高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)-題型歸納-解題方法+數(shù)列復(fù)習(xí)(綜合訓(xùn)練篇含答案)+數(shù)學(xué)選修2-1練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)-題型歸納-解題方法整理

+數(shù)列專(zhuān)題復(fù)習(xí)（綜合訓(xùn)練篇含答案）+數(shù)學(xué)選修27練習(xí)題

數(shù)列題型歸納（附參考答案）

一、等差數(shù)列與等比數(shù)列

1.基本量的思想：

常設(shè)首項(xiàng)、（公差）比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等。轉(zhuǎn)化為“基本量”是解決問(wèn)題的基

本方法。

2.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

1）若數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛a%｝是等比數(shù)列，公比為a、其中a是常數(shù)，d是｛4｝的公差。（a>0

且a#l）；

2）若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且4〉0,則數(shù)列｛log.〃〃｝是等差數(shù)列，公差為log”q,其中々是常數(shù)且

〃>0,awl,q是的公比。

3）若｛〃〃｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則｛凡｝是非零常數(shù)數(shù)列。

3.等差與等比數(shù)列的比較

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

{a”}為A?尸oa”+]-a”=d(常數(shù))

｛即｝為6?Po巴=q（常數(shù)）

an

通項(xiàng)nk

%=%+(n-1)d=a+(n-k)d=dn+tz,-da”=a,q-'=akq"-

公式k

求和

〃(%+%)n(n-l)na(q

s=----------=na+--------a}=1)

公式n2]12

%=,4(j")=卬一4q豐口

、1-4\-q

中項(xiàng)a+h

A=--------G2=abo

公式2

推廣：a2=a_xa

推廣：2an=an_m+an+mflnmn+tn

1

性若m+n=p+q貝Ua+a=%,+a若m+n=p+q,則aa=aa。

質(zhì)mnqmnpq

2

若伙“｝成A.P(其中kneN)KiJ｛akn｝也若伙/成等比數(shù)列(其中心eN),

為A.P。

則｛%“｝成等比數(shù)列。

3

?sn,s2n-Sn,s3n-s2n成等差數(shù)列。%，S2"一%，$3,一$2"成等比數(shù)列。

4

a—cha—a

d=----L=------(m*n)

n-\m-nqa,”

4、典型例題分析

【題型1】等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

例1(2010陜西文16)已知｛&｝是公差不為零的等差數(shù)列，at=l,且a.,a3,a?成等比數(shù)列.(I)求

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng);(II)求數(shù)列｛2的的前n項(xiàng)和Sn.

解：(I)由題設(shè)知公差dWO,

由a,=l,a.,a3,a,成等比數(shù)列得匕絲=匕以，

1\+2d

解得d=Ld=0(舍去)，故｛aj的通項(xiàng)an=l+(n—1)Xl=n.

(II)由(I)知2a=2北由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

S.=2+22+23+—+2n=-1-2,■=2nfl-2.

1-2

小結(jié)與拓展：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則數(shù)列他""｝是等比數(shù)列，公比為a',其中a是常數(shù)，d是｛4｝的

公差。(a>0且a#l).

【題型2]與“前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an”、常用求通項(xiàng)公式的結(jié)合

21

例2已知數(shù)列｛aj的前三項(xiàng)與數(shù)列｛b.｝的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，且al+2a2+2a3+-+2"-a?=8n對(duì)任意的

nCN*都成立，數(shù)列｛bn+i—bj是等差數(shù)歹U.求數(shù)列｛%｝與限｝的通項(xiàng)公式。

解：ai+2a?+2%3+…+2",an=8n(neN*)①

2n-2

當(dāng)n22時(shí)，a,+2a2+2a3+-+2a?-1=8(n-l)(nGN*)②

①一②得21a0=8,求得a0=2'f,

在①中令n=l,可得ai=8=2'7,

4-n

/.an=2(nGN*).由題意知bi=8,b2=4,b3=2,b2—bi=—4,b3—b2=—2,

數(shù)列｛bn+i—bn｝的公差為一2一(—4)=2,/.bn+i—bn=-4+(n—1)X2=2n—6,

法一(迭代法)

--

bn=bi+(ba-bi)+(bab2)T---F(bnbn-i)=8+(—4)+(-2)T----卜(2n—8)

=n2-7n+14(nGN*).

法二(累加法)

即bn—bn-i=2n—8,

bn-l—bn-2=2n—10,

ba-bz=-2,

b2-bi=-4f

bi=8,

相加得bn=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)

(n—1)(—4+2n—8)

=8+-------------------=n~2—7n+14(zn￡N).

小結(jié)與拓展：1)在數(shù)列⑸｝中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為：

a=S,(n=1)

a=\｝11.是重要考點(diǎn)；2)韋達(dá)定理應(yīng)引起重視；3)迭代法、累加法及累乘法是

(n>2,neN)

求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。

【題型3】中項(xiàng)公式與最值(數(shù)列具有函數(shù)的性質(zhì))

例3(2009汕頭一模)在等比數(shù)列｛a“｝中，an>0(neN*),公比qe(0,1),且aia5+2a3a5+a2as

=25,as與a,的等比中項(xiàng)為2。(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)b0=log2a"，數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和

qqs

為Sn當(dāng)--H——^最大時(shí)，求n的值。

12n

解：(1)因?yàn)閍1a5+2a3a5+a2a8=25,所以，+2a3a5+a；=25

又an>o,…a3+a.5=5又a3與的等比中項(xiàng)為2,所以，a3a5=4

而q￡(0,1),所以，a3>a5,所以，a3=4,a.5=1,q=—，ai=16,所以，

2

%=16x(1=2-

(2)bn=log2an=5—n,所以，bn+i—bn=-1,

所以，瓜｝是以4為首項(xiàng)，―1為公差的等差數(shù)列。所以，S?=W(9~^,^=—

2n2

sss

所以，當(dāng)nW8時(shí)，-^>0,當(dāng)n=9時(shí)，-^=0,n>9時(shí)，-^<0,

nnn

當(dāng)n=8或9時(shí)，--H——+???4—■最大。

12n

小結(jié)與拓展：1)利用配方法、單調(diào)性法求數(shù)列的最值；2)等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)。

二、數(shù)列的前n項(xiàng)和

1.前n項(xiàng)和公式Sn的定義:

S“=ai+az+…%。

2.數(shù)列求和的方法(1)

(1)公式法：1)等差數(shù)列求和公式；2)等比數(shù)列求和公式；3)可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；4)

常用公式：

“1

gk=1+2+3++n=-n(n+l)；

*=i2

『+2?+3?++/=!〃(〃+1)(2"+1)；

*=t6

yr=i3+23+33++〃3=嚴(yán)"+12；

*=12

>,(2k-1)=1+3+5+...+(2n-1)=n~。

*=i

(2)分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,

然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解。

(3)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛aj,與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這

個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法。如：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的。

(4)裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。

適用于(一^)其中｛%｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1)

analt+l

1

,(其中｛4"｝等差)可裂項(xiàng)為：-------=—(---------);2)

+ajJdanan+i

L?i-向(根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求和)

83%d

常見(jiàn)裂項(xiàng)公式:

1_1_1

(1)

n(n+1)nn+1

11,1

(2)------)；

〃(〃+2)knn+k

(3)1-='l11];

n{n-1)(〃4-1)2n[n+1)(n4-1)(〃4-2)

n11

(4)------=——―-------

(n+1)!n\(〃+l)!

22

(5)常見(jiàn)放縮公式：2（內(nèi)-?）==2(4—\ln-1).

\]n+1+\[n&\[n+\]n-1

3.典型例題分析

【題型1】公式法

例1等比數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和Sn=2"—p,則…+a；=.

解：1）當(dāng)n=l時(shí)，=2-p；

nn,n1

2）當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn-Sn.1=（2-p）-（2--p）=2-o

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等比數(shù)列，所以為=2-p=2?i=lnp=l

從而等比數(shù)列｛4｝為首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列。

故等比數(shù)列｛a：｝為首項(xiàng)為1,公比為q?=4的等比數(shù)列。

a\+a2+a3+'"+an=K；j）=，4n

小結(jié)與拓展：1）等差數(shù)列求和公式；2）等比數(shù)列求和公式；3）可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列

的數(shù)列；4）常用公式：（見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)部分）。5）等比數(shù)列的性質(zhì)：若數(shù)列｛”“｝為等比數(shù)列，

則數(shù)列｛a；｝及，也為等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為a；、—,公比分別為屋、-O

lanja!q

【題型2】分組求和法

例2（2010年豐臺(tái)期末18）數(shù)列｛4｝中，4=1,且點(diǎn)（4,。,用）（〃eN*）在函數(shù)/（x）=x+2的圖

象上.（I）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（II）在數(shù)列｛凡｝中，依次抽取第3,4,6,2"T+2,…項(xiàng),

組成新數(shù)列｛bn］,試求數(shù)列｛b?］的通項(xiàng)bn及前n項(xiàng)和5,,,

解：（I）..,點(diǎn)（a“，a"+］）在函數(shù)/（x）=x+2的圖象上，+2。

?,?。用一%=2,即數(shù)列｛七｝是以q=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

an=1+（〃—1）x2=2〃-1。

（II）依題意知：b"=%T+2=2（2"一|+2）—1=2"+3

nn0_'〃+1

n+1

：.Sn=bx+b2++a=Z（2'+3）=Z2'+3〃=—=——+3n=2+3n-2.

i=ii=i1-2

小結(jié)與拓展：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)，再把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然

后由等差、等比數(shù)列求和公式求解。

【題型3】裂項(xiàng)相消法

例3（2010年?yáng)|城二模19改編）已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，a,=l,5,加=4%+1,設(shè)

bn=a^-2an.（I）證明數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列;

--{―-（〃eN*）,求7；=+c2c3+c3c4+

（II）數(shù)列｛%｝滿足%+c￡+i。

log2d+3

證明：（I）由于S,,M=4a,,+l,①

當(dāng)〃22時(shí)，S.=4，*+1.②

①一②得%=4。“-4%-所以an+l-2an=2（a?-2an_,）.

又瓦=%+1-2%,所以2=2%-

因?yàn)閝=1,且G+%=4。］+1,所以4=3q+1=4.

所以乙=4-20=2.故數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)歹U.

解：（H）由（I）可知“=2",則％=——-———N*）.

log2hn+3a+3

I1II

T?=cc+cc+cc++c,￡,+|-----1-----1------F+--------------

t223344x55x66x7(〃+3)(〃+4)

11__n

4〃+44(〃+4)

小結(jié)與拓展：裂項(xiàng)相消法是把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。它適用于

1

\---c---｝其中｛/｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,C為常數(shù);部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1乂-------\

a?an+]J[an-an+i

和＜I-1f(其中｛0“｝等差)可裂項(xiàng)為：-------=—(--------);2)

,A+A+iJ%?川danan+｛

li；—-瘋)。(根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求和)

M+J%d

4.數(shù)列求和的方法(2)

(5)錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列(如果｛%｝等差，｛2｝等比，那么｛。,也J叫做差比數(shù)列)即把每一

項(xiàng)都乘以｛2｝的公比q,向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。

如：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.

(6)累加(乘)法

(7)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.

形如a“=(-l)"f(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求。

(8)其它方法：歸納、猜想、證明；周期數(shù)列的求和等等。

5.典型例題分析

【題型4】錯(cuò)位相減法

2462n

例4求數(shù)歹U—，…前n項(xiàng)的和.

222232〃

2771

解：由題可知｛3｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2n｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列｛--｝的通項(xiàng)之積

c2462n

設(shè)S“^-+—+—+■■■+—

222232"

2n

+???H------②（設(shè)制錯(cuò)位）

2"1

①一②得a—（…+六一瑞（錯(cuò)位相減）

2/7

1-1

S一一夢(mèng)

【題型5】并項(xiàng)求和法

例5求和皿=IO。'-99,+982—972H-----1-22-12

222222

解：SIOO=100-99+98-97H-----F2-l=(100+99)+(98+97)H-----F(2+1)=5050.

【題型6】累加（乘）法及其它方法：歸納、猜想、證明；周期數(shù)列的求和

寺

例6求1+11+111+…+111…1之和.

解：由于111…l='x999…9=’(10&—1)(找通項(xiàng)及特征)

''v'Qs------v------'Q

女個(gè)14個(gè)1

...1+11+111+-+H1-1=-(101-l)+-(102-l)+-(103-l)+---+-(10,t-1)(分組求和)=

9999

-(io'+io2+io3+---+io,,)--(i+i+i+---+i)^--lo(1°

99'-----------------'910-19

=—(10,,+l-10-9n)

6.歸納與總結(jié)

以上一個(gè)8種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處

理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來(lái)解決，只要很好地把握這

一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。

三、數(shù)列的通項(xiàng)公式

1.數(shù)列的通項(xiàng)公式

一個(gè)數(shù)列⑸｝的與之間的函數(shù)關(guān)系，如果可用一個(gè)公式a.=f(n)來(lái)表示，我們就把這

個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2.通項(xiàng)公式的求法(1)

(1)定義法與觀察法(合情推理：不完全歸納法)：直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法

叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類(lèi)型的題目；有的數(shù)列可以根據(jù)前幾項(xiàng)觀察出通項(xiàng)公式。

(2)公式法：在數(shù)列｛a｝中，前n項(xiàng)和S“與通項(xiàng)a”的關(guān)系為：

tZi—S?(〃—1)

(數(shù)列｛%｝的刖n項(xiàng)的和為邑,=4+生++*.

(?>2,neN)

(3)周期數(shù)列

由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。

(4)由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)

類(lèi)型1遞推公式為an+l=a?+f(〃)

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為。，用-/=/.(〃)，利用累加法(逐差相加法)求解。

類(lèi)型2(1)遞推公式為an+l=f(n)a?

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為4也=/(〃)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

a?

(2)由”,用=/(〃)區(qū),和卬確定的遞推數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)可如下求得：

由已知遞推式有%=,a“_|=/(〃-2)a“_2，???，/=/。也依次向前代入，得

??=/(?-!)/(?-2)???/(1)?,，這就是疊(迭)代法的基本模式。

類(lèi)型3遞推公式為=pa,,+q(其中p,q均為常數(shù)，—1)聲0))。

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an+i-t=p(an-t),其中，=_幺_,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。

1一。

3.典型例題分析

【題型1】周期數(shù)列

2an,(Q<an<

若則

例1若數(shù)列｛/｝滿足%+1q=g,a20

2%—i，q<%<1)

答案：一。

7

小結(jié)與拓展：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。

【題型2】遞推公式為。向=%+/(〃)，求通項(xiàng)

例2已知數(shù)列｛qJ滿足q=！，?,)+1=aH+,求您。

2n+n

解：由條件知：??-a=—=——=------

+(n2+n〃(〃+1)n〃+1

分別令〃=1,2,3,……—1),代入上式得(〃—1)個(gè)等式累加之，即

(。2_%)+(〃3-〃2)+(4_)+........+(〃,[-an-\)

?.'a】=一,a=—+1----=--------

12〃n2n2n

小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).

【題型3】遞推公式為??+1=/(?)??,求通項(xiàng)

r\

例3已知數(shù)列｛〃〃｝滿足4]=一，?！?]=—“一〃〃，求〃“。

3〃+1

Z7,7

解：由條件知3=——,分別令〃=1,2,3,……代入上式得(〃-1)個(gè)等式累乘之，即

an〃+1

M—1Cl1

空?義.幺?X----------=>—=—

。2。3??-1234na,n

22

又a1=—，/.a=—

13"3〃

小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).

【題型4】遞推公式為《用=pa“+q（其中p,q均為常數(shù)，（pq（p-l）wO））,

求通項(xiàng)

例4在數(shù)列｛《,｝中，4=1,當(dāng)時(shí)，有a“=3a,i+2,求｛4｝的通項(xiàng)公式。

解法1：設(shè)a“+根=3（?！癬]+根），即有?！?3a,i+2〃?，對(duì)比=34_]+2,得加=1,于是得

4+1=3（?_]+1）,數(shù)歹心怎+1｝是以q+l=2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有a“=2-3"T-l。

解法2：由已知遞推式，得a“+i=3a“+2,a“=3an_i+2,（n>2），上述兩式相減，得。,用一?！?3（a“一。"_1）,

因此，數(shù)列｛。向一4｝是以出一4=4為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以4M-a“=4-3"T,即

3a“+2-4=4?3"-',所以4=2?3"-'-1.

小結(jié)與拓展：此類(lèi)數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)

造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)%+i+m=P（%+"）,展開(kāi)整理a，用='4+'”一機(jī)，比較

系數(shù)有〃加一根=",所以〃2=_也，所以見(jiàn)+上_是等比數(shù)列，公比為p,首項(xiàng)為q+—也。二是

/?—1p-\p-\

用做差法直接構(gòu)造，a“+i=pan+q,an=pan_x+q,兩式相減有an+l-an=p（an-an_t）,所以a“+i

是公比為p的等比數(shù)列。也可用“歸納一猜想一證明”法來(lái)求，這也是近年高考考得很多的一種題型.

4.通項(xiàng)公式的求法（2）

（5）構(gòu)造法

構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)?/p>

輔助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個(gè)直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這

種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，此類(lèi)題通

常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺(jué).

1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列

由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)

疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.

2）構(gòu)造差式與和式

解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)

公式.

3）構(gòu)造商式與積式

構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.

4)構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式

有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問(wèn)題得以解決.

(6)歸納猜想證明法

數(shù)學(xué)歸納法

T

(7)已知數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)之積T”一般可求Ti,則a.=7-(注意：不能忘記討論”=1).

如：數(shù)列數(shù)“｝中,對(duì)所有的〃eN*都有生。2a3…以"=，則。3+。5=.

四、典型例題分析

【題型5】構(gòu)造法：1)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列

2

例5設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和為S",對(duì)于任意正整數(shù)n,都有等式：a,,+2an=4S“成

立,求｛%｝的通項(xiàng)a口

解：“；+2%=4S“=>%2+2%=4s“t’

aa

n-L+2a“-2an_,=4(S“-S?_t)=4a.

3”+a,i)(4-/i—2)=0，：.an-an_,=2.即｛%｝是以2為公差的等差數(shù)列，且

a,2+2al=4alnq=2.

/.an—2+2(〃-1)=2〃

小結(jié)與拓展：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等

比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.

【題型6】構(gòu)造法：2)構(gòu)造差式與和式

解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)

公式。

例6設(shè)｛〃〃｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且a：-a3-〃a〃一〃a“_］=0,(n@N*),求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.

解：由題設(shè)得⑷+《1T)(々〃一?！╛］一〃)=0.

?。［>0,???！?>0.

‘a(chǎn)”一％=〃

/、Z、Z、1cc〃(胃+1)

cin=4+(2-4)+(%-Q,)+，，，—^n-\)=1+2+3+???+〃=———

【題型7】構(gòu)造法：3)構(gòu)造商式與積式

構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.

例7數(shù)列｛a,,｝中，=1,前n項(xiàng)的和S“=〃2%,求見(jiàn)…

解：a“=S“一S"_|=〃)“一(〃一1)%“_|ns?2a“t

cin—1

=>—=----，

〃+1

n-\n-2111

…&嗎----.-----...——x—=-------

an-\an-2〃+1n32

1

??an+\

5+1)5+2)

【題型8】構(gòu)造法：4)構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式

有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問(wèn)題得以解決.

例8設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足%=1,勺=2。3(n22).求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式.

解:兩邊取對(duì)數(shù)得：log，”=l+21og產(chǎn)，log；"+l=2(logQ+l),設(shè)a=log；"+l,

則2=2%

例｝是以2為公比的等比數(shù)列，4=bg；+l=l.

b?=lx2"-'=2"T,log："+1=2"T,log2"=2'-'-I,

【題型9】歸納猜想證明

例9設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且方程X*—HnX—an=0有一根為Sn—1,n=l,2,3,,,,

(I)求a”a2；(II)｛an)的通項(xiàng)公式,

解：(1)當(dāng)口=1時(shí)，x?—a【x—a]=0有一根為Si—l=a1一1

于是(ai—I)?—ai(a1-1)—ai=0,解得ai=g

當(dāng)n=2時(shí)，x"—a2x—a2=0有一根為S2—l=a2—

于是3一步一a2(a2—3一a2=0,解得a1=，

(II)由題設(shè)(SL1)'—an(Sn—1)—an=0,

—=

即Sn"2Sn+1—anSn0.

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn—Sn-i,代入上式得

Sn-lSn_2Sn+1=0①

11123

由(I)知Si=ai=5，Sz=ai+@2=5+3=、由①可得53=]

由此猜想S“=TT7，n=l,2,3,—

n+1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論

(i)n=l時(shí)已知結(jié)論成立.

1/

(ii)假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即Sk=F，

k+1

ik+1

當(dāng)口=1<+1時(shí)，由①得Sk+i=^二，B|JSk+i=i_i_9?

乙一、kk十N

故n=k+l時(shí)結(jié)論也成立

綜上，由（i）、（ii）可知a=士對(duì)所有正整數(shù)n都成立

n十1

▼nn—11

于是當(dāng)n22時(shí)，a=S-Sn-i=~ry-...=一TTTT，

nnn-r1nn（n十1）

又n=l時(shí)，ai=T=!所以

L1VAz

｛an｝的通項(xiàng)公式an=m，n=l,2,3）...

數(shù)列高考復(fù)習(xí)（附參考答案）

------綜合訓(xùn)練篇

一、選擇題：

1.在等差數(shù)列｛4｝中，6+36+65=120,則2a9—/0的值為（0）

A.18B.20C.22D.24

2.等差數(shù)列｛4｝滿足：6+%=8應(yīng)=30,若等比數(shù)列也“｝滿足仇=6也=4,則名為（B）

A.16B.32C.64D.27

3.等差數(shù)列｛4｝中,q+4+%=39,%+4+。9=27,則數(shù)列｛6,｝的前9項(xiàng)之和S9等于

（C）A.66B.144C.99D.297

4.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的公比q#l,且。2，卬成等差數(shù)列，則為（A）

y[5—1V5+11—A/5A/5+1?A/5—1

A.------B.------C.------D.------或------

22222

5.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和為S"，若'=3,則'=（B）

$356

78

A.2B.-C.-D.3

33

6.已知等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)的和為S“，且$2=10,S5=55,則過(guò)點(diǎn)P（〃,a“）和Q（〃+2,a“+2）（〃eN*）

的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是（B）

A.（2，e）B.（-],-2）c.（--,-1）D.（—1,—1）

7.設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù),3a、4b、5c成等比數(shù)列，且1土1、士1、上成等差數(shù)列，則u,上c的值為（C）A9.4—

abcca15

943434

B.±——C.—D.±——

-151515

2

8.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)%=，則下列表述正確的是（A）

3

A.最大項(xiàng)為G，最小項(xiàng)為小B.最大項(xiàng)為4,最小項(xiàng)不存在

C.最大項(xiàng)不存在，最小項(xiàng)為&D.最大項(xiàng)為卬，最小項(xiàng)為。4

9.已知｛aa｝為等差數(shù)列，?1+03+?5=105,%+4+4=99.以S”表示｛a“｝的前〃項(xiàng)和，則使得S“達(dá)到最

大值的〃是（B）

A.21B.20C.19D.18

9.一系列橢圓都以一定直線/為準(zhǔn)線，所有橢圓的中心都在定點(diǎn)M,且點(diǎn)M至卜的距離為2,若這一系列

橢圓的離心率組成以3[為首項(xiàng)，；|為公比的等比數(shù)列，而橢圓相應(yīng)的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為ai=（i=l,2,…，n）,

I機(jī)

n-2

設(shè)bn=2（2n+l）?3?an,且品=一；一，Tn=Ci+C2+-+Cn,若對(duì)任意neN*,總有%>—恒成立，

儲(chǔ)瓦90

則m的最大正整數(shù)為（B）

A.3B.5C.6D.9

二、填空題：

10.已知等差數(shù)列｛4｝前n項(xiàng)和S產(chǎn)-M+2tn,當(dāng)n僅當(dāng)n=7時(shí)Sn最大，則t的取值范圍是

（6.5,7.5）_.

r）[n5為奇數(shù)）

11.數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式是“，="，則數(shù)列的前2m（m為正整數(shù)）項(xiàng)和是_2m+1+m2—

“忸（〃為偶數(shù)）

2.

12.已知數(shù)列｛可｝滿足：。4"-3=0,。2"=a“，〃eN*,則“2009=：

%014=

【答案】1，0

【解析】本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型.

依題意，得。2009—04x503-3=>°2014=02*1007="1007=“4x252-1=°?

應(yīng)填1,0.

13.在數(shù)列｛%｝和也,｝中，兒是a〃與am的等差中項(xiàng)，久=2且對(duì)任意都有

4

3an+i—an=0,則數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式bn

3"

14.設(shè)Pl,P2,…Pn…順次為函數(shù)y=L(x>0)圖像

X

圖)，Q1，Q2，…Qn…順次為X軸上的點(diǎn)，且

△OPQ\,AO\P◎，…，…,均為等

形(其中Pn為直角頂點(diǎn)).設(shè)Qn的坐標(biāo)為

(x“,O)(OwN*),則數(shù)列｛面的通項(xiàng)公式為

xn-2-VHneN*）

三、解答題:

15.已知｛6,｝是等比數(shù)列，Sn是其前。項(xiàng)的和，。1，。7,。4成等差數(shù)列，求證：2s3,56,s12-s6,成等比

數(shù)列.

15.［解法1］由已知%+4=2%，%+4/=2。］/,：.1+“3=246...........（2分）

6

當(dāng)”1吐2s3（幾-SJ=2s3（%+/++ai2）=2s4（ad+%q6+仆力=2S3S6^

.........（4分）

31<6

=（1+^）S3S6=（l+^）-^^-56=^<~?<56=52...........（8分）

\-q\-q

當(dāng)4=1時(shí),S3=3q,S。=6%,Si2-§6=64,同樣有2s302-Sf）=S：,……（10分）

所以，2s3，S6，S12-S6成等比數(shù)列......................................（12分）

[解法2]由已知q+%=2%,%+%/=2aq6,..i+/=246,..........（2分）

當(dāng)夕=1時(shí),2S2（S[2—S4）=2x34（12%-q）=36a；,

S；=（6%>=36而????2s2（S12—$6）=S]2s3,§6,$2-S6成等比數(shù)列.???（6分）

當(dāng)時(shí)，丸=工?^^=工（1+/）=_1.2],..................（8分）

2s③2l-q322

2s3,S6,Sl2-S6成等比數(shù)列..........................................（11分）

綜上，2s3，S6，S12—S6成等比數(shù)列......................................(12分)

16.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意自然數(shù)n總有S“=p(%-l),(p為常數(shù)，且

pw0,p#1）,數(shù)列｛a｝中有a=2n+q（q為常數(shù)）。

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）若4]=4,。2＜。2求P的取值范圍。

16.解：（1）4=S]=p（q-1）解得p=—^―（p*O，P*D

P-1

當(dāng)〃22時(shí)，a,,=Sn-Sn_]=p（an-an_x）整理得（p-1）%=p%

故殳"=—^―（〃22,〃eN+,”0,”1）

4分

/iP—l

P_］，an_,p-1

得4=4（4）"T=（-A）'（〃eN.）........................6分

p-\p-1p-\

p

=2+9

P-l

(2)由已知得＜消去<7并整理得（上）2-—2--2<0

2Ap—lp—l

（上,）x2<4+4〃y

p-

則-1<—<2

p-l

又p^O,：.〃的取值范圍為(-O0,0)U(0,3U(2,+00)...........12分

16.新星家俱廠開(kāi)發(fā)了兩種新型拳頭產(chǎn)品，一種是模擬太空椅，一種是多功能辦公桌.2005年該廠生產(chǎn)的模

擬太空椅獲利48萬(wàn)元，以后它又以上年利潤(rùn)的1.25倍的速度遞增；而多功能辦公桌在同年獲利75

萬(wàn)元，這個(gè)利潤(rùn)是上年利潤(rùn)的上4，以后每年的利潤(rùn)均以此方式產(chǎn)生.預(yù)期計(jì)劃若干年后兩產(chǎn)品利潤(rùn)之

5

和達(dá)到174萬(wàn)元.從2005年起，

(I)哪一年兩產(chǎn)品獲利之和最??？

(II)至少經(jīng)過(guò)幾年即可達(dá)到或超過(guò)預(yù)期計(jì)劃？

解：(D設(shè)第〃年太空椅獲利萬(wàn)