第23講 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見考法歸類解析版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第23講拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見考法歸類1.了解拋物線的實際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用．2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.知識點1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過點F”，點的軌跡還是拋物線嗎？不一定是，若點F在直線l上，點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線．②定義的實質(zhì)可歸納為“一動三定”一個動點M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個定值(點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．知識點2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注：1、拋物線方程的推導(dǎo)：我們?nèi)〗?jīng)過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.設(shè)|KF|＝p(p>0)，那么焦點F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線l的方程為x＝－eq\f(p,2).設(shè)M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到準(zhǔn)線l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線是點的集合P＝{M||MF|＝d}．則M到F的距離為|MF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直線l的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，將上式兩邊平方并化簡，得y2＝2px(p>0)．2、p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離．標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征：頂點在坐標(biāo)原點、焦點在坐標(biāo)軸上．拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于一次項變量(x或y)的取值范圍．3、四個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分焦點在一次項變量對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項系數(shù)的符號確定．當(dāng)系數(shù)為正時，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．4、（1）通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點最短的弦.（2）拋物線（）上一點到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.1、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出對應(yīng)方程，化簡方程注：當(dāng)拋物線的焦點位置不確定時，應(yīng)分類討論，也可以設(shè)y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡化討論過程．2、用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟3、拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距離與點線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題．(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．4、求拋物線實際應(yīng)用的五個步驟考點一：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2022秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程是；(2)過點；(3)焦點到準(zhǔn)線的距離為.【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）（2）（3）利用拋物線的定義及其性質(zhì)即可得出．【詳解】（1）由準(zhǔn)線方程為知拋物線的焦點在軸負(fù)半軸上，且，則，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）點在第二象限，設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，將點代入，得，解得，所以拋物線方程為；將點代入，得，解得，所以拋物線方程為．綜上所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（3）由焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或或或．變式1．（2023秋·高二課時練習(xí)）若拋物線的頂點是原點，準(zhǔn)線為直線，則此拋物線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出拋物線解析式，通過準(zhǔn)線求出的值，即可求出此拋物線的方程.【詳解】由題意，拋物線的頂點是原點，準(zhǔn)線為直線，∴設(shè)拋物線的方程為，∴，解得：，∴此拋物線的方程為：，故答案為：.

變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，且的開口朝上，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以，再結(jié)合條件，可得的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意的開口朝上,可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為的焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為:.變式3．（2023春·河南洛陽·高二?？茧A段練習(xí)）點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程,分類討論求參數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程，點到準(zhǔn)線的距離為，解得，所以拋物線方程為；當(dāng)時，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程，點到準(zhǔn)線的距離為，解得或（舍去），所以拋物線方程為．所以拋物線的方程為或．故選：C變式4．（2022秋·福建莆田·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C與雙曲線有相同的焦點，且頂點在原點，求拋物線C的方程.【答案】【分析】求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，即拋物線的焦點坐標(biāo)，即可得解.【詳解】因為雙曲線的焦點為.設(shè)拋物線方程為，則，所以，所以拋物線方程為x.變式5．（2021秋·高二課時練習(xí)）拋物線上有一點M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用幾何性質(zhì)求出參數(shù)的值，即可求出拋物線的方程.【詳解】由題意，在拋物線中，準(zhǔn)線方程，∵到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點的距離，∴，解得：，∴拋物線方程為：，故選：A.變式6．（2022秋·高二單元測試）已知拋物線（）上一點M的縱坐標(biāo)為，該點到準(zhǔn)線的距離為6，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得點M坐標(biāo)，代入拋物線方程求解即可.【詳解】因為拋物線的準(zhǔn)線方程是，而點M到準(zhǔn)線的距離為6，所以點M的橫坐標(biāo)是.所以點M的坐標(biāo)為，又因為點M在拋物線上，所以32=2p，解得p=8或p=4，故該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選：D.考點二：根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線例2．【多選】（2022秋·高二課時練習(xí)）對拋物線，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點為B．開口向右，準(zhǔn)線方程為-C．開口向右，焦點為D．開口向上，準(zhǔn)線方程為【答案】AD【分析】把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式，則拋物線的開口向上，且，所以焦點為，直線方程為.故選：AD.變式1．（2023秋·高二課時練習(xí)）拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出拋物線焦點坐標(biāo)為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是，列出關(guān)于的方程組求解即可.【詳解】拋物線即，其焦點坐標(biāo)為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是，則，解得，則，故選：A．變式2．（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線：的焦點，點在上且，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合拋物線的定義可求出的值，進(jìn)而可求的坐標(biāo).【詳解】因為是拋物線：的焦點，所以，又，由拋物線的定義可知，解得，所以.故選：A變式3．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，直線與拋物線C交于A，B兩點，若，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合拋物線的定義，列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線與軸交點為，由拋物線的對稱性，易知為直角三角形，且，，即，去絕對值，解得或，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為或.故選：C.變式4．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）拋物線繞其頂點逆時針旋轉(zhuǎn)之后，得到的圖象正好對應(yīng)拋物線，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】采用逆向思考：即將拋物線將其繞頂點順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到拋物線，進(jìn)而即可求得的值.【詳解】拋物線即的開口向上，將其繞頂點順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到的拋物線，開口向右，其方程為，則，故選：B.變式5．（2023秋·高二課時練習(xí)）拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，其上有一點，其到準(zhǔn)線的距離為6，則．【答案】【分析】由題意設(shè)拋物線的方程為，由條件得，進(jìn)而可得拋物線的方程，把點坐標(biāo)代入，可求得.【詳解】由題意焦點在x軸正半軸上，設(shè)拋物線的方程為，∵準(zhǔn)線方程為，點到準(zhǔn)線的距離為6，∴，∴，∴拋物線的方程為，∵點在拋物線上，∴，∴.故答案為：.變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的的準(zhǔn)線與軸交于點，，是的焦點，是上一點，，則.【答案】【分析】設(shè)，利用向量的關(guān)系式，求得點的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，由題意，，設(shè)，則，，因為，所以，所以，，代入得，解得（負(fù)值舍），所以.故答案為：考點三：拋物線定義的應(yīng)用利用拋物線的定義解決軌跡問題例3．（2019春·安徽蕪湖·高二校聯(lián)考期中）若動點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】依題意，動點到點的距離等于它到直線的距離，所以的軌跡為拋物線，，所以點的軌跡方程為.故選：D變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點到直線的距離比到點的距離大2，記的軌跡為，求的方程；【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為到直線的距離等于到的距離，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】解：由點到直線的距離比到點的距離大2可轉(zhuǎn)化為到直線的距離等于到的距離所以的軌跡是以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線，可得，所以，所以曲線的方程為.變式2．（2023春·廣東韶關(guān)·高二校考階段練習(xí)）動點滿足方程，則點M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據(jù)軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【詳解】由得，等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離，整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.變式3．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分別求得，的坐標(biāo)與切線，再根據(jù)拋物線的定義即可求得動點的軌跡方程．【詳解】因為圓與軸交于，兩點（在的上方），所以，，又因為過作圓的切線，所以切線的方程為，因為動點到的距離等于到的距離，所以動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.利用拋物線的定義求距離或點的坐標(biāo)例4．（2023秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，則點到原點的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由拋物線定義列式求得，即可依次求，即點到原點的距離.【詳解】由題得焦點坐標(biāo)為，則準(zhǔn)線方程為設(shè)，根據(jù)拋物線定義有有，∴，∴點到原點的距離為.故選：D.變式1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習(xí)）已知點到點的距離與到直線相等，且點的縱坐標(biāo)為12，則的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】D【分析】直接根據(jù)拋物線定義得的軌跡為拋物線，再設(shè)其拋物線方程，根據(jù)焦點坐標(biāo)求出其方程，再根據(jù)拋物線性質(zhì)即可求出的長.【詳解】由題意得點的軌跡為焦點為，準(zhǔn)線方程為的拋物線，設(shè)拋物線的方程為，，則，解得，故拋物線方程為，當(dāng)時，，則，故選：D.變式2．（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知M是拋物線上的一點且在x軸上方，F(xiàn)是拋物線的焦點，以為始邊，F(xiàn)M為終邊的角，則等于（

）A．16 B．20 C．4 D．8【答案】A【分析】作出拋出線與焦半徑及輔助線，利用直角三角形角所對的邊等于斜邊的一半及拋物線的定義，得到關(guān)于的方程，從而求得的值.【詳解】如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點，作于，過作于，因為，所以，設(shè)，在中，，顯然，又由拋物線的定義得，所以，解得：，即.故選：A.變式3．（2022秋·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€：，，為上一點，則取最小值時點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)點P的坐標(biāo)，代入求距離，消去y，求距離取最小值時點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點，則，當(dāng)時，，此時點.故答案為：.與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問題例5．（2023春·廣東江門·高二校考階段練習(xí)）已知點P到直線與到點的距離相等，點Q在圓上，則的最小值為.【答案】3【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線定義得到其軌跡方程為，計算得，則得到的最小值.【詳解】設(shè)，因為點P到直線與到點的距離相等，所以P點軌跡是以為焦點的拋物線，即；設(shè)圓的圓心為M，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，故答案為：3.變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知F為拋物線的焦點，P為該拋物線上的動點，點，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)點，由點與點距離公式計算以及的長，代入所求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最大值.【詳解】設(shè)，則，又，所以，則.令，則，，即時，取得最大值，此時.故選：D變式2．（2023春·廣東汕頭·高二校考期中）已知M為拋物線上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點，則的最小值為．【答案】2【分析】根據(jù)拋物線的定義，利用三點共線即可求解.【詳解】設(shè)點在準(zhǔn)線上的射影為，根據(jù)拋物線的定義可知,所以,要使最小，只需要最小即可，由于在拋物線內(nèi)，故當(dāng)三點共線時，此時最小，故最小值為，故答案為：2變式3．（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為F，定點，點P是拋物線上一個動點，則的最小值為.【答案】5【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義可知，的最小值是到準(zhǔn)線的距離，即的最小值為.故答案為：變式4．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）點為拋物線上任意一點，點為圓上任意一點，為直線的定點，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】畫圖，找出拋物線焦點，化簡圓的普通方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線定義以及共線性質(zhì)分析得出最值.【詳解】如圖所示：由知，拋物線焦點，由，化為，即為以為圓心，1為半徑的圓，又，得，恒過定點，過點作垂直于拋物線的準(zhǔn)線：交于點，連接，則，當(dāng)三點共線時，最小,此時為3，所以的最小值為：，故選：A.變式5．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)校考三模）為拋物線上一點，其中，F(xiàn)為拋物線焦點，直線l方程為，，H為垂足，則．【答案】5【分析】利用拋物線定義將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】因為拋物線，所以其焦點，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線定義可知，又因為直線l方程為，所以故答案為：5.

變式6．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知直線和直線，拋物線上一動點到直線直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】由題意可得：拋物線的焦點，準(zhǔn)線，設(shè)動點直線的距離分別為，點到直線的距離分別為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)點在點到直線的垂線上且在與之間時，等號成立，動點到直線直線的距離之和的最小值是3.故選：B.變式7．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為.【答案】3【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)求出，再借助式子幾何意義作答.【詳解】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，于是，

因此，表示拋物線上的點到y(tǒng)軸距離與到定點的距離的和，而點在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.變式8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為拋物線上一個動點，為圓上一個動點，那么點到點的距離與點到軸距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即可求出到軸距離就是到焦點的距離減去，接著利用兩點之間直線最短而得到答案.【詳解】由于為拋物線上一個動點，焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為，為圓上一個動點，，圓心為，半徑，那么點到點的距離與點到軸距離之和最小值可結(jié)合拋物線的定義，到軸距離為到焦點距離減去，則最小值為拋物線的焦點到圓心的距離減去半徑和，故最小值為=.故選：B.變式9．（2023春·四川成都·高二期末）已知為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，點，則周長的最小值為.【答案】7【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過作于，過作于，由拋物線的性質(zhì)可將的周長轉(zhuǎn)化為，由圖可知當(dāng)三點共線時，取得最小值，從而可求得答案.【詳解】當(dāng)時，，所以點在拋物線內(nèi)，由，得焦點為，準(zhǔn)線為，過作于，過作于，則，所以的周長為，由圖可知當(dāng)三點共線時，取得最小值，此時的最小值為，因為，所以的最小值為7，即的周長的最小值為7，故答案為：7

變式10．（2022·高二課時練習(xí)）已知拋物線，點為拋物線上任意一點，過點向圓作切線，切點分別為，則四邊形的面積的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由，當(dāng)最小時求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，，連接，圓為：，則，則，當(dāng)點時，的最小值為，所以，故選：C考點四：拋物線的軌跡問題例6．【多選】（2023秋·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知，，直線AP，BP相交于P，直線AP，BP的斜率分別為，則（

）A．當(dāng)時，點的軌跡為除去A，B兩點的橢圓B．當(dāng)時，點的軌跡為除去A，B兩點的雙曲線C．當(dāng)時，點的軌跡為拋物線D．當(dāng)時，點的軌跡為一條直線【答案】AB【分析】設(shè)出，直接法求出軌跡方程，注意去掉不合題意的點，從而判斷軌跡為哪種曲線，判斷ABC選項，D選項，結(jié)合，得到軌跡為去掉一個點的直線，故D錯誤.【詳解】設(shè)，A選項，，故，變形為，且，故點的軌跡為除去A，B兩點的橢圓，A正確；B選項，，故，變形為，且，故點的軌跡為除去A，B兩點的雙曲線，B正確；C選項，，故，變形為，且，故點的軌跡為除去A，B兩點的拋物線，C錯誤；D選項，，即，變形為，且，故點的軌跡為除去點的直線，D錯誤；故選：AB變式1．（2023·高二課時練習(xí)）已知點P是曲線上任意一點，，連接PA并延長至Q，使得，求動點Q的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)動點Q的坐標(biāo)，點P坐標(biāo)，利用，求出、代入曲線方程可得答案.【詳解】設(shè)動點Q的坐標(biāo)，點P坐標(biāo)，，因為，所以，，可得，，代入得，整理得，所以動點Q的軌跡方程為．變式2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一學(xué)校?？计谥校┰O(shè)O為坐標(biāo)原點，，點A是直線上一個動點，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點A作y軸的垂線交l于點P，則點P的軌跡方程為．【答案】【分析】由題意作等價轉(zhuǎn)換，結(jié)合拋物線第一定義可直接寫出方程.【詳解】如圖，由垂直平分線的性質(zhì)可得，符合拋物線第一定義，拋物線開口向右，焦點坐標(biāo)為，故，點P的軌跡方程為.故答案為：變式3．（2022秋·福建寧德·高三?？计谀┮阎獔A：與定直線：，動圓與圓外切且與直線相切，記動圓的圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為.【答案】【分析】設(shè)，由點線距離及兩點距離公式列式化簡即可.【詳解】設(shè)，動圓與圓外切且與直線相切，則有，化簡得.故曲線的方程為.故答案為：變式4．（2022秋·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）已知點到點的距離比點到直線的距離小1.(1)求點的軌跡方程；(2)求線段中點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法1：根據(jù)已知條件，設(shè)點，列出方程，化簡；解法2：定義法求拋物線的方程.（2）軌跡法求點的軌跡方程.【詳解】（1）解法1：設(shè)M(x,y)，由題意知當(dāng)時，可化為，整理得，（舍去）當(dāng)x<3時，可化為整理得，故點M的軌跡方程為解法2：由題可知，點M到點F（－2，0）的距離與到直線的距離相等，所以動點M的軌跡是以F（－2，0）為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，點M的軌跡方程為；（2）設(shè)Q（x，y），則，

∴又，故即為所求.變式5．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線相交于點，且與的斜率之差為2，則的最小值為.【答案】/【分析】設(shè)，依題意表示出，，即可得到動點的軌跡方程，再根據(jù)距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】解：設(shè)，則，，所以，即，即動點的軌跡方程為，，所以，所以當(dāng)時.故答案為：考點五：拋物線的實際應(yīng)用例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)碗體的拋物線方程為（），將點代入求出，即可得到拋物線方程，設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點為，代入方程計算可得.【詳解】以碗體的最低點為原點，向上方向為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．

設(shè)碗體的拋物線方程為（），將點代入，得，解得，則，設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點為，代入到，解得，解得．故選：C變式1．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀﹫D中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當(dāng)水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】以拱頂為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拱橋所在拋物線的方程為，根據(jù)拋物線過點，求出的值，即可得到拋物線方程，再令，求出的值，即可得解.【詳解】以拱頂為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)拱橋所在拋物線的方程為，又拋物線過點，則，解得，則拋物線的方程為，當(dāng)時，，故當(dāng)水面寬度為米時，拱頂與水面之間的距離為米.故選：D變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點的坐標(biāo)求出即可得解.【詳解】以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可得的坐標(biāo)為．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得．故該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為．故選：C變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合點在拋物線上即可求解.【詳解】在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點（即拋物線的頂點）為坐標(biāo)原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可得.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是，解得.所以拋物線的焦點到頂點的距離為，即光源到反射鏡頂點的距離為.故選：B.1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因為拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，點在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.【答案】【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計算點到的準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，不妨設(shè)點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.一、單選題1．（2023春·湖南·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上一點到軸的距離是6，則點到該拋物線焦點的距離是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義求解.【詳解】由題可得，，點到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，點到該拋物線焦點的距離是8，故選:C.2．（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點到其焦點的距離為，則點的橫坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線的定義可求得點的橫坐標(biāo).【詳解】設(shè)點的橫坐標(biāo)為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為拋物線上的點到其焦點的距離為，則，解得.故選：C.3．（2023春·河南南陽·高二社旗縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知O為坐標(biāo)原點，為一個動點．條件p：O，A，三點共線；條件q：動點A在拋物線上，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由列式整理可知p是q的充分條件，取原點驗證可知p是q的不必要條件，然后可得答案.【詳解】當(dāng)動點A滿足p時，直線OB的斜率存在，且不為0，有，即，化簡得，p是q的充分條件；反之，拋物線的頂點并不滿足p，p是q的不必要條件．故選：A．4．（2023秋·云南麗江·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的中心在原點，離心率為且它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，從而可求出橢圓中的，再由離心率求出，然后由可求出，從而可求出橢圓的方程.【詳解】由題意可知橢圓的焦點在上，所以設(shè)橢圓方程為，由可得其焦點坐標(biāo)為，因為橢圓與拋物線的焦點重合，所以，因為橢圓的離心率，所以，得，所以，所以橢圓方程為，故選：C5．（2023春·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離為2，焦點為F，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，再利用拋物線的定義得解.【詳解】由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點P到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義得3.故選：B

6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上一點，過點P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點P的坐標(biāo)為，由題意△PFQ為等邊三角形，求得點P的坐標(biāo)及，從而可得．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1，焦點為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點Q的坐標(biāo)為，，由拋物線的定義知，因為，所以△PFQ為等邊三角形，所以，又，所以，n＝3，所以點P的坐標(biāo)為，所以，所以．故選：C．

7．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點為F，點P是C上異于原點O的任意一點，線段PF的中點為M，則以F為圓心且與直線OM相切的圓的面積最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作圖，設(shè)出動點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式，表示中點，進(jìn)而寫出直線方程，結(jié)合圓與直線相切的性質(zhì)，利用點到直線距離公式，根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：

設(shè)（不妨令），由已知可得，則，所以直線OM的方程為，設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”），所以點F到直線OM的距離為，即圓F的半徑最大值為，面積最大值為．故選：B.8．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，為上一點，為上一點，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【分析】先利用配方法求得到圓心的最小距離，從而求得到的最小距離.【詳解】由題意知，，設(shè)，則，所以，

故當(dāng)時，，所以.故選：B.二、多選題9．（2023春·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：焦點為，動直線與曲線交于兩點，下列說法正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若點為，則周長的最小值為11C．若點為，則的最小值為D．設(shè)為坐標(biāo)原點，作于點，則點到的準(zhǔn)線的距離的最大值為2【答案】BC【分析】對于選項A，將拋物線方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷出結(jié)果的正誤；對于選項B，利用拋物線的定義，將周長轉(zhuǎn)化成，從而判斷出結(jié)果的正誤；對于選項C，直接求出，進(jìn)而可求出的最小值，從而判斷出結(jié)果正確；對于選項D，直接求出的坐標(biāo)，從而求出點到的準(zhǔn)線的距離，從而判斷出結(jié)果的正誤.【詳解】選項A，因為拋物線，即，所以準(zhǔn)線方程為，故選項A錯誤；選項B，如圖，過作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點，則周長，易知，當(dāng)在處時取到等號，又，，所以周長的最小值為11，故選項B正確；選項C，設(shè)，則，當(dāng)時取等號，故選項C正確；選項D，易知，設(shè)過且與動直線垂直的直線方程為，由，解得，所以點到的準(zhǔn)線的距離，故選項D錯誤.

故選：BC.10．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)為拋物線：（）的焦點，為坐標(biāo)原點，為上一點，且，則（

）A．B．C．直線的斜率為D．的面積為【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，得拋物線方程與焦點坐標(biāo)，再由拋物線定義求得的坐標(biāo)，確定直線的斜率與的面積，逐項判斷即可得答案.【詳解】由題意得，又，故解得，所以拋物線的方程為，焦點，故A，B正確；

由拋物線定義及，所以代入拋物線方程可得得，所以，故C不正確；則的面積，故D正確.故選：ABD.11．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若為坐標(biāo)原點，則（

）A．點的坐標(biāo)為 B．C． D．【答案】BD【分析】先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，再利用拋物線的定義結(jié)合已知可求出點的坐標(biāo)，從而可得答案.【詳解】由題可知，因為點在拋物線上，且，所以，解得，所以，故選：BD.12．（2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，則下列條件能得到拋物線C的方程為的是（

）A．焦點為 B．準(zhǔn)線為C．與直線相交所得弦長為1 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點、準(zhǔn)線、弦長、拋物線的定義、根與系數(shù)的關(guān)系等知識對選項進(jìn)行判斷，從而確定正確答案.【詳解】拋物線C的方程可化為，所以拋物線焦點應(yīng)在y軸上，故A錯誤；由準(zhǔn)線為，知，解得，所以拋物線C的方程為，故B正確；將直線代入，解得，所以直線與拋物線C相交所得弦長為，解得，所以拋物線C的方程為，故C正確；設(shè)，，直線AB的方程為，代入，可得，，所以，故，所以，所以，故拋物線C的方程為，故D正確.故選：BCD三、填空題13．（2023秋·高二單元測試）已知拋物線的焦點為F，點M（3，6），點Q在拋物線上，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義可求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，所以.當(dāng)