山西省渾源縣第五中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則下列不等關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．2．已知中內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍為（）A． B．C． D．4．若數(shù)列滿(mǎn)足且，則使的的值為()A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，，是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)在上的投影為，則的最大值是（）A． B． C． D．7．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則下述四個(gè)結(jié)論：①②③④點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④8．已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A． B． C．i D．i9．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．10．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．11．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學(xué)生李華計(jì)劃在高一年級(jí)每周星期一至星期五的每天閱讀半個(gè)小時(shí)中國(guó)四大名著：《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不同的閱讀計(jì)劃共有（）A．120種 B．240種 C．480種 D．600種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》提出了“三斜求積術(shù)”．他把三角形的三條邊分別稱(chēng)為小斜、中斜和大斜．三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)數(shù)，相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實(shí)”，1作為“隅”，開(kāi)平方后即得面積．所謂“實(shí)”、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實(shí)”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c，則.已知點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，，，，，則的面積為_(kāi)_______．14．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是______________.15．在一次體育水平測(cè)試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加，其中:甲校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為70%，女生成績(jī)的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為60%，女生成績(jī)的優(yōu)秀率為40%.對(duì)于此次測(cè)試，給出下列三個(gè)結(jié)論:①甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率;③甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.16．過(guò)且斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)若的面積等于的面積的2倍，則的值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，均為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.18．（12分）在等比數(shù)列中，已知，.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（，）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿(mǎn)足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增，且，∴.∵的符號(hào)無(wú)法判斷，故與，與的大小不確定，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；對(duì)B，對(duì)，則，故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.3、B【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為，令，，進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為，即或，再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，即，①.因?yàn)椋偈絻蛇呁?，?所以方程有三個(gè)不等的正實(shí)根.記，，則上述方程轉(zhuǎn)化為.即，所以或.因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，且時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)，有一根.所以恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.4、C【解析】因?yàn)?，所以是等差?shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C．5、B【解析】

畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計(jì)算得到答案.【詳解】，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.6、B【解析】

試題分析：設(shè)在直線(xiàn)上的投影分別是，則，，又是中點(diǎn)，所以，則，在中，所以，即，所以，故選B．考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的性質(zhì)．【名師點(diǎn)晴】在直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題中，涉及到拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)（或與準(zhǔn)線(xiàn)平行的直線(xiàn)）的距離時(shí)，常?？紤]用拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化．象本題弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離首先等于兩點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離之和的一半，然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而與弦長(zhǎng)之間可通過(guò)余弦定理建立關(guān)系．7、B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出、，即可求出的解析式，從而驗(yàn)證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

求出集合，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵，，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個(gè)選項(xiàng)，再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閒(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng)B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.11、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見(jiàn)的方法．12、B【解析】

首先將五天進(jìn)行分組，再對(duì)名著進(jìn)行分配，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】將周一至周五分為組，每組至少天，共有：種分組方法；將四大名著安排到組中，每組種名著，共有：種分配方法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的閱讀計(jì)劃共有：種本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查排列組合中的分組分配問(wèn)題，涉及到分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分組中涉及到的平均分組問(wèn)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】，所以，由余弦定理可知，得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和計(jì)算整理能力,難度較易.14、【解析】

先畫(huà)出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.【詳解】畫(huà)出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線(xiàn)系，平移直線(xiàn)，易知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的縱截距最小，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，且.故答案為：-8【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.15、②③【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；因?yàn)榧滓覂尚５哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績(jī)的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率，故②正確；因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系，故③正確.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.16、2【解析】

聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖，設(shè)，由，則，由可得，由，則，所以，得.故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由進(jìn)行變換，得到，兩邊開(kāi)方并化簡(jiǎn)，證得不等式成立.（2）將化為，然后利用基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1），兩邊加上得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.（2）.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.18、（1）（2）見(jiàn)解析（3）存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿(mǎn)足題設(shè)【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得數(shù)列的遞推公式，即可知結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，，設(shè)出等差數(shù)列，再根據(jù)不等關(guān)系來(lái)算出的首項(xiàng)和公差即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，，所以，解?所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）得，當(dāng)，時(shí)，可得①，②②①得，，則有，即，，.因?yàn)?，由①得，，所以，所以?所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以，.假設(shè)存在等差數(shù)列，其通項(xiàng)，使得對(duì)任意，都有，即對(duì)任意，都有.③首先證明滿(mǎn)足③的.若不然，，則，或.（i）若，則當(dāng)，時(shí)，，這與矛盾.（ii）若，則當(dāng)，時(shí)，.而，，所以.故，這與矛盾.所以.其次證明：當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)，時(shí)，.再次證明.（iii）若時(shí)，則當(dāng)，，，，這與③矛盾.（iv）若時(shí)，同（i）可得矛盾.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以?duì)任意，都有.所以，.綜上，存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿(mǎn)足題設(shè).【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問(wèn)題，是一道數(shù)列綜合題，考查學(xué)生的分析，推理能力.19、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由面積最大值可得，又，以及，解得，即可得到橢圓的方程，（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出的值，可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）面積的最大值為，則：又，，解得：，橢圓的方程為：（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形設(shè)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為由，消去可得：，解得：∴，，依題意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化簡(jiǎn)可得：則：，解得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿(mǎn)足題意故軸上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，斜率公式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）先由線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面，再證明線(xiàn)線(xiàn)垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】（1）證明：連接，由平行且相等，可知四邊形為平行四邊形，所以.由題意易知，，所以，，因?yàn)?，所以平面，又平面，所?（2）設(shè)，，由已知可得：平面平面，所以，同理可得：，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以平行且相等，從而平面，又，所以，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，由平面幾何知識(shí)，得.則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由，可得，令，則，，所以.同理，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面所成角為，則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重點(diǎn)考查了空間向量的應(yīng)用，屬中檔題.21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）由原式可得,等式兩端同時(shí)