高中數(shù)學(xué) 拋物線同步學(xué)案 新人教A版選修2

§2.4拋物線典例剖析

知識點一拋物線概念的應(yīng)用

⑥例?已知拋物線/=2x的焦點是凡點P是拋物線上的動點，又有點4(3,2),求

I為I+I/1的最小值，并求出取最小值時。點的坐標(biāo).

解

將x=3代入拋物線方程

y2=2x,得y=±J^.

、后>2,.?.點A在拋物線內(nèi)部.

設(shè)拋物線上點P到準(zhǔn)線1：

x=—工的距離為d,由定義知|PA|+PF|=|PA1+d,

2

當(dāng)PA_L1時，|PA|+d最小,

7,,,,7

最小值為一，即IPAI+IPFI的最小值為一，

22

此時P點縱坐標(biāo)為2,代入y、2x,得x=2,

...點P坐標(biāo)為(2,2).

知識點二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

A例2求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(D過點(一3,2)；

(2)焦點在直線x—2y—4=0上.

分析設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，依據(jù)條件求出P的值.

解(D設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為7=-2勿或x2=2py(p>0),則將點(一3,2)代入方程得2P

4Q49

=§,或2。=/,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或六=5%

(2)①令x=0,由方程X—2y—4=0,得y=-2.

拋物線的焦點為戶(0,-2).

設(shè)拋物線方程為f=-2py,則由￡=2,得2p=8.

所求的拋物線方程為1=一8/

②令7=0,由x—2y—4=0,得x=4.

???拋物線的焦點為尸(4,0).

設(shè)拋物線方程為V=2px,由￡=4,得2P=16.

所求拋物線方程為/=16x.

知識點三拋物線在實際中的應(yīng)用

?例3汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡

的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點處，已知燈口的直徑是24cm,燈深10cm,那么燈泡與反射

鏡的頂點（即截得拋物線頂點）距離是多少？

分析確定拋物線方程，求出拋物線的焦點到其頂點的距離

解取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)

系xOy,如圖所示.

因燈口直徑IAB|=24.燈深|0P|=10,

所以點A的坐標(biāo)是（10,12）.

設(shè)拋物線的方程為y?=2px（p>0）.

由點A（10,12）在拋物線上,12=2pX10,

：.p=7.2.

拋物線的焦點F的坐標(biāo)為（3.6,0）.

因此燈泡與反射鏡頂點的距離是3.6cm.

知識點四拋物線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用

⑥例4拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9/+4/=36短軸所在的直線，拋物

線焦點到頂點的距離為3,求拋物線的方程.

分析先確定拋物線方程的形式，再依條件求待定參數(shù).

22

解橢圓9丁+4/=36可化為1+戶1,得拋物線的對稱軸為x軸.

設(shè)拋物線的方程為/=ax（aW0）,

又拋物線的焦點到頂點的距離為3,

則有子=3,.?.|a|=12,即。=±12.

故所求拋物線方程為/=12x,或/=-12/

知識點五直線與拋物線

0例5已知過拋物線/=2.（或0）的焦點的直線交拋物線于4、8兩點，且=會,

求/彳所在的直線方程.

解焦點廠（多0）,設(shè)4（為，防）、8（x2,㈤,

5

若AB_LOx,則|相|=2仄鏟不合題意.

所以直線48的斜率存在，設(shè)為九

則直線四的方程為y—e，20.

y=klx-與,

由消去X,

4=2px,

整理得ky—2py—kf=0.

韋達定理得,必+尸產(chǎn)石'=—/

I4gl=7(汨一及)？+(y-%，

?(yi-72)

(刃+㈤？-

c/?1、5

=2。(1+?)=3夕.

解得立=±2.

.??4?所在直線方程為尸2(%一負(fù),或y=-2U-1).

知識點六拋物線的焦點弦問題

⑨例6U是過拋物線/=2px(p>0)焦點廠的弦，M是的中點，/是拋物線的準(zhǔn)線,

MNL1,N為垂足.求證：

(DAV1&V；

(2)/7V±^；

(3)若W交拋物線于Q,則0平分MN.

證明(1)作ACJ_1,垂足為C,作BDL1,垂足為D,在直角梯形ABDC中,

V|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,

A|MN|=-(|AC|+|BD|)

2

(|AF|+|BF|)

2

2

2

由平面幾何知識可知

△ANB是直角三角形，即ANLBN.

(2)V|AM|=|NM|,

.?./MAN=NMNA,

VAC/7MN,

.,.ZCAN=ZMNA,AZMAN=ZCAN.

在△ACN和AAFN中，|AN|=|AN|,|AC|=|AF|,

且NCAN=NFAN,AAACN^AAFN,

ZNFA=ZNCA=90Q,

即FNJ_AB.

⑶在Rt^MNF中,連結(jié)QF,

由拋物線的定義及(2)的結(jié)論得

QN|=|QF|=>ZQNF=ZQFN,

且/QFN=90°-ZQFM,ZQMF=90°-ZQNF,

/.ZQFM=ZQMF,/.|QF|=|QM|,

|QN|=|QM|,即Q平分MN.

知識點七拋物線的綜合問題

⑥例7過拋物線爐=2px(p>0)的焦點尸作傾斜角為6的直線交拋物線于4、8兩點,

設(shè)△/!如的面積為S(0為原點).

(1)用。、。表示S；

(2)求S的最小值；當(dāng)最小值為4時，求拋物線的方程.

解(1)設(shè)直線g,代入/=2px,

得，=2痣4,

即y一空曠一d=。，

K

-----2P①

-sin"」

當(dāng)直線軸時，①也成立.

.?.5=10F\MFlsin的|明sin("-0)

明閡sin9

\P2P.ep

=■—?----：—s1n4—-------.

22sinF2sine

⑵當(dāng)0=90°時，

若￡m=4,貝&=4,

,".p='2r\[2.

，此時拋物線的方程為/=4啦x.

考題賞析

1.(遼寧高考)已知點尸是拋物線V=2x上的一個動點，則點尸到點(0,2)的距離與點尸

到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()

A.乎B.3C.mD.|

解析如圖所示，由拋物線的定義知，點尸到準(zhǔn)線”=—/的距離d等于點尸到焦點的距

離1陽.

因此點戶到點(0,2)的距離與點。到準(zhǔn)線的距離之和可轉(zhuǎn)化為點尸到點(0,2)的距離與點

p0)的距離，則距離之和的最小值為

夕到點尸的距離之和，其最小值為點材(0,2)到點

V17

2?

答案A

2.(全國I高考)已知拋物線y=af—l的焦點是坐標(biāo)原點，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三

個交點為頂點的三角形面積為.

解析Vy=ax—\,Ay+\=ax.

=2X/

令p+l=V,x=x',則v=ax'：.x

???x'2=~yf的焦點坐標(biāo)為(0,即p+l=；i

a\4a)4a

?,?產(chǎn)=&^-1的焦點坐標(biāo)為(o,

又？=af—1的焦點是原點，

4d4

令x=0,得y=-1,令y=0,得才=±2.

故1與兩坐標(biāo)軸的三個交點為(0,-1),(2,0),(—2,0),

二圍成三角形面積為5=1x4Xl=2.

答案2

3.(全國n高考)已知尸是拋物線a/=4x的焦點，48是拋物線c上的兩個點，線

段46的中點為#(2,2),則△/!跖的面積等于.

解析設(shè)力(小，yi),8(x2,㈤，則抬=4M,城=4*2.

A(yi+?2)(yi—72)=4(為一尼).

..,?“一二4

?X\~r~X2，??11.

xt-X2y\+y2

直線力6的方程為y-2=x—2,即了=乂

將其代入/=4x,得4(0,0)、8(4,4).

|AB\=472.又尸(1,0)到尸x的距離為平，

義X4"\/2—2.

答案2

自主訓(xùn)練

1.拋物線/=ax（aWO）的焦點到其準(zhǔn)線的距離是（）

4㈤R㈤

A?丁B~

C.\a\D.—|

答案B

解析因為/=ax,所以。=高，即該拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為得，故選B.

2.拋物線/=20x（p>0）上一點〃到焦點的距離是a（a號），則點M的橫坐標(biāo)是（）

A.a+垓B.a-3

C.a+pD.a-p

答案B

解析由拋物線的定義知:點材到焦點的距離a等于點必到拋物線的準(zhǔn)線x=一卷的距離,

所以點"的橫坐標(biāo)即點必到y(tǒng)軸的距離為a—多

3.已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點在x軸上，其上點尸（一3,血到焦點廠的距離為

5,則拋物線方程為（）

A.y=8xB.y=-8x

C.y=4xD./=-4x

答案B

解析點尸（一3,而在拋物線上，焦點在x軸上，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為/=一

2Pxs>0）.由拋物線定義知I杼1=3+1=5.所以°=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是/=-8乂

應(yīng)選B.

4.拋物線/=ax的焦點與雙曲線!一步=1的左焦點重合，則這條拋物線的方程是（）

A.y=\xB.y=—4x

C./=一仆,D.y=-8x

答案D

解析因為當(dāng)一/=1的左焦點為（-2,0）,所以拋物線開口向左，所以a<0,且P=*=

4,所以a=-8,所以拋物線方程為y=-8x,故選D.

5.辦口廠為拋物線C：/=4x的焦點，過?且斜率為1的直線交拋物線。于4、6兩點.設(shè)

\FA\>\FB\,則I加與|網(wǎng)的比值等于.

答案3+2也

解析；「=4才的焦點坐標(biāo)為

以1,0）,準(zhǔn)線方程為入=-1,

...過F且斜率為1的直線方程為

y=x-1.

將其代入y2=4x得

x2-6x+1=0.

V|FA|>|FB|,.,.XA=3+2A/2,xe=3-2萬

又|FA|=XA+1,|FB|=XB+1>

.IFAI

邛=3+2萬

"iFBI4-2V2

答案-3

6.過拋物線y'4x的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，0為坐標(biāo)原點，則04?0B

的值是.

.解析當(dāng)直線過焦點且垂直于X軸時，直線方程為x=l,代入/=4x,H2=土2.4、

8點的坐標(biāo)分別為(1,2),(1,-2).

0A-OB=l-4=~3.

當(dāng)直線過焦點不垂直x軸時，則直線的方程可設(shè)為了=鼠》-1),設(shè)兒8坐標(biāo)分別為(為,

%)(如㈤.則/?4=16%及.

由；、得(2A+4)X+N=0,

[y=A(x—1),

OA,6^=為小+%%=1—4=—3.

7.已知圓心(x+2)z+/=l與定直線/：x=l,若動圓C與圓月相外切，且與直線/

相切，求動圓圓心。的軌跡方程.

解設(shè)圓心C到直線1的距離為"，則由題意知|=d+l從而可知圓心C到點(一2,0)

的距離和到定直線x=2的距離相等.

所以動圓圓心。的軌跡是拋物線，其焦點為(-2,0),準(zhǔn)線為x=2,故設(shè)動圓圓心，的

軌跡方程為/=-2/ZY(/?>0),由孑=2,得0=4.

因此動圓圓心C的軌跡方程為"=一8乂

8.已知點材(-2,4)及焦點為尸的拋物線在此拋物線上求一點尸使\PM\+\PF\

o

的值最小.

分析先根據(jù)已知條件畫出圖形，由定義知，拋物線上的點尸到焦點廠的距離等于尸到

準(zhǔn)線1的距離d,所以求\PM\+\PF\的最小值問題可轉(zhuǎn)化為求IPM\+d的最小值問題，讓點P

在拋物線上運動，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)點P運動到過點M且與x軸垂直的直線與拋物線的交點處時，

P^\+d最小.

解如圖，設(shè)MN，x軸，與準(zhǔn)線交于N,與拋物線交于點P,在拋物線上任取一點P',

連P'M,P'F,作P'N垂直于準(zhǔn)線，垂足為N'.

由拋物線的定義，

|PN|=|PF|,\P'N;|-|PZF|

\P'M|+|P,N'|=|P'M|+|PZF|

|PN|+|PM|=|PM|+|PF|

V|P,M|+PN(|>|PN|+|PM|

A|P,Ml+lP*F|>|PM|+|PF|

這就是說，當(dāng)P'與P重合時,PM|+|PF|的值最小

1

解方程組112得P(-2,—).

2

9.已知拋物線7=2人過點0(2,1)作一條直線交拋物線于4、3兩點，試求弦4?中點

的軌跡方程.

解設(shè)弦力方的中點軟x,。，力(汨，yi),B(x?,%),

則有?=2小，贄=2*2,

.>一7_2

又M+%=2%

''X\-X271+72,

.ji-y-1即T

>?——，

x\—x?y

y—1.

又丸。=='由題忌知力。

得y—x—y+2=0.

所以，弦4?中點的軌跡方程為7-x—y+2=0.

10.拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135。的直線，被拋

物線所截得的弦長為8,試求拋物線方程.

解如右圖所示，依題意設(shè)拋物線方程為yJ2px(p〉0),

則直線方程為y=—x+-p.

2

設(shè)直線交拋物線于A(x“y),

B(X2,y2)1

則由拋物線定義得

|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

pp

=X1+——+X2+—f

22

即xi+x2+p=8.①

又4(小，乂)、8(小㈤是拋物線和直線的交點.

由卜r+T消去y得.3.+*。，

[y=2px,

.*.xi+x2=3p,將其代入①得p=2.

所求拋物線方程為/=4x.

當(dāng)拋物線方程設(shè)為/=-2px(p>0)時，同理可求得拋物線方程為/=-4x.

故拋物線的方程為"=4x或/=—4x.

講練學(xué)案部分

2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

對點講練

知識點一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

?例?分別求出滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)過點(3,-4).(2)焦點在直線x+3y+15=0上.

解(1廣.?點(3,-4)在第四象限，

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=2px(p>0)或Y=-2p,y(p,>0),把點(3,—4)的坐標(biāo)分別

代入得

169

(-4)2=2pX3,32=—20義(-4)即20=k，2n=彳

二.所求拋物線的方程為/1=6導(dǎo)*或*=一Q,

(2)令x=0得y=—5；令y=0得x=-15

...拋物線的焦點為(0,—5)或(一15,0)

???所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=-60x或*=-20卜

【反思感悟】求拋物線方程應(yīng)首先確定焦點的位置，進而確定方程的形式，然后利用

已知條件求P的值.

變式遷移1求滿足下列條件的拋物線的方程.

(1)以坐標(biāo)軸為對稱軸，且過點力(2,3)；

(2)以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點到準(zhǔn)線的距離為萬

解(D由題意，方程可設(shè)為7=磔或*2=心,

將點4(2,3)的坐標(biāo)代入，得

94

3，=勿?2或2'=〃?3,.?.m=5或〃=看

...所求的拋物線方程為9或/=￡4卜

乙O

(2)由焦點到準(zhǔn)線的距離為|,

可知。=|.

所求拋物線方程為

V=5x或/=-5x或V=5p或V=-5乂

知識點二拋物線定義的應(yīng)用

⑥例2已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點欣一3,而到焦點的

距離等于5,求拋物線的方程和應(yīng)的值.

解設(shè)拋物線的方程為/=-2px(p>0),則準(zhǔn)線方程為*=爭

..?點，"(一3,而是拋物線上的點，根據(jù)拋物線定義，"點到焦點的距離等于〃點到準(zhǔn)線的

距離

-3I+1=5：.p=4.

拋物線方程為/=-8乂

又點."(一3,就在拋物線上故/=-8X(—3)

ni=±2乖.

【反思感悟】涉及拋物線上一點與焦點的距離問題要注意用定義轉(zhuǎn)化為該點到準(zhǔn)線的

距離，可簡化計算.

變式遷移2若動圓與圓(X—2/+/=1相外切，又與直線x+l=O相切，則動圓圓心的

軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線

C.雙曲線的一支D.拋物線

答案D

解析設(shè)動圓的圓心為半徑為八動圓與圓(“一2)2+/=1相外切，則"到定點(2,0)

的距離為r+1,動圓與直線工=-1相切，則點"到定直線8=-1的距離為r,所以"到定

點⑵0)和到定直線*=一2的距離相等，由拋物線定義知，答案選D.

知識點三拋物線知識在實際中的應(yīng)用

⑥例3噴灌的噴頭裝在直立管柱0A的頂點A處，噴出水流的最高點8高5m,且與

以所在的直線相距4m,水流落在以。為圓心，半徑為9m的圓上，則管柱力的長是多少？

解如圖所示，

建立直角坐標(biāo)系，設(shè)水流所形成的拋物線的方程為x2=-2py(p>0),點C(5,-5)在拋

物線上，所以25=-2P?(-5),2p=5,所以拋物線的方程為x?=-5y,點A(-4,y。)在拋物

線上，所以16=-5yo,yo=-y,所以0A的長為5-y=1.8(m).二管柱0A的長是

1.8m.

【反思感悟】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求出拋物線方程，再利用拋

物線方程解決實際問題.

變式遷移3拋物線型拱橋頂距離水面2米，水面寬4米，當(dāng)水下降1米后，水面寬

____米.

答案2乖

解析可設(shè)拋物線方程為/=-2”,則點(一2,—2)在拋物線上，則有：4=40.

.,.p—l,拋物線方程為1=-2y,當(dāng)y=-3時，x=±#.

???水面寬為2

課堂小結(jié)：

1.四個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分：焦點在一次項字母對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項系數(shù)的

符號確定.當(dāng)系數(shù)為正時，開口方向為坐標(biāo)軸的正方向；系數(shù)為負(fù)時，開口方向為坐標(biāo)軸的負(fù)

方向.

2.焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x?=2py通常又可以寫成y=ax；這與以前學(xué)習(xí)的二次

函數(shù)的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax?來求其焦點和準(zhǔn)線時，必須先

化成標(biāo)準(zhǔn)形式.

3.經(jīng)過拋物線的焦點的弦稱為拋物線的焦點弦，它有以下特性：設(shè)焦點弦AB的端點坐標(biāo)

2

分別為A(xi,yi),B(x2,y2),則y1y2=-p,xix2=——，IAB|=Xi+x2+p.

4

課時作業(yè)

一、選擇題

1.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為X軸，焦點在曲線9—￡=1上，則拋物線方程

為（）

A.y=8xB.y=4.x

C./=2xD./=±8x

答案D

22

解析由題意知拋物線的焦點為雙曲線十一］=1的頂點，即（-2,0）、（2,0）,所以拋物

線的方程為/=8才或"=-8x.

2.拋物線y=mx（K0）的焦點坐標(biāo)是（）

A.（0,令B.（0,￡）

C.（0,D.（0,-￡）

答案B

解析由于拋物線方程可化為（欣0）,所以拋物線的焦點在y軸的負(fù)半軸上，且

2p=--,所以§=—；,所以拋物線的焦點坐標(biāo)是（0,；）,答案選B.

m24m4m

3.過點."（2,4）作與拋物線"=8x只有一個公共點的直線/有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

答案C

解析容易發(fā)現(xiàn)點."（2,4）在拋物線/=8x上，這樣1過歷點且與x軸平行時，/與拋物

線有一個公共點，或者，在M點上與拋物線相切，故選C.

4.已知P\（xi,yi）,Pilxi,%）是拋物線y—2px（p〉0）上不同的兩點，貝Uy\/

是直線A月通過拋物線焦點的（）

A.充分不必要條件

B.充分必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析設(shè)直線的斜率為衣，在x軸上的截距為xo,則。也的方程為y=4（x—X。），

x=%+xo（4=O時只有-一個交點不合題意），

所以y'=2/0/+xo）,即_/一華y—2Pxo=O.

當(dāng)直線尸12過焦點時，xo=導(dǎo)則防鹿=-p：

當(dāng)片次=-A?時，即一2〃的=一爐'，則劉=5直線過焦點.

當(dāng)斜率不存在時也可驗證是充要條件.

5.過拋物線/=4x的焦點作直線交拋物線于/（小，/）,B（xz,㈤兩點，如果汨+及=6,

那么/冽等于（）

A.10B.8C.6D.4

答案B

解析方法一由已知得拋物線焦點為（1,0）,過焦點的直線設(shè)為尸火才一1）（由小+熱

=6知，此直線不平行于y軸，因而衣存在）.

由1"消去p得六/一2（^+2）不+六=0.

,y=4x,

得k=±\.所以|（1+如）（為一冠2=2（不一范產(chǎn)=

x\?A2=l

64,故|明=8.

方法二由焦半徑公式

,AB\—\AF\-\-.BFi\=小+]+用+§=8.

二、填空題

6.拋物線2/+5x=0的焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.

答案（V°）x=l

解析化拋物線2/+5x=0為標(biāo)準(zhǔn)方程7=一占20=也所以焦點坐標(biāo)為（一*

ZZZoo

0）,準(zhǔn)線方程為

O

7.設(shè)點?3,￥）與拋物線「=2”上的點尸之間的距離為d,。到拋物線準(zhǔn)線/的距離

為&,則當(dāng)d+d取最小值時，/點坐標(biāo)為.

答案（2,2）

解析當(dāng)尸點是歷與焦點,，0）連線與拋物線交點時，d+出最小，物'的方程為

9

一泉與拋物線V=2x聯(lián)立得PR,2）.

O

三、解答題

8.過點0（4,1）作拋物線/=8x的弦四，若弦恰被。平分，求46所在直線方程.

解設(shè)力（汨，跖），8（*2,㈤，因點0（4,1）為46的中點

[XI+X2=8,

則有｛,將1、3兩點坐標(biāo)代入y=8*

lyi+/2=2

y\—Sxi①

則有，。

.疚=8*2②

①一②得：（防一度）（%+度）=8（為一冠，

由弘+及=2,則有~——4,

M一吊

二所求直線方程為y—1=4（%—4）,即4x—y-15=0.

9.一拋物線拱橋跨度為52米，拱頂離水面6.5米，一竹排上有一寬4米、高6米的矩

形大木箱，問能否安全通過？

解

建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)拋物線方程為

x=-2py,

則點（26,-6.5）在拋物線上，

.,.26*2--2p?（-6.5）,

；.p=52,拋物線的方程為x?=-104y,

當(dāng)y=—0.5時，x=±2V13,則有4萬>4,

所以木箱能安全通過.

10.已知過拋物線〃=2px（p>0）的焦點廠的直線交拋物線于/（劉，力）,夙如㈤兩點.

求證：（1）X1也為定值；

給）倔y+》[為定值.

證明（1）拋物線/=2px的焦點為《，0）,

當(dāng)月6不垂直于x軸時，

設(shè)直線血的方程為尸?圄（20）.

由卜小一9消去y,

[y=2px

得六寸——p（必+2）x+~~~=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得占也=?（定值）.

當(dāng)軸時，x\=x?=g

2

X1至=/■也成立.

（2）由拋物線的定義知，

\FA\=汨+5|必|=在十苫

又由（1）得小才2=?,

所端T

汨+%+夕

苴（不+意+汨蒞+￡

汨+&+2=2（定值）.

彳（為+%+。）''

2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)

對點講練

知識點一由性質(zhì)求方程

⑥例?已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，且與圓/+/=4相交的公共

弦氏等于2#,求這條拋物線的方程.

解設(shè)講求拋物線方程為/=2px（p>0）或/=-2〃x（p>0）,設(shè)交點力（xi,yi）,BQ,%），

（yi>0,度<0）,則|%|+I度I=2#,即八一%=小打，由對稱性知，度=一九代入上式得力

=*,把必=餡代入x+/=4得x=±L所以點（1,鏡）在拋物線/=20才上點（一1,鏡）

在拋物線「=一2,彳上，所以3=2,或3=—20義（-1）.所以,=會所以所求拋物線方程為

y'=3才或y=—3x.

【反思感悟】（1）由已知的幾何條件求拋物線方程，常用待定系數(shù)法.（2）由于拋物線

是軸對稱圖形，所以與對稱軸垂直的弦一定被對稱軸平分.

變式遷移1已知拋物線的焦點在X軸上，直線y=2x+l被拋物線截得的線段長為訴,

求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解?.?拋物線的焦點在x軸上,

???設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為"=2px

y—2px

由方程組',得"+(4—2p)x+l=0.

匕=2x+l

?J汨一也I-------------—.

y11+2'|x\~xi\=^^\/p2—4p.

^^7p2—4p=y[15.”=6或。=-2.

???拋物線的方程為V=12x或/=-4x.

知識點二與拋物線有關(guān)的證明問題

，例2過拋物線焦點廠的直線交拋物線于4,E兩點,通過點4和拋物線頂點的直線

交拋物線的準(zhǔn)線于點〃，求證：直線的平行于拋物線的對稱軸.

證明

如圖所示，以拋物線的對稱軸為x軸，它的頂點為原點，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)拋物線的方程為y?=2px,①

點力的坐標(biāo)為僚，外），

則直線處的方程為‘

Ti’②

拋物線的準(zhǔn)線方程是x=_g③

聯(lián)立②③，可得點〃的縱坐標(biāo)為y=-2④

因為點尸的坐標(biāo)是(5oj,當(dāng)仞Lx軸時，|%|=p

此時，|如|=|勿|,二如〃”軸

當(dāng)48與x軸不垂直時，即近時，

直線力尸的方程為y=⑤

聯(lián)立①⑤,可得點8的縱坐標(biāo)為〃=一(.⑥

由④⑥可知，〃6〃x軸.

【反思感悟】因拋物線方程的獨特形式，較之橢圓與雙曲線，它上面的點便于用一個

變量表示出來，如上任一點，可表示為(以，，，注意恰當(dāng)運用.

變式遷移2設(shè)拋物線「=2px(p>0)的焦點為F,0是拋物線上除頂點外的任意一點，直

線。。交準(zhǔn)線于。點，過0且平行于拋物線對稱軸的直線交準(zhǔn)線于彳點，求證：PF1RF.

證明

如圖所示，設(shè)點Q

貝ijR.(——,yo)

2

直線0Q的方程為y=&x,

yo

當(dāng)x=-E時，解得y=-",

2yo

,P=&%又F(E

0),A臍=,前=5,一%)

2yo2

.?.宓■?麻土0,：.PFA.RF.

知識點三直線與拋物線的交點問題

⑥例3已知拋物線的方程為*=4x,直線1過定點戶(一2,1),斜率為k.k為何值時,

直線/與拋物線V=4x：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？

解由題意，設(shè)直線/的方程為y—1=HX+2).

y—1=4(x+2)

由方程組

y=4x

可得：ky—4y+4(24+1)=0.①

(D當(dāng)衣=0時，由方程①得y=l.

把y=l代入/=4x,得x=*

這時，直線/與拋物線只有一個公共點(；，1)

(2)當(dāng)kWQ時，方程①的判別式為

△=一16(24+才一1).

1°由4=0,即2如+4-1=0,

解得k——\,或★=/

于是，當(dāng)衣=一1,或在二'1時，方程①只有一個解，從而方程組(*)只有一個解.這時,

直線/與拋物線只有一個公共點.

2°由4>0,即2六+4一1<0,解得一l<*g.

于是，當(dāng)一1<伙/且4去0時，方程①有兩個解，從而方程組有兩個解.這時，直線/

與拋物線有兩個公共點.

3°由4<0,即22+力一1>0,

解得在<—1,或衣斗.

于是，當(dāng)衣一1,或時，方程①沒有實數(shù)解，從而方程組(*)沒有解.這時，直線/

與拋物線沒有公共點.

綜上，我們可得

當(dāng)a=-1,或A=；,或4=0時，直線/與拋物線只有一-個公共點；

當(dāng)一1<人看且4W0時，直線/與拋物線有兩個公共點;

當(dāng)K—1,或A〉$寸，直線，與拋物線沒有公共點.

【反思感悟】當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，拋物線和直線相交，只有一個

交點.解決直線與拋物線位置關(guān)系問題時，不要忽視這一點，否則容易漏解.

變式遷移3直線/：y=kx^\,拋物線a〃=4%,當(dāng)A'為何值時，/與C分別相切、相

交、相離？

fy—kx+1,①

解將/和C的方程聯(lián)立L人

[4=4x,②

①式代入②式，并整理，得

發(fā)/+(24—4)x+l=0.

當(dāng)*#0時，是一元二次方程，

，4=(2〃-4)2—4片=16(1一公.

(1)當(dāng)4=0時，即4=1時，/與C相切.

(2)當(dāng)4>0時,即衣1時,/與C相交.

⑶當(dāng)/<0時，即衣>1時，/與C相離.

當(dāng)4=0時.，直線/：尸1與曲線a/=4才相交.

綜上所述，當(dāng)％=0或%<1時，/與C相交，當(dāng)衣=1時，/與C相切，當(dāng)A>1時，1與C

相離.

課堂小結(jié)：

1.在已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,對稱軸為X軸,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，為避免討論

張口的方向可設(shè)拋物線的方程為y'2ax(aWO).此時，不論a>0或a<0,焦點坐標(biāo)都是(幺,0),

2

準(zhǔn)線方程都為x二-色.

2

2.拋物線y"=2px(p>0)上任一點的坐標(biāo)可用一個量yi表示為;x?=2py(p>0)

2P

X\

上任一點坐標(biāo)可設(shè)為(Xi,—).

2P

3.直線與拋物線的位置關(guān)系

設(shè)直線1：y=kx+m,拋物線：y、2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x

的方程：ax2+bx+c=0,

⑴若a#0,

當(dāng)A〉0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；

當(dāng)△=()時，直線與拋物線相切，有一個交點；

當(dāng)A<0時，直線與拋物線相離，無公共點.

(2)若a=0,直線與拋物線有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重

合，因此直線與拋物線有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

課時作業(yè)—一?

一、選擇題

1.P(x。，用)是拋物線V=2px(pr0)上任一點，則戶到焦點的距離是()

A.|B.|xo+負(fù)

C.|x?—p\D.|Ao+pl

答案B

解析當(dāng)。>0時，由拋物線定義得點尸(施，㈤到焦點的距離為劉+家當(dāng)。〈。時由拋物

線定義知網(wǎng)質(zhì)，㈤到焦點的距離為一日一施，綜上得所求距離為|劉+￡,故選B.

2.過拋物線/=4x的焦點作直線/交拋物線于4、8兩點，若線段^中點的橫坐標(biāo)為

4,則|力以等于()

A.10B.8C.6D.4

答案A

解析設(shè)/、6兩點的橫坐標(biāo)分別為無、x,?則有玉+葡=8,

\AB\=\AF\+IBF\—XB+^

=8+p=8+2=10.

3.拋物線〃=2以與直線ax+y—4=0的一個交點是(1,2),則拋物線的焦點到該直線

的距離為()

A.|,\/3

C?娜D.乎

答案B

解析由已知得拋物線方程為V=4x,直線方程為2x+y-4=0,拋物線y=4x的焦點

坐標(biāo)是尸(1,0),到直線2x+y-4=0的距離占與空。=呼

V?+l5

4.若拋物線7=2px(0〉0)上三個點的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個點到拋物

線焦點的距離的關(guān)系是()

A.成等差數(shù)列

B.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列

C.成等比數(shù)列

D.既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列

答案A

解析設(shè)三點為尸I(XI,珀，Pi(xz,㈤，P人X3,7s),

則狀=20小，yi—2pxi,ys.-7.px).,因為2狀=蘇+蘇，

所以XI+>3=2X2,

即|尸㈤一介舊"一勞=20班一外

所以|K冏+記/=2]臺尸

二、填空題

5.拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線垂直于x軸，且焦點到頂點的距離為4,則其方程為

答案/=16才或/=-16x

解析焦點到頂點的距離即^=4,p=8.

6.拋物線y=f上的點到直線2x—y-4=0的距離最短的點的坐標(biāo)是.

答案(1,1)

解

析設(shè)點1(x,。是符合題設(shè)條件的點，則由點到直線的距離公式，得d=^|2x-y

4」V5

x—41

V5

--(1)2—31