第10講 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系4種常見方法歸類解析版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系4種常見方法歸類1.理解與掌握直線的方向向量，平面的法向量.2.會用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系；會用平面法向量證明線面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問題.知識點1空間中點、直線和平面的向量表示1．空間直線的向量表示式設(shè)A是直線上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線l上任意一點，(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.(3)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).注意點：(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．(2)直線上任意兩個不同的點都可構(gòu)成直線的方向向量．與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個．(3)空間任意直線都可以由直線上一點及直線的方向向量唯一確定．2．空間平面的向量表示式①如圖，設(shè)兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.②如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．③由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．注意點：(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量．(2)一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行．易錯辨析：（1）空間中給定一個點A和一個方向向量能唯一確定一條直線嗎？答案：能（2）一個定點和兩個定方向向量能否確定一個平面？答案：不一定，若兩個定方向向量共線時不能確定，若兩個定方向向量不共線能確定．（3）由空間點A和直線l的方向向量能表示直線上的任意一點？答案：能知識點2空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．線線平行l(wèi)1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2注：此處不考慮線線重合的情況．但用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合證明線線平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過向量的線性運算，利用向量共線的充要條件證明．②建立空間直角坐標系，通過坐標運算，利用向量平行的坐標表示．線面平行l(wèi)1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0注：證明線面平行時，必須說明直線不在平面內(nèi)；(1)證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂直．(2)特別強調(diào)直線在平面外．面面平行α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2注:證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明．線線垂直l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直．(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.線面垂直l1⊥α?u1∥n1??λ∈R，使得u1＝λn1（1）基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（2）坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（3）法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直1、理解直線方向向量的概念(1)直線上任意兩個不同的點都可構(gòu)成直線的方向向量．(2)直線的方向向量不唯一．2、利用待定系數(shù)法求法向量的步驟3、求平面法向量的三個注意點（1）選向量：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量（2）取特值：在求n的坐標時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標為某特定值時一定要注意這個坐標不為04、用空間向量證明平行的方法(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線．(2)線面平行：①證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．③先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．在證明線面平行時，需注意說明直線不在平面內(nèi)．(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．5、用空間向量證明垂直的方法(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證明它們的數(shù)量積為零．(2)線面垂直：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．②坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．③法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．(3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆键c一：求直線的方向向量例1．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，求直線PC的一個方向向量．【答案】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)方向向量的定義可得．【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，則，，所以即為直線PC的一個方向向量.變式1．（2023春·高二課時練習(xí)）已知直線的一個方向向量為，另一個方向向量為，則________，________.【答案】－2012【分析】由直線的方向向量平行的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵直線的方向向量平行，∴，∴，故答案為：；.變式2．（2022秋·廣西欽州·高二校考階段練習(xí)）已知直線的一個法向量是，則的傾斜角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線的傾斜角為，，直線的方向向量為，根據(jù)直線方向向量與法向量的關(guān)系得到得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，直線的方向向量為.則，即，則，又，解得，故選：A.變式3．【多選】（2022秋·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E為棱上不與，C重合的任意一點，則能作為直線的方向向量的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】結(jié)合立體圖形，得到平行關(guān)系，從而確定答案.【詳解】因為，所以，，都可作為直線的方向向量.故選：ABD.變式4．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）已知直線l的一個方向向量，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點，則y－z等于（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】由題知：，因為，所以，解得，所以.故選：A考點二：求平面的法向量例2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知，，，則平面ABC的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入法向量的計算公式，即可求解.【詳解】，，令法向量為，則，，可取.故選：A.變式1．（2023春·高二課時練習(xí)）已知，則平面的一個單位法向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】待定系數(shù)法設(shè)平面的一個法向量為，由法向量的性質(zhì)建立方程組解出分析即可.【詳解】設(shè)平面的一個法向量為，又，由，即，又因為單位向量的模為1，所以B選項正確，故選：B.變式2．（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標系，則平面的一個法向量為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，可得、、的坐標，由此可得向量、的坐標，由此可得關(guān)于、、的方程組，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，可得，則.故選：B．變式3．（2023秋·高二課時練習(xí)）在如圖所示的坐標系中，為正方體，給出下列結(jié)論：①直線的一個方向向量為；②直線的一個方向向量為；③平面的一個法向量為；④平面的一個法向量為.其中正確的個數(shù)為（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)空間直線的方向向量的概念以及平面的法向量的定義判斷可得答案.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則，，，則與平行，故直線的一個方向向量為，故①正確；因為，，所以，因為與平行，所以直線的一個方向向量為，故②正確；因為，，所以，因為是平面的一個法向量，且與平行，所以平面的一個法向量為，故③正確；因為，，所以，因為，所以與不垂直，所以不是平面的一個法向量，故④不正確.故選：C變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）放置于空間直角坐標系中的棱長為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：平面BHD的一個法向量___________；【答案】（答案不唯一）【分析】利用向量法得出平面BHD的一個法向量.【詳解】由題意可知，則,.設(shè)為平面BHD的一個法向量，則，不妨設(shè)，則.故平面BHD的一個法向量為.故答案為：（答案不唯一）變式5．（2023春·高二課時練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量.【答案】(1)

(答案不唯一)(2)(答案不唯一)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理求解法向量；（2）利用空間向量的坐標運算求平面的法向量.【詳解】（1）由題意，可得,連接AC，因為底面為正方形，所以,又因為平面，平面，所以，且，則AC⊥平面，∴為平面的一個法向量.(答案不唯一).（2）設(shè)平面的一個法向量為，則令，得∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).變式6．【多選】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三個向量，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一個法向量是【答案】BCD【分析】A：由向量共線定理，應(yīng)用坐標運算判斷是否存在使；B：與同向的單位向量是即可判斷；C：由投影向量的定義可解；D：應(yīng)用平面法向量的求法求平面ABC的一個法向量，即可判斷.【詳解】A：若與共線，存在使，則無解，故不共線，錯誤；B：與同向的單位向量是，正確；C：由，則在方向上的投影向量是，正確；D：若是面ABC的一個法向量，則，令，則，正確.故選：BCD變式7．（2023春·四川成都·高二成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？计谥校┮阎謩e是平面，的法向量，則平面，交線的方向向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面的交線都與兩個平面的法向量垂直求解.【詳解】因為四個選項中，只有，，所以平面，交線的方向向量可以是故選：B變式8．（2023秋·福建南平·高二統(tǒng)考期末）已知四面體ABCD的頂點坐標分別為，，，．(1)若M是BD的中點，求直線CM與平面ACD所成的角的正弦值；(2)若P，A，C，D四點共面，且BP⊥平面ACD，求點P的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意分別求出向量和平面ACD的一個法向量，再用直線與平面所成的角的正弦值公式代入計算即可；（2）由題意，，于是點P的坐標為，由P，A，C，D四點共面，可設(shè)，將坐標分別代入即可解得，從而求得點P的坐標.【詳解】（1）由題意，，，，，可設(shè)平面ACD的法向量，則，即，化簡得．令，則，，可得平面ACD的一個法向量，設(shè)直線CM與平面ACD所成的角為，則，即直線CM與平面ACD所成的角的正弦值為；（2）由題意，，于是點P的坐標為，又P，A，C，D四點共面，可設(shè)，即，即，解得，所以所求點P的坐標為．變式9．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點在平面內(nèi)，是平面的一個法向量，則下列點中，在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)每個選項中P點的坐標，求出的坐標，計算，根據(jù)結(jié)果是否等于0，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，即可判斷點是否在平面內(nèi).【詳解】對于選項A，，所以，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故在平面內(nèi)；對于選項B，，則，在平面內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故不在平面內(nèi)；對于選項C，，則，在平面內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故不在平面內(nèi)；對于選項D，，則，在平面內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故不在平面內(nèi)；故選：A變式10．（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點在平面內(nèi)，平面，其中是平面的一個法向量，則下列各點在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由法向量的定義結(jié)合數(shù)量積運算確定，再判斷選項.【詳解】設(shè)是平面內(nèi)的一點，則，所以，即，選項滿足．故選：B考點三：用空間向量證明平行問題判斷直線、平面的位置關(guān)系例3．（2023秋·湖北黃石·高二?？茧A段練習(xí)）若直線l的一個方向向量為，平面α的一個法向量為，則（）A．l∥α或l?α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交【答案】A【分析】直線的一個方向向量，平面α的一個法向量為，計算數(shù)量積，即可判斷出結(jié)論．【詳解】直線的一個方向向量為，平面α的一個法向量為，，，或，故選：A變式1．（2023春·高二單元測試）若平面與的法向量分別是，，則平面與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．無法判斷【答案】A【分析】利用平面法向量的位置關(guān)系，即可判斷兩平面的位置關(guān)系.【詳解】因為，是平面與的法向量，則，所以兩法向量平行，則平面與平行.故選：A變式2．（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知平面與平面是不重合的兩個平面，若平面α的法向量為，且，，則平面與平面的位置關(guān)系是________.【答案】平行【分析】分別計算，，可得，，從而可知，，平面，所以可得平面與平面平行.【詳解】平面α的法向量為，且，，，，所以，，平面，平面的一個法向量為，又因為平面與平面是不重合的兩個平面所以平面與平面平行.故答案為：平行.變式3．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）在長方體中，，以點為坐標原點，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設(shè)對角面所在法向量為，則__________．【答案】【分析】利用法向量的求法進行求解即可【詳解】由題意得，，，，，因為平面的法向量為，則，即，取，則，故故答案為：變式4．【多選】（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？计谥校┫铝欣梅较蛳蛄俊⒎ㄏ蛄颗袛嗑€、面位置關(guān)系的結(jié)論中正確的是（

）A．若兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．若直線的方向向量，平面的法向量是，則C．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則D．若平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則【答案】ACD【分析】利用空間向量共線定理判斷A即可；由的關(guān)系式即可判斷B；由的關(guān)系即可判斷選項C,利用平面內(nèi)法向量的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】因為兩條不重合直線，的方向向量分別是，，所以，所以共線，又直線，不重合，所以，故A正確；因為直線的方向向量，平面的法向量是且，所以，故B不正確；兩個不同平面，的法向量分別為，，則有，所以，故C正確；平面經(jīng)過三點，，，所以又向量是平面的法向量，所以則，故D正確，故選：ACD.（二）已知直線、平面的平行關(guān)系求參數(shù)例4．（2022秋·廣東廣州·高二廣州市第九十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線的方向向量是，平面的法向量，若直線平面，則______．【答案】2【分析】線面平行時，直線的方向向量垂直于平面的法向量，即它們的數(shù)量積為零，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示列出方程求解即可.【詳解】解：若直線平面，則，，解得，故答案為：2.變式1．（2023秋·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谀┮阎本€的一個方向向量為，平面的一個法向量，若，則實數(shù)_______．【答案】10【分析】根據(jù)直線與平面平行，得到直線的方向向量與平面的法向量垂直，進而利用空間向量數(shù)量積為0列出方程，求出的值.【詳解】因為，所以直線的方向向量與平面的法向量垂直，即，解得：.故答案為：10變式2．（2022秋·天津薊州·高二?？计谥校┲本€的方向向量是，平面的法向量，若直線，則___________.【答案】1【分析】結(jié)合已知條件可得，然后利用垂直向量的數(shù)量積為0即可求解.【詳解】由題意可知，，因為，，從而，解得.故答案為：1.變式3．（2023春·上?！じ叨Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則的值為______【答案】6【分析】因為法向量定義，把轉(zhuǎn)化為，可得k的值.【詳解】因為平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，又因為，所以，可得，即得.故答案為：6.（三）證明直線、平面的平行問題例5．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分別為CC1，BC，AB，的中點．求證：PN∥面ACC1A1；【解析】以點A為坐標原點，AB?AC?所在直線分別為x?y?z軸建立空間直角坐標系，則，，，，．取向量為平面的一個法向量，，∴，∴．又∵平面，∴平面．變式1．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃┤鐖D，四棱錐中，側(cè)面PAD為等邊三角形，線段AD的中點為O且底面ABCD，，，E是PD的中點．

證明：平面PAB；【解析】連接OC，因為，所以四邊形OABC為平行四邊形，所以，所以，以O(shè)C，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，．，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，則，令，，平面PAB的一個法向量，，則，又平面PAB，所以平面PAB．變式2．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點，，，.證明：平面；【解析】證明：在三棱柱中，平面，，，.所以，則，則，則如下圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則,所以，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，則，即，所以，得，又平面，所以平面；變式3．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．求證：平面；【解析】因為底面，，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，又，可得，因為平面，所以平面，變式4．（2023·天津南開·南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.

求證：平面；【解析】證明：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，，，，易知平面的一個法向量為，故，則，又平面，故平面．變式5．（2023·四川成都·校考一模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點.

求證：平面；【解析】（1）由題意，在矩形中，，，,，分別是，的中點，∴，，在四棱錐中，面平面，面面，，∴面，面，∴，取中點，連接，由幾何知識得，∵，∴，∵面，面，∴面，∴以、、為、、軸建立空間直角坐標系如下圖所示，

∴，∴，面的一個法向量為，∵，∴平面.變式6．（2021·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體中，點E，F(xiàn)，G分別在棱，，上，；點P，Q，R分別在棱，CD，CB上，．求證：平面平面PQR．【答案】證明見解析【分析】構(gòu)建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，令寫出、、、，進而求面、面的法向量、，根據(jù)所得法向量的關(guān)系即可證結(jié)論.【詳解】構(gòu)建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，如下圖示，設(shè)，又，，∴，，，，，，∴，，，，設(shè)是面的一個法向量，則，令，，設(shè)是面的一個法向量，則，令，，∴面、面的法向量共線，故平面平面PQR，得證.變式7．（2023·上海普陀·曹楊二中校考模擬預(yù)測）如圖所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長1，側(cè)棱長4，AA1中點為E，CC1中點為F．求證：平面BDE∥平面B1D1F；【解析】（1）以A為原點，AB，AD，AA1所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖則B（1，0，0），D（0，1，0），E（0，0，2），B1（1，0，4），D1（0，1，4），F(xiàn)（1，1，2），∵，∴DE∥FB1，平面，平面，平面，同理平面，∵平面，平面，平面，∴平面平面．考點四：利用空間向量證明垂直問題（一）判斷直線、平面的位置關(guān)系例6．（2021秋·北京·高二?？计谥校┲本€的方向向量分別為，則（

）A． B．∥ C．與相交不平行 D．與重合【答案】A【分析】由題意可得，即得，從而得，即得答案.【詳解】解：因為直線的方向向量分別為，，所以，即.故選：A.變式1．（2022秋·北京·高二?？茧A段練習(xí)）若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則直線l和平面位置關(guān)系是（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)題意判斷直線l的方向向量和平面的法向量的關(guān)系，即可判斷直線l和平面位置關(guān)系.【詳解】由題意直線l的方向向量為，平面的法向量為,可知，故,故選：A變式2．【多選】（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學(xué)校考期末）已知為直線l的方向向量,分別為平面,的法向量（,不重合）,那么下列說法中正確的有（

）．A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)法線面垂直平行的性質(zhì)及法向量、方向向量的概念即可選出選項.【詳解】解:若,因為,不重合,所以,若,則共線,即,故選項A正確;若,則平面與平面所成角為直角,故,若,則有,故選項B正確;若,則,故選項C錯誤;若,則或,故選項D錯誤.故選:AB變式3．（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【分析】根據(jù)條件，利用方向向量?法向量的定義與性質(zhì)，結(jié)合空間向量的平行和垂直，對各選項逐項判斷即可．【詳解】解：對于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對于，兩個不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故正確；對于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故錯誤；對于，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故錯誤．故選：．變式4．【多選】（2022·高二課時練習(xí)）下列命題是真命題的有(

)A．A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過三點，是平面α的法向量，則u+t＝1【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空間位置關(guān)系的向量證明依次判斷4個選項即可．【詳解】解：對于A，A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則共面，可得A，B，M，N共面，故A正確；對于B，，故，可得l與m垂直，故B正確；對于C，，故，可得在α內(nèi)或l∥α，故C錯誤；對于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正確．故選：ABD．（二）已知直線、平面的垂直關(guān)系求參數(shù)例7．（2023春·北京海淀·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知平面的法向量為，直線的方向向量為，則下列選項中使得的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)法向量與方向向量的定義，即可求得本題答案.【詳解】若，則直線的方向向量垂直于平面，所以與平面的法向量平行，顯然只有選項C中滿足.故選：C變式1．（江蘇省揚州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題）已知直線的方向向量為，平面的法向量為.若，則的值為（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，進而得到方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由直線的方向向量為，平面的法向量為，因為，可得，所以，即，解得，所以.故選：A.變式2．（2023春·高二課時練習(xí)）已知是直線l的方向向量，是平面的法向量．若，則______．【答案】27【分析】根據(jù)線面垂直的概念，結(jié)合法向量的性質(zhì)可得，進而求得，即得.【詳解】∵，∴，∴，故，解得，∴．故答案為：.變式3．（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ袑嶒炛袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線l方向向量為，平面的法向量為，且，則m為（

）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】由可知l的方向向量為與平面的法向量平行，再利用向量共線定理即可得出．【詳解】，的方向向量為與平面的法向量平行，．，解得．故選：C．變式4．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點P在線段DO上，且，若平面PBC，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正棱錐的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建空間直角坐標系，根據(jù)已知條件確定相關(guān)點坐標并求出面PBC的法向量，結(jié)合線面平行及向量共線定理求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，△為邊長為的等邊三角形，且，等邊△的高為，在正棱錐中，以為原點，平行為x軸，垂直為y軸，為z軸，如上圖示，則，且，所以，，，若為面PBC的法向量，則，令，則，又平面PBC，則且k為實數(shù)，，故.故選：D（三）證明直線、平面的垂直問題例8．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）建系，利用空間向量證明線性垂直；（2）利用空間向量證明線面垂直.【詳解】（1）由題意知AD⊥BC，如圖，以O(shè)為坐標原點，以過O點且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz.則，可得，∵∴，即AP⊥BC.（2）由（1）可得，∵M是AP上一點，且AM＝3，∴，可得，設(shè)平面BMC的法向量為，則，令b＝1，則，即，顯然，故∥，∴AM⊥平面BMC.變式1．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，證明：．

【答案】證明見詳解【分析】建立空間直角坐標系，寫出的坐標，利用空間向量垂直的坐標表示證明即可.【詳解】證明：以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

因為正方體棱長為1，分別是的中點，所以，所以，所以，由，所以，即.變式2．（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在多面體中，，，都是邊長為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．

(1)判斷，，，四點是否共面，并說明理由；(2)在中，試在邊的中線上確定一點，使得平面．【答案】(1)，，，四點共面，理由見解析(2)為中點【分析】（1）取的中點，取的中點，連接，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，設(shè)，由，求得，得到向量，得出，即可得到，，，四點共面；（2）設(shè)，得到，根據(jù)平面，列出方程，求得，即可求解.【詳解】（1）答案：四點共面.證明：取的中點，連接，，取的中點，連接，則在等邊三角形中，，又因為平面平面，所以平面，同理，得平面，平面，所以，，兩兩垂直，且，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，設(shè)，由，即，解得，，，所以，所以，又由，，所以，所以，，共面，因為為公共點，所以，，，四點共面.（2）解：設(shè)，故，若平面，則，即，解得，所以為中點時，平面．

變式3．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，又側(cè)棱，面對角線，點分別是棱的中點，.

證明：平面；【解析】（1）依題意得，，，所以，，所以，又，平面，所以平面，從而可知三棱柱為直三棱柱，以為坐標原點，分別為軸，平面內(nèi)，過垂直于的方向為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，所欲，所以，，由，，得，又平面，且，故平面.變式4．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺中，平面平面ABCD，底面ABCD為正方形，，.

求證：平面.【解析】（1）因平面平面ABCD，平面平面ABCD，，平面ABCD，則平面.又平面，則；又在等腰梯形，如下圖，作，由題可知，，又，則，結(jié)合，得.因，則.又平面，平面，，則平面；變式5．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求證：平面DEA⊥平面ECA.【答案】證明見解析【分析】建系，分別求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空間向量證明面面垂直.【詳解】證明：建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，則，所以，設(shè)平面ECA的一個法向量是，則，取，則，即，設(shè)平面DEA的一個法向量是，則，取，則，即，因為，所以，所以平面DEA⊥平面ECA.變式6．（2022秋·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是梯形，點E在上，．求證：平面平面；【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以，所以，所以，所以，即，因為,，所以平面，因為平面，所以平面平面；變式7．（2022秋·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校?？计谀┮阎涸谒睦忮F中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點為中點，．求證：平面平面；【解析】證明：平面，為正方形，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系．由已知可得，，，，為的中點，，所以，，，所以，所以，又點為中點，，所以，，平面，平面，

又因為平面,故平面平面．1．如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

證明：；【解析】以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.2．如圖，在長方體中，E、P分別是的中點，分別是的中點，．求證：面；【解析】以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，則：∵分別是的中點∴取，顯然面，∴又面∴面3．如圖所示，四棱錐的底面是邊長為1的菱形，是的中點，底面，．證明：平面平面；【解析】證明：如圖以為原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，．所以，平面的一個法向量是，所以和共線，所以平面，又因為平面，故平面平面．4．如圖，直三棱柱中，，，，側(cè)棱，側(cè)面的兩條對角線交點為D，的中點為M．求證：平面；【解析】（1）由已知，直三棱柱中，，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，以，，為軸的正方形，因為，，側(cè)棱，側(cè)面的兩條對角線交點為D，的中點為M，所以,,,,,,,,所以，,,所以，所以，，所以，而，且平面，所以平面.5．如圖，在棱長為1的正方體中，點是棱的中點，點是棱上的動點．(1)試確定點的位置，使得平面；【解析】以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，即，因為平面，平面，所以，即，解得，故當(dāng)點是的中點時，平面；6．如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，D為中點．求證：平面；【解析】（1）證明：取中點，連結(jié).為正三角形，,正三棱柱中，平面平面，平面,取中點，以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則,平面7．如圖1，已知是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折成直二面角，如圖2．證明：；【解析】證明：由題設(shè)知，．是所折成的直二面角的平面角，即．故可以為原點，、、，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖3，則相關(guān)各點的坐標是,0,，,3,，,1,，,0,．,1,，,,，．．8．如圖，在棱長為1的正方體中，與交于點E，與交于點F．求證：平面；【解析】（1）以點為原點，分別以方向為軸，建立空間直角坐標系如圖所示：則，所以，，，有且，所以且，而，平面，所以平面.一、單選題1．（2023春·高二課時練習(xí)）若在直線l上，則直線l的一個方向向量為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得，再根據(jù)方向向量的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因為，由共線向量可知與共線的非零向量都可以作為直線l的方向向量，又，所以是直線l的一個方向向量.故選：B.2．（2023秋·天津河北·高二天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考期末）如圖，在三棱錐中，底面，，，，D為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建系，利用空間向量解決異面直線夾角的問題.【詳解】如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，則,∵，則，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.3．（2023秋·廣西柳州·高二?？计谀┮阎本€，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①直線的截距為

②向量是直線的一個法向量③過點與直線平行的直線方程為④若直線，則A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線的截距可判斷①，由直線的方向向量可判斷②，由直線平行設(shè)所求直線方程為，代入點即可判斷③，由直線垂直可判斷④.【詳解】對于①,令,則;令,則,故①錯誤;對于②,因為直線的方向向量為或,則,所以向量是直線的一個法向量,故②正確;對于③,設(shè)與直線平行的直線方程為,因為直線過點,所以,所以過點與直線平行的直線方程為,故③正確;對于④,直線,直線,則,所以兩直線垂直，故④正確,所以結(jié)論正確的個數(shù)為3，故選:B.4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．不重合的兩個平面，的法向量分別為，，直線，均在平面，外．下列說法中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系得到直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系，進而推導(dǎo)出答案.【詳解】A選項，因為，A正確；B選項，，所以，故錯誤；C選項，，C正確；D選項，，D正確.故選：B5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在空間直角坐標系中，有正方體，給出下列結(jié)論：①直線的一個方向向量為；②直線的一個方向向量為；③平面的一個法向量為；④平面的一個法向量為．其中正確的個數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由直線的方向向量及平面的法向量的定義即可求解.【詳解】解：設(shè)正方體的邊長為1，則，，，，，，對①：因為，所以直線的一個方向向量為正確；對②：因為，所以直線的一個方向向量為不正確；對③：因為平面，又，所以平面的一個法向量為不正確；對④：因為，，，，，所以平面的一個法向量為不正確.故選：A.6．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若，分別為直線，的一個方向向量，則（

）．A． B．與相交，但不垂直C． D．不能確定【答案】C【分析】利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可求解.【詳解】由，，得，所以，即.故選：C.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)向量是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】由，得，所以或【詳解】，，，則有，又是直線l的方向向量，是平面α的法向量，所以或.故選：B8．（2023春·高二課時練習(xí)）已知平面內(nèi)的兩個向量=(2，3，1)，=(5，6，4)，則該平面的一個法向量為（

）A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)【答案】C【分析】利用法向量的定義、求法進行計算.【詳解】顯然與不平行，設(shè)該平面的一個法向量為＝(x，y，z)，則有，即，令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以＝(－2，1，1)，故A，B，D錯誤.故選：C.9．（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)，是不重合的兩個平面，，的法向量分別為，，和是不重合的兩條直線，，的方向向量分別為，，那么的一個充分條件是（）A．，，且， B．，，且C．，，且 D．，，且【答案】C【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置關(guān)系及充分條件的定義即可判斷．【詳解】對于A，，，且，，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，，，且，則與相交或平行，故B錯誤；對于C，，，且，得，則，故C正確；對于D，，，且，則與相交或平行，故D錯誤．故選：C．10．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則（

）A．-2 B．2 C．6 D．10【答案】D【分析】由可得，用向量的坐標運算即可得出答案.【詳解】因為，直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，即，，解得，故選：D.11．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點在平面內(nèi)，是平面的一個法向量，則下列點P中，在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面法向量的性質(zhì)，通過選項逐一排除.【詳解】設(shè)，則；由題意知，，則，∴，化簡得．驗證得，在A中，，不滿足條件；在B中，，滿足條件；在C中，，不滿足條件；在D中，，不滿足條件．故A，C，D錯誤.故選：B．二、填空題12．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知直線l在平面外，直線l的方向向量是，平面的法向量是，則l與的位置關(guān)系是___________（填“平行”或“相交”）【答案】平行【分析】根據(jù)題意可得，進而可得結(jié)果.【詳解】因為，則，且直線l在平面外，所以//.故答案為：平行.13．（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)平面的一個法向量分別為，則的位置關(guān)系為________．【答案】平行【分析】利用向量的共線定理及平面與平面平行的法向量的關(guān)系即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，故答案為：平行14．（2023春·高二課時練習(xí)）若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則________.【答案】【分析】利用兩平面平行法向量的關(guān)系及向量共線定理即可求解.【詳解】因為，所以，所以，即，所以，解得，所以.故答案為：.15．（2023春·高二課時練習(xí)）已知是直線l的一個方向向量，是平面α的一個法向量，若l⊥α，則a，b的值分別為________.【答案】【分析】根據(jù)空間線面垂直結(jié)合空間向量運算求解.【詳解】∵l⊥α，則∥，則，解得.故答案為：.二、多選題16．（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）若是平面的一個法向量，是平面的一個法向量，，是直線上不同的兩點，則以下命題正確的是（

）A．B．C．，使得D．設(shè)與的夾角為，則【答案】BCD【分析】A選項，只有平面時，才能得到；BCD選項，可通過線面關(guān)系及面面關(guān)系及法向量定義進行推導(dǎo).【詳解】對于A，當(dāng)且平面時，才滿足，故A錯誤；對于B，若，則，若，則，即可得到，故B正確；對于C，若，則，則，使得，若，使得則，所以，故C正確；對于D，設(shè)與的夾角為，則，所以，故D正確.故選：BCD.17．（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谥校┮韵旅}正確的是（

）．A．直線l的方向向量，直線m的方向向量，則B．直線l的方向向量，平面的法向量，則或C．兩個不同平面，的法向量分別為，，則D．平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則，【答案】BD【分析】對于A，利用直線的方向向量是否垂直即可求解；對于B，利用直線的方向向量與平面的法向量是否垂直即可求解；對于C，利用平面的法向量是否平行即可求解；對于D，根據(jù)法向量得到方程組，求出和的關(guān)系即可求解.【詳解】對于A，因為直線的方向向量，直線的方向向量，所以，所以與不垂直，故直線與直線不垂直，故A錯誤；對于B，因為直線的方向向量，平面的法向量，所以，所以，故或，故B正確；對于C，因為兩個不同平面的法向量分別為，所以，即，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以,又向量是平面的法向量，則,即，解得，故D正確.故選：BD.18．（2023秋·江西宜春·高二?？计谀┮阎臻g中三點，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標運算可判斷AD，根據(jù)共線向量和單位向量判斷B，根據(jù)向量夾角的坐標運算判斷C.【詳解】因為，，，所以，，，對于選項A：，故，A正確；對于選項B：不是單位向量，且與不共線，B錯誤；選項C：，C正確；選項D：設(shè)，則，，所以，，又，平面，所以向量是平面的一個法向量，D正確；故選：ACD19．（2023秋·江西宜春·高二統(tǒng)考期末）已知空間中三點，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是【答案】AD【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標運算可判斷AD，根據(jù)共線向量和單位向量判斷B，根據(jù)向量夾角的坐標運算判斷C.【詳解】由題意可得，，，選項A：，故，正確；選項B：不是單位向