淺談中國古代數(shù)學成就

淺談中國古代數(shù)學成就中國是一個有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國。中國古代的四大創(chuàng)造曾經(jīng)極大地推動了世界文明的進步。同樣，作為中國文化的一個重要組成局部，中國古代數(shù)學，由于其自身的歷史淵源和獨特的開展過程，形成了與西方迥然不同的風格，成為世界數(shù)學開展的歷史長河中的一支不容無視的源頭。數(shù)學是中國古代最為興旺的學科之一，通常稱為“算術(shù)”即“算數(shù)之術(shù)”。中國古代數(shù)學所研究的內(nèi)容大體上是今天數(shù)學教科書中的算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等方面的內(nèi)容。與世界上其他民族的數(shù)學相比，中國數(shù)學源遠流長，成就卓著。本文將按照年代的順序，巡視一下中國古代數(shù)學開展的狀況。一、先秦時期————中國古代數(shù)學的萌芽中國是世界著名的文明古國，和古巴比倫、埃及和印度一樣，她也是人類文化的發(fā)源地之一。數(shù)學作為中國文化的重要組成局部，他的起源可以追溯到遙遠的古代。根據(jù)古籍記載、考古發(fā)現(xiàn)以及其他文字資料推測，至少在公元前3000年左右，在中華古老的土地上就有了數(shù)學的萌芽。一般認為，這一時期的數(shù)學成就主要有以下幾點：1、結(jié)繩記事中國古代記數(shù)方法的起源是很早的。據(jù)《易.系辭傳》稱：“上古結(jié)繩而治?！薄兑?九家義》明確地解釋了這種方法：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡。”這種結(jié)繩記事的方法是很古老的。據(jù)《史記》記載：“伏羲始畫八卦，造書契，以代結(jié)繩之治?！边@說明，在伏羲這一位中國神話中的人類始祖之前，結(jié)繩記事這種方法就已十分流行，并且在他的時代已開始用“八卦”和“書契”等方法來代替“結(jié)繩記事”了。2、規(guī)矩的使用規(guī)矩是中國傳統(tǒng)的幾何工具。至于它們的用途，《周禮》、《荀子》、《淮南子》、《莊子》等古籍都有明確的記載：“圓者中規(guī)，方者中矩?！闭f明它們分別用于圓與方的問題。它們的起源也是很早的，據(jù)《史記》記載，夏禹在治水時就“左準繩，又規(guī)矩，載四時，以開九州，通九道”。甚至在漢武梁祠中還有“伏羲手執(zhí)規(guī)、女媧手執(zhí)矩”的造像，將這兩種工具的最早使用歸功于傳說中的伏羲與女媧。規(guī)與矩的使用，對于后來幾何學的產(chǎn)生和開展有著重要的意義，中國傳統(tǒng)幾何學大局部內(nèi)容都是圍繞圓與勾股形展開的，這與古代中國人擅長使用規(guī)與矩的關(guān)系是十分密切的。3、十進位制記數(shù)法、分數(shù)的應(yīng)用及籌算我國自有文字記載開始，記數(shù)法就遵循十進制了。商代的甲骨文和西周的鐘鼎文，都是用“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬”等字的合文來記10萬以內(nèi)的自然數(shù)。這種記數(shù)法已含有明顯的位值制意義，只要把“千”、“百”、“十”和“又”的字樣取消，便和位值制記數(shù)法根本一樣了。十進位值制記數(shù)法的創(chuàng)造，早于第二創(chuàng)造者印度1000多年，是我們祖先對人類文明的一項不可磨滅的、最偉大的奉獻。馬克思稱贊它是“最妙的創(chuàng)造之一”。英國著名科技史專家李約瑟博士評價說：“如果沒有這種十進位制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個統(tǒng)一化的世界了?！倍@一點又是同時代的古埃及和古巴比倫數(shù)學所不及的。中國古代對分數(shù)概念的認識也比擬早，分數(shù)的概念及應(yīng)用，在《管子》、《墨子》、《商君書》、《考工記》等春秋戰(zhàn)國時代的書籍中都有明確的記載。算籌是中國古代的計算工具?；I即小竹棍或小木棍〔也有用骨、金屬材料或象牙制成的〕。從春秋戰(zhàn)國時期一直到元代末年，算籌在我國沿用了兩千多年。用算籌表示數(shù)有縱橫兩種擺法。如下列圖：記數(shù)時與十進位制相配合，采用從左到右〔或從上到下〕縱橫相間的擺法。如6728表示為；如遇零時那么空一格，如6708，表示為。即使這種空位很小，也會由縱橫相間的法那么看出。與巴比倫相比，他們雖然也早有位值制的思想，但由于沒有零的記號，區(qū)分一個具體的數(shù)時，往往令人難以琢磨。4、最早的幾何概念〔早于第二創(chuàng)造者歐幾里德〔公元前330~前275〕100多年?！彻埃玻担埃澳辏覈鴳?zhàn)國時期的諸子百家和古希臘的數(shù)學學派一樣，他們的著作包含了理論數(shù)學的萌芽，其中最為杰出的是“墨家”和“名家”。墨家的代表著作《墨經(jīng)》記載了許多幾何概念，如“平，同高也”〔即兩條直線或兩個平面間的距離處處相等稱為平行〕；“中，同長也”〔即直線段的中點至兩端點的距離相等，或圓的圓心〔球的球心〕到圓周〔球外表〕的距離相等〕；“圜，一中同長也”〔即圓或球，皆有一個中心，即圓心或球心，圓周或球外表上任一點到中心的距離相等〕；............這些都是中國古代學者試圖用形式邏輯的方法定義幾何概念的明證。在這部著作中甚至還涉及到有窮和無窮的概念，稱“或不容尺，有窮；莫不容尺，無窮也.”名家以善辯著稱，對無窮的概念有著更深刻的認識。據(jù)《莊子》記載，名家的代表人物惠施曾提出：“至大無外謂之大一，至小無外謂之小一.”這里的“大一”、“小一”有無窮大和無窮小的意思。此外，《莊子》中還記載了許多著名的論斷：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”〔即一尺長的木棒，第一日截去一半，第二日截去剩下一半的一半，如此下去，永遠都不會截取完的〕；“飛鳥之影，未嘗動也；鏃矢之疾，而有不行不止時.”〔即天上飛行的鳥不一定就是動的；飛速射來的箭既不是運動的，也不是靜止的〕；............這些可以說與古希臘的芝諾悖論具有異曲同工之妙，也是世界數(shù)學史早期最光芒的數(shù)學思想之一。二、漢唐時期————中國傳統(tǒng)數(shù)學體系的形成從漢代開始，中國的經(jīng)濟文化有了進一步的開展，經(jīng)濟的繁榮給科學的進步提供了物質(zhì)根底，特別是從秦代開始實施的文字與度量衡的統(tǒng)一、鐵器的使用以及大量興修水利工程和水陸交通的工程，為人們探索大自然的奧秘增強了動力，數(shù)學也有了長足的開展，其主要標志是以《九章算術(shù)》為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學體系的形成。1、《周髀算經(jīng)》和勾股定理《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，大約成書于公元前2世紀的西漢時期，其許多內(nèi)容甚至可以追溯到西周〔公元前11世紀——公元前8世紀〕。唐代李淳風在為國子監(jiān)明算科選定教科書時將其列入《算經(jīng)十書》，并改名為《周髀算經(jīng)》。嚴格地講，它并不是一本數(shù)學專著，而是一部介紹“蓋天說”宇宙模型的天文學著作，但它包含了相當深刻的數(shù)學內(nèi)容，其主要成就包括分數(shù)運算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用。該書卷首記述了一段精彩的對話：“昔者周公問于商高曰：......古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？商高曰：數(shù)之法，出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。......故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！焙笕撕唵蔚匕堰@個事實說成“勾三股四弦五”。這就是我國有關(guān)勾股定理的最早記錄，這里表達了勾股定理的一個特例。由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作“商高定理”，早于第二創(chuàng)造者畢達哥拉斯〔公元前580---公元前500〕550多年。另外，在陳子與榮方的“師生對話”中，借陳子之口又給出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！比鐖D：日高圖即給出公式邪至日〔弦〕=中國關(guān)于勾股定理的證明最早是由三國時期的數(shù)學家趙爽給出的。趙爽是中國歷史上首次對《周髀》進行認真研究和注釋的學者。他的工作主要包括三方面的內(nèi)容：一為文字解釋；二為較詳細地數(shù)學理論推演；三是補圖。其中最為精彩的是“勾股圓方圖注”。在這篇500多字的注文中，趙爽首先給出勾股定理的一般證明：“按弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘，為中黃實。加差實一，亦成弦實。”即如圖：勾股圓方圖局部以勾股作為長方形的二邊，其面積是朱色直角三角形面積的二倍。以勾股差為邊作中間的黃色正方形，加上四個朱色三角形與以弦為邊長的正方形面積相等。這樣，趙爽就利用面積割補的方法證明了勾股定理。此外，該書還介紹了許多種利用勾股定理進行測量的方法，如測量太陽的直徑、太陽的高等。同時，在勾股測量與計算中，還涉及到十分復(fù)雜的分數(shù)計算，這在以前的著作中是沒有的。2、《九章算術(shù)》標志著中國傳統(tǒng)數(shù)學理論體系形成的是《九章算術(shù)》的成書。該書的作者和成書年代難以確切地考證，多數(shù)學者認為，它成書于西漢末東漢初，即公元1世紀初。后魏晉時人劉徽為《九章算術(shù)》做了注釋，書名叫《九章算術(shù)注》，此書于魏景元4年〔公元263年〕成書，共9卷，現(xiàn)在有傳本可據(jù)，是我國最可貴的數(shù)學遺產(chǎn)之一。中國的數(shù)學，經(jīng)過長期的積累，到西漢時已有很豐富的內(nèi)容，但這些內(nèi)容之間缺乏內(nèi)在的聯(lián)系，以前人們曾尋求以確定的方式建立某種聯(lián)系，例如墨家學派曾嘗試過用邏輯方法研究數(shù)學概念，但沒有成功。也許正是這種原因，決定了《九章算術(shù)》所特有的處理方式，并形成了中國傳統(tǒng)的數(shù)學體系?！毒耪滤阈g(shù)》全書采用問題集的形式，書中每道題皆有問有答有術(shù)，其中“術(shù)”通常是解題的思想方法、公式和法那么，有的一題一術(shù)，有的多題一術(shù)，有的一題多術(shù)，全書內(nèi)容豐富，且密切聯(lián)系實際，《九章算術(shù)》全書共有246個應(yīng)用題，根本上都是與生產(chǎn)實踐、日常生活有聯(lián)系的實際應(yīng)用問題。這些問題分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈缺乏、方程和勾股九章。對于每類問題，《九章算術(shù)》中都給出了統(tǒng)一的解法，它們相當于一些初等數(shù)學定理和公式，但沒有證明。解法大多數(shù)是正確的，有些是近似的，極少數(shù)有錯誤。第一章“方田”.講述有關(guān)平面圖形〔土地田畝〕面積的計算方法，包括分數(shù)算法。第二章“粟米”.講述有關(guān)糧食交換中的比例問題。第三章“衰分”.講述配分比例和等差、等比等問題。第四章“少廣”.講述由田畝面積求邊長，由球體積求經(jīng)長的算法，這是世界上最早的多位數(shù)開平方、開立方法那么的記載。第五章“商功”.講述各種土木工程中的體積計算。第六章“均輸”.講述納稅和運輸方面的計算問題，實際上是比擬復(fù)雜的比例計算問題。第七章“盈缺乏”.講述算術(shù)中盈虧問題的解法。第八章“方程”.講述線性方程組的解法，其根本思想是消元。在解方程組時，將方程組的系數(shù)〔包括常數(shù)〕別離出來排成一個數(shù)表，相當于現(xiàn)在線性代數(shù)中的增廣矩陣，然后通過類似于矩陣初等變換的方法消元，這一思想方法在數(shù)學開展史上是非常重要的，在西方被稱為“高斯消去法”?！胺匠獭闭碌牧硪粋€重點就是對負數(shù)的概念、運算進行了研究。在解方程的過程中，由于無法回避被減數(shù)小于減數(shù)的情況出現(xiàn)，故《九章算術(shù)》提出了“以正負術(shù)入之”，即引入負數(shù)及其運算法那么。在該書的實際問題中已涉及正負數(shù)的乘除運算，但《九章算術(shù)》和劉徽注中都沒有明確給出其運算法那么。這是世界上最早關(guān)于正負數(shù)應(yīng)用的記載。第九章“勾股”.在《周髀算經(jīng)》中勾股定理的根底上，形成了應(yīng)用問題的“勾股術(shù)”，從此它成了中算中重要的傳統(tǒng)內(nèi)容之一。《九章算術(shù)》注重實際問題和長于計算的特點，對中國傳統(tǒng)數(shù)學的開展有著極其深刻的影響。其成書后便成為中國傳統(tǒng)數(shù)學的經(jīng)典，特別是唐代以來，經(jīng)官方認定，該書成為“算經(jīng)十書”中的重要一部，成為后來的數(shù)學家們演習、研究和著述的依據(jù)。日本數(shù)學家小蒼金之助把《九章算術(shù)》說成是中國的《幾何原本》。吳文俊教授也認為，《九章算術(shù)》和劉徽的《九章算術(shù)注》，在數(shù)學的開展歷史中具有崇高的地位，足可與希臘的《幾何原本》東西輝映，各具特色。3、劉徽和祖氏父子〔1〕、劉徽的數(shù)學成就劉徽，公元3世紀魏晉時人，于公元263年撰《九章算術(shù)注》，該書包含了劉徽本人的許多理論和創(chuàng)造。事實上，劉徽的《九章算術(shù)注》對于闡發(fā)《九章算術(shù)》的思想方法，開展《九章算術(shù)》的理論，完善《九章算術(shù)》的體系，作出了杰出的奉獻。數(shù)學史界的一個普遍觀點是，如果離開了劉徽的《九章算術(shù)注》去研究《九章算術(shù)》，那么很難深入理解《九章算術(shù)》的精髓。在算數(shù)方面，劉徽闡發(fā)了《九章算術(shù)》中的分數(shù)理論。他的分數(shù)的意義、表示方法、運算法那么等代表了當時世界上的最高水平，早于第二創(chuàng)造者印度500多年，并已接近于近代的成熟程度。他把分數(shù)看作比，由此開展出“率”的概念，又在“率”的根底上提出了算數(shù)中的比例理論、“盈缺乏”方法等，成為中國傳統(tǒng)算法理論開展的重要根底，并傳人印度、阿拉伯和歐洲，對這些地區(qū)數(shù)學的開展產(chǎn)生了較大的影響。在代數(shù)方面，《九章算術(shù)》中的線性方程組的解法以及正負數(shù)加減運算是當時世界上無與倫比的兩項重大成就，前者比歐洲早1500年，后者也早了1200多年，而給出這兩項算法以完整的理論說明的正是劉徽，他第一個給出了方程的定義并揭示了方程組的同解原理。對于正負數(shù)，劉徽的定義可以說是經(jīng)典性的。他把正與負看成是相對存在的數(shù)的兩種情況，從這一認識出發(fā)，劉徽在世界數(shù)學史上第一個采取了把數(shù)的正負與加減運算關(guān)系統(tǒng)一起來的做法。此外，他由取平方根的近似值而提出的小數(shù)概念和表示方法，不僅明顯具有近代特征，而且比歐洲最早的小數(shù)——斯蒂文的小數(shù)記法要早出1300多年。在幾何方面，劉徽的奉獻尤為突出，他是具有中國特色的傳統(tǒng)幾何理論的奠基者。他以別具一格的證明方法對中國古代提出的幾何命題予以科學的證明，這些方法包括“圖形割補法”、“代數(shù)法”、“極限法”以及“無窮小分割法”等等，其中最常用的是圖形割補法。割圓術(shù)：《九章算術(shù)》“圓田術(shù)”給出了圓面積的計算公式：“半周半徑相乘得積步”。即圓田積步=〔其中為圓周長，為圓的半徑〕?？梢?，在《九章算術(shù)》的作者看來，圓與一個長為圓周的一半、高為半徑長方形，或以圓周為底邊、半徑為高的三角形面積相等。為了證明這一公式，劉徽創(chuàng)造了著名的“割圓術(shù)”，其根本思想是“化圓為方”，并借助于極限的方法。首先，劉徽以“割圓為六觚圖”來指出古率“徑一周三”實際上是六觚〔如圖“六面之觚”，即“正六邊形”〕的周長〔〕與直徑比。然后從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并逐次計算得到正多邊形的周長和面積?！踩鐖D“十二面之觚”，即“正十二邊形”〕六面之觚十二面之觚“以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪”。即有?！凹僭O(shè)又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而六之，那么得二十四面之冪”。即有。假設(shè)令，如即是圓除去其內(nèi)接“十二觚”的小弓形面積總和，這些小弓形面積在割圓術(shù)“化圓為方”的過程中是要舍棄的。所以劉徽指出：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至不可割，那么與圓合體而無所失矣”。即隨著分割的不斷細密，的值不斷變小。當分割至“不可割”的極限狀態(tài)時，內(nèi)接正多邊形與圓重合，而“無所失”了。劉徽還注意到，如果在圓的內(nèi)接正邊形的每一邊上作一高為“余徑”〔半徑與邊心距之差〕的矩形，就可得到這樣就不需要計算圓的外切正多邊形的面積來得到圓面積的上限和下限了。這一公式可以稱之為“劉徽不等式”。劉徽從圓的內(nèi)接正六邊形出發(fā)，并取半徑為一尺，一直推算到圓的內(nèi)接正192邊形。得到圓周率的近似值為，化為分數(shù)就是，這就是著名的“徽率”。劉徽還進一步聲明：“此率尚微少”，沿用這一方法可得到更為精確的近似值?！?〕、祖氏父子的數(shù)學奉獻祖沖之〔429---500〕,字文遠，南北朝時人，祖籍范陽遒縣〔今河北淶水縣〕，是一位博學多才的天文學家、機械制造專家、文學家。他的兒子祖暅，字景爍，也精通歷法、數(shù)學。父子倆都對《九章算術(shù)》與劉徽注有濃厚的興趣，他們的著作《綴術(shù)》在唐代被李淳風收入“算經(jīng)十書”作為數(shù)學教科書。祖沖之繼承了劉徽的思想，其最突出的成就是對圓周率值的推算?！端鍟ぢ蓺v志》記載著他對圓周率的研究成果π≈3.1415926。由于中國古代習慣使用分數(shù)，故祖沖之又給出了圓周率的兩個分數(shù)值：密率為355／113；約率為22／7.其中密率在歐洲由德國數(shù)學家奧托〔1550——1605〕于1573年得到，這比祖沖之要晚1100年之久。密率是一個很好的分數(shù)近似值，如果用它來計算半徑為10公里的圓的面積，其誤差僅幾個平方毫米，可見其精確度是很高的。祖氏父子在研究《九章算術(shù)》及劉徽注時發(fā)現(xiàn)了劉徽遺留下的如何計算“牟合方蓋”的體積問題，并開始沿著劉徽開辟的道路繼續(xù)探索。經(jīng)父子兩代人不懈的努力，終于由祖暅解決了牟合方蓋體積的計算。祖氏父子所用的方法論證嚴謹，推導(dǎo)完善，無懈可擊；同時，祖暅還將其推導(dǎo)過程中所用的、事實上也是劉徽已經(jīng)使用過的不可分量原理，總結(jié)提煉成一般的命題：“緣冪勢既同，那么積不容異”，即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，假設(shè)所得截面總相等，那么此二幾何體體積相等。它被稱為“祖暅原理”，這實際上也就是西方數(shù)學界所謂的“卡瓦列利原理”。這一原理在西方直到17世紀才由意大利數(shù)學家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚了1100多年，為了紀念祖沖之的奉獻，20世紀的日本天文學家將自己發(fā)現(xiàn)的一顆行星以祖沖之的名字命名。三、宋元時期————中國傳統(tǒng)數(shù)學的興盛中國數(shù)學的開展在宋元時期到達頂峰，這一時期包括宋元二代〔即公元900年—公元1368年〕，其顯著標志是數(shù)學家及其數(shù)學著作的大批涌現(xiàn)。據(jù)不完全統(tǒng)計，著名的數(shù)學家就有數(shù)十人，有記載的數(shù)學專著就有百余種。數(shù)學研究內(nèi)容也有了明顯變化，在宋元頂峰時期根本上是以代數(shù)為中心的時期，這一時期關(guān)于高次方程的數(shù)值解法、線性方程組的解法、高階等差數(shù)列、組合數(shù)學、半符號代數(shù)以及屬于數(shù)論范疇的同余式〔組〕的解法等，都到達了當時世界的最高水平。1、高次方程的數(shù)值解法1050年前后，北宋數(shù)學家賈憲撰寫了一部《黃帝九章算術(shù)細草》的著作，給出了用“增乘開方”來解形如“Xn=A”的方程的方法，邁出了將傳統(tǒng)數(shù)學的開平方、開立方方法推廣為求解一般高次方程的重要一步。賈憲的著作早已失傳，但其主要內(nèi)容被南宋時期的數(shù)學家、數(shù)學教育家楊輝摘錄在他自己的著作《詳解九章算法》中。由此我們可以看出，賈憲的高次開方法是以“開方作法根源”圖為根底的。“開方作法根源”圖這張圖在西方稱之為“帕斯卡三角”(如下列圖)，但就創(chuàng)造時間而言，中國至少要比帕斯卡早半個世紀?！伴_方作法根源”圖中數(shù)字排列成一個三角形，該三角形的每n橫行恰好是二項展開式中的各項系數(shù)，，，...，，。圖下注文為：“左乃積數(shù),右乃隅算,中藏者皆廉，以廉乘商方，命實以除之?！鼻皟删涫侵溉切巫钔膺叺膬闪袛?shù)字分別對應(yīng)各次開方之積與隅算，第三句是說中間的數(shù)字分別對應(yīng)開方過程中所出現(xiàn)的各廉，后兩句是對開方算法的概括。賈憲的解法大體上可用現(xiàn)代語言解釋如下：對于方程“Xn=A”，假設(shè)X僅為一位數(shù)字，不難通過試驗確定其值；假設(shè)x有2位有效數(shù)字時，令〔其中的位值是的10倍〕，那么有即。在估算出以后作減法，然后利用上述關(guān)系就可以求出來。如果的有效數(shù)字的個數(shù)多于2時，在求出第二位有效數(shù)字以后又可依照同樣的方法繼續(xù)計算后面的有效數(shù)字。期間，賈憲提出了“增乘開方法”，盡管其已經(jīng)可以用于解高次方程，但賈憲本人卻只是單純地用它來處理開方問題，而且在他以及以前的中國數(shù)學家的論述中，由開方引出的方程其系數(shù)都是正數(shù)。雖然12世紀北宋學者劉益對方程系數(shù)必須為正的限制已經(jīng)有所突破，并在他所著的《議古根源》一書中允許方程的系數(shù)為負數(shù)，但由于該書的亡失，其方法并沒有流傳下來。將“增乘開方法”推廣到高次方程一般情況的是南宋時期的數(shù)學家秦九韶。秦九韶，字道古，1202年生于普州安岳〔今四川安岳〕，他推廣傳統(tǒng)的“開方法”，創(chuàng)立了“正負開方術(shù)”。其方法是先列出相當于的方程，其中可正可負，而常數(shù)項那么總是負的(“實常為負”)。假設(shè)試商為，作減根變換，那么將方程變形為然后利用類似于賈憲的“增乘開方法”的迭代程序來計算變換后所得到的新方程的各項系數(shù)。他的程序與賈憲方法的區(qū)別于：由于規(guī)定了“實常為負”，整個程序便統(tǒng)一用加法，真正實現(xiàn)了隨乘隨加的機械操作。這個由北宋賈憲首先提出、而由13世紀上半葉南宋的秦九韶最后完成的解高次方程的方法，被稱為“秦九韶程序”。在歐洲，直到1819年英國人霍納才創(chuàng)造了類似的方法，比秦九韶晚572年，而比賈憲晚了700多年。2、中國剩余定理《孫子算經(jīng)》中記載了舉世聞名的“孫子問題”，原文如下：“今有物不知其數(shù)。三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二；問物幾何？”其意思是：有堆東西不知有多少，如果三個三個地數(shù)，最后余下兩個；五個五個地數(shù)，最后余下三個；七個七個地數(shù)，最后余下二個，問這堆東西共有多少？早在公元前2世紀時，我國就已研究過需要一次同余式才能解決的問題。這類問題在中國古代數(shù)學中是經(jīng)常碰到的，不過由于問題的提法不同而賦予不同的名稱，如“鬼谷算”、“秦王暗點兵”、“剪管術(shù)”、“隔墻算”等等。把上述問題用同余式組表示出來就是“x≡2〔mod3〕≡3〔mod5〕≡2〔mod7〕”，求x，這里a≡b〔mod〕表示a與b同時被P除所得的余數(shù)相同?！秾O子算經(jīng)》的解答原文如下：“答曰：二十三。術(shù)曰：三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，那么置七十；五五數(shù)之剩一，那么置二十一；七七數(shù)之剩一，那么置十五；一百五上，以一百五減之，即得?！边@段原文隱晦難懂，但它卻揭示了這類問題解法的關(guān)鍵是要找出70，21，15這三個常數(shù)，為什么呢？因為70不僅是5×7的倍數(shù)〔2倍〕，而且被3除余1；21不僅是3×7的倍數(shù)〔1倍〕，且被5除余1；15不僅是3×5的倍數(shù)〔1倍〕，且被7除也余1，即70=2×5×7≡1〔mod3〕≡0〔mod5〕≡0〔mod7〕，〔2.1〕21=3×7≡0〔mod3〕≡1〔mod5〕≡0〔mod7〕，〔2.2〕15=3×5≡0〔mod