2024年上海市高考數(shù)學試題答案

2024年上海夏季高考數(shù)學（網(wǎng)絡回憶版）一、填空題1．設全集，集合，則．【答案】【解析】由題設有，答案：2．已知則．【答案】【解析】因為故，答案：.3．已知則不等式的解集為．【答案】【解析】方程的解為或，故不等式的解集為，答案：.4．已知，，且是奇函數(shù)，則．【答案】【解析】因為是奇函數(shù)，故即，故，答案：.5．已知，且，則的值為．【答案】15【解析】，，解得．答案：15．6．在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為．【答案】10【分析】令，解出，再利用二項式的展開式的通項合理賦值即可.【解析】令，，即，解得，所以的展開式通項公式為，令，則，．答案：10．7．已知拋物線上有一點到準線的距離為9，那么點到軸的距離為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義知，將其再代入拋物線方程即可.【解析】由知拋物線的準線方程為，設點，由題意得，解得，代入拋物線方程，得，解得，則點到軸的距離為．答案：．8．某校舉辦科學競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是．【答案】0.85【解析】根據(jù)題意知，題庫的比例為：，各占比分別為，則根據(jù)全概率公式知所求正確率．答案：0.85．9．已知虛數(shù)，其實部為1，且，則實數(shù)為．【答案】2【解析】設，且.則，，，解得，答案：2.10．設集合中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值．【答案】329【解析】根據(jù)題意知集合中且至多只有一個奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，①當個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進行排列，則這樣的偶數(shù)有個；②當個位不為0時，則個位有個數(shù)字可選，百位有個數(shù)字可選，十位有個數(shù)字可選，由分步乘法這樣的偶數(shù)共有，最后再加上單獨的奇數(shù)，所以集合中元素個數(shù)的最大值為個．答案：329．11．已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，,存在點A滿足，則(精確到0.1度)【答案】【分析】設，在和中分別利用正弦定理得到，?！窘馕觥吭O，在中，由正弦定理得，即’即①在△BCA中，由正弦定理得，即，即，②因為，得，利用計算器即可得，答案：.12．無窮等比數(shù)列滿足首項，記，若對任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．【答案】【分析】當時，不妨設，則，結(jié)合為閉區(qū)間可得對任意的恒成立，故可求的取值范圍.【解析】由題設有，因為，故，故，當時，，故，此時為閉區(qū)間，當時，不妨設，若，則，若，則，若，則，綜上，，又為閉區(qū)間等價于為閉區(qū)間，而，故對任意恒成立，故即，故，故對任意的恒成立，因，故當時，，故即.答案：.二、單選題13．已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是（

）A．氣候溫度高，海水表層溫度就高B．氣候溫度高，海水表層溫度就低C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢【答案】C【解析】AB。當氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，AB錯誤.CD.因為相關系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時，海水表層溫度呈上升趨勢，C正確，D錯誤.故選：C.14．下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A.，周期，A正確；B.，周期，B錯誤；C.，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，C錯誤；D.，周期，D錯誤，故選：A．15．定義一個集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取，存在不全為0的實數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意知這三個向量共面，即這三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，A.由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，A錯誤；B.由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，B錯誤；C.由空間直角坐標系易知三個向量不共面，可構(gòu)成空間的一個基底，則由能推出，C正確。D.由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，D錯誤.故選：C．16．已知函數(shù)的定義域為R，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值C．存在是嚴格增函數(shù) D．存在在處取到極小值【答案】B【分析】對于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對于B，構(gòu)造函數(shù)即可判斷.【解析】A.若存在是偶函數(shù),取,則對于任意,而,矛盾,A錯誤；B.可構(gòu)造函數(shù)滿足集合，當時，則，當時，，當時，，則該函數(shù)的最大值是，B正確；C.假設存在，使得嚴格遞增，則，與已知矛盾，C錯誤；D.假設存在，使得在處取極小值，則在的左側(cè)附近存在，使得，這與已知集合的定義矛盾，D錯誤；故選：B.三、解答題17．如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)(2)【解析】（1）正四棱錐滿足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，由圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，由圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是（2）連接，根據(jù)題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個側(cè)面都是等邊三角形，由是中點，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線與平面所成角的大小即為，不妨設，則，，又線面角的范圍是，故.18．若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數(shù)列等價于在上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍．【解析】（1）因為的圖象過，故，故即（負的舍去），而在上為增函數(shù)，故，故即，故的解集為.（2）因為存在使得成等差數(shù)列，故有解，故，因為，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域為，故即.19．為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？(2)估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）(3)是否有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關？（附：其中，．）【答案】(1)(2)(3)有【解析】（1）由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比，則估計該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為．（2）估計該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為．則估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.（3）由題列聯(lián)表如下：其他合計優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計222358580提出零假設：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關．其中．．則零假設不成立，即有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關．20．已知雙曲線左右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.(1)若離心率時，求的值．(2)若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標．(3)連接并延長，交雙曲線于點，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】設直線，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達定理式，再代入計算向量數(shù)量積的等式計算即可.【解析】（1）根據(jù)題意得，則，．（2）當時，雙曲線，其中，，因為為等腰三角形，則①當以為底時，顯然點在直線上，這與點在第一象限矛盾，故舍去；②當以為底時，，設，則,聯(lián)立解得或或，因為點在第一象限，錯誤，舍去；（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；③當以為底時，，設，其中，則有，解得，即．答案：.（3）根據(jù)題知，當直線的斜率為0時，此時，不合題意，則，則設直線，設點，根據(jù)延長線交雙曲線于點，根據(jù)雙曲線對稱性知，聯(lián)立有，顯然二次項系數(shù)，其中，①，②，

，則，因為在直線上，則，，即，即，將①②代入有，即化簡得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因為，則，由上知，，．21．對于一個函數(shù)和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．(1)對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；(2)對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調(diào)性．【答案】(1)見解析(2)存在，(3)嚴格單調(diào)遞減【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由題得，利用導函數(shù)得到其最小值，則得到，再證明直線與切線垂直即可；（3）根據(jù)題意得到，對兩等式化簡得，再利用“最近點”的定義得到不等式組，即可證明，最后得到函數(shù)單調(diào)性.【解析】（1）當時，，當且僅當即時取等號，故對于點，存在點，使得該點是在的“最近點”．（2）由題設可得，則，因為均為上單調(diào)遞增函數(shù)，則在上為嚴格增函數(shù)，而，故當時，，當時，，故，此時，而，故在