第23講 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見考法歸類原卷版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第23講拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見考法歸類1.了解拋物線的實(shí)際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用．2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.知識(shí)點(diǎn)1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過點(diǎn)F”，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？不一定是，若點(diǎn)F在直線l上，點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線．②定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．知識(shí)點(diǎn)2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注：1、拋物線方程的推導(dǎo)：我們?nèi)〗?jīng)過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.設(shè)|KF|＝p(p>0)，那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線l的方程為x＝－eq\f(p,2).設(shè)M(x，y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線是點(diǎn)的集合P＝{M||MF|＝d}．則M到F的距離為|MF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直線l的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，所以eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(p,2)))，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得y2＝2px(p>0)．2、p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于一次項(xiàng)變量(x或y)的取值范圍．3、四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．4、（1）通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.（2）拋物線（）上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也稱為拋物線的焦半徑.1、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡(jiǎn)方程注：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論，也可以設(shè)y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡(jiǎn)化討論過程．2、用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟3、拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問題．(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．4、求拋物線實(shí)際應(yīng)用的五個(gè)步驟考點(diǎn)一：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程是；(2)過點(diǎn)；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，準(zhǔn)線為直線，則此拋物線的方程為.變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，且的開口朝上，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．變式3．（2023春·河南洛陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．或C．或 D．變式4．（2022秋·福建莆田·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，求拋物線C的方程.變式5．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．變式6．（2022秋·高二單元測(cè)試）已知拋物線（）上一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．或C． D．或考點(diǎn)二：根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線例2．【多選】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)拋物線，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點(diǎn)為B．開口向右，準(zhǔn)線方程為-C．開口向右，焦點(diǎn)為D．開口向上，準(zhǔn)線方程為變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．變式2．（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C．或 D．或變式4．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）拋物線繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，得到的圖象正好對(duì)應(yīng)拋物線，則（

）A． B． C．1 D．變式5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其上有一點(diǎn)，其到準(zhǔn)線的距離為6，則．變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，，是的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，則.考點(diǎn)三：拋物線定義的應(yīng)用利用拋物線的定義解決軌跡問題例3．（2019春·安徽蕪湖·高二校聯(lián)考期中）若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)到直線的距離比到點(diǎn)的距離大2，記的軌跡為，求的方程；變式2．（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？茧A段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線變式3．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．利用拋物線的定義求距離或點(diǎn)的坐標(biāo)例4．（2023秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（

）A． B．1 C． D．變式1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線相等，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12，則的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．15變式2．（2023秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知M是拋物線上的一點(diǎn)且在x軸上方，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊，F(xiàn)M為終邊的角，則等于（

）A．16 B．20 C．4 D．8變式3．（2022秋·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)校考期中）已知拋物線：，，為上一點(diǎn)，則取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問題例5．（2023春·廣東江門·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P到直線與到點(diǎn)的距離相等，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為.變式1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．變式2．（2023春·廣東汕頭·高二?？计谥校┮阎狹為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．變式3．（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.變式4．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，為直線的定點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．變式5．（2023·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)?？既＃閽佄锞€上一點(diǎn)，其中，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，直線l方程為，，H為垂足，則．變式6．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．變式7．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.變式8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．變式9．（2023春·四川成都·高二期末）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為.變式10．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形的面積的最小值為（

）A．3 B． C． D．考點(diǎn)四：拋物線的軌跡問題例6．【多選】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二統(tǒng)考期末）已知，，直線AP，BP相交于P，直線AP，BP的斜率分別為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的橢圓B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為除去A，B兩點(diǎn)的雙曲線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為一條直線變式1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，，連接PA并延長(zhǎng)至Q，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．變式2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一學(xué)校校考期中）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)A是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點(diǎn)A作y軸的垂線交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為．變式3．（2022秋·福建寧德·高三校考期末）已知圓：與定直線：，動(dòng)圓與圓外切且與直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線，則曲線的方程為.變式4．（2022秋·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線的距離小1.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程.變式5．（2023秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線相交于點(diǎn)，且與的斜率之差為2，則的最小值為.考點(diǎn)五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）清代青花瓷蓋碗是中國(guó)傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤(rùn)”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計(jì)）（

）

A． B． C． D．變式1．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀﹫D中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當(dāng)水面寬度為10米時(shí)，拱頂與水面之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽(yáng)灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計(jì)原理.已知某型號(hào)探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．42．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2023春·湖南·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是6，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（

）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．（2023春·河南南陽(yáng)·高二社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．條件p：O，A，三點(diǎn)共線；條件q：動(dòng)點(diǎn)A在拋物線上，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023秋·云南麗江·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．5．（2023春·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2，焦點(diǎn)為F，則（

）A．2 B．3 C． D．6．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．7．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，線段PF的中點(diǎn)為M，則以F為圓心且與直線OM相切的圓的面積最大值為（

）A． B． C． D．8．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．3二、多選題9．（2023春·湖南益陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：焦點(diǎn)為，動(dòng)直線與曲線交于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若點(diǎn)為，則周長(zhǎng)的最小值為11C．若點(diǎn)為，則的最小值為D．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，作于點(diǎn)，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最大值為210．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為拋物線：（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．直線的斜率為D．的面積為11．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)