

之比等于()

A.9：4：1B.1：4：9C.3：2：1

【巧解】不妨設(shè)AA8C為等腰三角形，N8=90°

AB=BC=3,建立如圖所示的直角坐標系，則點8(0,0)

A(0,3),C(3,0),設(shè)。(尤,y).

OA+2OB+3OC=0,即(―x,3—y)+2(—x,—y)+3(3-x-y)=(0,0)

6x=93i3]

解之得x=±,y=-,即0(己,一)，又直線AC的方程為x+y—3=0,則點。到直線AC

6y=32222

,31

I-+——3O11.9

22

的距離h=,-=—,???IACI=3收，因此S..OB=-lA5l-lxl=-,

?于2MOB24

1313

S&BOC=-IBCI-lyl=-,S.oc=-IACI7?=-，故選C

巧練一：(2008年，湖南卷)設(shè)D、E、F分別是4ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且

而=2訪，之=2或，赤=2蔗，則15+族+斤與前()

A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直

巧練二:設(shè)。是AABC內(nèi)部一點，且豆+而=-2OB,則A4O8與\AOC面積之比是.

五、查字典法

查字典是大家比較熟悉的，我們用類似“查字典”的方法來解決數(shù)字排列問題中數(shù)字比較大小的

問題，避免了用分類討論法時容易犯的重復和遺漏的錯誤，給人以“神來之法”的味道。利用“查字

典法”解決數(shù)字比較大小的排列問題的思路是“按位逐步討論法”（從最高位到個位），查首位忖只考

慮首位應滿足題目條件的情況；查前“2”位時只考慮前“2”位中第“2”個數(shù)應滿足條件的情況；

依次逐步討論，但解題中既要注意數(shù)字不能重復，又要有充分的理論準備，如奇、偶問題，3的倍數(shù)

和5的倍數(shù)的特征，0的特性等等。以免考慮不全而出錯。

【例11（2007年，四川卷）用數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成沒有重復數(shù)字，并且比20000大的五

位偶數(shù)共有（）

（A）288個（B）240個（C）144個（D）126個

【巧解】本題只需查首位，可分3種情況，①個位為0,即xxxxO型，首位是2,3,4,5中的任

一個，此時個數(shù)為②個位為2,即xxxx2,此種情況考慮到萬位上不為0,則萬位

上只能排3,4,5,所以個數(shù)為③個位為4,xxxx4型，此種特點考慮到萬位上不為

0,則萬位上只能排2,3,5,所以個數(shù)為故共有=240個?故選（B）

【例2】（2004年全國II卷）在由數(shù)字1,2,3,4,5組成的所有沒有重復數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145

且小于43521的數(shù)共有（）

A.56個B.57個C.58個D.60個

【巧解】（1）查首位：只考慮首位大于2小于4的數(shù)，僅有1種情況：即3xxxx型，此特點只需其

它數(shù)進行全排列即可。有種，

（2）查前2位：只考慮前“2”位中比3既大又小的數(shù)，有4種情況：

24xxx,25xxx,41xxx,42xxx型，而每種情況均有用種滿足條件，故共有4A；種。

（3）查前3位：只考慮前“3”位中既比1大又小于5的數(shù)，有4種情況：

234xx,235xx,431xx,432xx型，而每種情況均有用種滿足條件，故共有48種。

（3）查前4位：只考慮前“4”位中既比4大又小于2的數(shù)，此種情況只有

23154和43512兩種情況滿足條件。故共有A：+4A；+4A；+2=58個，故選C

巧練一：用數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成沒有重復數(shù)字，并且不大于4310的四位偶數(shù)共有（）

A.110種B.109種C.108種D.107種

巧練二：（2007年，四川卷）用數(shù)字123,4,5可以組成沒有重復數(shù)字,并且比20000大的五位偶數(shù)共有

（）

（A）48個（B）36個（C）24個（D）18個

六、擋板模型法

擋板模型法是在解決排列組合應用問題中，對一些不易理解且復雜的排列組合問題，當元素相同

時，可以通過設(shè)計一個擋板模型巧妙解決，否則，如果分類討論，往往費時費力，同時也難以解決問

題。

【例1】體育老師把9個相同的足球放入編號為1,2,3的三個箱中，要求每個箱子放球的個數(shù)不少

于其編號，則不同的放球方法有（）

A.8種B.10種C.12種D.16種

【巧解】先在2號盒子里放1個小球，在3號盒子里放2個小球，余下的6個小球排成一排為：

OOOOOO,只需在6個小球的5個空位之間插入2塊擋板，如：00\00\00,每一種插法對應

著一種放法，故共有不同的放法為=10種.故選B

【例2】兩個實數(shù)集A=｛4,電，…,%。｝，8=他，卻…3｝，若從A到B的映射/使得B中每個元

素都有原象，且/（q）2/（附）2…2/（%o），則這樣的映射共有（）個

A.B.C；；C.D.其；

【巧解】不妨設(shè)A和8兩個集合中的數(shù)都是從小到大排列，將集合A的50個數(shù)視為50個相同的小球

排成一排為：OOOOOOO……00,然后在50個小球的49個空位中插入24塊木板，每一種插法

對應著一種滿足條件/（%）2/（電）2…2/（%0）對應方法，故共有不同映射共有利，.故選

B

巧練一:兩個實數(shù)集合人=他心2,。3,…,a”^B=｛b|,b2,b3,…,b”）｝，若從A到B的是映射f使B中的

每一個元素都有原象，且W…（AaQgSuX…勺3”），則這樣的映射共有

（）

A.個B.C；個C.IO"個D.5,°-Ai*1

巧練二：10個完全相同的小球放在標有1、2、3、4號的四個不同盒子里，使每個盒子都不空的放法

有（）種

A.24B.84C.120D.96

七、等差中項法

等差中項法是根據(jù)題目的題設(shè)條件（或隱含）的特征，聯(lián)想到等差數(shù)列中的等差中項，構(gòu)造等差

中項，從而可使問題得到快速解決，從而使解題過程變得簡捷流暢，令人賞心悅目。

【例1】（2008年，浙江卷）已知”20力20,且a+b=2,則（）

（A）ab<-（B）ab>-（C）a2+b2>2（D）a2+b2<3

22

【巧解】根據(jù)a+〃=2特征，可得a,1,8成等差數(shù)列，1為。與b的等差中項。可設(shè)

tz—1—x,b=l+x,其中—1Kx<1；則cih—1—a~+Z>~-2+2x~,

又0<*241,故2<a2+b2<4,由選項知應選（C）

【例2X2008年，重慶卷)已知函數(shù)y=JT=]+Jx+3的最大值為M,最小值為儀則工的值為(

(A)-(B)-(D)

422~T

【巧解】由y=J匚7+厲4可得，]為與的等差中項,

令y/l-x=)+f,Jx+3=—-r,其中IHW),

222

則(2+f)2+(2—f)2=l—x+x+3=4,即〃=2—匕，又IfK2，則

2242

222

0<Z2故0《2-二《匕，解之得2<y<2拉，即M=2后，加=2

444

.m_2_V2

故選(C)

>"M=^=T

巧練：(2008年，江蘇卷)x,y,zeR*,x-2y+3z=0,)-的最小值.

XZ

八、逆向化法

逆向化法是在解選擇題時，四個選項以及四個選項中只有個是符合題目要求的都是解題重要

的信息。逆向化策略是把四個選項作為首先考慮的信息，解題時，要“盯住選項”，著重通過對選項

的分析，考查，驗證，推斷進行否定或肯定，或者根據(jù)選項之間的關(guān)系進行邏輯分析和篩選，找到所

要選擇的，符合題目要求的選項。

【例1】(2008年，湖北卷)函數(shù)[(x)='ln(Jx2-3X+2+，一X2—3x+4)的

x

定義域為()

A.(-oo,-4]U[2,+a>)B.(-4,0)U(0,1)

C.[-4,0)U(0,1]D.[-4,0)U(0,1)

【巧解】觀察四個選項取端點值代入計算即可，取x=l,出現(xiàn)函數(shù)的真數(shù)為0,不滿足，排含有1的

答案C,取％=-4代入計算解析式有意義，排不含有-4的答案B,取x=2出現(xiàn)二次根式被開方數(shù)

為負，不滿足，排含有2的答案A,故選D

評析：求函數(shù)的定義域只需使函數(shù)解析式有意義，凡是考查具體函數(shù)的定義域問題都可用特值法代入

驗證快速確定選項。

【例2】(2008年，江西卷)已知函數(shù)/(x)=2加/-2(4-zn)x+l,g(x)=〃zx,若對于任一實數(shù)

x,/(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)〃?的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,8)

C.(2,8)D.(-co,0)

【巧解】觀察四個選項中有三個答案不含2,那么就取m=2代入驗證是否符合題意即可，

取m=2,則有/(X)=4X2-4X+1=(2X-1)2,這個二次函數(shù)的函數(shù)值/(x)〉0對

xeR且xwg恒成立，現(xiàn)只需考慮g(x)=2x當x=g時函數(shù)值是否為正數(shù)即可。這顯然

為正數(shù)。故〃?=2符合題意，排除不含m=2的選項A、C、D?所以選B

2*+1

巧練一：(2007年，湖北卷)函數(shù)y=-----(x<0)的反函數(shù)是()

2X-1

x+ix+1

A.y=啕(x<—1)B.y=log(X>1)

x-12x-1

x-1x-1

c.y=1嗎(xv—1)D.y=>0g(X>1)

x+12x+1

2

巧練二：(2004年，重慶卷)不等式x+——>2的解集是()

x+1

A.(-l,0)U(l,+8)B.(-a),-l)U(0,l)

C.(-l,0)U(0,l)D.(-8,-l)U(l,+8)

九、極限化法

極限化法是在解選擇題時，有一些任意選取或者變化的元素，我們對這些元素的變化趨勢進行研究,

分析它們的極限情況或者極端位置，并進行估算，以此來判斷選擇的結(jié)果.這種通過動態(tài)變化，或?qū)O端取

值來解選擇題的方法是一種極限化法.

【例1】正三棱錐4-BCD中，E在棱A8上，/在棱CO上，使絲=空=/19>0),

EBFD

設(shè)a為異面直線E廠與AC1所成的角，，為異面直線EF與6。所成的角，則a+4的值是

()

717C7T71

A.一B.-C.一D.一

6432

【巧解】當幾—0時，EfA,且口fC,從而EFfAC。因為排除選擇支

故選D(或/If+oo時的情況，同樣可排除A,8,C),所以選D

【例2】若〃=(g'b==log?x,當x>l時，用瓦c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

2

【巧解】當％f0時，a——,bTl,cf0,i^c<a<b,所以選B

3

jr

巧練一:若0<x<—,則2x與3sinx的大小關(guān)系()

2

A.2x>3sinxB.2x<3sinxC.2x=3sinxD.與x的取值有關(guān)

巧練二：對于任意的銳角依/，下列不等關(guān)系式中正確的是()

(A)sin(a+夕)>sina+sin,(B)sin(?+^)>cosa+cos/7

(C)cos(a+夕)>sina+sin夕(D)cos(6z+<cosa+cos

十、整體化法

整體化法是在解選擇題時，有時并不需要把題目精解出來，而是從題H的整體去觀察，分析和把握，通

過整體反映的性質(zhì)或者對整體情況的估算，確定具體問題的結(jié)果，例如，對函數(shù)問題，有時只需要研究它的

定義域，值域，而不一定關(guān)心它的解析示式，對函數(shù)圖象，有時可以從它的整體變化趨勢去觀察，而不一定

思考具體的對應關(guān)系，或者對.4個選項進行比較以得出結(jié)論，或者從整體，從全局進行估算,而忽略具體的

細節(jié)等等,都可以縮短解題過程，這是一種從整體出發(fā)進行解題的方法.

【例1】已知。是銳角，那么下列各值中，sine+cos。可能取到的值是()

【巧解】Vsin0+cos0-V2sin(^+—),又夕是銳角，，0<，<工

42

—<0+—<――，'?——<sin(。+—)<1,即1<V2sin(6+—)<V2,故選B

444244

【例2】(2002年，全國卷)據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會議《政府工作報告》指出“2001年國內(nèi)生

產(chǎn)總值達到95933億元，比上一年增長7.3%.”如果“十?五”期間(2001-2005年)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值按此

年增長率增長，那么，到y(tǒng)十.五”末，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值約多()

(A)115000億元(B)120000億元

(C)127000億元(D)135000億元

【巧解】注意到已知條件給出的數(shù)據(jù)非常精確，2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達到95933億元，精確到億元，而

四個選項提供的數(shù)據(jù)都是近似值，精確到千億元，即后三位都是0,因此,可以從整體上看問題，忽略一些

局部的細節(jié).

把95933億元近似地視為96000億元，又把0.0732近似地視為0.005，這樣一來，就有

95933x(l+7.3%)4?96000(1+4x0.073+6x0.0732)

X96000X(l+0.292+6x0.005)=126720?127000.

巧練一：如圖所示為三角函數(shù),=Asin((yx+0,(I夕1<A>0)的圖象的一部分，則此函

數(shù)的周期T可能是()、，小

A.4%2萬

11萬

巧練二：(全國卷)如圖，在多面體ABCDEF中，已知面A8CO是邊長為3的正方形，EF

//AB,EF=3,E/與面AC的距離為2,貝…...........-)

(B)5

(C)6

在解題過程中，適當引入一個或幾個新變量代替原式中的某些量，使得原式中僅含有這些新變量,

以此作為媒介，在進行分析和綜合，然后對新變量求出結(jié)果，從而解決問題的方法叫參數(shù)法。

22

【例0（2008年，安徽卷）設(shè)橢圓+與=1（〃>6>0）過點且左焦點為片（―J2,0）

ab~

（I）求橢圓C的方程；

（II）當過點尸（4,1）的動直線/與橢圓C相交于兩不同點時，在線段AB上取點。，滿足

網(wǎng).網(wǎng)=|砌網(wǎng),證明：點?？傇谀扯ㄖ本€上。

,2=2

2122

【巧解】（1）由題意：<^+―=1,解得a?=4,6=2,所求橢圓方程為—+^-=1

a2b242

c2^a2-b2

網(wǎng)闞=網(wǎng)網(wǎng)得：需器設(shè)點

(2)由Q、A、B的坐標分別為

（元〉）,（西,y）,（乙，內(nèi)）。由題設(shè)知|而|，|而|,|而|，口可均不為零，記幾=

2^1,又A,P,B,Q四點共線，從而而=—4而，而=4麗,

于是/|_.一網(wǎng)廠1七+也vJ+辦2

1-/1,1-/11+2'1+2

從而令華,才一九引

①y，②

1-712

又點A、B在橢圓C上，即

x；+2y；=4,.....③x；+2y；=4,....④

①+②x2并結(jié)合③，④得4x+2y=4，即點Q（x,y）總在定直線2x+y—2=0上。

【例2】（2004年，遼寧卷）設(shè)橢圓方程為％2+2-=1,過點M（0,1）的直線/交橢圓于點A、B,

4

--k1-----,11

O是坐標原點，點P滿足。P=/（。4+。B）,點N的坐標為（2,5）,當/繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P

的軌跡方程；

【巧解】直線/過點M（0,1）設(shè)其斜率為k,則/的方程為y=fcc+l.

記A（X],必）、Ba2,當），由題設(shè)可得點A、B的坐標（修，月）、（馬,為）是方程組

y=kx-ir\

①

/+Jl的解.

②

4

將①代入②并化簡得，（4+%2）》2+2日—3=0,所以

2k

%1+x=

24+F

于是

8

必+為

4+Y

---■1-------?X|+%2+)’2

OP=-(OA+OB)=)=(,)

2'27TP47F,

設(shè)點P的坐標為（x,y）,則

-k

x=~,

4+…消去參數(shù)k