第13講 橢圓（十大題型）-2023年暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）（解析版）

第13講橢圓

【題型歸納目錄】

題型一：橢圓的定義

題型二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型三：橢圓的綜合問題

題型四：軌跡方程

題型五：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

題型六：求橢圓的離心率

題型七：求橢圓離心率的取值范圍

題型八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍

題型九：橢圓中的范圍與最值問題

題型十：焦點(diǎn)三角形

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義

平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)耳、工的距離之和等于常數(shù)(|尸耳|+|尸閭=24＞舊用)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

若歸耳|+歸&=1耳閭,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段￡工；

若忸用+1尸用＜山用，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無圖形.

知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

1、當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：=+\=1(。＞?！?),其中。2=。2一〃；

ab

22

2、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：'+==1(。＞人＞0),其中。2=。2一〃；

a~b

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)這里的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程；

(2)在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有。＞匕＞0和/=。2—

(3)橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0),(-c,0)；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸

上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c),(0,-c)；

(4)在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，?.?M〉/,.?.可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上.

知識(shí)點(diǎn)三：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要用到以下幾種方法：

(1)待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點(diǎn)位置，可先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題設(shè)確定方程

中的參數(shù)4,b,即：“先定型，再定量②由題目中條件不能確定焦點(diǎn)位置，一般需分類討論；有時(shí)也可設(shè)

其方程的一般式：tnx2+ny2=1(加,">0且mxn).

(2)定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再

定量”。利用該方法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是否需先建立平面直角坐標(biāo)系再解題.

知識(shí)點(diǎn)四：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

我們根據(jù)橢圓二+==1(。〉人>0)來研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

ab

橢圓的范圍

橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線a和y-±b所圍成的矩形內(nèi),所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足國僅區(qū)A

橢圓的對(duì)稱性

對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程7+爐=1,把x換成-x,或把y換成或把x、y同時(shí)換成?x、方程都不變,

所以橢圓二+與=1是以X軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這

a~b

個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。

橢圓的頂點(diǎn)

①橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。

22

②橢圓?1(a>b>0)與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為4(-?,0),4

(a,0),Bi(0,-b),Bi(0,b)o

③線段4A2,B|&分別叫做橢圓的長軸和短軸，|4A2|=2a,|S&|=2b?！昂蚥分別叫做橢圓的長半軸長

和短半軸長。

橢圓的離心率

①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e=一.

a

②因?yàn)樗詄的取值范圍是0<e<lce越接近1,則c就越接近a,從而Cuja'-c?越小,

因此橢圓越扁；反之，e越接近于0,c就越接近0,從而力越接近于0,這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，c=0,這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為*+尸=/。

知識(shí)點(diǎn)五：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量。、氏c的幾何意義

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，〃、6、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示

橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：a>h>0,a>c>0,且a2=h2+c\

可借助下圖幫助記憶：

。、尻c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，氏c為兩條直角邊。

和a、氏c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形AP￡乃有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定

理（或勾股定理）、三角形面積公式5釁居=；|P￡HPE|sinNKPF相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有

關(guān)線段|「周、|P用、閨閭,有關(guān)角/月正尸2（/￡尸"4/￡8/）結(jié)合起來，建立|「用+|尸用、|班|?|「用

之間的關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)六：橢圓兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程A力1-鏟+:=13>。)

斗

y\

圖形電

X

焦點(diǎn)片(-c,0),工(c,0)6(0,-c),工(0,c)

性質(zhì)

2222

焦距\F}F2\=2c(c=yJa-b)|耳工|=2c(c=>Ja-b)

范圍\x\<a,\y\<b\x\<b,|y|<?

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱

頂點(diǎn)(±a,0),(0,±Z?)(0,土a),(+b,O)

軸長軸長=2a,短軸長二2〃

離心率e=—(0<e<1)

a

22

知識(shí)點(diǎn)詮釋:橢圓?方=1,（a>h>0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)

系都有〃>/>>0和0=￡（0<6<1）,金冉洛不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同；

a

橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看『、丁的分母的大小，哪個(gè)分

母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。

【典例例題】

題型一：橢圓的定義

例1.（2023?四川南充?高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)定點(diǎn)耳（0,-2）,瑪（0,2）,動(dòng)點(diǎn)P滿足條件

歸周+歸閭=5,則點(diǎn)P的軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.不存在D.橢圓或線段

【答案】A

【解析】因?yàn)槎?,-2）,鳥（0,2）,所以忻閭=4,

所以|尸耳|+|產(chǎn)用=5>|耳閭，所以點(diǎn)p的軌跡是以耳，B為焦點(diǎn)的橢圓.

故選：A.

例2.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)片,月分別為橢圓5+4=1的左右焦點(diǎn)，過月的直線交橢圓于A、8兩

點(diǎn)，則AABE的周長為（）

A.12B.24C.2捉D.4m

【答案】D

【解析】由題意可得，對(duì)于橢圓鵬+二=1有長半軸長〃=后，

64

又過《的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),

故△48名的周長|AB|+|A巴|+|8用|=|AFl\+\AF2\+\BFl\+\BF2\

=4。=4A/6,

故選：D

例3.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知A（-5,0）,3（5,0）,動(dòng)點(diǎn)C滿足|4C|+忸C|=10,則點(diǎn)C的軌跡是

（）

A.橢圓B.直線

C.線段D.點(diǎn)

【答案】C

【解析】因?yàn)锳（-5,0）,8（5,0）,

所以|AC|+|Bq=10=|AB],知點(diǎn)C的軌跡是線段AB.

故選：C.

例4.（2023?上海靜安?高二校考期中）設(shè)P是橢圓片+廿=1上的動(dòng)點(diǎn)，則尸到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和

64

為（）

A.瓜B.2近C.4D.2限

【答案】D

22

【解析】橢圓j+L=1,則4=6,所以4

64

因?yàn)镻是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為2a=2瓜

故選：D

例5.（2023.全國.高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)4（-7,0）國（7,0）,動(dòng)點(diǎn)-滿足1PAi+|「回=16,則點(diǎn)P的軌跡為

（）

A.橢圓B.直線C.圓D,線段

【答案】A

【解析】A（-7,0）,8（7,0）,

故|AB|=J（_7_7）=14,

又?|%+|P3|=16>|明=14,

根據(jù)橢圓的定義可知：P的軌跡為橢圓.

故選：A.

題型二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例6.（2023?上海?高二專題練習(xí)）方程爐可萬+"不丁'=12,化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

【答案】B

【解析】由Ja-2y+y2+J（x+2）2+y2=12,可得點(diǎn)M（x,y）到定點(diǎn)耳（2,0）,5（-2,0）的距離之和等于

12,

即|峙|+|峭|=12>忸司=4,

所以動(dòng)點(diǎn)”（x,y）的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，設(shè)其方程為《+￥=1（4＞八0）,

ah

則2a=12,c=2.

所以a=6,〃=4&，

故方程為5+1=1.

3632

故選：B.

22

例7.（2。23?四川內(nèi)江?高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓吟+＞（”…）的左、

右焦點(diǎn)分別為耳匕過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于RQ兩點(diǎn)，且尸入1后。，且S牝0=4,儼用+內(nèi)。=6,則

橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.反+*=】B.f4

43

=1

c<4D.—+

95

【答案】C

【解析】如圖，連接P耳,。耳，由橢圓的對(duì)稱性得四邊形P耳。"為平行四邊形,

所以歸周+怩。=忸可+|P周=2a=6,得a=3.

又因?yàn)槭B，鳥Q,所以四邊形9。鳥為矩形，設(shè)|尸局=同。局=〃，

則s咕2=Y,=4,所以＜。得｛、或（；

：y2[〃=2[〃=4

則忸閭=2石，則”石，從=/“2=4,

橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+工=1.

94

故選:C.

例8.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知橢圓丁+2丁=儲(chǔ)(。>0)的左焦點(diǎn)6到直線丫=》-2的距離為2&,求橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

x2y2

【解析】橢圓/+2/=/(“>0)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：/+?

T

所以C=J"2—?jiǎng)t左焦點(diǎn)尸/一號(hào)0,0

V22I2

夜7

----a-2

由點(diǎn)到直線的距離公式可得:2

~7T=2>/2=a=25/2

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為j+—=1.

84

例9.(2023?全國?高二專題練習(xí))求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)；

(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為百;

(3)經(jīng)過點(diǎn)尸(-26,1),。(6,-2)兩點(diǎn).

o2

【解析】(1)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為5■+方=1(">〃>0),

9

:橢圓過點(diǎn)解得片,

?：2a=3x2b,.*./?=1,???方程為工=1,

9

若焦點(diǎn)在y軸上,

設(shè)方程為《+工

=1(?>/?>0)

9

?:橢圓過點(diǎn)A(3,0),???潑=1,解得匠=3,

22

乂2a=3x2b,：.a=9,...方程為土+工=1.

981

綜上所述，橢圓方程為《+9=1或2+匕=1；

9981

a=2c[a=2\/3

(2)由己知，有〈后，解得廣,：,b2=a2-c2=9,

a-c=yJ3[c=\l3

若焦點(diǎn)在y軸上，則：+(=1,

若焦點(diǎn)在x軸上，則《+$=1,

129

，所求橢圓方程為二+t=1或片+片=1;

129912

(3)設(shè)方程為/nd+町尸=1(〃7>0,〃>0,根。〃),

12m+〃=1

則3…=1'解得

1

n=—

5

則所求橢圓方程為（+[=1.

例10.（2023?廣西?高二廣西師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

⑴焦點(diǎn)坐標(biāo)為E（2,0）,過點(diǎn)尸（|，-|）；

⑵經(jīng)過兩點(diǎn)A（2,-l）,

【解析】（1）設(shè)橢圓的長半軸為“，短半軸為6,

因?yàn)榻裹c(diǎn)片的坐標(biāo)為（2,0）,所以另一個(gè)焦點(diǎn)為月（-2,0）,且/-/=4,

又橢圓過點(diǎn)P,所以2a=儼￡|+儼閭,

所以2a=舊

所以a=Ji6,故人=指，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+=1；

106

（2）設(shè)橢圓方程為加？+政2=]（帆，因?yàn)闄E圓經(jīng)過兩點(diǎn)4（2,-1）,B,所以

47774-7?=1m=—

8

c3,解得■

1

2n=—

2

17

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=1.

82

例11.（2023?吉林長春?高二?？计谥校┣鬂M足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

⑴焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3,0）,（3,0）,經(jīng)過點(diǎn)（0,4）；

（2）焦點(diǎn)在），軸上的橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為8,c=G.

22

【解析】⑴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為「+馬=1（。＞人＞0）,

依題可得C=3,

將(0,4)代入到方程=1中得6=4,

心a—\Jb2+c2=J16+9=5，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為［+［=1.

2516

(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+==1(。>6>0),

a"b"

依題可得2a=8,即。=4,

所以/?=a2—c2=A/16—3=V13?

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+f=1

1316

題型三：橢圓的綜合問題

例12.(2023?廣西柳州?高二?？计谀?若橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(-1,0),月(1,0),并且經(jīng)過點(diǎn)

尸［1,|),過處作x軸的垂線與橢圓相交于A,8兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求三角形ABF1的面積.

【解析】(1)由題知焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是耳(-1,0),6(1,0),...CMI,

設(shè)橢圓方程為：￡+K=l,將尸位］代入得：I2(2),解得/=4,

a'-\I2)-r+-V2-=l,

a-a

⑵過外作x軸的垂線，其方程為x=l,與聯(lián)立解得：y=±|,

113

?■-5^,=2l^lxM=2X2X2X2=3,

例13.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知經(jīng)過橢圓工+工=1的右焦點(diǎn)尸2的直線AB的傾斜角為;，交橢圓于

434

A、B兩點(diǎn),耳是橢圓的左焦點(diǎn)，求，AB6的周長和面積.

【解析】如下圖所示：

由橢圓方程工+)-=1可知。=2,6=6，

43

根據(jù)橢圓定義可知AK+AK=2a,BFL=2a,

所以ABF｝的周長為AK+AB+86=4片+46+3耳+3工=4〃=8,

即，A34的周長為8；

易知丹(—1,0),

IT元

乂直線4B的傾斜角為丁，則原8=tan：=l,

44

所以直線A8的方程為y=x-1,設(shè)A&,y),5(如、2)

y=x-\

聯(lián)立f2整理可得7y?+6y—9=0,

——+—=1

143

69

由韋達(dá)定理可知y+%=-,，＞1%=-??；

由圖可知，川8耳的面積為S=；恒"/一%|=J(M+必)2一4yly2=

所以AB片的周長為8,面積為止I

7

例14.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知橢圓與+==1("＞人＞0)的焦點(diǎn)分別是4(0,-1)、心(0,1),點(diǎn)A、4分別

ab

為橢圓的長軸端點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的短軸端點(diǎn)，且3/=助2.

(1)求橢圓的方程；

(2)求點(diǎn)B與兩點(diǎn)A、4，的連線的斜率的乘積；

(3)設(shè)點(diǎn)尸在這個(gè)橢圓上，且|「耳|-|「閭=1,求忸耳|的長.

【解析】(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)分別是耳(0,7)、瑪(0,1),所以。=1

又因?yàn)?"=462,a2=b2+c2r聯(lián)立可得1=4,〃=3,

所以橢圓的方程為反+反=1;

43

（2）由4、4分別為橢圓的長軸端點(diǎn)，所以不妨設(shè)A（°，2），4（0,-2）,

由點(diǎn)8為橢圓的短軸端點(diǎn)，所以8（6,0）或8（-6,0）,

當(dāng)8（囪，°）時(shí),%=&$，%=5'

4

所以原4?%=_§，

l1，2-02,-2-02

當(dāng)先6,0）時(shí)，%=百=百％=百=一百

4

所以&叫

4

所以點(diǎn)B與兩點(diǎn)4、4的連線的斜率的乘積為-§；

（3）因?yàn)辄c(diǎn)P在這個(gè)橢圓上，所以|「耳|+|尸閭=20,由小問（1）知“=2,

所以歸用+歸段=4,又歸用一歸同=1,聯(lián)立可得歸用=’

-）2

例15.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的方程為三+匯=1,若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)/,危為橢圓的兩個(gè)焦

43

點(diǎn)，且NP/詬=120。，求斗鳥的面積.

22

【解析】由\+1~=1,可知a=2,6=后，所以？=勿-/=〃一3=1，從而|耳勾=2c=2.

在△尸耳鳥中,由余弦定理得怛的歸尸耳『+|耳用『―2附|.國用xcosNM沼,即

222

|Pfi|=|Pf；|+4-4|P/=]|x（-l）=|Pf；|+2|P/<|+4,①

由橢圓定義得|尸制+|%|=2=4,②

由①@聯(lián)立可得（4_|「制）2=|尸用2+2歸用+4,解得|尸制=4.

所以S"=；|尸耳||耳片|sinNP耳片=L2x苴=延?

22525

例16.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓《+f=1上，斗鳥是橢圓的焦點(diǎn)，且尸耳，「尸2,求

4924

⑴歸制M閭

（2）4?6g的面積

【解析】（1）因?yàn)闄E圓方程為二+匕=1,則。2=49,從=24,02=49-24=25,

4924

即a=7,6=2瘋c=5,可得國閱=2c=10,|「耳|+|尸閭=勿=14,

因?yàn)镻K_LPB，則|P/2+|”|2=（歸用+儼可）2_2歸用.仍用=|百用2

即⑷-2歸用忖段=102,所以|尸￡卜|尸鳥|=48.

（2）由<1）得明聞=48,

因?yàn)槭?尸好，所以5."百=^\PF,\-\PF2\=24.

22

例17.（2023?廣西?高二校聯(lián)考期中）已知橢圓C:「+2=l（a>〃>0）的長軸長是短軸長的/倍，且橢圓

a"b~

c經(jīng)過點(diǎn)，叫

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過右焦點(diǎn)尸的直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).求使。43面積最大時(shí)直線/的方程.

【解析】（1）因?yàn)殚L軸長是短軸長的6倍，則/=3從，

22

所以橢圓C的方程為二+多=1,

31rh2

把點(diǎn)血，竽）的坐標(biāo)代入上式，得京+京=1，可得從=2,所以/=6,

故橢圓C的方程為三+匯=1.

（2）易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,0）,

若直線/的斜率為0,則O,A,8三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,

所以直線/的斜率不為0,設(shè)直線1的方程為x=+2,

x=iny4-2

x2y2，消去X，得（>+3）y2+4叫-2=0,

-------F--=1

62

2

判別式△=1i6根2+8（/n2+3）=24（W+1）>0,

4"?2

設(shè)4（%，%），8（毛，％），則%+%=一-=,%必="廠不，

m+5m+3

2

sA。"=JI。尸I一%I=瓦一y2卜J（X+〉2）-4X%

=114"YI4,<2一2太〃"

Wm2+3）m2+3m2+3

_2y/6t_2>/6276_2#_A

令7^71=々21），則—：——，

72k

當(dāng)且僅當(dāng).=應(yīng)時(shí)，等號(hào)成立，即7^11=0,解得旭=±1,

所以此時(shí)直線/的方程為x_y—2=0或x+y_2=0.

22

例18.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）在橢圓三+匕=內(nèi)有一點(diǎn)42,1）,過點(diǎn)A的直線/的斜率為一1,且與橢圓交

8t

于B,C兩點(diǎn)，線段BC的中點(diǎn)恰好是4,試求橢圓的方程.

【解析】設(shè)過A點(diǎn)的直線/與橢圓交于B（%，x）,C（x2,y2）,如圖所示.

兩式相減得：（占+%）（%-々）+1（y?+必）（*一必）=°，

ot

?y+%二t

x}-x2x}+x28'

VA為8c的中點(diǎn)，

M+必

即即C,k°A

X1+x28

由題意:限=T，%=:，所以Tx：=-%,即f=4.

22o

22

...所求橢圓方程為二+二=1.

84

例19.(2023?廣東江門?高二臺(tái)山市華僑中學(xué)校考期中)已知橢圓的長軸長是2百，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是

M，o),(72,0),

(1)求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

(2)如果直線〉=》+加與這個(gè)橢圓交于兩不同的點(diǎn)，求成的取值范圍.

【解析】(1)由題意可得2a=2百，c=夜，

所以a=>/3，b'—a1—c1=

所以橢圓的方程為：—+/=1;e=￡=1g=崢；

y=x+m

(2)由<X22可彳導(dǎo)4x2+6nix+3nr—3=0?

［廠=1

因?yàn)橹本€y=x+〃?與這個(gè)橢圓交于兩不同的點(diǎn),

所以A=48-12加2>o,

解得一2<加v2,

所以用的取值范圍為(-2,2).

例20.(2023?浙江寧波?高二?？计谥?已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為4,離心率e=J.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/：2x-y+〃?=0與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

C_1

【解析】(1)由題意可知，,解得a=2,b=6,c=l，

a2=b2+c2

故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為%

(22

(2)由《43，消去了，得19/+16/nr+4m*-12=0，

2x-y+m=0

因?yàn)橹本€/與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以△=(16帆)2-4x19(4加*-12)>。，BPm2-19<0,解得一<機(jī)<,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-國,M).

例21.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知點(diǎn)尸在橢圓;+]=l(a>b>0)上，耳、瑪為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求

ab-

I「耳IIP心I的取值范圍.

【解析】由題可知?dú)w制+歸局三3,|尸上且。-c,a+c],

因?yàn)楦讲犯絴=|叫伽-附|)=-附『+瀏叫=-(附卜”+合，

.?.|尸耳|=。時(shí),IP甲I尸亮I有最大值"，|尸周=a-c或|P￡|Ka+c時(shí),I尸1H尸:I有最小值凡

即|PK|.|P名|的取值范圍為[b2,.

題型四：軌跡方程

例22.(2023?山東荷澤?高二統(tǒng)考期末)點(diǎn)M與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線x=8的距離的比為1:2,

則點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.片+匚12222

B,二+二=1C.王+±=1D

128841612-沁=1

【答案】C

【解析】設(shè)M(x,y),

因?yàn)辄c(diǎn)M與定點(diǎn)尸(2,0)的距離和它到定直線x=8的距離的比為1:2,

所以J（X,）：+或=）,即4（x-2）2+4y2=（x-8）2,

|x-8|2

整理得上十匯=1,

1612

故選:C.

例23.(2023?安徽蕪湖?高二蕪湖一中校考階段練習(xí))已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(-3,0),并且在定圓&

(x-3)2+V=64的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是(

222，22

口廠八一%

AA.—r+—y=i1B.—y+—=i1c.—y+—=1i

1671672516

【答案】A

【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y)，動(dòng)圓”的半徑為，則r=|八例=4》+3)2+/，

因?yàn)閯?dòng)圓M在定圓8：(x-3)2+V=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，

所以|MB|=8-r,所以|MB|+/=8,即陷+陷=8,

因?yàn)锳(-3,0),8(3,0)，所以1MBi+|M4|=8>|,

由橢圓的定義可知：M的軌跡為以AB為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，

所以a=4,c=3,b?=療一/=7,

所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為X+￡=1.

167

故選：A

例24.(2023?高二課時(shí)練習(xí))在一ABC中，已知A(-1,()),C(1,()),若a>b>c,且滿足

2sinB=sinA+sinC,則頂點(diǎn)4的軌跡方程是()

A.—+—=l(jt<0)B.—+—=l(x<

43v734、

r2v2，

C.+T=l(x>0)D.

【答案】A

【解析】在ABC中，因?yàn)?sinB=sinA+sinC,

所以2〃=o+c,

又A(—l,0),C(l,0),貝ij〃=2,

所以a+c=4,即忸。+忸A(yù)|=4>2,

由于

所以點(diǎn)8的軌跡是以A(-L0),C(l,0)為焦點(diǎn)的橢圓的左半部分,

由22-T=3,

所以頂點(diǎn)B的軌跡方程是5+?=1(x<0).

故選：A.

例25.(2023?河南洛陽?高二?？茧A段練習(xí))已知?jiǎng)訄AM過動(dòng)點(diǎn)A(-3,0),并且在定圓B：(x-3)?+產(chǎn)=64

的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()

A.4+且=1R"

D.---1---=1

1671625

21>20

C.工-匕=1D.匚工=1

1625167

【答案】A

【解析】設(shè)"(x,y),動(dòng)圓M的半徑為一，則y|MA|=J(x+3)2+y2,

因?yàn)閯?dòng)圓也在定圓8：(x-3)2+/=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切,

所以|MB|=8-r,

所以|MB|+r=8,即|四+|幽=8,

因?yàn)锳(-3,0),8(3,0),所以|M@+|M4|=8>|A屏

由橢圓的定義可知：”的軌跡為以AB為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓,

所以a=4,c=3,b2=a2-c2=7,

y22

所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為±+±V=1.

167

故選：A

例26.（2023.內(nèi)蒙古赤峰.高二赤峰二中?？计谀┮阎闹荛L為12,網(wǎng)-2,0）,C（2,0）,則頂點(diǎn)A

的軌跡方程為（）

A.土+匕=l（x*0）B.—+—=1（y*0）

12161216

C.工+《=1（XH0）D.三+工=1（"0）

1612v'1612

【答案】D

【解析】；的周長為12,8（-2,0）,C（2,0）

.?.忸。=4,\AC]+\AB\=\2-4=8>\BC\,

...頂點(diǎn)A的軌跡是以B（-2,0）,C（2,O）為焦點(diǎn)，氏軸長為8的桶圓（不含x軸上的頂點(diǎn)），

又c=2,。=4,可得。2=/一/=]2,

丫2”2

???頂點(diǎn)A的軌跡方程為：工+匕=l（ywO）.

1612'

故選：D.

丫2

例27.（2023?上海徐匯?高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┊?dāng)點(diǎn)A在橢圓工+丁=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接點(diǎn)A與定

4

點(diǎn)3（2022,0）,則A3的中點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A.（I?J-B,（'+2。22）2L

164164

C.（t1。"）+y2=]

D.(x-101+4)，=1

4

【答案】D

【解析】設(shè)A（%%）,P（x,y）,

「一+2022

為中點(diǎn)，2，則=2%-2022,、

PAB一2、，即4(2x-2022,2y),

I-2

又A在橢圓>2=1上，...（21022）2+

4y2=1，KP(x-1011)2+4y2=l,

44

/.P點(diǎn)軌跡方程為：（x-10117+4），=1.

故選：D.

例28.（2023?北京通州?高二統(tǒng)考期末）如圖，在圓Y+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD

。為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

【答案】A

【解析】設(shè)M（x,y）,P（xp,yp）,則。（巧,,0）.

M為線段PD的中點(diǎn)，

x=xp

?-%+0，即%=x,力=2y.

y=^~

又點(diǎn)尸在圓0：/+：/=4上，

2

22

/.x+（2y）=4,即Jy2=i

4

故點(diǎn)M的軌跡方程為《+V=].

4

故選：A

例29.（2023?山西運(yùn)城?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知圓A："-2）2+丁=20

（圓心為A）,點(diǎn)B（—2,0）,點(diǎn)尸在圓A上運(yùn)動(dòng),設(shè)線段PB的垂直平分線和直線PA的交點(diǎn)為Q,則點(diǎn)。

的軌跡方程為（）

A.-----y-=1B.x2+-=\

55

2

C.—+y2=\D.3-匕=1

5-5

【答案】C

【解析】圓A：（X—2）2+尸=20的圓心A（2,0）,半徑r=2\[s.

由于（一2-2）2+02=16<20,所以8（-2,0）在圓A內(nèi)，|AB|=4

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知|Q4=|Q8|,

所以|出|+|。W=\Q^+\QP\=r^245>\AB\,

所以。點(diǎn)的軌跡是橢圓，S.2a=2y/5,a=>/5.2c=4,c=2,b=yja2-c2=1-

2

所以點(diǎn)2的軌跡方程是y+/=l.

故選：C

22

例30.（2023?黑龍江哈爾濱?高二哈九中?？茧A段練習(xí)）設(shè)P為橢圓C:三+匯=1上一動(dòng)點(diǎn)，耳工分別為

62

左、右焦點(diǎn)，延長耳尸至點(diǎn)。，使得|PQI=|P可，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為（）

A.（x-2尸+9=24B.（x+2）2+y2=6

C.（x+2）2+y2=24D.（x-2）2+y2=6

【答案】C

【解析】由橢圓C*+5=l可得"="，c=>/6^2=2,即點(diǎn)片（-2.0）,

依題意,\F,Q\^FlP\+\PQ^PF,\+\PF2[=2a=2-46,

所以動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是以寫為圓心，2面為半徑的圓，方程為（x+2T+y2=24.

故選：C

例31.（2023?北京?高二北京二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：—+/=1±,過

2

M作無軸的垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足NP=&MW，則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

22

A.~-+y2=\B.-1-+x2=1C.x2+y2=2D.x2+y2=\

【答案】C

【解析】設(shè)P（x,y）,N（八0）,則NP=（x-m,y）,NM=（0,M）,

八[rn=x

X-//7=0

MNP=6NM,則｛r-.解得〈夜，

y=72nn=——y

27

由點(diǎn)M在橢圓C：—+/=1±,則工+”2=i,即[+==i,

2222

即點(diǎn)P的軌跡方程是V+y2=2.

故選：C.

例32.（2023?湖北武漢?高二華中師大一附中?？计谥校┘褐?，用分別為橢圓E:5+V=i的左、右焦

點(diǎn)，P是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，G點(diǎn)是三角形尸月居的重心，則點(diǎn)G的軌跡方程為（）

A.x2+9y2=lB.x2+9y2=l(y*0)

X2y222

—2_l(y^())

C.—+^=1D.+=

819819

【答案】B

2

【解析】耳，鳥分別為橢圓E：?r+y2=i的左、右焦點(diǎn)，???耳（-2夜,0）,月（2夜,0）

9

設(shè)G（x,y）,P（in,n）,G點(diǎn)是三角形尸耳鳥的重心

-242+2y/2+m

X-

則3,得771=3%

0+0+〃n=3y

y=-------

I3

又尸是橢圓￡上一動(dòng)點(diǎn)，.?.i^X+（3y）2=l，即丁+9），2=1,

乂G點(diǎn)是三角形P月K的重心，，y^O

所以點(diǎn)G的軌跡方程為/+9>2=1（》#0）

故選：B

例33.（2023?甘肅蘭州?高二蘭州市第二十八中學(xué)?？计谀┮阎獔AG：（x+lF+y2=25,圓

2

c2:（x-l）+/=l,動(dòng)圓M與圓G外切，同時(shí)與圓G內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡