高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題 (11)(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題(11)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.如圖，在△04B中，點(diǎn)P為直線43上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足存=4荏.

OB

(1)若4用向量市，而表示前；

(2)若|市|=4,|而|=3,且NAOB=60。，請(qǐng)問2取何值時(shí)使得m荏？

2.如圖,在平行四邊形4BCZ)中，點(diǎn)E,F,G分別在邊AB,A￡),BC上,且滿足ZE=[4B,AF="C,

BG=.BC,設(shè)===

⑴用不表示外，F(xiàn)G;

(2)若EF1EG,4h.函，2a-6-求角4的值.

_歷Q

3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知向量加=(---------,n=(sinx,cosx),xG(0,^-).

222

(1)若沅1n,求tanx的值;

(2)若石與〃的夾角為多求x的值?

4.已知不共線向量a力滿足|磯=3,\b\=2,(2a-3K)-(2a+b)=20.

(1)求2與b夾角。的余弦值；

(2)若仔+2%)J.g一砌,求實(shí)數(shù)人的值.

5.在平行四邊形ABC。中，AD=1,^BAD=60。，點(diǎn)E為C￡>的中點(diǎn).若尼.麗=1，求A8

的長.

6.已知向量五和石,|a|=|K|=1.且|方+kB|=遍|五一』|(k>0).

(1)若方與方的夾角為60。，求k的值；

(2)求向量方和石夾角的最大值.

7.如圖，在矩形A3C。中，BC=3AB=6,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是3c邊上靠近點(diǎn)

8的三等分點(diǎn)，A尸與DE交于點(diǎn)G.設(shè)方=五，AD=b.

DC

⑴求“GF的余弦值;

(2)用方和B表示E.

8.在回ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b=4,A=^.

(I)AD是BC邊上的中線，若AD=夕，求c的值；

(11)若(1=48，求團(tuán)ABC的周長.

9.已知團(tuán)A8C中NC是直角，C4=CB,點(diǎn)。是C8的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn).

(1)設(shè)石5=方，CD=K1當(dāng)荏=3荏，請(qǐng)用2，「來表示四，CE-,

(2)當(dāng)荏=2前時(shí)，求證：AD1CE.

10.已知實(shí)數(shù)0<9<n,a=(cos。,sin。)，1=(0,1),若向量了滿足Q+1),；=。，且口?至=0.(1)

若忖一川=2,求石.

(2)若f(x)=區(qū)+%。-3)1在后，+8)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

11.在RtZXABC中，zBAC=pAB=AC=6,設(shè)配AB?(A>0).

(1)當(dāng)4=2時(shí)，求反強(qiáng)定的值；

(2)若熊-AD=18.求4的值.

12.若五=(6,2),fe=(-3,fc).當(dāng):為何值時(shí):(l)a//6

(2)0*17

(3)胃與石的夾角為銳角

13.已知向量之工滿足同=2,b=1,a+2b=a-b.

(1)求之在了上的投影；

(2)求；與熱—2%夾角的余弦值

14.已知|引=4,㈤=3，(2五一3方)?(21+1)=6L

(1)求|弓+方|;

(2)已知3是向量五+方方向上的單位向量，求向量日在向量運(yùn)+至方向上的投影向量.

15.已知三個(gè)點(diǎn)4(2,1),B(3,2),￡>(-1,4).

(1)求證：AB1AD：

(II)要使四邊形A8CZ)為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求矩形A8C。兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值.

16.平面幾何中有如下結(jié)論：“三角形A8C的角平分線分對(duì)邊所成的兩段之比等于角的兩邊之

比，即■=空.”已知44BC中，4B=2,4C=120',4。為角平分線.

DCAC

A

(1)求線段A。的長度；

(2)過點(diǎn)。作直線交AB,AC的延長線于不同兩點(diǎn)E,F,且滿足港希，AF=yAC，

①求:+；的值，并說明理由；

②求％+2y的最小值.

17.已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)尸為線段A8上一點(diǎn)，且晶=；16(0《；141).(1)若等邊三角形

邊長為6,且?=,求&

(2)若而=;而，求；I的值；

(3)若&>.前》總.康，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.如圖，在AOAB中，已知P為線段AB上的一點(diǎn)，OP=xOA+yOB.

(1)若麗=方求x，y的值；

(2)若前=2萬，|鼐|=4，|而|=2，且玄與麗的夾角為60。時(shí)，求麗?屈的值.

19.在4aBe中，AC=2,BC=6,乙4cB=60。，點(diǎn)。為41BC所在平面上一點(diǎn)，滿足元=m比[+

nOB(m,n6R且m+n豐1).

(1)證明：CO=-^-CA+^-CB；

'Jm+n-1m+n-1

(2)若點(diǎn)。為448C的重心，求“、附的值；

(3)若點(diǎn)。為ZL4BC的外心，求機(jī)、〃的值.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)滿足說:=5市+|南.

⑴求鬻值；

(2)已知4(l,cosx),F(14-cosx,cosx),xE[0,,/(%)=函?泥一(2m+1)|通|若/(x)的最

小值為g(m),

求g(m)的最大值.

21.已知而?前:=0，M是BC的中點(diǎn).

(1)若|而|=2\AC\,求向量荏-而與向量荏+》的夾角的余弦值；

(2)若O是線段AM上任意一點(diǎn)，S.\AB\=2\AC\=2,求瓦？?加+元?瓦?的最小值；【】；

P'l

22.已知點(diǎn)4(2,0),5(0,2),C(cosa,sina),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且0<a<兀.

(1)若+而|=⑺，求成與小的夾角。；

(2)若前1~BC，求sinacosa的值.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)滿足說:=5市+|南.

⑴求鄙；

(2)已知4(l,cosx),B(l+cosx(cosx),x6[0,^],/(x)=U7-OC-(2m+|)|^B|,若/(x)的

最小值為g(m),求g(m)的最大值.

24.如圖，在AOAB中，已知尸為線段AB上的一點(diǎn)，OP=x-0A+y-0B.

(1)若郁=證，求x,y的值;

(2)若麗=3前,|殖|=4,|而|=2，且殖與麗的夾角為60。時(shí)，求麗?麗的值.

25.如圖，在AABC中，。是BC的中點(diǎn)，E在邊A8上，BE=2EA,AO與CE交于點(diǎn)0.

(1)設(shè)面f=x麗+yAS，求x+y的值;

(2)若品?麗=6前?前，求般的值.

26.已知向量沅=(gcosx,1),元=(sinx.siMx—1),函數(shù)/'(x)=記,記+%

⑴若XG[0,5，/(X)=y.求COS2x的值；

(2)在4ABC中,角4B,C1對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足2bcos4W2c—ba,當(dāng)B取最大值時(shí),a=l,

△ABC面積為立，求就土的值.

4sini4+sinC

27.已知圓C經(jīng)過(2,4),(1,3)兩點(diǎn)，圓心C在直線x—y+l=0上，過點(diǎn)4(0,1)且斜率為左的直線

/與圓C相交于M,N兩點(diǎn).

(1)求圓C的方程；

(2)①請(qǐng)問祠.麗是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由；

②若麗?而=12(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線/的方程.

28.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(1,0)和點(diǎn)B(-l,0),\0C\=1，且乙4。。=。，其中

O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若9=半，設(shè)點(diǎn)。為線段。4上的動(dòng)點(diǎn)，求|萬？+而|的最小值；

(2)若。6”,外，向量記=近，亢=(1—cos8,sin0—2cos。)，求記?五的最小值及對(duì)應(yīng)的。值.

29.已知橢圓C:捻+3=19>6>0)的離心率為土以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為長為半徑的圓

與直線工一丫+e=0相切，過點(diǎn)P(4,0)的直線/與橢圓C相交于4B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若原點(diǎn)0在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線/的斜率k的取值范圍.

2

30.已知4(一1,0),8(0,2),。(一3,1),同?而=5,而=10-

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)。在第二象限，用而，而表示旅；

(3)設(shè)荏=(m,2)，若3荏+而與荏垂直，求荏的坐標(biāo).

【答案與解析】

1.答案：解：⑴?.T=q,.?.Q=g荏,

--->--->1--->>

OP-OA=^OB-OA'),

化為：OP=lOA+^OB.

(2)由題意知：萬？?赤=4x3xcos60。=6-

?■AP=AAB，

.-.OP=(<1-A)OA+XOB，

vOP1AB，

：.OPAB=[(1-A)OX+AOB]?(05-0U4)=0.

???(1-2A)x6-(1-2)x42+Ax32=0,

解得4=出

解析：本題考查了向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

(1)由4=/可得存=1荏，OP-OA=^(OB-OA),化簡即可得出.

(2)由題意知：OAOB=4x3xcos600=6,由而=AAB，可得而=(1—4)瓦？+4抽，根據(jù)前1

AB,可得而?屈=[(1一；I)方+4而]?(詁一萬?)=0，即可得出.

2.答案：解：(1)因?yàn)镋F=EA+A尸=—^48+：AD=-5五+[b

EG=IB+BG=-AB+-BC=-a+-b.

3333

(2)若EFlEG,則前?布=0，

即(―[五+]b).(|五+|b)=—|/+觸-0>即片=才,所以|磯=也|

2

AB-FG=a-(|a+|K)=|a+|a-K=2a-b,即整=2a-b

所以|五|2=2|五12cos4,則C0Si4=

又因?yàn)?4W(U.7T),所以4=最

解析：本題主要考查向量的向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積，向量垂直的判斷，屬于

基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)題意得到前=而+而=一：赤+：而，前=前+前=|荏+|就即可；

(2)EF1EG,則前?前=0,得到同=同，進(jìn)而得到五2=2五小即可.

3.答案：解：(1)若蔡1n，

則？n?n=~sinx——cosx=0,

22

E|Jsinx=cosx,B|Jtanx=1.

(2)v|m|=J0)2+(一J)2=i，|n|=Vsin2%+cos2%=1,m-n=ysinx-苧cosx,

，若藍(lán)與蔡的夾角為全

則m?n=|m|?|n|?cos^=

即它sin%——cosx="?

222

則sin(%_q)=I，

vxe(O^),

AX—~6

4'4'4“

則T=3

BPX=§-

解析：本題主要考查向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查向量垂直與向量數(shù)量積之間的關(guān)系，

考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式及其應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

(1)若藐_L￡，則蔡7=0,結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系式即可求tanx的值；

(2)若藐與靛勺夾角為以利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可求x的值.

4.答案：解：⑴門五|=3,同=2,(2五一3「)?(22+1)=20,

2

???4\a\2-4a-b-3同=4x32-4a-h-3x22=20，

解得方-b=1?

ab11

???必。n=麗=初=￡

方與石夾角。的余弦值為士

O

(2)若(ka4-2b)1(a—kb\

則02+2方)?但一上至)=0,

2

k\a\2+(,2-k2)a-b-2k\b\=0,

9k+(2-X1-2kx4=0,

整理得k2-k-2=0,

解得k=-1或A=2.

解析：本題主要考查了向量的夾角、向量的模、向量的數(shù)量積以及向量垂直的計(jì)算，屬于中檔題.

(1)由題意計(jì)算可得1，代入向量的夾角公式即可求得五與石夾角。的余弦值；

(2)由(k五+2加),Q—k石)可得(卜日+2B)?(五—k3)=0,展開化簡計(jì)算即可得到實(shí)數(shù)&的值.

5.答案：解：如圖，由題意可知，AC=AB+BC=AB+AD>

~BE=~BC+~CE

=而+癖=-渾+彷

因?yàn)榍?屈=1，

所以（四+而）?（-［荏+初）=1,

^AD2+-AB-AD--AB2=1.

22

因?yàn)閨而|=1，4BAD=60°,

所以上式可化為1+；|南|一段說『=1.

解得|AB|=0（舍去）或|AB|=p

所以48的長為點(diǎn)

解析：本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查平面向量的數(shù)量積和線性運(yùn)算，屬于中檔題.

以同，而為基底，把前，而用基底表示，再通過向量的數(shù)量積運(yùn)算得得到關(guān)于|說|的方程，解方程

即可.

6.答案：解：(1)|五|=|b|=1，五與b的夾角為60。，

—?—?[1

則方?b—\a\-\b|cos60°=lxlx-=-,

由|五+元|=遍|五-kE|，兩邊平方可得，

(a+kb)2=3(a-kb)2,

a2+2ka-b+k2b2=3(a2-2ka-b+k2b2)'

即有l(wèi)+k+/c2=3(i—k+%2),

解得k=1；

(2)由⑴得,a2+2ka-b+k2b2=3(a2—2kab+k2b2~)

BPl+/c2+2/ca-K=3(l+fc2-2/ca-b)

即可得五%=；(k+》(k>0),

設(shè)五與方的夾角為0，

所以8so=蠡=；垓+》》會(huì)當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)成立，

所以由向量夾角范圍和余弦函數(shù)在此范圍單調(diào)遞減，

可得向量五和方夾角的最大值為最

解析：本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，同時(shí)考查不等式恒成立問

題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，構(gòu)造一次函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

(1)運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，解方程即可得到k的值；

(2)己知等式平方，化簡求的心方=；(k+》，結(jié)合基本不等式，可得結(jié)果.

7.答案：解：⑴由題意，可得<?<)?Z.EGIF<x)?<AF.DE>

_1_1__

=cos<a+,-a-b>

32

_0+拘(聶一1)

忖+包?.朋一同

?rX365g

J4+，36/X4+3674'

所以4EGF的余弦值為-也.

74

(2)設(shè)前-八獷ACa+))A-a+lAT,

3?j

DdfiDE=—b)=:八Z—fib,

則AC^Ab+詫=-(〃-1)T,

根據(jù)平面向量基本定理，

(x=-

得】「，力解得Z

所以同=聲+”.

解析：本題主要考查了平面向量的基本定理及其應(yīng)用，向量的數(shù)量積及向量的夾角，考查了推理能

力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)由題意，可得cu?NEGF=cos<開了.為著>=cos<H+：丁,1萬一方'>,從而利用向量的夾

角公式求解即可；

(2)設(shè)A4=4J4戶=Aa*+1入b,D(J=ILD^=ipa*—/ib,則Ad=CZ)+D(j=—(p—1)b,

從而根據(jù)平面向量基本定理，可得關(guān)于尢〃的方程，求出尢〃，則可得E.

8.答案：解：(I)因?yàn)橥?左=2而，

所以(荏+尼)2=荏2+近2+2南?前=4而2=28

即為匕2+c2+2bccosA=28,

所以c2+4c-12=0,

解得，c=2(負(fù)值舍去)

(□)在448。中，由正弦定理號(hào)=段得sinB=竺吆=2乂且=三，

因?yàn)閍>b,所以A>B,則a

o

所以C'=7r-A-B；,

則c=yJa2+b2=8.

所以△4BC的周長為12+4V3.

解析：本題考查平面向量和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積、三角形內(nèi)角和定理、

勾股定理的應(yīng)用，屬中檔題.

(1)由卷+前=2而平方得到〃+?2+2兒854=28,代入數(shù)據(jù)，得到c的方程，解方程即可得

出c;

(II)由正弦定理得sinB,求出B,內(nèi)角和定理求C,進(jìn)而求出邊c和周長.

9.答案：解：(1):方=方，昂=1點(diǎn)。是CB的中點(diǎn)，

:.CB=2b，

：.AB=CB-CA=2b-a>

=CA+AE=a+^AB

=a+^2b-a)=^a+b.

(2)以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB,C4為x,)，軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,

E

CDBx

設(shè)4(0,a),

???B點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),另設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(x,y),

???點(diǎn)。是CB的中點(diǎn)，

.??點(diǎn)O坐標(biāo)為傅,0),

又???荏=2萬，

(x,y-a)=2(a-x,-y),

2aa

=y=5，

???荷=6,-a),麗=(拳》

AD?CE=-x—F(-ci)x—=0,

23',3

???AD1CE.

解析：本題重點(diǎn)考查平面向量的分解和數(shù)量積與垂直，屬于中檔題.

(1)利用平面向量基本定理和線性運(yùn)算即可求解；

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，通過求證而.CE=0即可.

10.答案：(I)設(shè)方=(m,n),由+4'—。得17=(*"sin0),

Ia-h=0w°

又五.b=](|五+—|a—h|^=0,\a-b\=2f所以忖+b|=2,

即+^￡)2=4，得cosO=±5

又0S。3兀，所以sin。=—.

2

故］=仔_曰)或］=(_￡_苧);

(n)(l)y2(x)=區(qū)+x(a—b)|2=(xcosd+(1—x)^^-,(2x—l)sin。)

22

=(tan9+l)x-2ttm2QX+tan2。；

v/(x)=B+x0—E)|在L，+8)上為增函數(shù)，

嚴(yán)(久)在”,+8)上為增函數(shù)，

曹<1,解得—14tan0<1；

ta‘a(chǎn)n20+l2

0<0<7T,06［。5］U［手，”卜

(2)???f(x)<遍對(duì)。e［o用u洋同恒成立，

f2(x)=(tail20+l)x2-2tau20x+tan20瞌5對(duì)。e嵋U［彳,7］恒成立,

即F(tan20)=(x2—2x+l)tan20+z2《5對(duì)tan?。e［0,1］恒成立，

2x2-2x+1<5；

解得一1<x<2,

所以x的取值范圍為[1,2].

解析：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式的應(yīng)用，以及函數(shù)的恒成立問題的求解，合理運(yùn)算、

化簡，轉(zhuǎn)化為與二次函數(shù)相關(guān)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，換元思想,

以及分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

(I)設(shè)3=(m,n),根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得(cos?+蓼=4>進(jìn)而得到cos。=和sin。=

學(xué)即可得到向斷的坐標(biāo);

(n)⑴根據(jù)向量的模的運(yùn)算，求得嚴(yán)⑺，又由函數(shù)/(x)=亞+施-即在原+8)上為增函數(shù)，得

到產(chǎn)(%)也是增函數(shù)，得到taMOwl,即可求解。得取值范圍;

(2)由/(x)w遙恒成立，轉(zhuǎn)化為嚴(yán)(X)對(duì)。e[o用u洋/恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為F(tan2。)<5對(duì)

tan20e[0,1]恒成立,即可求解.

11.答案：解：如圖:

(1)當(dāng)4=2時(shí)，BD=2BC,

所以而=屈+前=荏+2近=屈+2(前一荏)=2而一而,

.-.AB-AD=AB-(2AC-AB)=2AB-AC-ABZ=0-36=-36.

(2)因?yàn)锳C-AD=AC-^AB+BD-)=AC-(AB+ABC)=AC-[AB+A.(AC-AB)]

=^C-(A^4C+(l-A)AB)=/l^C2+(l-A)ZC-AB=36A>

36/1=18,解得4=也

解析：本題考查向量的加減運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

(1)利用熊，配為基底，表示而，進(jìn)而求通?加;

(2)利用通，后為基底，表示而，由亞?布=18得362=18,解得即可.

12.答案：解：(1)因?yàn)榉?(6,2),[=(一3冏,a//b,

則6k-(-3)x2=0,解得k=-1

(2)若五1b，

則6x(-3)+2/c=0,解得k=9；

(3)若行與冽勺夾角為銳角,

則五?方>0，且五，了不共線.

6x(—3)+2k>0

即有

6/c-2X(-3)HO'

解得k>9.

解析：本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0,考查向量的夾角為鈍角

的等價(jià)條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.

(1)由向量共線的坐標(biāo)表示，解方程即可得到；

(2)運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0,計(jì)算即可得到公

(3)由向量的夾角為鈍角的等價(jià)條件：數(shù)量積大于0,且不共線，解不等式即可得到火的范圍.

13.答案：解：(1)a+2ba—b=(a+2b/=(a—b)2a2+4a-b+4b2=a2—2a-b+b2

T9T1

???6a?Z?=-3h,a?b=——，

2

設(shè)之和前勺夾角為。，

7在W上的投影為：BlCOS9=首=一a

(2)設(shè)；與；一2了夾角為a，

2

a-(a-2b)a-2a-b4+1V10

cosa=---------------=---------

lala~2b|a|.yJa2—4a-64-4b22x24+2+44

解析：本題考查平面向量的數(shù)量積，投影，夾角，屬于中檔題.

T—

⑴由|弓+2旬=|五一3|平方得五不=，再利用［在讓的投影為：M|cosJ=芹=，

(2)設(shè):與［一2。夾角為a,cosa=駕胃運(yùn)算即可.

14.答案：解：(1)(2百一3萬)-(2五+方)=4五2一332一4五彳

=4xl6-3x9-4a-b=61.

解得N,b=—6>

所以|五+至產(chǎn)=片+石2+2萬7=16+9-12=13,

所以|云+石|=V13.

(2)設(shè)五與蒼+B的夾角為仇

由(1)得a-6.

a-(a+b)=a2+a-b=10r

所以皿。=器冬=/=癮，

則向量方在向量方+方方向上的投影向量為|a|cos6-e=4x島3=嚕^萍

解析：本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用.

(1)利用向量的模的公式，以及平面向量的數(shù)量積，即可得；

(3)根據(jù)投影向量的定義，利用數(shù)量積公式解答即可.

15.答案：解(I)證明：4(2,1),8(3,2),0(-1,4).

.-.AB=(1,1),/W=(-3,3)-

AB■AD=1X(-3)+1x3=0，

—>—>

??,ABA.AD-

^y.-ABlAD^若四邊形A8CO為矩形，貝IJ北=辰>

設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則有(1,1)=(x+l,y-4),

.產(chǎn)+1=1

"(y-4=1

即產(chǎn)U

ly=5

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).

由于融=(-2,4),BD=(-4,2)-

AC-BD=(-2)x(-4)+4X2=16,|71(?|=|BL|=2V5

設(shè)對(duì)角線AC與B。的夾角為仇則cos。=黑=：>0.

故矩形ABCD兩條對(duì)角線所夾銳角的余弦值為:

解析：本題考查了運(yùn)用向量解決平面直線的位置關(guān)系，平面幾何中的邊長，夾角問題，準(zhǔn)確計(jì)算化

簡，屬于中檔題.

(/)運(yùn)用平面向量的數(shù)量積得出4B-AD=1x(-3)+1x3=0，求解即可.

(〃)幾=應(yīng)>ABLAD'坐標(biāo)得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).再運(yùn)用數(shù)量積求解得出cos。=技=g>0.

16.答案：解：(1)根據(jù)角平分線定理：

—=-=2,所以處=[

DCAC'八BC3

所以而=AB+JD=AB+|ec

----->9-----?----->1-----?7-----?

=48+式/C-48)=建+

所以而2=G荏+|前)2

1―>24―>—?4―>2

=-AB-i--AB-AC-^--AC

999

44,44

―廠區(qū)+己一9，

所以4°=|;

(2)①因?yàn)檐?x希，AF=yAC,

所以荷=|AB+|^C=^AE+^AF,

因?yàn)镋,。,產(chǎn)三點(diǎn)共線，

所以21+套2=1,

所以31+52=3.

xy

(2)x+2y=(%+2y)(；+二)=：+?+蘭》3,

JJ'/八3x3yJ33x3y

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=1時(shí)取等號(hào)，

所以久+2y的最小值為3.

解析：本題考查向量的線性運(yùn)算，考查向量的數(shù)量積，考查基本不等式，屬于拔高題.

⑴根據(jù)角平分線定理可得案=g同=荏+前=：荏+;前,對(duì)而平方即可求線段AD的長度;

DCS3J

(2)①由E,D,尸三點(diǎn)共線及元>=^AB+^AC=^AE+^-AF,得"J=3；

333x3yxy

1o

②由2+：=3,運(yùn)用基本不等式即可求x+2y的最小值.

17.答案：解：(1)由;1=[,得而=：荏，

\CP\2=\CA+AP\2=\CA+海\2=CA2+海義+河-AB=28,

|CP|=2V7;

(2)聯(lián)立［而三兩=|而=A(AP+而)=晟麗，???4=|；

(3)設(shè)等邊三角形的邊長為a,則方-AB=(CA+AP>)-AB=(CA+AAB)-AB=-^a2+Aa2,

-.PA-^B=PA-(AB-AP)=-AAB■(AB-AAB)=^a2-Aa2,

即-)2+4a2>42a2_2a2,

.??［學(xué)W"<學(xué)，解得*<awi.

解析：(1)由;1=%得而=［荏，再由|而『=|潟+都『，展開后整理得答案；

(2)由9=4荏，存=|而聯(lián)立利用向量相等求得4的值；

(3)設(shè)等邊三角形的邊長為a,把加?荏和刀.而分別用含有a的代數(shù)式表示，結(jié)合而-AB>PA-~PB

求解關(guān)于〃的不等式得答案.

本題考查向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是中檔題.

18.答案：解：(1)因?yàn)榍?刀，所以P為線段A8的中點(diǎn).

所以而="初+南)=3或+［而.

所以x=y=/

(2)因?yàn)閱?而一而，PA=OA-OP.

又前=2萬，所以而一話=2(初一加).

解得標(biāo)=|0/+9而.因?yàn)閬?OB-OA，

所以而?希=(|o7+1OB)-(OB-OA)

1—?——>2—,21——?2

=-OA-OB--OA+二OB

333

1171

="X4X2X---X16+-X4=-8.

解析：本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

(1)根據(jù)相等向量的定義及向量的運(yùn)算法則求出而，利用平面向量的基本定理求出x,y的值.

(2)利用向量的運(yùn)算法則將而，而用嬴與麗表示，然后求解即可.

19.答案：(1)證明：OC=mOA+n'OB=m(OC+CA)+n(OC+CB)，

化簡得：(m+n—1)而=m方+n而，

.-.CO=-^-CA+-^—CB,

m+n-1m+n-1

(2)解：點(diǎn)。為△ABC的重心，設(shè)8c邊的中點(diǎn)為O

AO=20D=2x^(0B+0C)=0B+0C

*'?OC=—OA-OB,

m=-1,n=-1；

(3)解：點(diǎn)。為△ABC的外心，

.-.CO-CF=i|CB|2=18,CO-C^=i|C^|2=2,

CACB=2x6x-=6,

2

-.-CdCB=-^—CA-CB+-^—CB-CB,

m+n-1n+m-1

CO-CA=-^—CA?CA+」一&4?CB,

m+n-1n+m-1

(2m—3n=3

tm4-2n=-1'

解析：本題考查向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查化簡運(yùn)算能力，屬于拔高題.

(1)由元=mOA+nOB=m(0C+C\4)+n(0C+CF).整理即可得證；

(2)由三角形重心性質(zhì)可知力[+OB+OC=0,代入即可求解；

(3)由。為△ABC的外心，可求前?希，COCA，CA-~CB，然后根據(jù)(1)的結(jié)論分別表示前?四,

萬根據(jù)平面向量的基本定理可求相，

20.答案：解：(1)由題意知4民C三點(diǎn)滿足后=[￡1+1晶，

可得兒一&=1(&_&),所以公=|6=|(命+詼，即1應(yīng);=|3

即晶=2a，則同=2同,所以黑=2.

(2)由題意,函數(shù)f(%)=0A-0C—(2m+1)|A5|=1+|cosx+cos2%—(2m+|)cosx=(cosx—

m)24-1—m2,

因?yàn)閤6[。,外，所以cosx6[0,1],

當(dāng)m<0時(shí)，/(%)取得最小值g(zn)=1,當(dāng)OWmWl時(shí)，當(dāng)cos%=m時(shí)，/(%)取得最小值g(m)=

2

1—m9

當(dāng)m>1時(shí)，當(dāng)cos%=1時(shí)，/(%)取得最小值g(m)=2-2m,

f

1,m<0

2

綜上所述，g(7〃)=<Im,0w)n&1，可得函數(shù)g(m)的最大值為1，

2—2rn,rn>1

即g(m)的最大值為I.

解析：本題考查三角函數(shù)和平面向量的綜合應(yīng)用，涉及向量的線性運(yùn)算及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了

推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)由已知得：OC-OA=l(OB-OA),從而利用向量運(yùn)算可得而=2至由此可得結(jié)論；

(2)化簡可得f(x)=(cosx-m)2+l—7n2,從而對(duì)進(jìn)行討論，求得不同情況下的最小值，寫成

關(guān)于機(jī)的函數(shù)式g(m),繼而可以求得結(jié)果.

21.答案：解：(1)???-XC=0.AB1JC.

以A為原點(diǎn)，AB,前的正方向分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

令|宿=a，則C(0,a),B(2a,0),

AB—AC—(2a,-a),AB+AC—(2a,a)，

設(shè)向量前-而與向量荏+前的夾角為8,

A_(AB-ACy(AB+AC')_4a2-a2_3

‘cos”=(AB-AC\\AB+AC\=標(biāo)后=?

(2)-：AB-AC=0rABLAC，

以A為原點(diǎn)，AB，正的正方向分別為x軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系.

v\AB\=2\AC\=2-則C(O,1),8(2,0),

設(shè)。(％)xe[0,1],

■■■OA-OB+OC-OA=OA-(OB+OC)=2OAOM

x1x

=2(-/_2)?(1一%2)

2

2XX

=2(X-X+---)

=|(/-X)

TH，

??,9>0,???當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，畫.南+比?瓦?取得最小值一3，

解析：本題考查平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用、平面向量的運(yùn)算、基本不等式，考查考生的運(yùn)算求解能力

和轉(zhuǎn)化與

化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想.

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求出荏-而與荏+前的坐標(biāo)，再利用平面向量的夾角公式求解；

(2)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積公式化簡待求式，再結(jié)合二次函

數(shù)的最值求解

22.答案：解：(1)v0/4=(2,0)>OC=(cosa,sina),

??.OA+OC=(2,0)+(cosa,sina)=(2+cosa,since)

???|OA+OC|=7(2+cosa)2+(sina)2=V54-4cosa=夕，

解得cosa=I，

又丁0<a<n9

n

Aa

39

???.sina=V3一，

2

??OC=(1,y)-又布=(0,2)，

00B0?0x；+2x哼近

MB岡。Cl際麻各2

v0<0<7T,

6=7o；

(2)???AC=(—2+cosa,sina)，BC=(cosa,—2+sina)?

且而JL就，

???AC?BC=0，

即(一24-cosa)cosa+(—2+sina)sina=0,

???-2cosa—2sina+1=0,

???.sina.+cosa=i

2

：■1+2sinacosa=

4

???.sinacosa=3——.

8

解析：本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以及三角函數(shù)的運(yùn)算問題，屬于中檔題.

(1)用坐標(biāo)表示瓦?、0C，由Ia+記|=夕，求出a的值，從而得靈，再求得三與元的夾角；

(2)用坐標(biāo)表示X?、~BC，由就_L近，得正=0，求出sina+cosa的值，從而求得sinacosa的

值.

23.答案：解：⑴由題意知4B,C三點(diǎn)滿足元=：布+|麗，

可得元-0A=l(0B-0A),

所以3?=|四=|(就+函)，B|ji^4C=|CB,

即就=2而，則|前|=2|至

所以需=2.

(2)由題意,函數(shù)/(%)=~0A.?0C—(2m+1)|AB|=1+1cosx+cos2%—(2m4-|)cosx=(cosx-

m)2+1—m2

因?yàn)閤E[0,§,所以cos%e[0,1],

當(dāng)m＜。時(shí)，當(dāng)cosx=0時(shí)，/(x)取得最小值g(m)=1,

當(dāng)OWmWl時(shí)，當(dāng)cosx=/n時(shí)，/(%)取得最小值g(?n)=1-m?,

當(dāng)m>1時(shí)，當(dāng)cosx=1時(shí),/(%)取得最小值g(m)=2-2m,

l,m<0

1-m2,0<m<1

{2—2m,m>1

可得函數(shù)g(m)的最大值為1.

解析：本題考查了向量的線性運(yùn)算，考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及三角函數(shù)

求最值，考查分類討論思想，屬于中檔題.

(1)由題意可得能-而=|(而-而)，化為，前號(hào)版可得結(jié)果；

(2)由題意可得函數(shù)/'(%)=-OC-(2m+|)|^4F|=(cosx-m)2+1-m2,利用分類討論思想分

別對(duì)m<0,0<m<1,m>1進(jìn)行討論可得g(m)的最大值.

24.答案：解：(1)因?yàn)榍?同，所以尸為線段48的中點(diǎn).

所以麗=+而)=+:而.

所以x=y=*

(2)因?yàn)榍?而一話，~PA=OA-OP.

又前=3萬，所以加一面=307-麗).

解得而=+；礪.因?yàn)閊^OB-OA，

44

所以而?AB=(^OA+-(OB-OA)

1―>——>3―>21——>2

=-0A-OB--0A+-0B

244

=i1x4x2x-1--3xl6+1ix4=-9.

2244

解析：本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

(1)根據(jù)相等向量的定義及向量的運(yùn)算法則求出而，利用平面向量的基本定理求出x,y的值.

(2)利用向量的運(yùn)算法則將加，血用福與麗表示，然后求解即可.

25.答案：解：（1）A4BC中，。是8c的中點(diǎn)，BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)、0.

設(shè)初—xAB+y芯—xAB+y(BC—By4)——x~BA.-y+yBC—(—%—y)BX+yFC,

又前=處，BE=|^4,

所以前=|(-x_y)菸+y^,

所以-|x-|y+y=1，①

又麗=—(x+y)瓦？+2y前，

所以-(x+y)+2y=1,②

由0②組成方程組解得

所以x+y=-：=

(2)設(shè)方=mAD=^m(AB+AC),

,,,,,,——?,,,1~~TIAB,

AO=AE+EO=AE+nEC=AE+n(AC-AE)=(1—n)AE+nAC=-----------hnAC

ii-n

-m=——m=-

所以《

-m=n

所以布=：而=；(而+前)，EC=AC-AE=-^AB+AC,

所以6A0.EC=6X；(4B+4C)?(—“B+AC)=—“B+4B?AC+“C;

又南,芯=6A0-EC

ULI、I

所以o=-A---B--*2+-3A---C-->2,

所以空=3,

所以桀=逐

解析：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(1)用而、氤表示前,再用麗、麗表示的，利用向量相等列方程組求出X、y的值即可；

(2)先求出彩=；而，再用近、前表示出同、正，利用通=6前?點(diǎn)即可求得空的值.

ZAC

26.答案：解：(1)向量萬(vGcoftr.I).萬:(siitr.sin。1),

則：函數(shù)=".萬+J=VBsinzcos./—siirj,—1+：=^-sin2j'-sin(2/一；)，因

為工€[。，汩(久)=/，

所以21-6[-，§,sin(21_、)=空

66363

所以(、)-L--)=,

63

cos2x=cos[(2x-§一芻

=co?(2x—+sin(2x—^)sin-

6666

V2,W

=------'

26

(2)在△.A"C中，角AB,C對(duì)邊分別是a,4c,

且滿足2k*o?AW2r-V*/,整理得：2b————<2c—V3a,

2bc

整理得：eusB=±±巴》0，所以：0<BV3

2<u;26

當(dāng)B=g時(shí)，a=l,△ABC面積為立，

64

則：-acsinB=，解得：c=V3，

24

利用余弦定理得：/二/+/—2WN/J,

a+cb

解得：b=1,則

sinyl+siiiCsinB

解析：本題主要考查三角函數(shù)的化簡求值、余弦定理、向量的數(shù)量積，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)

知識(shí)，逐一分析解答即可.

(1)向量示=(\/3<xxu,.1).7Z=(siiut.shrj-1),

2

則：函數(shù)/(j)=示?77+:=\/3疝Lrcosj*+sinj--14-^=-^sin2j,->S2J,siii，：/-3)，求

二的值;

(2)在中，角4,B,C對(duì)邊分別是a,b,c,

且滿足42r-瓜a,整理得：2b■空*《2c-聒a,求f.,,的值.

27.答案:解：(1)設(shè)圓。的方程為(％—Q)2+(y—b)2=r2,

6(2-a)24-(4—b)2=r2,

依題意，得卜1—a)2+(3—b)2=r2,

(a-b+1=0,

a=2,

解得b=3,

.r=1.

???圓C的方程為(x-2)2+(y-3/=1.

(2)①福?而為定值，

過點(diǎn)4(0,1)作直線AT與圓C相切，切點(diǎn)為7,易得|47『=7,

-.AM-AN=\AM\-\'AN|COS00=\AT\2=7，

??.布?前為定值，且定值為7.

②依題意可知，直線/的方程為'=卜》+1,

設(shè)MS，%),/V(x2,y2),

將y=kx+1代入(x—2)2+(y—3)2=1并整理，

得(1+fc2)x2-4(1+k)x+7=0,

,4(l+fc)7

,,,%