部編人教版初二年級下冊冊數(shù)學(xué)全冊教案

新人教版八年級下冊初中數(shù)學(xué)

全冊資料匯編

教案（教學(xué)設(shè)計(jì)）

16.1二次根式⑴

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：理解二次根式的概念，并利用JZ（a>o）的意義解答具體題目.

過程與方法目標(biāo)：提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：形如JZ（a>0）的式子叫做二次根式的概念.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用"&（a>0），）解決具體問題.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用。

2、講練結(jié)合法：在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與平方根進(jìn)行類比，獲得解決問題的方法

后配以精講，并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的模型，形成有效的學(xué)習(xí)策

略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個問題：

3

問題1：已知反比例函數(shù)尸一，那么它的圖象在第一象限，橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)

x

是.

問題2:如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB邊的長是

老師點(diǎn)評：

問題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即戶/，所以寸=3.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x=也,所以

所求點(diǎn)的坐標(biāo)（班）,V3）.

問題2:由勾股定理得AB=J15.

二、探索新知

很明顯6、都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，

我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如卜（4o）的式子叫做二次根式，

稱為二次根號.

議一議：

1.-1有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當(dāng)KO,一有意義嗎？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：垃、班、>、G（x>o）、Vo.

X

V2>->/2>---、Jx+y(x>0,y>0).

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“7廠”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)

或0.

解：二次根式有：應(yīng)、\[x(x>0)>Vo>-5/2Jx+y(x>0,/>0);不是二次

根式的有：\/3、一、45、-----.

xx+y

例2.當(dāng)x是多少時(shí)，43x7在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-l>0,二

才能有意義.

解：由3x-l>0,得xA3.

當(dāng)X〉；時(shí)，，3%—1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

三、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)X是多少時(shí)，J2X+3+——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

x+1

分析：要使j2x+3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足，2x+3中的2x+3》0和

x+1

---中的A+I^O.

x+l

2x+3>0

解：依題意，得V

%+1w0

3

由①得：X>--.

由②得：xW-1.

當(dāng)xA-—且xr-l時(shí)，J2X+3+---在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4⑴4知尸\l2—x+dx—2+5,求一的值.(答案:一)

>15

(2)若Ja+1+八一1=0,求產(chǎn)%廿。is的值.(答案：2)

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握:

1.形如JZ（a>0）的式子叫做二次根式，“、廠”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列式子，是二次根式的是（）

A.-A/7B.-V?C.4xD.A-

2.下列式子，不是二次根式的是（）

A.V4B.V16C.aD.-

X

3.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是（）

A.5B.V5C.|D,以上皆不對

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為.

3.負(fù)數(shù)_______平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為1m,的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做

成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？

12戈_|_3

2.當(dāng)x是多少時(shí)，---+V在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

X

3.若，3-x+<x—3有意義，則x=.

4.使式子J一（x-5尸有意義的未知數(shù)x有（）個.

A.0B.1C.2D.無數(shù)

5.已知a、b為實(shí)數(shù)，且Ja-5+2JlO_2a=什4,求z、b的值.

答案:

一、1.A2.D3.B

二、1.(a>0)2.4a3.沒有

三、1.設(shè)底面邊長為X,則0.2/=1,解得：戶逐.

2%+3>0

2.依題意得：，

XHO

x工0

J?*

當(dāng)x>-士3且x#0時(shí)，-在_實(shí)|_3數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

2x

1

3.—4.B5.a=5,b=-4

3

板書設(shè)計(jì)：

16.1二次根式（1）

情境引入例2學(xué)生板演

二次根式的定義例3

例1例4小結(jié)

16.1二次根式⑵

教學(xué)內(nèi)容

1.4a(a》0)是一個非負(fù)數(shù)；

2.(y[a)2=a(a>0).

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：理解JZ(a>0)是一個非負(fù)數(shù)和(JZ)2=。(a>0),并利用它們進(jìn)行

計(jì)算和化簡.

過程與方法目標(biāo)：復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出&(40)是一個非負(fù)數(shù)，

用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(JZ)2=2(2》0)；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：4a(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；(&)2=a(a>0)及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出右(3>0)是一個非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)

出(G)2=a(a>0).

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；

2、講練結(jié)合法：在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀、類比，獲得解決問題的方法后配以精講，

并進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生理解(a>0)是一個非負(fù)數(shù)和

(6)2=a(a>0),形成有效的學(xué)習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a>0時(shí)，&叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，&有意義嗎？

老師點(diǎn)評（略）.

二、探究新知

議一議：4a（a》0）是一個什么數(shù)呢？

老師點(diǎn)評：

（a>0）是一個非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

（V?）2=；（A/2）2=；（M）2=;（V3）2=;

（R）2=------；（0--------；（而）2=--------

老師點(diǎn)評：“是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，"是一個平方等于4的

非負(fù)數(shù)，因此有（"）2=4.

同理可得：（血）2=2,（囪）2=9,（6）2=3,（J）2=；,（左）2=y,（C）

2=0,所以

（4a）2=2（Q0）

例1、計(jì)算

1.*）22.（3逐）23.（島24.（4）2

分析：我們可以直接利用（JZ）2=2（a>0）的結(jié)論解題.

解：（￡）2=y,（3逐）2=32?（逐）2=32-5=45,

ZF）2_5￡2_訴_7

（代）一6,（2）一22一“

三、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值:

網(wǎng)闔圖(何啕

0扃-(5可

四、應(yīng)用拓展

例2、計(jì)算

1.(A/7+T)2(x>0)2.(V?)23.(，/+2十+1)2

4.(，4%2功9+)2

分析：(1)因?yàn)閤20,所以x+l>0;(2)才20;(3)才+2z+l=(z+l)>0;

(4)4A2-12A-+9=(2X)2-2-2x-3+3?=(2x-3)2>0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用(JZ)2=a(a>0)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因?yàn)樗詘+l>0,

(A/X+1)2=A+1.

(2),.-a2>0,(7?)2=Z

(3)/+2a+l=(a+1)2,(a+1)2>0,a2+2a+l>0,yjCl"+2,CI+1—a2+2a+l.

(4),?,4X2-12X+9=(2X)2-2-2x?3+32=(2x-3)2,(2x-3)2>0,

.-.4A2-12X+9>0,(，4f-12X+9)2=4/-12X+9.

例3、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)幺-3(2)f-4(3)2^-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.y/a(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；

2

2.(y/a)2=&(5>0)；反之:-(\[a)(z>0).

六、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列各式中J石、島、〃2一1、口命、JW+20、7-144,二次根式

的個數(shù)是().

A.4B.3C.2D.1

2.數(shù)〃沒有算術(shù)平方根，則〃的取值范圍是().

A.^>0B.C.aVOD.a=0

二、填空題

1.(-V3)2=.

2.2知，x+1有意義,那么是一個數(shù).

三、綜合提高題

1.計(jì)算

2

(1)(>/9)⑵一(52⑶^指1(4)-3

(5)(26+3正)(2后-30)

2.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)X(x>0)

3.已知Jx—y+1+Jx-3=0,求/的值.

4.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)^-2(2)x*-9(3)3「5

答案：一、1.B2.C

-,1.32.非負(fù)數(shù)

11O

三、1.⑴(的)2=9⑵-(6)2=-3(3)(-V6)2=-X6=-

2

=9X—=6

3

2.(1)5=(V5)2;(2)3.4=(^4)2;(3)!=(.H)2;(4).Y=(>/x)2

(x>0)

x-y+l=Ox=3

*=34=81

x-3=0y=4

4.(1)^-2—(x+-x/2)(x-yfl.)

(2)x,-9=(V+3)(V-3)=(V+3)(x+G)(X-A/3)

(3)略

板書設(shè)計(jì)：

16.1.二次根式(2)

情境引入例1學(xué)生板演

1.4a(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；例2

2.(y/a)2-a(40);

2

反之:w=(y/a)(5>0).例3小結(jié)

16.1二次根式(3)

教學(xué)內(nèi)容:C=a(a>0)

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：理解(a>0)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

過程與方法目標(biāo)：通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究(a>0),并利用這個結(jié)論解決具體

問題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：=a(a>0).

2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清時(shí)，J/=a才成立.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；

2、講練結(jié)合法：在例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并

進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟(a>0),形成有效的學(xué)習(xí)策

略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入

1.形如JZ(a>0)的式子叫做二次根式；

2.y[a(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；

3.(>/a)2=a(a>0).

那么，我們猜想當(dāng)時(shí)，C=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題.

二、探究新知

填空:

(老師點(diǎn)評)：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到:

廳=2;A/O.OI2=0.01;

因此，一般地：=2(3>0)

例1、化簡

(1)M(2)7^(3)V25(4)斤斤

分析：因?yàn)?1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運(yùn)用=2(a>0)去化簡.

解：(1)囪=五=3(2)J(-4尸="=4

(3)后=行=5(4)J(-3)2=療=3

三、應(yīng)用拓展

例2、填空：當(dāng)a>0時(shí)，后=_____;當(dāng)a<0時(shí)，,并根據(jù)這一性質(zhì)

回答下列問題.

(1)若冊=a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若則a可以是什么數(shù)？

(3)則a可以是什么數(shù)？

分析：:C=a(a>0),.,.要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)

變形，使“()2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)a<0時(shí)，7?=7(-?)2,那么-a》0.

（1）根據(jù)結(jié)論求條件；（2）根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知=

\a\,而|a|大于或等于a,只有a<0時(shí)才能使J/>a.

解：（1）因?yàn)镃=a,所以a拄0.

（2）因?yàn)?=-%所以aWO.

（3）因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí)要使即使心a所以。不存在；當(dāng)a<0時(shí)，

要使J/>a,即使-a>a,a<0.綜上，a<0.

例3、當(dāng)x>2,化簡Q（X-2）2.

分析：（略）

四、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：J?=a（a>0）及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，病=一。的應(yīng)用拓

展.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

）.

D.以上都不對

2.a>0時(shí)，C、J（一〃）2、-G,比較它們的結(jié)果，下面四個選項(xiàng)中正確的是（）.

A.V?=4-々）2>-V?B.>｛（一々）2

c.V?<7（-?）2<-V?D.-V?>V?=7（-?）2

二、填空題

1.-Vo.0004=_____.

2.若J20m是一個正整數(shù),則正整數(shù)切的最小值是_______.

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+Jl—2fl+a2的值,甲、乙兩人的解答如下:

甲的解答為：原式=z+=a+（La）=1;

乙的解答為：原式=a+J(1—a):-a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是___________.

2.若門995々|+J"2000=a,求2-1995?的值.

（提示：先由#2000〉0,判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對值）

3.若-34x42時(shí)，試化簡|x-2|+J（X+3）2+&-10彳+25。

答案:一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲沒有先判定La是正數(shù)還是負(fù)數(shù)

2.由已知得a-120001>0,a及2000

所以.1995+Ja—2000=a,A/?-2000=1995,^2000=19952,

所以2-19952=2000.

3.10-x

板書設(shè)計(jì)：

16.1二次根式（3）

情境引入例2學(xué)生板演

=a(40).例3

例1練習(xí)小結(jié)

16.2二次根式的乘除⑴

?模式介紹

"探究式教學(xué)”是以自主探究為主的教學(xué).它是指教學(xué)過程是在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，以

學(xué)生獨(dú)立自主探究或合作討論為前提，以現(xiàn)行教材為基本探究內(nèi)容，以學(xué)生周圍世界和生活

實(shí)際為參照對象，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的一種教學(xué)形式.學(xué)生

對當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容中的主要知識點(diǎn)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、深入探究并進(jìn)行小組合作交流，以自我獲取,

自我求證的方式深化知識的理解和運(yùn)用.從而較好地達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于認(rèn)知目標(biāo)與情感目

標(biāo)要求的一種教學(xué)模式.其中認(rèn)知目標(biāo)涉及與學(xué)科相關(guān)知識、概念、原理與能力的掌握；情

感目標(biāo)注重科學(xué)素養(yǎng)與道德品質(zhì)的培養(yǎng).

探究式教學(xué)的課程環(huán)節(jié)：

創(chuàng)設(shè)情境----啟發(fā)思考-----自主探究'協(xié)作交流----總結(jié)提高

?思路說明

由數(shù)據(jù)引出&-yfb=>Jab(6Z>0,/?>0),并利用逆向思維J2=JZ-4b

(a>Q,b>Q)讓學(xué)生感受到到等式的可逆性，從而形成結(jié)論是否可逆的思考方式，加深

學(xué)生對數(shù)學(xué)的思考深度，提高對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

?教材分析

本章內(nèi)容“二次根式”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它與已學(xué)

內(nèi)容"實(shí)數(shù)""整式”“勾股定理”緊密聯(lián)系，同時(shí)也是以后將要學(xué)習(xí)的“解直三角形"、"一

元二次方程”、“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的不等式、函數(shù)以及解析

幾何等大部分做好準(zhǔn)備.通過本章通過對二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則、運(yùn)算規(guī)律等探

究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生掌握認(rèn)識事物的一般規(guī)律。本

章內(nèi)容無論在知識、數(shù)學(xué)思考方法上，還是在對學(xué)生的能力培養(yǎng)上都是非常重要的.

?教學(xué)目標(biāo)

【知識與能力目標(biāo)】

1.理解-yjb=4ab(a>0,6>0),4ah^4a-&(a>0,6>0),并利用它們進(jìn)

行計(jì)算和化簡.

2.利用逆向思維=?、歷(tz>0,Z?>0)并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡.

3.法則可以推廣到多個二次根式相乘的運(yùn)算.

【過程與方法】

1.學(xué)生在探索過程中，學(xué)會觀察、分析、總結(jié)歸納，學(xué)會思考問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察

能力、歸納概括的能力.

2.通過二次根式的乘法運(yùn)算，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

1.學(xué)生通過分析、總結(jié)、歸納學(xué)會二次根式的乘除運(yùn)算，并能靈活運(yùn)算，感受成功.

2.體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動充滿著好奇與創(chuàng)造，并懂得在探究學(xué)習(xí)活動中學(xué)會與他人合作交

流，培養(yǎng)學(xué)生求實(shí)創(chuàng)新和集體協(xié)作的精神.

?教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解G-s[b=\[ab(a>0,h>0),y/ab=>/a-4b(a>0,h>0)并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)

算.

【教學(xué)難點(diǎn)】

y/a-4b=\[ab(a>0,Z?>0)的相關(guān)計(jì)算.

?課前準(zhǔn)備

教學(xué)PPT

?課時(shí)安排

1課時(shí)

?教學(xué)過程

(―)知識回顧

1、你認(rèn)為什么樣的式子是二次根式?試舉一例

2、二次根式有哪些基本性質(zhì)？

(-)情境引入

1.一個長方形的長是J5cm,寬是JT§cm,這個長方形的面積是多少？

解：長方形的面積為卜后x/石卜?？

思考：這個結(jié)果能否化簡？如何化簡？

(三)探索新知

計(jì)算：①廂乂亞=J16x9=

上述結(jié)果具有什么規(guī)律？利用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算

⑴0x6=(2)顯#=

思考：J(T)x(—9)=qx口是否成立?

歸納：一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

y[a-4b>0,Z?>0)

文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數(shù)的積的算術(shù)平方根.

推廣：4a\[k=yjab--k(a>0,b>0.—k>0)

解決問題屈x百=,6x3=3

(四)例題講解

例1.計(jì)算

(1)73x75(2)V3xV12(3)^xV27(4)&E

二次根式的乘法法則&-4b=\fab(a>0,Z>>0),

反過來，可以得到=-s[b(a>0,Z>>0)

文字?jǐn)⑹觯悍e的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

利用這個等式可以化簡一些根式.

例2.化簡

(1))4x121(2)丘><42*8(3)7(-2)X(-8)

注意根式運(yùn)算的結(jié)果中，被開方數(shù)應(yīng)不含能開得盡方的因數(shù)或因式

(五)總結(jié)分享

1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根的積和積的算術(shù)平方根

4a-yfb=4ab(a>0,6>0),

4ab=Ja-\fb(a>0,b>0)

2.化簡二次根式的步驟：

(1)將被開方數(shù)盡可能分解成幾個平方數(shù).

(2)應(yīng)用公式-4b='Jab(a>0,b>0),

(3)將平方項(xiàng)應(yīng)用二次根式的性質(zhì)化簡.

(六)鞏固新知

1.將存彘化簡，正確的結(jié)果是()

A.672B.±6五C.3我D.±3我

2.對于任意實(shí)數(shù)a,下列各式中一定成立的是()

A.Jj--]—y/ci—1,+1

B.+6)~=a+6

C.J(-16>(-a)=TQ

D.,25a4=5片

3.下列計(jì)算中，正確的是()

A.(2@z=2x3=6

B.漁3=2

2

C.J(-9)x(-4)=5/36=6

D.79+16=79+716

4.設(shè)Q=叵,b=6,用含a、b的式子表示J四=.

5.對于任意不相等的兩個實(shí)a、h,定義運(yùn)算※如下：a※匕=也亙

，那么6X12

a-b

6.若=4,〃=5,且。5<0,貝1]。一力=.

7.計(jì)算

(1)76x715x710;(2)5712x4V27

⑶2疝x3j2

7.如何比較一7遙和一6夜的大?。?/p>

?板書設(shè)計(jì)

16.2.1二次根式的乘法

一、二次根式的乘法法則：\[a-yfb=\[ab(a>0,b>0)

反過來，可以得到，益=&-、/(a>0,b>0)

二.化簡二次根式的步驟：

(1)將被開方數(shù)盡可能分解成幾個平方數(shù).

(2)應(yīng)用公式-y/b=yfab(a>0,b>0),

(3)將平方項(xiàng)應(yīng)用二次根式的性質(zhì)化簡.

?教學(xué)反思

在探究二次根式乘法的過程中，使學(xué)生在探究時(shí)，經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、總結(jié)以及

由具體到抽象、由特殊到一般的學(xué)習(xí)過程，體會到了研究問題、解決問題的方法，加深了對

二次根式乘法法則的理解。

沒有刻意地增加難度，而立足于教材，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)新知，使學(xué)生能準(zhǔn)確

地把握學(xué)習(xí)重點(diǎn)，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

16.2二次根式的乘除⑵

?教材分析

本章內(nèi)容"二次根式”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中"數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它與已學(xué)

內(nèi)容"實(shí)數(shù)""整式”“勾股定理”緊密聯(lián)系，同時(shí)也是以后將要學(xué)習(xí)的“解直三角形"、"一

元二次方程"、"二次函數(shù)"等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的不等式、函數(shù)以及解析

幾何等大部分做好準(zhǔn)備.通過本章通過對二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則、運(yùn)算規(guī)律等探

究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生掌握認(rèn)識事物的一般規(guī)律。本

章內(nèi)容無論在知識、數(shù)學(xué)思考方法上，還是在對學(xué)生的能力培養(yǎng)上都是非常重要的.

?教學(xué)目標(biāo)

【知識與能力目標(biāo)】

4a\a_\[a

1.理解忑(5>0,Z?>0)和(a>0,6>0)及利用它們進(jìn)行運(yùn)算.

2.掌握最簡二次根式，及二次根式的乘除法的混合運(yùn)算.

【過程與方法】

1.學(xué)生在探索過程中，學(xué)會觀察、分析、總結(jié)歸納，學(xué)會思考問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察

能力、歸納概括的能力.

2.通過二次根式的除法運(yùn)算和乘除混合運(yùn)算，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

1.學(xué)生通過分析、總結(jié)、歸納學(xué)會二次根式的乘除運(yùn)算，并能靈活運(yùn)算，感受成功.

2.體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動充滿著好奇與創(chuàng)造，并懂得在探究學(xué)習(xí)活動中學(xué)會與他人合作交

流，培養(yǎng)學(xué)生求實(shí)創(chuàng)新和集體協(xié)作的精神.

?教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解=(a>0,￡>>0),(a>0,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

【教學(xué)難點(diǎn)】

,Raalay]a

理解方—(a>0,b>Q),(a>0,6>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

?課前準(zhǔn)備

教學(xué)PPT

?課時(shí)安排

1課時(shí)

?教學(xué)過程

(―)知識回顧

1、二次根式有哪些基本性質(zhì)？

2、二次根式的乘法法則是什么？

(二)探究新知

1.化簡二次根式:

計(jì)算上述各式，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，利用規(guī)律填空:

1；噂5

一般地，對二次根式的除法規(guī)定為

&

存=壯（心0,">0）

文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數(shù)的積的算術(shù)平方根.

（三）嘗試應(yīng)用

1.計(jì)算Q）

yja

二次根式的除法法則一產(chǎn)（a>0,b>0）,

4b

\a4az、

反過來，可以得到g二而（心心b>0）,

文字?jǐn)⑹觯荷痰乃阈g(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的商.

2.化簡：⑴、二—

V100⑵思

注意根式運(yùn)算的結(jié)果中，被開方數(shù)應(yīng)不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

3.化簡：

注意：在二次根式的運(yùn)算中，一般要求最后結(jié)果的分母中不含根式

歸納：什么是最簡二次根式?

1、被開方數(shù)不含分母;

2、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。

（四）能力拓展

計(jì)算:V27x-2|一

4

（五）總結(jié)分享

1.二次根式的除法法則:=Jg（a>0,b>0）

算術(shù)平方根的商等于被開方數(shù)的商的算術(shù)平方根。

\a_4a

2.二次根式的除法法則的逆用:(a>0b>0)

商的算術(shù)平方根等于被除式與除式的算術(shù)平方根的商。

3.最簡二次根式需要滿足哪些條件？

(1)被開方數(shù)不含分母;

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

(六)鞏固新知

1.下列計(jì)算正確的是()

A.3g-逝+2百=4B.5V2+V2=10C.(A/^2)2=-2D.2-72=72

2.計(jì)算學(xué)

的結(jié)果是.

,0.09x169

V0.64x196

6.計(jì)算:⑴舟后⑵國出

7.化簡下列各式:

4

⑴166aF”

la3b

⑵6>o,c>。)；

?板書設(shè)計(jì)

16.2.2二次根式的乘法

一、二次根式的除法法則:一產(chǎn)=(a>0,b>0)

4b

算術(shù)平方根的商等于被開方數(shù)的商的算術(shù)平方根。

二、二次根式的除法法則的逆用:廠而("心。)

商的算術(shù)平方根等于被除式與除式的算術(shù)平方根的商。

三、最簡二次根式：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

?教學(xué)反思

從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)組織教學(xué)，類比二次根式的乘法法則，推理出二次根式的除法法則。

促進(jìn)正向遷移，同化新知，鞏固新知。

尊重學(xué)生解決問題的方法的多樣性，鼓勵學(xué)生從多角度思考問題。

營造輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境，注意讓學(xué)生在新知識探究的過程中提高合情合理的推理能力、表

達(dá)能力、與人合作意識，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法等各方面的進(jìn)一步發(fā)展。

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16.3二次根式的加減⑴

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：理解和掌握二次根式加減的方法.

過程與方法目標(biāo)：先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進(jìn)行加減的

方法的理解.再總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，用它來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精

神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與同類項(xiàng)進(jìn)行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進(jìn)行

分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式加減的模型，形成有效的學(xué)

習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：計(jì)算下列各式.

(1)2x+3x；(2)(3)x+2x+3y；(4)3/-2/

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教師點(diǎn)評：上面題目的結(jié)果，實(shí)際上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)合并.同類項(xiàng)合并就是字

母不變，系數(shù)相加減.

二、探索新知

學(xué)生活動：計(jì)算下列各式.

(1)2A/2+3\/2(2)2\/8-3s/S+5-^8

(3)5/7+2+19義7(4)3yfi-2-$/3+\[2

老師點(diǎn)評：

(1)如果我們把斗一當(dāng)成x,不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？

2亞+3《一=(2+3)丘=5近

(2)把瓜當(dāng)成y；

2瓜-3冊+5冊=(2-3+5)花=4次=8加

(3)把當(dāng)成z；

"+2V7+V9V7

=+2+3yfl—(1+2+3)-\/7-6

(4)?看為x,J2看為y.

3\/3-2\/3+^2

=(3-2)V3+V2

=6+6

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如3血與血表面上看是不相同的，

但它們可以合并嗎？可以的.

3y/2+我=341+2A/2=5V2

3V3+V27=3V3+3A/3=6G

所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二

次根式進(jìn)行合并.

例1.計(jì)算：(1)V8+V18(2)V16jc+V64x

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二

次根式進(jìn)行合并.

解：(1)A/8+VTs=2V2+3\p2=(2+3)V2=5V2.

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(2)y/16x+=44x+8yfx=(4+8).

例2.計(jì)算：(1)3a-9J+3值;(2)(V48+V20)+(V12-x/5).

解：(1)3>/48-9^1+3V12=12>/3-3V3+6A/3=(12-3+6)百=156.

(2)(V48+V20)+(V12-x/5)=V48+>/20+Vi2-V5

—4A/3+25/5+2--\/5=65/3+x/5.

三、應(yīng)用拓展：

例3.已知4d+ydx-Gy+lOuO,求(g+『的值.

分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0,

即x=；,y=3.其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡二次根式，再合并同

類二次根式，最后代入求值.

解：...4f+y2-4x-6y+10=0

,.,4/-4x+1+y2-6y+9=0

(2.1)2+(y-3)2=O

=2x\[x+y/xy-x\fx+5y/xy

-xyfx+6Jxy

當(dāng)行;，y=3時(shí)，

四、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；（2）相

同的最簡二次根式進(jìn)行合并.

五、布置作業(yè)：

一、選擇題

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1.以下二次根式：①屈；②亞；③A;④技中，與6是同類二次根式的是

().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3+3—6②—y/l=1；③\/2+\/6=y/S=2\p2；(4>=2V2,

其中錯誤的有().

A.3個B.2個C.1個D.0個

二、填空題：

1.在V8、—J75a、一N9a、J125、一A/3a'、3\/0.2、-2J—中，與13a是同

33av8

類二次根式的有.

2.計(jì)算二次根式5G-3折-76+9揚(yáng)的最后結(jié)果是_________.

三、綜合提高題：

(^31+|>/45)的值.(結(jié)果精確到0.01)

1.已知方=2.236,求「

2.先化簡，再求值.

(6x^^+3J孫3).(4xJ+J36孫)3

,其中廣萬，y=27.

答案:一、1.C2.A

二、1.—J75a—2.6y[b-2yfci

3a

J5?"X2.236=0.45.

三、1.原式--\[5--A/5--\/5——、

5555

2.^=6yfxy+3y/xy-(4y[xy+6ylxy)=(6+3-4-6)y[xy=)

3[3

當(dāng)卡萬，y=27時(shí)，原式二?《]義27二-

板書設(shè)計(jì)：

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16.3.二次根式的加減（1）

情境引入例2學(xué)生板演

二次根式的加減法則例3

例1練習(xí)小結(jié)

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16.3二次根式的加減(2)

教學(xué)內(nèi)容：利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：運(yùn)用二次根式的化簡解應(yīng)用題.

過程與方法目標(biāo)：通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進(jìn)行合并

后解應(yīng)用題.

情感與價(jià)值目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精

神，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

重難點(diǎn)關(guān)鍵：講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn).

教法：1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：通過教師精心設(shè)計(jì)的問題鏈，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、參與問題討論，使感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，充分體

現(xiàn)了教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，對實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)起了重要的作用；2、講練結(jié)合法：在

例題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生閱讀，與整式的加減進(jìn)行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并

進(jìn)行分層練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣和規(guī)范的解題格式。

學(xué)法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學(xué)生感悟二次根式的加減模型，形成有效的學(xué)

習(xí)策略。

2、閱讀的方法讓學(xué)生閱讀教材及材料，體驗(yàn)一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內(nèi)交換，達(dá)到取長補(bǔ)短，體驗(yàn)學(xué)習(xí)活動中的交流

與合作。

4、練習(xí)法采用不同的練習(xí)法，鞏固所學(xué)的知識；利用教材進(jìn)行自檢，小組內(nèi)進(jìn)行他

檢，提高學(xué)生的素質(zhì)。

媒體設(shè)計(jì)：PPT課件，展臺。

課時(shí)安排：1課時(shí)。

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入

上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先

將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們

講三道例題以做鞏固.

二、探索新知

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例1.如圖所示的RtZ\ABC中，NB=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/?秒的

速度向點(diǎn)A移動；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動.問：

幾秒后APEQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后APEQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根據(jù)三角形面積

公式就可以求出x的值.

解：設(shè)x后△PBQ的面積為35平方厘米，

則有PB=x,BQ=2x.

依題意，得一x-2A—35

2

幺=35

x=y/35

所以A秒后,Z^BQ的面積為35平方厘米.

PQ=《PB?+BQ?=Vx2+4x2==V5X35=5幣

答：衣秒后APB。的面積為35平方厘米，PQ的距離為5近厘米.

例2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的

長度.

解：由勾股定理，得

AB=\lAD2+BDr=V42+22=720=275

BC=ylBlf+CD2=722+l2=A