高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題 (一)(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題(1)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.在平行四邊形中A8CD,已知4B=6,4。=10,點(diǎn)E,F分別為邊8c和邊CZ)上動(dòng)點(diǎn),

圖1圖2

(1)如圖1,若平行四邊形ABC。為矩形，且E,F分別為BC和C。上中點(diǎn)，求而?前;

(2)如圖2,若NDAB1市=2鉗，且2或=3正，求而.赤.

2.已知向量五=(cosa,sina),b=(cos夕,sin/?)?c=(2,0).

(1)求向量9+的長(zhǎng)度的最大值；

(2)設(shè)。=g,且蒼1@+辦求cos.的值.

3.已知實(shí)數(shù)0W8W7T,a=(cos6),sin6),j=(0,1),若向量方滿足位+石)j=0，且心石=0.

(1)若|蒼一=2.求石；

(2)若/(%)=4+%位一孫在畛,+8)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4.如圖所示，在因ABCD中，AB=a,AD=b,BM=^BC,AN=^AB.

DC

(i)試用向量五花來表示而，而7；

(2)AM交DN于0點(diǎn)、,求40：0M的值.

5.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且其面積為S.

①焉=島，②I的2=”而③苧S=V也

(1)請(qǐng)從以上三個(gè)條件中任選2個(gè)，并求角8；

(2)在⑴的基礎(chǔ)上，點(diǎn)。在A3邊上，若sin4a4D=V5sin乙4CD,求sin4CDB.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

6.在銳角A4BC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,m=(2cosC,acosB+bcosA),n=(c,-1),

且訪1n.

(1)求角C；

(2)若邊長(zhǎng)c=百，①求4WC面積的最大值；

②現(xiàn)有長(zhǎng)度為4,5,6的三根細(xì)鐵絲，問：哪根能夠圍成滿足題目條件的三角形(不計(jì)損耗)？

7.已知元=(cosa,sina),b=(cos0,sin0)，其中0<aV￡V

(1)求向量1+石與五-石所成的夾角；

(2)若ka+E與五-k方的模相等，求的值(卜為非零的常數(shù))?

8.已知向量沆=(2sin仇sin。+cos。),n=(cos0,-2—m),函數(shù)/(8)=量?元的最小值為

g(m)(mE/?),

(1)當(dāng)m=l時(shí)，求g(m)的值;

(2)求g(m)；

(3)已知函數(shù)/l(x)為定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)任意的不,％2都滿足九(%1+%2)=九Q1)+八(久2)?問:

是否存在這樣的實(shí)數(shù)〃Z,使不等式五(/(。))一.si.nt二7+cos(/7+以3+2m)>0對(duì)所有。6[0譚4]恒成

立，若存在，求出〃?的取值范圍；若不存在，說明理由.

9.已知向量五=(cosx,sinx),b=(3,-V3)>xG[0,TT].

(1)若五〃方,求x的值；

(2)記/(x)=。石，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

10.已知向量值=(sin9,1),K=(l,cos0),<0<p

(I)若蒼，3,求仇

(n)求區(qū)+3的最大值.

11.已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足條件|PM|-|PN|=2&.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

(I)求W的方程;

(口)若4,8是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求福.而的最小值.

12.已知函數(shù)/'(x)=sinx—V^cosx+2,記函數(shù)/(x)的最小正周期為/?,向量五=(2,cosa),B=

l,tan(a+§)),0<a<弓，且五?石=g

(1)求/(x)在區(qū)間停印上的最值;

(2)求28SJin2(a+0)的值.

cosa-sina

13.如圖，在四邊形ABC。中，BC//AD,AQB,AD=3,ZMBC為等邊三角形，E是CO的中點(diǎn).設(shè)

AB=a,AD=b-

(1)用落石表示前，AE,

(2)求荏與而夾角的余弦值.

14.如圖，在△力BC中，AC=10,BC=8,且段=空=：,尸為邊

DAEB2

OE上的中點(diǎn)，DF-C7=40-

⑴求sin/ACB的值；

(2)求麗?麗的值.

15.設(shè)P,Q分別是梯形ABCD的對(duì)角線AC與8。的中點(diǎn)

(1)試用向量證明：PQ//AD；

(2)若4B=3CD,求PQ：A8的值.

16.在44BC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知向量沅=(cosB,cosC),元=(c,b-2a)

.且沅1n.

(1)求角。的大??；

(2)若點(diǎn)。為邊AB上一點(diǎn)，且滿足而=前，|CD|=V7，c=2b，求。48c的面積.

17.已知:向量a=(2m,m)，b=(sin。4-cosO,2sin0cos0)-

(1)當(dāng)m=l,時(shí)，求值及：與2夾角的余弦值；

(2)7『給定sin。+cos0G[—V2,V2],TH0,函數(shù)y(。)=a?b+sin。+cos.的最小值為g(m)，

求g(m)的表達(dá)式。

18.已知a=(2,1)，OB=(3,-2).OC=(6-m,-3-m).

(1)若點(diǎn)A,B,C共線，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若AABC為直角三角形，求實(shí)數(shù)優(yōu)的值.

19.如圖所示，在△48。中，OC=^OA,OD=^；OB,A￡?與BC相交于M設(shè)五？=示OB=b

42

(1)試用優(yōu)方表示兩

(2)過M作直線EF,分別交線段AC,BD于點(diǎn)E,F.記笳=4作OF=ub，求證：,為定值.

*Ap.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C滿足元=[函+|詁.

(1)求證：A,B,C三點(diǎn)共線，并求黑的值；

(2)已知4(1,cos久)，B(1+cosx,cosx),x6[―^,0],若函數(shù)f(x)=?沆:-(2m+三)|四|的

33

最大值為3,求實(shí)數(shù)，”的值.

21.已知乙b>\a]=\b]=1.S.\a+kb\=V3\a-kb\，其中k>0.

(1)若五與方的夾角為60。，求/的值；

(2)記/(%)=方不,當(dāng)k取任意正數(shù)時(shí)，f(k)2t2-加對(duì)任意的tw[1,2]恒成立,求出實(shí)數(shù)〃?

的取值范圍.

22.△4BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，BE=2ABA，BF=ABC<2<1),連結(jié)EF交AC于點(diǎn)D.

(1)當(dāng)4=|時(shí)，設(shè)瓦？=為，F(xiàn)C=K,用向量五萬表示前；

(2)當(dāng);I為何值時(shí)，荏.甫取得最大值，并求出最大值.

23.如圖，設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成60。角的兩條數(shù)軸，可，石分別是x軸，y軸正方向同向的單位向

量，若向量而=x?；+y可，則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量而在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，假設(shè)前

3百+2祕(mì).

(1)計(jì)算I前I的大??；

(2)是否存在實(shí)數(shù)〃，使得而與向量石=(l,n)垂直，若存在求出”的值，若不存在請(qǐng)說明理由.

24.已知向量五=(sinwx+cosa)x,sina)x),向量至=(sinaix-cosa)x,2VScoswx)，設(shè)函數(shù)f(x)=3-

b+l(xeR)的圖象關(guān)于直線X=&寸稱，其中常數(shù)3e(0,2).

(1)若xe[0(],求/(X)的值域；

(2)在(2)前提下求函數(shù)f(x)對(duì)稱軸方程及單調(diào)區(qū)間.

25.已知向量五=(2sinx,cosx),b=(V3cosx,2cosx)<定義函數(shù)/'(x)=五.E-L

(1)求函數(shù)的最小正周期.

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間卜，1上的最值，并求出取得最值時(shí)x的值.

26.已知向量三=(sinx,cosx),b=(V3,l)，/(x)=a-K.

(I)求/(久)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間;

(11)若/3)=|,ae6,7T),求cosa的值.

27.如圖，已知ABJ.BC,AB=V3BC=y/3a，ae[1,3],圓4是以A為圓心、半徑為2的圓，圓B

是以8為圓心、半徑為1的圓，設(shè)點(diǎn)E、F分別為圓A、圓B上的動(dòng)點(diǎn)，荏〃喬(且胡與用同

向)，設(shè)ZB4E=0(0C[0,兀]).

(I)當(dāng)。=V3.且。=制，求荏?而的值；

(II)用°,。表示出荏.蒲，并給出一組a,。的值，使得下?謂最小.

28.已知平面向量五,方滿足：|五|=2,|3|=1.

(1)若(往+2萬)-(三一石)=1，求百小的值：

(2)設(shè)向量為石的夾角為。.若存在t6R,使得|W+t/=l，求cos。的取值范圍.

29.在ZL4BC中，設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，h,c,且滿足三=2誓.

c-bsinzl

(1)求角B的大??；

(2)設(shè)記=(遍cos：,—sin?),n=(cos|,cos,求萬?元的取值范圍.

30.已知落33是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中己=(1,6).

(1)若|十=4,Sx//ct,求e的坐標(biāo);

(2)若|方|=1，且+求五與E的夾角氏

【答案與解析】

1.答案：解：(1)由題意可知不妨設(shè)荏，而為基底，

--?-->--?-->1--?

???AE=AB+BE=AB-V-AD,

2

>?>一一T---?>11.?

8F=84+40+。尸=-48+40+—48=—一48+4。，

22

AE-=(AB+|^D)?(-萍+硝=-鴻,+觀2=32

(2)???DF=2FC，2露=3配，

???AE=AB+BE=AB+豺。，

--,--,--?--,2--?

4F=AD+DF=4。+-4B,

3

—?―?(―?3―A/―，2―>\

???AE-AF=(48+-ADj?\^AD+gAB)

2--*2?--?27--，--?

=-AB-Y-AD+4。?AB=24+60+42=126.

355

解析：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，向量的加減法，平面向量的基本定理，屬

于中檔題.

(1)由題意可知不妨設(shè)近，而為基底，由向量的加減的幾何意義的數(shù)量積即可求出.

(2)根據(jù)向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積即可求出.

2.答案：解：(1)由題意,向量方=(cos0,sinS)，c=(2,0),

可得方+c=(cosp+2,sin0)，則+c|23=(cos￡+2)2+sin2s=5+4cos￡.

因?yàn)橐?WCOS/?W1,所以1w|萬+3/<9，即1W|至+F|W3.

即當(dāng)cos/?=1時(shí)，|B+H|的最大值為3.

(2)由a=g,則方=G，當(dāng))，又由另=(cos。,sinS)，c=(2,0),

得五?(b+c)=(py)?(cosj5+2,sin。)=1cos/?+ysin/?+1=sin(/?+0+1,

因?yàn)樯nJL(E+?)，所以方—(G+2)=0，即sin(B+,)=—1,

解得0+之=2卜兀-今卜62可得0=2/^-票，k￡Z,所以cosB=—q.

解析：本題考查平面向量和三角函數(shù)的綜合，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握先關(guān)的結(jié)論.

(1)由已知可得石+/坐標(biāo)，可得|3+不|，由三角函數(shù)最值可得答案；

(2)由(1)可得向量坐標(biāo)，由垂直可得數(shù)量積為0,由等式和三角函數(shù)可得sin(0+0=-l,可得cos0

的值.

f

3.答案：解：(1)設(shè)]=(x°,yo),則]+b=(%o+cos0fyo+sin0)???方?b=0，

2,2

由忖—=2得(Q—b)=4，得M—2a.b+產(chǎn)=4，得1—0+1=4,

得卜=V3,

v伍+b)?/=0，y0+sin。=0,???y0=-sin。，

va-6=0??,?&cos。+y()sine=0,x="g

0cos。

|hI2=%o+yo=3=>；)2+(-sin6)2=3tan。=±V3,

v9E[0,n],???8=p或8=y,

.??當(dāng)。=g時(shí)，%o=I，y=一?叵,

320

當(dāng)"爭(zhēng)時(shí)，工。=/尢=_乎

所以;=(|,—等)或\(一|,一等).

(2)/(x)=\b+x(a-b)\=|xa+(l-x)K|=Jx2a2+(1-x)2b+2x(l-x)a-b

Jx2+(1-x)2|KI2=J(1+b2)x2-2\b\2x+\b\2'

-2問21一

：fO）在L，+8）上為增函數(shù)，所以對(duì)稱軸一/|-|2\-2'即|B|W1，

2卜+科)

設(shè)b=(x0,y0)?則a+b=(Xo+cos0,y0+sin。)，

又???(a+b)?/=0，且征.b=0'?o=一sin。，x0=

\/cost/

|I2=Xn4-yn=（sin°）2+sin20<1?BPsin2?<cos20,cos20>

'IuJu、COS02

??cosee￥，i]u,1,一科??.ee[o用u片斗

解析：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式的應(yīng)用，以及函數(shù)的恒成立問題的求解，合理運(yùn)算、

化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為與二次函數(shù)相關(guān)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，換元思想，

以及分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

（1）設(shè)7=（Q,尢>根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得|q=vs,由伍+3.7=0,鼠z=o進(jìn)而得

到處和Xo，即可得到向量了的坐標(biāo)：

(2)根據(jù)向量的模的運(yùn)算，求得/(x),又由函數(shù)/(x)=E+x@—孫在L,+8)上為增函數(shù)，得到

\b\<b故可得到cos?。2%即可求解J得取值范圍；

4.答案：解：(1)：AN="B,

■■.AN=-AB=-a,

44

.-.DN^AN-AD=-AB-AD=-a-b；

44

2

?:BM=-BC,

3

------>2------?2------?2-

???BM=-BC=-AD=-h,

333

-.AM=AB+'BM=AB+-AD=a+-b；

33

(2)D,O,N三點(diǎn)共線，

則而，而共線，存在實(shí)數(shù)九使而=/1而=/1一丁，

]

??AO=ADDO=b-XCL-Ab

4

同理，A,。，M三點(diǎn)共線，存在“，刀=〃祠=〃五+|〃B,

,(%="，

［一=|〃

解得入=%,〃=V,

.：AO=^AM,OM=^AM,

???AO：OM=3：11.

解析：本題考查用基底表示向量以及平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)根據(jù)條件便可得到前=；心麗=|石，由向量加法、減法的幾何意義即可得到麗=麗-而=

-a-b,AM=a+-b；

43

(2)由。，O,N三點(diǎn)共線，便有前=2而方—4萬，從而有同=：；1日+(1—4)3,同理可得

—,2T(〃=4Q

4

AO=na+^b,這便可得到《2,可解出〃=捺，這樣便能得出A。：0M.

3［一=|〃14

5.答案：解：對(duì)于條件①，

由正弦定理得出=厘，

cosAcosB

則tanA=tanB,可得4=B.

對(duì)于條件②，

由|石？|2=g5?明，可得|g5|2-GT瓦？=0，

即行■(CA+AB)=CA-CB0^則。=p

對(duì)于條件③，易得春bcsin4="『，

即4x東sin4x：=—a-,

2V322bc

即專sin4=cosA,得lan/=V5,故人=最

若選①②：

(1)易得△4BC是以角C為直角的等腰直角三角形,

所以

(2)由sin/CAD=遮sin/ACD，可得CD=bAD,

不妨設(shè)4D=1,貝iJCD=g，

設(shè)AC=x,由余弦定理可得立=給口二，

22X

得％=號(hào)理，所以BC=AC=四便，

22

所以新“。8=受”

6

若選②③：

(1)易得△ABC是以角C為直角的直角三角形，

又A=g,所以B=±

JO

(2)由sin/CAD=V3sin^ACD，可得CD=V3AD，

不妨設(shè)4。=1,貝UCD=百，

設(shè)AC=x,由余弦定理可得cosE=3二，

32x

得％=2,

故由勾股定理的逆定理可得CD1AD,所以sin4CDB=1.

若選①③，

(1)則易知△A8C為正三角形，可得8=半

(2)因?yàn)椤鰽8C為正三角形，所以4=今

又sinz_C4D=V^sin乙4CD，

所以sin乙4CD=所以乙4CD=g

2o

所以CD1AB,所以sin/CDB=l.

解析：本題考查正余弦定理，三角形面積公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

選①②：(1)易得△ABC是以角。為直角的等腰直角三角形，故可得解以

⑵由余弦定理求得AC的值，再由正弦定理可得siMCDB.

選②③：(1)易得△48C是以角C為直角的等腰直角三角形，故可得解B；

(2)由余弦定理求得AC的值，再由勾股定理可得CO,/D,故得sinzCOB.

選①③：(1)易知△ABC為正三角形，故得角&

(2)求得乙4co=故可得CD1AB,故得sinz_CDB.

6.答案：解：(1)v?n1n,A2ccosC—(acosB+bcosA)=0,

由正弦定理得2sinCcosC—(sini4cos8+cosAsinB)=0,

即2sinCeosC—sin(4+B)=0,

???2sinCcosC—sinC=0,

在44BC中，()<C<7T?-**sinC￥：0,ACOSC=j,

,「CJO.TT),.二。=￡；

(2)①由(1)知C=%c=W，

由余弦定理得c?=必+/_2abeosC,得3=a2+b2-ab,

由3=a24-h2-ab>2ab-ab,BPah<3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=遙等號(hào)成立,

又SMBC4?X3=W，即△面積最大值為

abcV3c

②由正弦定理得赤=/而=菽=逅=2,即。=2smA,b=2sin8,

2

所以△ABC的周長(zhǎng)為Q+b+c=2sin4+2sinB+V3

=2sinA+2sin(-^-A)+

3

=2sin4+2[-^coSi4+；sinA]+V3

=3sinA+V3cos/[+V3

=2\/3sin(-4+；)+，

6

0<.4<

由△ABC為銳角三角形，所以1”2?，得:<小<：，

°vf—乂v可

所嗚<A+h與，所以shMA+le(察”，

所以周長(zhǎng)e(3+V3,3V3],

由5e(3+V3,3V3]?

所以只能長(zhǎng)度為5的鐵絲能滿足條件.

解析：本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變換和基本不

等式，是中檔題.

(1)由沆_L元，得2ccosC—(acosB+bcosA)=0,由正弦定理得2sinCcosC—(sin4cosB+

cosAsinB)=0,化簡(jiǎn)得cosC=可得角C；

(2)①由余弦定理得3^a2+b2-ab,利用基本不等式得出ah的最大值可得Z4BC面積的最大值；

②由正弦定理得a=2sin4b=2sinB,所以△力BC的周長(zhǎng)為a+b+c=2sin4+2sinB+國(guó)，由三

角恒等變換和三角函數(shù)性質(zhì)可得周長(zhǎng)的取值范圍，可得結(jié)論.

7.答案：解:(1)由已知得同=|b|=1,

則①+b')(a-b-)=a2-b2=0'

因此五+3)1(a-K)，

因此，向量為+3與五一方所成的夾角為90。；

(2)|fca>+了|=^(kcutia+co?;i)2+(A:siiia+sin3)2>

|a-fcib|=7(cosa—/ccosj?)2+(sina—/csin

J(kcosa+cos0)2+(ksina+sin0)2

=^(cosa—kcos/?)2+(sina—fcsiny?)2,

整理得：cos(a-.)=0,

■■0<a<p<ir,

—7TVa—SV0,

因此：a_0=即：1=

解析：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和與差的三角函數(shù)公式，向量的模，向量的夾角，

向量的數(shù)量積，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)的能力，屬于中檔題.

⑴由題意，回=同=1,位+石)@一方)=￡一片=0,可得五+1)10一石)，即可得解；

(2)由ka+京與『-k方的模相等，利用模的坐標(biāo)計(jì)算公式計(jì)算化簡(jiǎn)得cos(a-夕)=0,再由0<a<

<71,可得結(jié)論.

8.答案：解：(1)??"(。)=記?元

=2sin0cos0—(2+m)Qsin9+cos。)，

令t=sind+cosO=V2sin(0+》，te［-V2,V2］,

???2sindcos6=t2—1,

2

當(dāng)m=1時(shí)，g(m)=(t-3t-l)min,

y=t2-3t-1對(duì)稱軸為％=|>V2,在［一或，/］上單調(diào)遞減,

t=或時(shí)，?2-3t-1)疝?=1-3或，

g(?n)=1—3V2.

(2)令F(t)=t2-(m+2)t—l,tG［-V2.V2］，

對(duì)稱軸為￡=與+1,

①當(dāng)1+1W一或，即mW—2或—2時(shí)，

F(t)在［-夜,a］上單調(diào)遞增，

???F(t)min=尸(一&)=(m+2)V2+1;

②當(dāng)一/<￡+l<或，即一2或-2<m<2近一2時(shí)，

F(t)在［―1］上單調(diào)遞減，在［—三+L@上單調(diào)遞增，

mm2+4m+8

-F(t)min=F(5+1)=-------------------；

③當(dāng)三+12方，即m22尤一2時(shí)，

F(t)在［-e,企］上單調(diào)遞減，

????⑷加”=?(或)=1-(加+2)V2.

((rn+2)V2+1,?n<—2>/2-2

...g(m)='空詈”,_2a-2cm<2a-2.

ll-(m+2)V2,m>272-2

(3)/i(%i+x2)=九Qi)+62)，

可令Xi=x2=0,可得h(0)=0,

由.—x,x2——x,可得/i(x)+/i(—x)-0.

可得函數(shù)/i(x)為R上的奇函數(shù)，

???使不等式九(/(。))-+M3+2m)>。對(duì)所有。e［0,3恒成立，

sine/+cost//

???只需使不等式

4

h(2sin9cos0-(2+m)(sin0+cosO)—cos0^

+九(3+2m)>0對(duì)所有。G[0,自恒成立，

4

???h(2sin0cosd-(2++cos0)—Cos3^

>-h(3+2m)=h(—3—2m),

???函數(shù)九(%)為定義在R上的增函數(shù)，

4

???2sin0cos0-(2+m)(sm0+cos?)———---------

Sina+COSa

>—3—2771,

2

令t=sin9+cosd9??2sin0cos0=t—1,

?He嗚，

t=V2sin(0+6[1,V2],

???原問題等價(jià)于t?—1—(m+2)t—^+3+2m>0對(duì)te[1,夜]恒成立，

???(2-t)m>2t-t24-i-2對(duì)te[1,恒成立,

,**2—￡>0,

???m>---------------=七+：'

2-t

設(shè)。（t）=t+：,任取ti」2E［1,回，且￡1<今，

22

???8(G)-9(￡2)=+__f2__

rir2

2(t2T1)=七2-2)

=G一切+

￡"2

1<t!<t2<V2,

???Q1-t2)<0,t1-t2>0,tx-t2-2<0,

<p(ti)-8(切>°，即租G)><p(t2)>

<p（c）=￡+：在［1,四］上為減函數(shù)，

（或由對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)直接可得減函數(shù)）

0（t）max—8（1）=3,

m>3時(shí)，不等式八（/（。））一Kme：c°se）+以3+2m）>。對(duì)所有。G恒成立.

解析：本題綜合考查了三角函數(shù)綜合，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，二次函數(shù)最值，向量數(shù)量積的

坐標(biāo)表示，考查恒成立問題，屬于難題.

(1)把m=l,代入相應(yīng)的向量坐標(biāo)表示式，然后，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式即

可；

(2)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題，對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間[-式,企]的位置關(guān)系進(jìn)行討論；

(3)利用函數(shù)八(x)為R上的奇函數(shù)，得到/i[2s)8cos。-(2+m)(sin0+cos。)-~-]>h(-3-

sintz+cosc/

2m),然后，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化成2sin8cos0-(2+m)(sin6+cosd)~~->-3-2m,

sintz+costz

2

最后，利用換元法令t=sine+cose,轉(zhuǎn)化成7n>t(2-二(2-t)=t+|,求解函數(shù)"(t)=t+：在[1,a]

的最大值為3,從而解決問題.

9.答案:解：(1)因?yàn)椋?(cos%,sin%),b=(3,-V3),a//b，

所以一gcosx=3sinx.

若cos%=0,

則sin%=0,與siM%+cos2%=1矛盾，

故cosxW0.

于是tanx=——

3

又％c[0,7r],所以X=

o

(2)/(%)=a-b=(cosx,sinx)?(3,—V3)

=3cosx—V3sinx

=2V3cos(x+-).

6

因?yàn)椋?[0,n],

所以x+旌冷冬,

從而一1<COS（X4-^）<y.

于是，當(dāng)*+?=*，即x=0時(shí)，/(久)取到最大值3；

當(dāng)X+(=兀,即x=?時(shí),/。)取到最小值-2Vl.

解析：本題考查向量共線、數(shù)量積的概念及運(yùn)算、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、

輔助角公式、三角函數(shù)的值域.

(1)利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算法則，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解；

(2)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、輔助角公式化簡(jiǎn)“X),再結(jié)合x的范圍求解.

10.答案：解：(1)由題五1b,所以五?b=sinB+cos。=0,

從而tern。==一1,解得。-￡；

(2)因?yàn)樗?b=(sin0+1,1+cos0)>

所以伍+石)2=+I)2+(1+cosG)2=3+2&sin(0+》

因?yàn)樗砸辉?lt;。+9<?，

22444

從而。=￡時(shí)，0+方)2=3+2或=(1+或)2為最大值，

所以I方+司的最大值是1+e.

解析：本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式的應(yīng)用問題，向量的垂直，也考查了三角函數(shù)的性

質(zhì)，是中檔題.

(1)利用向量垂直數(shù)量積為0求解即可.

(2)求得五+B=(sbiO+Ll+cos。)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

11.答案：解：(I)依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

所求方程為：y—y=1(X>0)

(H)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x=%0,

此時(shí)2(如J亞一2),

B(x0,—>JXQ-2)(OA?OB=2,

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,

代入雙曲線方程式一乃=1中，得：

22

(1—k2)%2—2kbx—Z?2-2=0

依題意可知方程1。有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)4(%i，yi)，F(xiàn)(x2,y2),

4=4k2b2-4(1-/c2)?(-b2-2)>0

與+必=玄>0,

?+2「

{X1X2=目>°

解得|k|>1又瓦？?OF=Xi%2+y，2

=xtx2+(/c%i+b)(kx2+b)

22

=(1+fc)%iX2+kb(X]+x2)+b

綜上可知而?南的最小值為2.

解析：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用.

(I)依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，由此能求出其方程.

(11)當(dāng)直線48的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線A8的方程為x=尤0,此時(shí)4(沏，扃=I)，8(沏,一宿二^)，

OA-OB=2,當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為)/=依+6,代入雙曲線方程9一?=1

中，得(1一k2)x2-2kbx-b2-2=0.依題意可知方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，由此入手能求出雨.

布的最小值.

12.答案：解：(1)根據(jù)題意，可得

/(%)=sinx—V3cosx+2=2(sinxcos^—cosxsin+2=2sin(x—三)+2.

?.■xG[y,y],.-.x-^e[p7T],Asin(x-^)e[0,1].

當(dāng)時(shí)，f(x)的最小值是2；當(dāng)“費(fèi)時(shí)，/(x)的最大值是4.

(2)???/(x)=2s譏(x+2的周期7=2”，0=27r.

由此可得萬-b=2+cosa?tan(a+§)=2+cosatan(a+兀)=2+sina—|>解之得sina=

2Ms20-加成(Q+0)=2CO￡Q一加n2g+2TT)=2852a-的3=26皿8—耐=2o

c(wa-sinacosa-sinacos(i-sinnccsa—sina

?,0<a<-,?cosa=\/l-sin2a=—

2cos%—?in2(a+/?),、4\/2

/.------------：------=2coesn=——

cosa—sina3

解析：本題將一個(gè)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，并且在已知向量數(shù)量積的情況下，

求三角函數(shù)分式的值.著重考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系與誘導(dǎo)公式等知識(shí)，屬于中檔題.

⑴根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，可得/(X)=2sin(x-=)+2.再由X￡摩拳，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

加以計(jì)算，可得f(x)的最小值與最大值;

(2)根據(jù)三角函數(shù)周期公式得0=2兀，利用向量的數(shù)量積公式與正弦的誘導(dǎo)公式算出五7=2+

sina=解得sina=g從而得出cosa=2.再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，可得原式

333

。40

=2coMc----?

13.答案：解：(1)由圖可知彳？=而+睨=同+：而=丘+笆.

因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),

所以荏=白冠+苑)=泊+笆+石)=7+1石.

(2)因?yàn)锽C〃AD,ZkABC為等邊三角形，BC=1,

所以NBAD=120。，AB=1,

所以五?b=|a||b|cos4BAD=1X3x(—=—|,

所以說?麗=G五+|3)-五=3五2+|五.3=1*1+：*(_|)=_%

I荏I=J(1a+|K)2=^a2+la-b+^b2=J；x1+1x(-j)+ix9=手.

設(shè)荏與用的夾角為。，

則cos”搭篇=金=-魯，

2

所以在荏與荏夾角的余弦值為一等

解析：本題考查了向量的三角形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量的夾角公式，考查了推理能力和計(jì)

算能力，屬于中檔題.

(1)利用向量加法運(yùn)算，直接計(jì)算前=南+反:而，荏=)而+而)即可.

(2)利用向量的數(shù)量積性質(zhì)和模的計(jì)算公式可得荏?四=—5\AE\=JG方+|尤)2="，再利用

向量夾角公式，即可計(jì)算荏與荏夾角的余弦值.

14.答案：解：(1)；屁=|直+3同=1萬+3而，

_,1____________

■.DE-CA=(^CA+3函CA

=式。4+CB-CA)=40,

：.CB-CA=20)解得：COSN4cB=就最?

0<4ACB<n,sin^ACB=Vl-cos2/.ACB=—;

4

(2)???BP=-BA+-ED=-CA--CB,

kJ3226

CP=-CA+-DE=-CB+-CA,

3262

__?>1,5?11_>

**?CP,BP=,CA——■CB^(—CB+—Ci4)

2662

1—>25—>21―>―>

=-CA-—CB--CA-CB

4363

CL802085

=25-------------=—.

939

解析：本題考查了向量的線性運(yùn)算，考查三角函數(shù)問題，屬于中檔題.

(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出cos乙4c8的值，從而求出sin乙4cB的值即可；

(2)求出前，而，求出而?前的值即可.

15.答案：解：

(1)???。為8。中點(diǎn)，；.而+方=2衣，

又尸為4c中點(diǎn)，???1？=2前；

2PQ=2CQ-2CP=(iCBCD)-CA=CB+CDAC=AB+CD^

又向量而與幾共線，

設(shè)向量而=羌而，

則2PQ=(1+2)48,

.??花=手/①,

又梯形4BCD中?6|4|日)|,4H-1,

PQ//AB'即PQ//AB；

(2)r向量幾與而反向，且|4B|=3\CD\-

所以n=13c3，即，=一《代入①式，

得前=ti易=工幾，

"23

???PQ：AB=：.

解析：本題考查平面向量在幾何方面的應(yīng)用，考查平面向量的線性運(yùn)算以及共線定理，屬于中檔題.

(1)用向量表示CQ,CP，得出向量PQ與4B、CD的關(guān)系，再根據(jù)向量CD與共線，得出向量4B與PQ

共線即可；

(2)根據(jù)向量4B與CD反向，且=3|CD|得出向量PQ與4B的數(shù)量關(guān)系，即得尸。：A3的值.

16.答案：(1)由題可知：m-n=O

則ccosB+(2cos2g_1)(b-2a)=0

即ccosB+cosC(b—2d)=0

則sinCcosB+cosC(sinB-2sinA)=0

化簡(jiǎn)可得:sin(B+C)=2sinylcosC

所以sinA=2sin4cosC,又sin/H0

所以cost?=又CG(0,7T)

所以C=g；

(2)而=而，可知點(diǎn)。是48的中點(diǎn)

所以而+［下，

—>21―,21—>21—>—>

CD=-CA4--CB+-CA-CB

442

因?yàn)閨而|=近,C=7

則7=-b2+-a2-V-abcosC

442

即/?2+a?+血=28①

由c?=a?+/)2-2abeosC,又c=2百

所以化簡(jiǎn)可得

匕2+a?—ab=12②

①-②可得：ab=8

所以S/L48c=gabsinC=2V3

解析：本題重在考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，，還考查了向量在三角形中的應(yīng)用，屬中檔題.

(1)根據(jù)向量垂直用坐標(biāo)表示，結(jié)合正弦定理，把邊化角，可得結(jié)果.

(2)將而用表示，并算得而之，然后利用余弦定理，結(jié)合(1)的結(jié)論以及三角形面積公式，

可得結(jié)果.

17.答案:解：(1)當(dāng)m=l,6杉時(shí),a=(2,1)，b=(1,0)

a—b=(1,1)，???\a-b\=V2

TTL

t-a-b22V5

cos<a,b>=-------=——=——

\a\-\b\遮5

(2)/(0)=a-K+sin04-cos0

=27n(sin。+cos。)+2msin0cos0+sin。4-cos0

令sin。+cos0=t,則2sin8-cos0=t2—1,te[—VXV2]

設(shè)九(t)=2mt+mt2—m+t=mt2+(2m+l)t—m,tG[—yj2,V2]

①當(dāng)?n=0時(shí),/l(t)=t，/l(t)min=h(—夜)=一夜

②當(dāng)m<0時(shí)，函數(shù)九(t)的對(duì)稱軸為t=一(1+親)(或￡=一駕3

當(dāng)一(1+用>0(或一樣詈>0),即0>m>一決寸，

%(t)min=h(-V2)=(1-2V2)m-V2

當(dāng)一(1+￡)《。(或一嘿《。)，即加《一泄，

h(t)min=h(V2)=(2&+l)m+A/2

(1—2y/2)m—V2,——<m<0

]

{(1+2+V2,TH4-2

解析：本題考查了向量的模、向量的夾角、向量的數(shù)量積，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力

(1)由向量的模、向量的夾角公式可得12-3|及五與方夾角的余弦值；

(2)由/(。)=a-K+sin0+cos6=2m(sin0+cos。)+2msin0cos8+sin?+cos。，令sin。+

cos。=t,結(jié)合換元法及二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可得到g(m)的表達(dá)式

18.答案：解.而=而一市=(1,—3)，JC=0C-M=(4-m,-4-m)-BC=0C-OB=(_3-

m,-1—m),

(1”.?點(diǎn)A,B,C共線，.-.AB//AC，

???—3(4—m)=1-(—4—m),

解得m=2；

(2)①若乙4為直角則而1AC，

4—m+3(44-m)=0,

解得m=-8；

②若NB為直角則荏1BC,

???3—6+3(1+m)=0,

解得TH=-3；

③若〃為直角則前1前,

???(4—m)(3—m)+(4+m)(l4-m)=0,

方程無解.

綜上，當(dāng)m=-8或m=-3時(shí)，AABC為直角三角形.

解析：本題考查平面向量共線的充要條件，向量垂直的判斷與證明，向量的數(shù)量積，平