2025屆新教材高中數(shù)學第1章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關系第2課時空間中直線平面的垂直課件新人教A屆選擇性必修第一冊

1．4空間向量的應用1．4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第2課時空間中直線、平面的垂直素養(yǎng)目標?定方向

1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系．2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關系．(重點、難點)

借助用空間向量證明線面和面面垂直的學習，提升數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).必備知識?探新知

空間中垂直關系的向量表示知識點設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則線線垂直l1⊥l2?______________?__________________線面垂直l1⊥α?______________?__________________________面面垂直α⊥β?______________?__________________u1⊥u2u1·u2＝0u1∥n1?λ∈R，u1＝λn1n1⊥n2n1·n2＝0思考：怎樣用語言敘述利用直線的方向向量與平面的法向量判斷垂直關系？提示：(1)若證線線垂直，則證直線的方向向量垂直；(2)若證線面垂直，則證直線的方向向量與平面的法向量平行；(3)若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直．做一做：1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交．(

)(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.(

)(3)兩個平面垂直，則其中一平面內的直線的方向向量與另一平面內的直線的方向向量垂直．(

)(4)若兩平面α，β的法向量分別為μ1＝(1,0,1),μ2＝(0,2,0)，則平面α，β互相垂直．(

)×√×√提示：(1)兩條直線可能異面垂直．(2)根據(jù)線面垂直的定義可知．(3)也可能平行．(4)由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，從而α⊥β.C關鍵能力?攻重難1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．求證：無論點E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.題型探究題型一利用向量方法證明線線垂直[分析]

只需證明直線PE與AF的方向向量互相垂直即可．[規(guī)律方法]

利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標法：建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出兩直線方向向量的坐標，然后通過數(shù)量積的坐標運算法則證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直．(2)基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其運算律，結合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直．

如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點．求證：EF⊥BC.對點訓練?題型二利用向量方法證明線面垂直2．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別為棱AB，BC，B1B的中點．求證：D1M⊥平面EFB1.[規(guī)律方法]

坐標法證明線面垂直的兩種思路(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明：求出直線的方向向量，在平面內找兩條相交直線，并分別求出表示它們的方向向量，計算兩組向量的數(shù)量積為0，得到該直線與平面內的兩條相交直線都垂直．(2)法向量法：求出直線的方向向量與平面的法向量，向量法判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．

如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.對點訓練?[證明]

如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因為正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，題型三利用向量方法證明面面垂直3．如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點．求證：平面BDE⊥平面ABCD.[分析]

建立空間直角坐標系，求出相應的坐標．思路一：在平面BDE內找到AS的平行線，根據(jù)AS⊥平面ABCD可得結論；思路二：分別求出平面BDE，平面ABCD的法向量，證明兩個法向量垂直．[規(guī)律方法]

證明面面垂直的三種方法(1)證明其中一個平面過另一個平面的垂線，即轉化為證明線面垂直．(2)證明兩平面的法向量垂直．(3)證明一個平面的法向量平行于另一個平面．

如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.對點訓練?[證明]

由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．課堂檢測?固雙基1．如果直線l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直線l上有一點P不在平面α內，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么(

)A．l⊥α B．l∥αC．l?α D．l與α斜交[解析]

∵a·b＝－4＋4＝0，∴a⊥b，又∵l?α，∴l(xiāng)∥α.B2．若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)