部編人教版初二年級下冊冊數學全冊教案

新人教版八年級下冊初中數學

全冊資料匯編

教案（教學設計）

16.1二次根式⑴

教學內容

二次根式的概念及其運用

教學目標

知識與技能目標：理解二次根式的概念，并利用JZ（a>o）的意義解答具體題目.

過程與方法目標：提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，

發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現問題的能力.

教學重難點關鍵

1.重點：形如JZ（a>0）的式子叫做二次根式的概念.

2.難點與關鍵：利用"&（a>0），）解決具體問題.

教法：1、引導發(fā)現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用。

2、講練結合法：在例題教學中，引導學生閱讀，與平方根進行類比，獲得解決問題的方法

后配以精講，并進行分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式的模型，形成有效的學習策

略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：

3

問題1：已知反比例函數尸一，那么它的圖象在第一象限，橫、縱坐標相等的點的坐標

x

是.

問題2:如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB邊的長是

老師點評：

問題1：橫、縱坐標相等，即戶/，所以寸=3.因為點在第一象限，所以x=也,所以

所求點的坐標（班）,V3）.

問題2:由勾股定理得AB=J15.

二、探索新知

很明顯6、都是一些正數的算術平方根.像這樣一些正數的算術平方根的式子，

我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如卜（4o）的式子叫做二次根式，

稱為二次根號.

議一議：

1.-1有算術平方根嗎？

2.0的算術平方根是多少？

3.當KO,一有意義嗎？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：垃、班、>、G（x>o）、Vo.

X

V2>->/2>---、Jx+y(x>0,y>0).

分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“7廠”；第二，被開方數是正數

或0.

解：二次根式有：應、\[x(x>0)>Vo>-5/2Jx+y(x>0,/>0);不是二次

根式的有：\/3、一、45、-----.

xx+y

例2.當x是多少時，43x7在實數范圍內有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于0,所以3x-l>0,二

才能有意義.

解：由3x-l>0,得xA3.

當X〉；時，，3%—1在實數范圍內有意義.

三、應用拓展

例3.當X是多少時，J2X+3+——在實數范圍內有意義?

x+1

分析：要使j2x+3+」一在實數范圍內有意義,必須同時滿足，2x+3中的2x+3》0和

x+1

---中的A+I^O.

x+l

2x+3>0

解：依題意，得V

%+1w0

3

由①得：X>--.

由②得：xW-1.

當xA-—且xr-l時，J2X+3+---在實數范圍內有意義.

2x+1

例4⑴4知尸\l2—x+dx—2+5,求一的值.(答案:一)

>15

(2)若Ja+1+八一1=0,求產%廿。is的值.(答案：2)

四、歸納小結

本節(jié)課要掌握:

1.形如JZ（a>0）的式子叫做二次根式，“、廠”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列式子，是二次根式的是（）

A.-A/7B.-V?C.4xD.A-

2.下列式子，不是二次根式的是（）

A.V4B.V16C.aD.-

X

3.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是（）

A.5B.V5C.|D,以上皆不對

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為.

3.負數_______平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為1m,的產品包裝盒，其高為0.2m,按設計需要，底面應做

成正方形，試問底面邊長應是多少？

12戈_|_3

2.當x是多少時，---+V在實數范圍內有意義？

X

3.若，3-x+<x—3有意義，則x=.

4.使式子J一（x-5尸有意義的未知數x有（）個.

A.0B.1C.2D.無數

5.已知a、b為實數，且Ja-5+2JlO_2a=什4,求z、b的值.

答案:

一、1.A2.D3.B

二、1.(a>0)2.4a3.沒有

三、1.設底面邊長為X,則0.2/=1,解得：戶逐.

2%+3>0

2.依題意得：，

XHO

x工0

J?*

當x>-士3且x#0時，-在_實|_3數范圍內沒有意義.

2x

1

3.—4.B5.a=5,b=-4

3

板書設計：

16.1二次根式（1）

情境引入例2學生板演

二次根式的定義例3

例1例4小結

16.1二次根式⑵

教學內容

1.4a(a》0)是一個非負數；

2.(y[a)2=a(a>0).

教學目標

知識與技能目標：理解JZ(a>0)是一個非負數和(JZ)2=。(a>0),并利用它們進行

計算和化簡.

過程與方法目標：復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出&(40)是一個非負數，

用具體數據結合算術平方根的意義導出(JZ)2=2(2》0)；最后運用結論嚴謹解題.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，

發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現問題的能力.

教學重難點關鍵

1.重點：4a(a>0)是一個非負數；(&)2=a(a>0)及其運用.

2.難點、關鍵：用分類思想的方法導出右(3>0)是一個非負數；用探究的方法導

出(G)2=a(a>0).

教法：1、引導發(fā)現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用；

2、講練結合法：在例題教學中，引導學生閱讀、類比，獲得解決問題的方法后配以精講，

并進行分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生理解(a>0)是一個非負數和

(6)2=a(a>0),形成有效的學習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程

一、復習引入

（學生活動）口答

1.什么叫二次根式？

2.當a>0時，&叫什么？當a<0時，&有意義嗎？

老師點評（略）.

二、探究新知

議一議：4a（a》0）是一個什么數呢？

老師點評：

（a>0）是一個非負數.

做一做：根據算術平方根的意義填空：

（V?）2=；（A/2）2=；（M）2=;（V3）2=;

（R）2=------；（0--------；（而）2=--------

老師點評：“是4的算術平方根，根據算術平方根的意義，"是一個平方等于4的

非負數，因此有（"）2=4.

同理可得：（血）2=2,（囪）2=9,（6）2=3,（J）2=；,（左）2=y,（C）

2=0,所以

（4a）2=2（Q0）

例1、計算

1.*）22.（3逐）23.（島24.（4）2

分析：我們可以直接利用（JZ）2=2（a>0）的結論解題.

解：（￡）2=y,（3逐）2=32?（逐）2=32-5=45,

ZF）2_5￡2_訴_7

（代）一6,（2）一22一“

三、鞏固練習

計算下列各式的值:

網闔圖(何啕

0扃-(5可

四、應用拓展

例2、計算

1.(A/7+T)2(x>0)2.(V?)23.(，/+2十+1)2

4.(，4%2功9+)2

分析：(1)因為x20,所以x+l>0;(2)才20;(3)才+2z+l=(z+l)>0;

(4)4A2-12A-+9=(2X)2-2-2x-3+3?=(2x-3)2>0.

所以上面的4題都可以運用(JZ)2=a(a>0)的重要結論解題.

解：(1)因為所以x+l>0,

(A/X+1)2=A+1.

(2),.-a2>0,(7?)2=Z

(3)/+2a+l=(a+1)2,(a+1)2>0,a2+2a+l>0,yjCl"+2,CI+1—a2+2a+l.

(4),?,4X2-12X+9=(2X)2-2-2x?3+32=(2x-3)2,(2x-3)2>0,

.-.4A2-12X+9>0,(，4f-12X+9)2=4/-12X+9.

例3、在實數范圍內分解下列因式：

(1)幺-3(2)f-4(3)2^-3

分析：(略)

五、歸納小結

本節(jié)課應掌握：

1.y/a(a>0)是一個非負數；

2

2.(y/a)2=&(5>0)；反之:-(\[a)(z>0).

六、布置作業(yè)

一、選擇題

1.下列各式中J石、島、〃2一1、口命、JW+20、7-144,二次根式

的個數是().

A.4B.3C.2D.1

2.數〃沒有算術平方根，則〃的取值范圍是().

A.^>0B.C.aVOD.a=0

二、填空題

1.(-V3)2=.

2.2知，x+1有意義,那么是一個數.

三、綜合提高題

1.計算

2

(1)(>/9)⑵一(52⑶^指1(4)-3

(5)(26+3正)(2后-30)

2.把下列非負數寫成一個數的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)X(x>0)

3.已知Jx—y+1+Jx-3=0,求/的值.

4.在實數范圍內分解下列因式：

(1)^-2(2)x*-9(3)3「5

答案：一、1.B2.C

-,1.32.非負數

11O

三、1.⑴(的)2=9⑵-(6)2=-3(3)(-V6)2=-X6=-

2

=9X—=6

3

2.(1)5=(V5)2;(2)3.4=(^4)2;(3)!=(.H)2;(4).Y=(>/x)2

(x>0)

x-y+l=Ox=3

*=34=81

x-3=0y=4

4.(1)^-2—(x+-x/2)(x-yfl.)

(2)x,-9=(V+3)(V-3)=(V+3)(x+G)(X-A/3)

(3)略

板書設計：

16.1.二次根式(2)

情境引入例1學生板演

1.4a(a>0)是一個非負數；例2

2.(y/a)2-a(40);

2

反之:w=(y/a)(5>0).例3小結

16.1二次根式(3)

教學內容:C=a(a>0)

教學目標

知識與技能目標：理解(a>0)并利用它進行計算和化簡.

過程與方法目標：通過具體數據的解答，探究(a>0),并利用這個結論解決具體

問題.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，

發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現問題的能力.

教學重難點關鍵

1.重點：=a(a>0).

2.難點：探究結論.

3.關鍵：講清時，J/=a才成立.

教法：1、引導發(fā)現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用；

2、講練結合法：在例題教學中，引導學生閱讀類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并

進行分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟(a>0),形成有效的學習策

略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程:一、復習引入

1.形如JZ(a>0)的式子叫做二次根式；

2.y[a(a>0)是一個非負數；

3.(>/a)2=a(a>0).

那么，我們猜想當時，C=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題.

二、探究新知

填空:

(老師點評)：根據算術平方根的意義，我們可以得到:

廳=2;A/O.OI2=0.01;

因此，一般地：=2(3>0)

例1、化簡

(1)M(2)7^(3)V25(4)斤斤

分析：因為(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運用=2(a>0)去化簡.

解：(1)囪=五=3(2)J(-4尸="=4

(3)后=行=5(4)J(-3)2=療=3

三、應用拓展

例2、填空：當a>0時，后=_____;當a<0時，,并根據這一性質

回答下列問題.

(1)若冊=a,則a可以是什么數？

(2)若則a可以是什么數？

(3)則a可以是什么數？

分析：:C=a(a>0),.,.要填第一個空格可以根據這個結論，第二空格就不行，應

變形，使“()2”中的數是正數，因為，當a<0時，7?=7(-?)2,那么-a》0.

（1）根據結論求條件；（2）根據第二個填空的分析，逆向思想；（3）根據（1）、（2）可知=

\a\,而|a|大于或等于a,只有a<0時才能使J/>a.

解：（1）因為C=a,所以a拄0.

（2）因為"=-%所以aWO.

（3）因為當a>0時要使即使心a所以。不存在；當a<0時，

要使J/>a,即使-a>a,a<0.綜上，a<0.

例3、當x>2,化簡Q（X-2）2.

分析：（略）

四、歸納小結

本節(jié)課應掌握：J?=a（a>0）及其運用，同時理解當a<0時，病=一。的應用拓

展.

五、布置作業(yè)

一、選擇題

）.

D.以上都不對

2.a>0時，C、J（一〃）2、-G,比較它們的結果，下面四個選項中正確的是（）.

A.V?=4-々）2>-V?B.>｛（一々）2

c.V?<7（-?）2<-V?D.-V?>V?=7（-?）2

二、填空題

1.-Vo.0004=_____.

2.若J20m是一個正整數,則正整數切的最小值是_______.

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當a=9時，求a+Jl—2fl+a2的值,甲、乙兩人的解答如下:

甲的解答為：原式=z+=a+（La）=1;

乙的解答為：原式=a+J(1—a):-a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是___________.

2.若門995々|+J"2000=a,求2-1995?的值.

（提示：先由#2000〉0,判斷1995-a的值是正數還是負數，去掉絕對值）

3.若-34x42時，試化簡|x-2|+J（X+3）2+&-10彳+25。

答案:一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲沒有先判定La是正數還是負數

2.由已知得a-120001>0,a及2000

所以.1995+Ja—2000=a,A/?-2000=1995,^2000=19952,

所以2-19952=2000.

3.10-x

板書設計：

16.1二次根式（3）

情境引入例2學生板演

=a(40).例3

例1練習小結

16.2二次根式的乘除⑴

?模式介紹

"探究式教學”是以自主探究為主的教學.它是指教學過程是在教師的啟發(fā)誘導下，以

學生獨立自主探究或合作討論為前提，以現行教材為基本探究內容，以學生周圍世界和生活

實際為參照對象，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的一種教學形式.學生

對當前教學內容中的主要知識點進行自主學習、深入探究并進行小組合作交流，以自我獲取,

自我求證的方式深化知識的理解和運用.從而較好地達到課程標準中關于認知目標與情感目

標要求的一種教學模式.其中認知目標涉及與學科相關知識、概念、原理與能力的掌握；情

感目標注重科學素養(yǎng)與道德品質的培養(yǎng).

探究式教學的課程環(huán)節(jié)：

創(chuàng)設情境----啟發(fā)思考-----自主探究'協作交流----總結提高

?思路說明

由數據引出&-yfb=>Jab(6Z>0,/?>0),并利用逆向思維J2=JZ-4b

(a>Q,b>Q)讓學生感受到到等式的可逆性，從而形成結論是否可逆的思考方式，加深

學生對數學的思考深度，提高對數學學習的興趣.

?教材分析

本章內容“二次根式”是《數學課程標準》中“數與代數”領域的重要內容，它與已學

內容"實數""整式”“勾股定理”緊密聯系，同時也是以后將要學習的“解直三角形"、"一

元二次方程”、“二次函數”等內容的重要基礎，并為學習高中數學的不等式、函數以及解析

幾何等大部分做好準備.通過本章通過對二次根式的概念、性質和運算法則、運算規(guī)律等探

究，發(fā)現學生的思維能力，有效改變學生的學習方式，使學生掌握認識事物的一般規(guī)律。本

章內容無論在知識、數學思考方法上，還是在對學生的能力培養(yǎng)上都是非常重要的.

?教學目標

【知識與能力目標】

1.理解-yjb=4ab(a>0,6>0),4ah^4a-&(a>0,6>0),并利用它們進

行計算和化簡.

2.利用逆向思維=?、歷(tz>0,Z?>0)并運用它進行解題和化簡.

3.法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算.

【過程與方法】

1.學生在探索過程中，學會觀察、分析、總結歸納，學會思考問題，進一步培養(yǎng)學生觀察

能力、歸納概括的能力.

2.通過二次根式的乘法運算，提高學生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

1.學生通過分析、總結、歸納學會二次根式的乘除運算，并能靈活運算，感受成功.

2.體驗數學探究學習活動充滿著好奇與創(chuàng)造，并懂得在探究學習活動中學會與他人合作交

流，培養(yǎng)學生求實創(chuàng)新和集體協作的精神.

?教學重難點

【教學重點】

理解G-s[b=\[ab(a>0,h>0),y/ab=>/a-4b(a>0,h>0)并運用它進行計

算.

【教學難點】

y/a-4b=\[ab(a>0,Z?>0)的相關計算.

?課前準備

教學PPT

?課時安排

1課時

?教學過程

(―)知識回顧

1、你認為什么樣的式子是二次根式?試舉一例

2、二次根式有哪些基本性質？

(-)情境引入

1.一個長方形的長是J5cm,寬是JT§cm,這個長方形的面積是多少？

解：長方形的面積為卜后x/石卜?？

思考：這個結果能否化簡？如何化簡？

(三)探索新知

計算：①廂乂亞=J16x9=

上述結果具有什么規(guī)律？利用規(guī)律進行計算

⑴0x6=(2)顯#=

思考：J(T)x(—9)=qx口是否成立?

歸納：一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

y[a-4b>0,Z?>0)

文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數的積的算術平方根.

推廣：4a\[k=yjab--k(a>0,b>0.—k>0)

解決問題屈x百=,6x3=3

(四)例題講解

例1.計算

(1)73x75(2)V3xV12(3)^xV27(4)&E

二次根式的乘法法則&-4b=\fab(a>0,Z>>0),

反過來，可以得到=-s[b(a>0,Z>>0)

文字敘述：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積.

利用這個等式可以化簡一些根式.

例2.化簡

(1))4x121(2)丘><42*8(3)7(-2)X(-8)

注意根式運算的結果中，被開方數應不含能開得盡方的因數或因式

(五)總結分享

1.本節(jié)課學習了算術平方根的積和積的算術平方根

4a-yfb=4ab(a>0,6>0),

4ab=Ja-\fb(a>0,b>0)

2.化簡二次根式的步驟：

(1)將被開方數盡可能分解成幾個平方數.

(2)應用公式-4b='Jab(a>0,b>0),

(3)將平方項應用二次根式的性質化簡.

(六)鞏固新知

1.將存彘化簡，正確的結果是()

A.672B.±6五C.3我D.±3我

2.對于任意實數a,下列各式中一定成立的是()

A.Jj--]—y/ci—1,+1

B.+6)~=a+6

C.J(-16>(-a)=TQ

D.,25a4=5片

3.下列計算中，正確的是()

A.(2@z=2x3=6

B.漁3=2

2

C.J(-9)x(-4)=5/36=6

D.79+16=79+716

4.設Q=叵,b=6,用含a、b的式子表示J四=.

5.對于任意不相等的兩個實a、h,定義運算※如下：a※匕=也亙

，那么6X12

a-b

6.若=4,〃=5,且。5<0,貝1]。一力=.

7.計算

(1)76x715x710;(2)5712x4V27

⑶2疝x3j2

7.如何比較一7遙和一6夜的大??？

?板書設計

16.2.1二次根式的乘法

一、二次根式的乘法法則：\[a-yfb=\[ab(a>0,b>0)

反過來，可以得到，益=&-、/(a>0,b>0)

二.化簡二次根式的步驟：

(1)將被開方數盡可能分解成幾個平方數.

(2)應用公式-y/b=yfab(a>0,b>0),

(3)將平方項應用二次根式的性質化簡.

?教學反思

在探究二次根式乘法的過程中，使學生在探究時，經歷了觀察、實驗、歸納、總結以及

由具體到抽象、由特殊到一般的學習過程，體會到了研究問題、解決問題的方法，加深了對

二次根式乘法法則的理解。

沒有刻意地增加難度，而立足于教材，循序漸進地引導學生去學習新知，使學生能準確

地把握學習重點，突破學習難點。

16.2二次根式的乘除⑵

?教材分析

本章內容"二次根式”是《數學課程標準》中"數與代數”領域的重要內容，它與已學

內容"實數""整式”“勾股定理”緊密聯系，同時也是以后將要學習的“解直三角形"、"一

元二次方程"、"二次函數"等內容的重要基礎，并為學習高中數學的不等式、函數以及解析

幾何等大部分做好準備.通過本章通過對二次根式的概念、性質和運算法則、運算規(guī)律等探

究，發(fā)現學生的思維能力，有效改變學生的學習方式，使學生掌握認識事物的一般規(guī)律。本

章內容無論在知識、數學思考方法上，還是在對學生的能力培養(yǎng)上都是非常重要的.

?教學目標

【知識與能力目標】

4a\a_\[a

1.理解忑(5>0,Z?>0)和(a>0,6>0)及利用它們進行運算.

2.掌握最簡二次根式，及二次根式的乘除法的混合運算.

【過程與方法】

1.學生在探索過程中，學會觀察、分析、總結歸納，學會思考問題，進一步培養(yǎng)學生觀察

能力、歸納概括的能力.

2.通過二次根式的除法運算和乘除混合運算，提高學生分析問題、解決問題的能力.

【情感態(tài)度與價值觀】

1.學生通過分析、總結、歸納學會二次根式的乘除運算，并能靈活運算，感受成功.

2.體驗數學探究學習活動充滿著好奇與創(chuàng)造，并懂得在探究學習活動中學會與他人合作交

流，培養(yǎng)學生求實創(chuàng)新和集體協作的精神.

?教學重難點

【教學重點】

理解=(a>0,￡>>0),(a>0,b>0)及利用它們進行計算和化簡.

【教學難點】

,Raalay]a

理解方—(a>0,b>Q),(a>0,6>0)及利用它們進行計算和化簡.

?課前準備

教學PPT

?課時安排

1課時

?教學過程

(―)知識回顧

1、二次根式有哪些基本性質？

2、二次根式的乘法法則是什么？

(二)探究新知

1.化簡二次根式:

計算上述各式，你有什么新的發(fā)現？

根據你所發(fā)現的規(guī)律，利用規(guī)律填空:

1；噂5

一般地，對二次根式的除法規(guī)定為

&

存=壯（心0,">0）

文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數的積的算術平方根.

（三）嘗試應用

1.計算Q）

yja

二次根式的除法法則一產（a>0,b>0）,

4b

\a4az、

反過來，可以得到g二而（心心b>0）,

文字敘述：商的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的商.

2.化簡：⑴、二—

V100⑵思

注意根式運算的結果中，被開方數應不含能開得盡方的因數或因式。

3.化簡：

注意：在二次根式的運算中，一般要求最后結果的分母中不含根式

歸納：什么是最簡二次根式?

1、被開方數不含分母;

2、被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。

（四）能力拓展

計算:V27x-2|一

4

（五）總結分享

1.二次根式的除法法則:=Jg（a>0,b>0）

算術平方根的商等于被開方數的商的算術平方根。

\a_4a

2.二次根式的除法法則的逆用:(a>0b>0)

商的算術平方根等于被除式與除式的算術平方根的商。

3.最簡二次根式需要滿足哪些條件？

(1)被開方數不含分母;

(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

(六)鞏固新知

1.下列計算正確的是()

A.3g-逝+2百=4B.5V2+V2=10C.(A/^2)2=-2D.2-72=72

2.計算學

的結果是.

,0.09x169

V0.64x196

6.計算:⑴舟后⑵國出

7.化簡下列各式:

4

⑴166aF”

la3b

⑵6>o,c>。)；

?板書設計

16.2.2二次根式的乘法

一、二次根式的除法法則:一產=(a>0,b>0)

4b

算術平方根的商等于被開方數的商的算術平方根。

二、二次根式的除法法則的逆用:廠而("心。)

商的算術平方根等于被除式與除式的算術平方根的商。

三、最簡二次根式：

(1)被開方數不含分母；

(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

?教學反思

從學生最近發(fā)展區(qū)組織教學，類比二次根式的乘法法則，推理出二次根式的除法法則。

促進正向遷移，同化新知，鞏固新知。

尊重學生解決問題的方法的多樣性，鼓勵學生從多角度思考問題。

營造輕松的學習環(huán)境，注意讓學生在新知識探究的過程中提高合情合理的推理能力、表

達能力、與人合作意識，促進數學思想方法等各方面的進一步發(fā)展。

精品文檔用心整理

16.3二次根式的加減⑴

教學內容

二次根式的加減

教學目標

知識與技能目標：理解和掌握二次根式加減的方法.

過程與方法目標：先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的

方法的理解.再總結經驗，用它來指導根式的計算和化簡.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹的科學精

神，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現問題的能力.

重難點關鍵

1.重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教法：1、引導發(fā)現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用；2、講練結合法：在

例題教學中，引導學生閱讀，與同類項進行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行

分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式加減的模型，形成有效的學

習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程:一、復習引入

學生活動：計算下列各式.

(1)2x+3x；(2)(3)x+2x+3y；(4)3/-2/

資料來源于網絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合并.同類項合并就是字

母不變，系數相加減.

二、探索新知

學生活動：計算下列各式.

(1)2A/2+3\/2(2)2\/8-3s/S+5-^8

(3)5/7+2+19義7(4)3yfi-2-$/3+\[2

老師點評：

(1)如果我們把斗一當成x,不就轉化為上面的問題嗎？

2亞+3《一=(2+3)丘=5近

(2)把瓜當成y；

2瓜-3冊+5冊=(2-3+5)花=4次=8加

(3)把當成z；

"+2V7+V9V7

=+2+3yfl—(1+2+3)-\/7-6

(4)?看為x,J2看為y.

3\/3-2\/3+^2

=(3-2)V3+V2

=6+6

因此，二次根式的被開方數相同是可以合并的，如3血與血表面上看是不相同的，

但它們可以合并嗎？可以的.

3y/2+我=341+2A/2=5V2

3V3+V27=3V3+3A/3=6G

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二

次根式進行合并.

例1.計算：(1)V8+V18(2)V16jc+V64x

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二

次根式進行合并.

解：(1)A/8+VTs=2V2+3\p2=(2+3)V2=5V2.

資料來源于網絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

(2)y/16x+=44x+8yfx=(4+8).

例2.計算：(1)3a-9J+3值;(2)(V48+V20)+(V12-x/5).

解：(1)3>/48-9^1+3V12=12>/3-3V3+6A/3=(12-3+6)百=156.

(2)(V48+V20)+(V12-x/5)=V48+>/20+Vi2-V5

—4A/3+25/5+2--\/5=65/3+x/5.

三、應用拓展：

例3.已知4d+ydx-Gy+lOuO,求(g+『的值.

分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0,

即x=；,y=3.其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同

類二次根式，最后代入求值.

解：...4f+y2-4x-6y+10=0

,.,4/-4x+1+y2-6y+9=0

(2.1)2+(y-3)2=O

=2x\[x+y/xy-x\fx+5y/xy

-xyfx+6Jxy

當行;，y=3時，

四、歸納小結：本節(jié)課應掌握：（1）不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；（2）相

同的最簡二次根式進行合并.

五、布置作業(yè)：

一、選擇題

資料來源于網絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

1.以下二次根式：①屈；②亞；③A;④技中，與6是同類二次根式的是

().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3+3—6②—y/l=1；③\/2+\/6=y/S=2\p2；(4>=2V2,

其中錯誤的有().

A.3個B.2個C.1個D.0個

二、填空題：

1.在V8、—J75a、一N9a、J125、一A/3a'、3\/0.2、-2J—中，與13a是同

33av8

類二次根式的有.

2.計算二次根式5G-3折-76+9揚的最后結果是_________.

三、綜合提高題：

(^31+|>/45)的值.(結果精確到0.01)

1.已知方=2.236,求「

2.先化簡，再求值.

(6x^^+3J孫3).(4xJ+J36孫)3

,其中廣萬，y=27.

答案:一、1.C2.A

二、1.—J75a—2.6y[b-2yfci

3a

J5?"X2.236=0.45.

三、1.原式--\[5--A/5--\/5——、

5555

2.^=6yfxy+3y/xy-(4y[xy+6ylxy)=(6+3-4-6)y[xy=)

3[3

當卡萬，y=27時，原式二?《]義27二-

板書設計：

資料來源于網絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

16.3.二次根式的加減（1）

情境引入例2學生板演

二次根式的加減法則例3

例1練習小結

資料來源于網絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

16.3二次根式的加減(2)

教學內容：利用二次根式化簡的數學思想解應用題.

教學目標

知識與技能目標：運用二次根式的化簡解應用題.

過程與方法目標：通過復習，將二次根式化成被開方數相同的最簡二次根式，進行合并

后解應用題.

情感與價值目標：通過本節(jié)的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹的科學精

神，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現問題的能力.

重難點關鍵：講清如何解答應用題既是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關鍵點.

教法：1、引導發(fā)現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用；2、講練結合法：在

例題教學中，引導學生閱讀，與整式的加減進行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并

進行分層練習，培養(yǎng)學生的閱讀習慣和規(guī)范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式的加減模型，形成有效的學

習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程：一、復習引入

上節(jié)課，我們已經講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先

將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數相同的二次根式進行合并，下面我們

講三道例題以做鞏固.

二、探索新知

資料來源于網絡僅供免費交流使用

精品文檔用心整理

例1.如圖所示的RtZ\ABC中，NB=90°，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/?秒的

速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動.問：

幾秒后APEQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）

分析：設x秒后APEQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根據三角形面積

公式就可以求出x的值.

解：設x后△PBQ的面積為35平方厘米，

則有PB=x,BQ=2x.

依題意，得一x-2A—35

2

幺=35

x=y/35

所以A秒后,Z^BQ的面積為35平方厘米.

PQ=《PB?+BQ?=Vx2+4x2==V5X35=5幣

答：衣秒后APB。的面積為35平方厘米，PQ的距離為5近厘米.

例2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的

長度.

解：由勾股定理，得

AB=\lAD2+BDr=V42+22=720=275

BC=ylBlf+CD2=722+l2=A