高中數(shù)學第八章《立體幾何初步》提高訓練題 (二)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓練題（2）

一、單項選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.如圖，在矩形A3CZ）中，AB=4,BC=2,E為邊AB的中點，沿

OE將△ACE折起，點A折至4處（4任面4BCD）,若M為線段&C的

中點，則在△力DE折起過程中，下列說法錯誤的是（）

A.始終有MB〃面力iDE

B.不存在某個位置，使得&C1面4DE

C.三棱錐29的體積的最大值為苧

D.一定存在某個位置，使得異面直線與&E所成的角為30。

2.已知三棱錐P-ABC的底面是正三角形，PA=回點月在側面P8C內的射影，是4PBC的垂

心，當三棱錐P-4BC體積最大值時，三棱鏈P-4BC的外接球的體積為（）

A.°6冗B.6V3TTC.67rD.

22

3.平面。過棱長為1的正方體48co—44GR的面對角線力片，且a_L平面GBD,af］平

面力。A4=4s，點s在直線4R上，則力s的長度為（）

A.V5B.V2C.tD.1

4.菱形ABC。的邊長為2,AABC=60°,沿對角線AC將三角形AC。折起，當三棱錐。一ABC體

積最大時，其外接球表面積為（）

AV15o2“520「20

A?71B?-----71C?~~D.~~兀

3393

5,已知三棱錐P-ABC的側棱PA,PB,PC與底面ABC所成的角均為60。，且AC=4,BC=3,

AB=5,則三棱錐P-ABC的四個面中，面積最大的面的面積為（）

A.6B.9C.至宜D.12

4

6.已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段S4上的點（不含端點），設直線

BE與CO所成的角為。1，直線8E與平面ABC。所成的角為。2,二面角S-BC-。的平面角為。3，

則（）

$

A.01＜83?&＜。3B.。2＜，。2＜。3

C.。2＜%，。3＜%D.%＜。2，&＜。2

7.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E,尸分別是AB,8c的中點，將△￡ME,&EBF,△FCD分

別沿。E,EF,尸￡>折起，使得A,B,C三點重合于點A,若點G及四面體ADEF的四個頂點都

在同一個球面上，則以AOEF為底面的三棱錐G-OEF的高人的最大值為（）

A.V6+-B.V6+-C.2V6--D.25/6--

3333

8.在三棱柱ABC-4816中，。是棱8c上的點（不包括端點），記直線當。與直線AC所成的角為

%,直線與平面所成的角為/，二面角G-a當一。的平面角為名，則（）

A.<02<03B,。2</<&c.03V。2<D.92<。3<

二、多項選擇題（本大題共7小題，共28.0分）

9.正方體力BCD-AaGDi中,E是棱CD1的中點，尸是側面CDD】G上的動點,且&F〃平面&BE,

記B］與尸的軌跡構成的平面為a,則（）

A.3F,使得BiF1CD］

B.直線B/與直線8C所成角的正切值的取值范圍是［9,當

C.a與平面CDQG所成銳二面角的正切值為2a

D.正方體48co-418也1。1的各個側面中，與a所成的銳二面角相等的側面共2個

10.在棱長為2的正方體4BC0—4道傳1。1中，點P是棱BC的中點，點Q是底面4B1GD1上的動

點，且4P_LDiQ,則下列說法正確的有（）

A.OP與DiQ所成角的最大值為￡

B.四面體ABPQ的體積不變

C.△44iQ的面積有最小值當

D.平面。1PQ截正方體所得截面面積不變

11..如圖，在棱長為1的正方體4BCD-418也1。1中，E,F分別為

BBi，CD的中點，貝式）

A.直線與3。的夾角為60。

B.平面AED1平面4F2

C.點Q到平面48山1的距離為衛(wèi)

2

D.若正方體每條棱所在直線與平面a所成的角相等，則a截此正

方體所得截面只能是三角形和六邊形

12.如圖，在正四棱錐P-4BCD中，AB=1,PB=2

設棱錐P-4BC0和棱錐E-BCD的體積分別為匕，

8OE所成的角分別為a,/?,則

A.P4〃面BDE

B.PC1面BDE

C.V1-.V2=4:1

D.sina:sin/?=1:2

13.如圖，矩形ABC。，M為BC的中點，將△ABM沿直線A例翻折

成連接當0,N為Bi。的中點，則在翻折過程中,

列說法中所有正確的是

A.N存在某個位置，使得CNIABi

B.翻折過程中，CN的長是定值

C.若AB=BM,則AM1BrD

D.若AB=BM=1,當三棱錐&一AM。的體積最大時，三棱錐&一AMD的外接球的表面積是

47r

14.如圖，矩形ABC。，M為BC的中點，將團ABM沿直線AM翻折成回4BiM,連接8山，N為&D的

中點，則在翻折過程中，下列說法中正確的是（）

A.存在某個位置，使得CNL力Bi

B.翻折過程中，CN的長是定值

C.若4B=BM,貝14M1B[D

D.若4B=BM=1,當三棱錐當一4”。的體積最大時，三棱錐&-4M0的外接球的表面積是

47r

15.線段A8為圓O的直徑，點E,尸在圓。上，AB〃EF,矩形A8C。

所在平面和圓。所在平面垂直，且AB=2,AD=EF=ljlj（）

A.。尸〃平面BCE

B.異面直線BF與OC所成的角為30。

C.△EFC為直角三角形

D.%_：/_=1：4

BEFABCD

三、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

16.已知四邊形ABCQ為矩形，AB=2AD=4,M為AB的中點，將沿DW折起，得到四棱

錐兒-OMBC,設&C的中點為N,在翻折過程中，得到如下有三個命題：

①BN〃平面4OM,且BN的長度為定值巡；

②三棱錐N-DMC的最大體積為苧；

③在翻折過程中，存在某個位置，使得DM14C.

其中正確命題的序號為.（寫出所有正確結論的序號）

17.在三棱錐P-ABC中，PB=6,AC=4,M為PC上一點，戶也=3過點M作三棱錐的一個

vA-PBC3

截面。，PB//a,AC/ja,則截面的周長為

18.無人偵察機在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中扮演著非常重要的角色，我國最新款的無人偵察機名叫“無偵-8”.無

偵-8（如圖1）是一款以偵察為主的無人機，它配備了2臺火箭發(fā)動機，動力強勁，據報道它的最

大飛行速度超過3馬赫，比大多數(shù)防空導彈都要快.如圖2,已知空間中同時出現(xiàn)了A,B,C,

力四個目標（目標和無人機的大小忽略不計），其中48=2遍akm，AD=2V3akm-BC=CD=

BD=6akm,a>0,且目標A,B,D所在平面與目標B,C,。所在平面恰好垂直，若無人

機可以同時觀察到這四個目標，則其最小偵測半徑為km.

圖1圖2

19.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面的射影。為△ABC的垂心，若S.ABC-SAOBC=SWPBC，且三

棱錐P-4BC的外接球半徑為3,貝US".'+SNBC+5”女的最大值為.

P

20.如圖，在三棱錐P-ABC中，PALAB,PC1BC,AB1BC,\AB\=2,

|BC|=1,|PC|=否，則PA與平面ABC所成角的大小為___;三棱錐P-/

4BC外接球的表面積是一.工1/

四、多空題（本大題共1小題，共4.0分）

21.已知正三棱錐A-BCD的四個頂點在同一個球面上，AB=AC=AD=4,CD=6,則該三棱錐

的外接球的表面積為該三棱錐的頂點B到面ACD的距離為_（2）_.

五、解答題（本大題共9小題，共108.0分）

22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA1底面ABC。，ADLAB,DC//AD,PA=AD=DC=1,AB=

2,E為棱PB上一點、.

(1)若E為棱PB的中點，求證：直線CE〃乎面'PAD；

(2)若E為棱PB上存在異于P、B的一點，且二面角E-AC—P的余弦值為⑨，求直線AE與平

3

面A8C。所成角的正弦值.

23.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAIJigffiABCD,AD"BC,AB=AD=AC=3,BC=4,M

為線段A￡）上一點，AM=2MD,N為PC的中點.

(1)證明：MN〃平面PAB；

(2)若平面4WN與平面PAD所成的銳二面角的正弦值為苧，求直線MN與直線PA所成角的余

弦值.

24.在如圖所示的圓柱。1。2中，A8為圓01的直徑，C、。是傘的兩個三等分點，EA,FC、GB都是

圓柱01。2的母線

(1)求證：FOi〃平面AOE；

(2)設BC=1,已知直線AF與平面ACB所成的角為30。，求二面角A—FB-C的余弦值.

25.如圖，三棱錐4BC-&B1Q,底面A8C是邊長為2的正三角形，A1A=A1B,平面ABCJ■平面

(1)證明：&CJ?平面ABC：

(2)若BC與平面A4iB所成角的正弦值為苧，求平面ZaB與平面BBiGC所成角的正弦值.

26.如圖，在棱長為2的正方體4BC0-&BiCiDi中，點E為棱AB的中點.

(1)證明:QB〃平面Z\CE;

(2)求點兒到平面。1CE的距離.

27.如圖，在多面體ABCDEF中，4OEF為矩形，A8CD為等腰梯形，BC//AD,BC=2,AD=4,

S.AB1BD,平面ADEF1平面ABCD,M,N分別為EF,CD的中點.

(I)求證：MN〃平面ACF；

(口)若直線FC與平面AOEF所成的角的正弦值為手，求多面體A8CDE尸的體積.

28.如圖，己知平行四邊形ABC。中，4840=60。，AB=2AD=4,E為邊AB的中點，將團4DE沿

直線DE翻折成△4DE.若M為線段41c的中點.

(1)證明.1/8〃平面&DE,并求MB的長;

(2)在翻折過程中，當三棱錐&-DEM的體積取最大時，求平面4BC與平面&DE所成的二面角

的余弦值.

29.如圖所示，在多面體ABCDE/中，四邊形ABC。是正方形，AB=2EF=2,EF//AB,EF1FB,

乙BFC=9$,BF=FC,〃為BC的中點.

(1)求證：FH〃平面EDB；

(2)求證：4。1平面后。8；

(3)求四面體B-DEF的體積

30.已知在直三棱柱ABC—4B1C1中，ACIBC,AC=BC=2,=百，點0、E分別為AB、

&G中點.三棱柱外一點。滿足。。平面ABC,DO=^2.

(I)求證：DE〃平面BBiGC；

(n)求二面角D-BC-E的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

本題主要考查命題的真假判斷與應用，考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系

的判定，考查空間想象能力與思維能力，屬于較難題.

對于A,延長CB,DE交于H,連接運用中位線定理和線面平行的判定定理，可得BM〃平面

ArDE,即可判斷4;

對于8,不論必在何位置，&C在平面A8C。中的射影為AC,由AC與OE不垂直，得。E與4C不

垂直，從而可得&C與平面4DE不垂直，故B正確；

對于C,由題意知平面&DEJ■平面AOE時，三棱錐&-4DE的體積最大，求出即可；

對于￡>,運用平行線的性質和解三角形的余弦定理，以及異面直線所成角的定義，求出異面直線所

成的角，說明。錯誤.

解：：對于A,延長C8,DE交于H,連接由E為AB的中點，可得B為C”的中點，

又M為&C的中點，可得BM//A1H,笈平面&0E,4/u平面&DE,貝〃平面&0E,故

A正確；

不論公在何位置,aC在平面4BCD中的射影為AC,AC與DE不垂直,則OE與&C不垂直，可得41c

與平面&DE不垂直，故B正確；

對于C,設。為OE的中點，連接。&,由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半，可得04=企，

當平面4DE_L平面AOE時，三棱錐&-4DE的體積最大，最大體積為V=?4。=1x：x

22XV2=2^.故C正確；

對于￡>,48=24。=4,過E作EG//BM,G€平面40C,則4&EG是異面直線與4E所成的

角或所成角的補角，

且ZTliEG=Z.EA^Hf在^EAi“中，EA1—2,EH=DE=2a,41H=

V22+2X22-2x2X2V2Xcos135°=2V5>

則NE&H為定值且不為30。，即z&EG為定值且不為30。，.?.不存在某個位置，使得異面直線BM與4E

所成角為30。，故。錯誤.

故選D

解析：【試題解析】

解：：延長P”交BC于D,連接40,

是APBC的垂心，???BC1PD,

vAH_L平面PBC,BCu平面PBC,

：.AHLBC,

又AF/u平面APO,PDPAD,AHC\PD=H,

BCJ_平面APD,又4Du平面A.PD,

BC1AD,

連接8〃并延長交PC于E,連接4E,

由力H1平面P8C可得ZH1PC,

又BE1PC,AHCBE=H,

PC_L平面ABE,AB1PC.

設P在平面ABC上的射影為0,延長C。交AB于凡連接PF.

vPOLAB,PCCPO=P,

AB1平面PCF.

PFLAB,CF1AB.

???。是AABC的中心，尸是AB的中點，

???PB=PA=V3=PC,

當PA,PB,PC兩兩垂直時，三棱錐P-ABC體積取得最大值時，

三棱錐P-4BC的外接球的半徑R滿足：（2R）2=3x（舊/，解得R=|.

體積=疑X（|）3=y.

故選：D.

延長PH交BC于Q,連接AQ,根據H是APBC的垂心，可得BC_LPD,利用線面垂直的判定與性

質定理可得：BC,40.連接8H并延長交PC于E,連接AE,可得PC_L平面ABE,AB1PC.設P在

平面ABC上的射影為O,延長CO交AB于F,連接PF.可得PF1.4B,CF_LAB.因此。是△ABC的

中心，F(xiàn)是AB的中點，于是PB=P4=國=PC,當尸A,PB,PC兩兩垂直時，三棱錐P-4BC體

積取得最大值時，即可得出.

本題考查了三棱錐的性質、球的體積計算公式、線面垂直的性質定理及其判定定理、三垂線定理、

勾股定理，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于難題.

3.答案：C

解析：

本題考查空間幾何體中，線與面的位置關系，線面垂直的判定以及性質，面面平行的性質，屬于較

難題.

由題意畫出平面a,根據圖象求出AS.

解：如圖：在正方體4BCD-4道傳15中，

BD1ACr,BDLAA1,ACAAr=A,AC,44]u平面

???BD_L平面A&C

又AiCu平面A4CAtC1BD,

同理，AtC1BQ,又BDCBC、=B,BD,BQu平面GBD,

ArC_L平面CiBO,

以AM為側棱補作一個正方體AEFG-aPQR,

使得側面4QR4與平面4DD1公共面，

連結AQ,貝ijAQn&C,連結BiQ,交4R于點S,

則側面4Q當即為平面a,AS即為平面a與平面ADDiAi的交線，

■■AQ/fA^C,

AQ_L平面QB。，

又AQu平面a,

平面a1平面GBD,

因為41s=$44=1,

所以AS=11+-=—.

742

故選C.

4.答案：D

解析：

本題考查了空間幾何體外接球的應用問題，是基礎題.

由題意得得平面4BC_L平面ADC,三棱錐體積最大，找出此三棱錐外接球的球心和半徑，即可求得

外接球表面積.

解：

由題意可知，當三棱錐D-力BC的體積最大時，平面4BC，平面AOC,取AC的中點E,連接OE,

EB,

由面面垂直的性質可知DE1平面ABC,

所以△ABC與4ADC均為等邊三角形,三棱錐B-ACD高為行.

三角形4CD外接圓半徑r=也，

3

設外接球半徑為R,球心與圓心的距離為d,

+丁2=R2,①

(V3-d)2+(y)2=/?2,②

由①②解得：R2=|

外接球的表面積S=47TR2=等.

5.答案：C

解析：

本題主要考查了直線與平面所成的角，幾何體面積問題，考查學生計算能力與空間想象能力，屬于

中檔題；

根據題意過P作PHJL平面ABC,垂足為“，得到從4==HC=|,PA=PB=PC=5MC=4,

BC=3,AB=5,計算面積即可得解.

解：過尸作PH1平面ABC,垂足為H.

因為=乙PBH=Z.PCH=60°,

可得△PAHmAPBHmAPCH,得力H=BH=CH,PA=PB=PC.

又AC=4,BC=3,AB=5,

所以△ABC為直角三角形，故點”為斜邊A8的中點，如圖.

所以=HB=HC=l，PA=PB=PC=5.AC=4,BC=3,AB=5,

所以S—cp=2ym,S^BCP~^^.ABC=~X3X4=6,ShABP=|x5x5x^=岑

則這個三棱錐的四個面中，面積最大的面的面積為辿1

4

故選C.

6.答案：B

解析：

本題考查了空間角的計算，三角函數(shù)的應用，屬于中檔題.

作出三個角，由題意得到%>%，利用最小角定理得到。2<%，即可比較.

解：由題意知四棱錐S—ABCD為正四棱錐，

如圖，連接AC,BD,記4CnBD=。，連接SO,

則SO_L平面ABCD,作EFLAC,0G1BC,

連接F8,OG,SG,易得EFLF?,

則仇=Z.EBA.O2=NEBF.&=/SG。,

“為直線BE和平面ABC。所成的角，故外<%，

tan02——,tan03=空

/FB5GO

因為OS//EF,S。>EFfFB>GO,

所以意即&<%，

故選&

7.答案：A

解析：

本題考查幾何體的折疊問題，幾何體的外接球的半徑的

求法，考查三棱錐的高，屬于中檔題.

把棱錐擴展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑

就是三棱錐的外接球的半徑，求出△DEF的外接圓的半徑為r,得球心到面CE尸的距離為夕/?2_產,

以^DEF為底面的三棱錐G-DEF的高h的最大值為R+V/?2-r2,得答案.

解：由題意可知是等腰直角三角形，且4。1平面4EF,三棱錐的底面4EF擴展為邊長為2

的正方形，

然后擴展為正四棱柱，此正四棱柱的底面為邊長為2的正方形，高是4,

三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，

正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，

直徑為：V4+4+16=V24.

???球的半徑為R=V6.

.?.設△OEF的外接圓的半徑為r,

■：DE=DF=V22+42=2V5>EF=2vL

???EF邊上的高為J(2V5)2-(V2)2=3四，

???smZ-DEF=-p、

2V5

?”=妥=竽即一%

泰3

??.球心到面￡>￡尸的距離為,R2_丁2—

.?.以△DEF為底面的三棱錐G-DEF的高h的最大值為R+|=布+|.

故選A.

8.答案：D

解析：

本題考查異面直線所成角、線面角、二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關系等基礎知識，考查推理論證能力能力與運算求解能力，屬于較難題.

設三棱柱ABC-4181cl是棱長為2的正三棱柱，設。是BC中點，以A為原點，在平面A8C中，AC

為x軸，AC為y軸，A4為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出%<%<%?

解：設三棱柱ABC-4&C1是棱長為2的正三棱柱，設。是BC中點，

以A為原點，在平面4BC中，以AC的垂線為x軸，AC為)?軸，為z軸，建立空間直角坐標系，

則4(0,0,0),做0,0,2),當(⑸，2),C(0,2,0),D(y,1,0),

前=(0,2,0),瓦^=(一苧4，一2),石瓦=(百,1,0),

???直線/。與直線AC所成的角為名,

“cos%-嬴碉-赤

???直線/。與平面4B1G所成的角為g，&€；“；：，平面4181cl的法向量完=(0,0,1),

?1'Sin°2==看，?如&=J1-(哥=看

設平面為當。的法向量記=(a"c),

m-=V3a+b=0_,

則一H-HV3,1,?>MXa=V3，得記=(百,-3,-”

z

m-B1D=--—a+-o—2c=0

???二面角G-必/一。的平面角為”,由圖可知％為銳角,

\mn\

同卜而

Vcosd2>C0S?3>cos61，

。2<。3<%.

故選。.

9.答案：ABC

解析：

本題考查空間立體幾何的綜合，涉及空間線面的位置關系、異面直線的夾角和面面角等問題，考查

學生的空間立體感和邏輯推理能力，屬于難題.

分別取CG和GD1的中點為N,M,連接MMMB1、NB「確定平面MN%就是平面a.

當尸為線段MN的中點時，可證明A；B.利用平移的思想，將直線BiF與直線8c所成角轉化為與

當。1所成的角，由于BiG_L平面MNG，所以tan^RBiC］即為所求，進而求解即可；C.取尸為中

點，即為a與平面CDDiG所成的銳二面角；D.由正方體的對稱性和二面角的含義即可判斷.

解：取CO中點G,連接EG,則EG〃&B,所以平面4BE即為平面4BGE,

取GDi中點M,CG中點M連接BiMBNMN,

則易證得/M//BG,MN//EG,

因為MNC平面&BGE,EGu平面&BGE,

所以MN〃平面4BGE,同理〃平面4BGE,

MNCB[M=M,MNu平面&MN,u平面&MN,

從而平面/MN〃平面&BGE,

所以點尸的運動軌跡為線段MM平面與MN即為平面a.

A.取產為MN中點，因為團BiMN是等腰三角形，B[M=BiN,所以1MN,

又因為MN〃CD「所以B1FICD1，故A正確；

比設正方體的棱長為2,因為BiQ〃BC,

所以々QB/即為直線8/與直線BC所成角（或其補角），

因為BiG1平面MNCi，C】Fu平面MNCi，所以品61CrF,

則當點尸為MN中點時，直線BiF與直線BC所成角最小，此時GF=￥，

tan4GBiF=黑=乎，

當點尸與點M或點N重合時，直線B/與直線8c所成角最大，此時tan4C/iF=%

所以直線NF與直線BC所成角的正切值的取值范圍是8正確；

C.取廠為MN中點，則MN」。F.F.

NBiFQ即為a與平面CDDiQ所成的銳二面角,

tan/B/Q=警=2&,所以C正確；

。.正方體ABC。一4B1C1D1的各個側面中，平面ABCZ）,平面必當。]。],平面BCG%,平面4。。遇1

與平面a所成的角相等，所以。不正確.

故選ABC.

10.答案：BCD

解析：

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查四面體體積，平面與多面體截面積等有關知

識，屬于較難題.

解題時取中點W,必當中點S,可先根據4P1D1Q,確定。位置就在上，然后根據體積，面

積等公式逐項檢驗即可.

解：如圖，

取AB中點W,&Bi中點S,連接WS,Cl%DiS,

在正方形ABCD中，易得APJLCW,又APJLDDi，

DWCtDDi=D,C平面OH'S。］,

所以.AP,平面OH'S",

因為點。是底面為B1GC1上的動點，且4P1DiQ,

故點。在DiS上運動，D-ySf/DW,

所以。P與DiQ所成角就是。P與。W所成的角，即NODP,

易得。。=￥，。。=誓，

直角三角形。OP不是等腰直角三角形，故A錯誤；

由于三角形A8P面積固定，。在上底面，。到面AB尸距離為2不變,

故四面體ABPQ體積不變，8正確；

因為。點在［S上，過必向AS作垂線，垂足為“，即是符合條件的。點,

△441Q的面積有最小值就是△4&H的面積，

力&和上底面垂直，乙44〃是直角，

所以面積為g?MiX&H=Tx2x矍=￥，C正確；

平面QPQ就是過點P與。1S確定的平面，不因。變化而變化，

故平面截正方體的截面面積不會改變，。正確，

故選BCD.

11.答案：ABD

解析：

本題主要正方體的結構特征，異面直線的夾角、線面垂直的判定，利用體積法求點到平面的距離，

直線與平面所成的角，截面問題，屬中檔題.

根據利用平行線法，異面直線的定義找到并求出異面直線所成的角，判定4利用面面垂直的判定定

理證得B;體積法求得G到平面的距離，判定C;找到一個與各棱成等角的截面是容易的，令其平

行移動，根據平面的基本性質可以得出其它的截面的可能形狀，從而判定D

解：依題意，對A,連接80，連接B|Di，

因為是正方體ABCD-A|B|gD|,

所以BD〃BDi,

所以/Di與AD1所成的角即為直線AD|與BO的夾角,

再連接AB-顯然易知三角形AD|B|為等邊三角形，

故直線AD|與8。的夾角為儀），故A正確；

在正方體中平面44/m,AEu平面441/3,

所以4也LAE,

取A8中點G,貝lJtanN4G2=2,tan^EAB=p^AGAr+/.EAB=90°,

AE1

&G,又?；力也AD=GF'ArG=DXF>

???AEA.D1Ff

X,-*A1D1AD1F=D1,A1D1,D/u平面4FD1，

所以AE1平面AiFD/Eu顏ED,所以4ED1平面A/D1，故B正確;

由％1-4/6=VA-B1C1D1=|x|xlxlxl=i,

而SA48ID]=|xV2xV2Xy=y,

故點G到平面4當。1的距離為+=/,故C錯誤;

3XT

若正方體每條棱所在直線與平面a所成的角相等，如圖所示,

易知a截此正方體所得截面只能是三角形和六邊形，故。正確.

故選ABD.

12.答案：ACD

解析：

本題考查幾何體的結構特征，線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積問題，線面所成的角

的問題，屬中檔題.

連接AC,交BD與0,連接。E,可得。E〃P4然后利用線面平行的判定定理證明A正確；在△PBC

中可證尸C與BE不垂直，利用線面垂直的定義即可否定B;

利用棱錐的體積公式，考查兩個棱錐P-48C。與棱錐E-BC。的底面積及高的比值，乘積即為體積

比，設尸在平面8OE中的射影為G,得至IJ/PBG和4PEG分別為P8,PC與平面3OE所成的角，利

用尸8與PE的2倍關系即可得到D正確.

解：連接AC,交于0,則。為正四棱錐的底面中心，;。為AC的中點，連接?！?為線段

尸C的中點，0E〃P4,又?；P4C平面BOE,OCu平面8DE,PA〃平面BDE,故A正確；

?：PB#BC,而E為PC的中點，???PC與BE不垂直，二PC與平面B￡)E不垂直，故B錯誤；

連接P0，取。C中點凡連接E凡貝IJPO,EF分別為棱錐P—Z8CD與棱錐E-BCD的高，「E是

PC的中點，.?.棱錐P-4BCD與棱錐E-BCD的體積的高的比為2:1,

又??,底面A8CD和BCD的面積的比為2:1,Vi:V24:1,故C正確；

設P在平面BOE中的射影為G,連接GE,GB,則NPBG和NPEG分別為尸8,PC與平面8DE所成

的角，

由于直角邊PG公用，PB=PC=2PE,二sina:sin?=會:會=1:2,故。正確；

PBPE

故選ACD

p

13.答案：BD

解析：

【試題解析】

本題考查幾何體的翻折問題，考查空間中直線與直線的位置關系，球的表面積計算，考查空間想象

能力，屬于中檔題.

利用空間中直線與直線的位置關系，球的表面積計算，考查空間想象能力，對選項逐一判斷其正確

性即可.

解：對于A,取AO的中點為E,連接CE交于點凡如圖1,

圖1

則NE〃/IB】，NF“MB\

如果CN14B1，則ENJ.CN,

由于4&1MB1，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點,

故這是不可能的，故A不正確；

對于B,如圖1,由NNEC=NM4BI，

且NE=^ABVAM=EC,

.,.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故B正確；

對于C,如圖2

圖2

取4M中點為。，,??4B=BM,即AB1=則力M1B10

若AM1B［D,由于B］。nB1D=

且當。，&。u平面

AM_L平面。DBi，?！?gt;(2平面0。81，

OD1AM,則AD=MD,

由于ADRMD,故4MlBi。不成立，故C不正確；

對于。，根據題意知，只有當平面8源“，平面AMD時，

三棱錐當-4MD的體積最大，取AC的中點為E,

連接OE,B$,ME,如圖2

???AB=BM=1,貝妹4=FjM=1,

且4當1B1M,平面814MC平面AMO=AM

???Bt01AM,Bi。u平面EiAM

BT01平面AMD,OEu平面AMD

B］。1OE,

則=Br0=14M=y,

OE=-DM=-AM=—.

222

從而盾百=r

易知E4=ED=EM=1,

???力。的中點E就是三棱錐&-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故。正確;

故答案為：BD.

14.答案：BD

解析:

本題考查幾何體的翻折問題，考查空間中直線與直線的位置關系，球的表面積計算，考查空間想象

能力，屬于較難試題，對選項逐一判斷其正確性即可.

解：對于A,取4。的中點為E,連接CE交于點凡如圖1,

圖1

則NE〃4Bi，NF"MB\

如果CN1ABI,貝ijENJ.CN,

由于J.”當，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點,

故這是不可能的，故A不正確；

對于B,如圖1,由NNEC=4AMB「

且NE=4M=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos"EC,也是定值,

故NC是定值，故B正確；

對于C,如圖2

圖2

取AM中點為。，???4B=BM,即=則AM_LB1。

若AM±ByD,由于B］。C\ByD=By,

且當0,Bl。u平面0DB1，

AM，平面ODB「ODu平面Og,

??.0014M,則AD=MO,

由于4。HMD,故4MlBi。不成立，故C不正確；

對于。，根據題意知，只有當平面Bp4M，平面AM。時，

三棱錐&-4MD的體積最大，取4。的中點為E,

連接OE,BiE,ME,如圖2

,:AB=BM=1,則AB】=BrM=1,

且AB】1BiM,平面&AMC平面AMD=AM

BjO1AM,BiOu平面B/M

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD

ByO1OE,

,

則AM=&,BXO=^AM=Y

OE=-2D2M=-A2M=—，

從而吟廊面=1,

易知EA=EC=EM=1,

??.AD的中點E就是三棱錐a-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故。正確;

故答案為：BD.

15.答案:BD

解析：

【試題解析】

本題考查線面平行性質、異面直線所成的角、余弦定理、棱錐體積，屬于中檔題.

利用線面平行性質可得A錯誤；

異面直線B尸與。C所成的角為乙1BF,由題意得NABF=30。，故B正確；

CE2+EF2<CF2,可得△EFC為鈍角三角形，故C錯誤；

對于。，過點尸作FG14B于G,可得/"Be。==FG./_CBE=%-BEF=；FG.故。正確.

解：對于A,,??4B〃CD〃EF,

C,D,F,E四點共面，

若DF〃平面BCE,

由于平面BCE0平面CDFE=CE

則。尸//CE,

可得四邊形為平行四邊形，得CO=EF=AB,

與已知矛盾，故A錯誤；

對于B,?；4B〃0C,

.??異面直線BF與OC所成的角即為N4BF,

在等腰梯形AFE8中，由AB=2,EF=1,

可得N40F=乙FOE=4EOB=60°,

得乙4BF=30。，故B正確；

對于C,在ABEF中，由分析8時可得，BE=FE=1,BF=圾,

又BC=1且BC工底面A8EF,得CE=伍CF=2,

則CE2+EF2<ex,可得AEFC為鈍角三角形，故C錯誤；

對于。，過點尸作FG1AB于G,

???平面4BC01平面ABEF,且交線為AB

???FG，平面ABCD,

?*,VF-ABCD=]SABCD，F(xiàn)G=-FG.

???CB，平面ABEF,

__1

AVF-CBE=V（：-BEF=qS^BEF,CB

=---EF-FG-CB=-FG.

326

VJBEF：^F-ABCD~1：4,故。正確.

故選：BD.

16.答案：①②

解析：

本題考查空間線線、線面的位置關系，主要是平行和垂直的判斷和性質，考查棱錐的體積的計算，

以及化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題.

分別延長。M,CB交于，，連接4小，由中位線定理和線面平行的判定定理，以及余弦定理可判斷①；

當平面平面。MBC時，&到平面0MBe的距離最大，結合棱錐的體積公式，計算可得所求

最大值，可判斷②；由線面垂直的判斷和性質可判斷③.

可得8N為△ACH的中位線，可得BN〃AiH,

BNC平面40M,占Hu平面210M,可得BN〃平面

且BN=灑/7,

在△&D，中，&M=2,MH=2V2.N4MH=135。,

則=J4+8-2x2x2V2x(-y)=2后

即有BN=V5，故①正確；

當平面21。"_L平面。M8C時，占到平面DW8C的距離最大，且為迎，

此時N到平面DM8C的距離最大，且為業(yè)，

2

△OMC的面積為"2x4=4,可得三棱錐N-OMC的最大體積為：x4x4=手，故②正確：

若DM1ArC,又DM=CM=2VLCD=4,可得。M1MC,

因為&CnMC=C,4Cu平面&CM,MCu平面4CM,

則DM_L平面&CM,又&Mu平面41cM,即有EW1&M,這與CM為△A/M的斜邊矛盾，故③錯

誤.

故答案為：①②.

17.答案:y

解析：

本題考查了棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和體積，平行公理與等角定理和線面平行的性質，

屬于中檔題.

設截面a與PA、AB、8C分別交于MG、H,禾U用線面平行的性質得PB〃GN和PB〃MH,再利用

平行公理得GN〃MH,同理可得MN//GH,從而得四邊形是平行四邊形，設點M到平面PA8

的距離為弱，點C到平面PAB的距離為d,利用三棱錐的體積公式得霽=：,再利用平面幾何知識

得整=9和警=；,最后利用題目條件，計算得結論.

AC3rD5

在三棱錐P—4BC中，M為PC上一點，過點M作三棱錐的一個截面a,

使PB〃a,ACI/a,且截面a與04、AB.BC分別交于N、G、H.

因為PB〃a,PBu平面PAB,截面an平面P4B=GN,所以PB〃GN,

同理可得PB〃"兒因此GN〃MH.

又因為4C〃a,ACu平面PAC,截面an平面PAC=MN,所以4C〃MN,

同理可得4C〃GH,因此MN〃GH.

因此四邊形GHMN是平行四邊形.

設點M到平面PAB的距離為盛，點C到平面PAB的距離為d,

Pp-AMBnnVM-PAB1

又因為即VC-P4B

^A-PBC3f

所以或竺變曳=包=2

ls^PABdd3

因此黑翳EMH_CM_]PM_2

PB~PC~PC~3

又因為PB=6,AC=4,

所以MN=g4C=*MH=|PB=4,

因此截面a的周長為2(MN+MH)=2(|+4)=y.

故答案為青

18.答案：2v5a

解析：

【試題解析】

本題考查線面垂直的判定以及性質，幾何體的外接球問題，解三角形的應用，考查空間想象能力、

邏輯思維能力、運算求解能力，屬于難題.

由題意可得當無人機在三棱鏈4-BC0的外接球球心時，使測半徑最小，且最小半徑為球0的半徑

R,結合線面垂直的判定以及性質，結合三角形運算即可求解.

解：如圖，

A

顯然外接球的球心O在平面8c。上的射影就是正三角形BCD的外接圓圓心,

記為。1，連接。0],。如，則。=/BC=/x6a=2V5a.

設。。1=d,