我的導(dǎo)數(shù)學(xué)案

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(一)

一.課前預(yù)習(xí)

1.函數(shù)單調(diào)性的定義,試用研究函數(shù)y=x+l,y=x2+3,y=x2-ex的單調(diào)性

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

422

(1)y=3x-x+2x+7rt(2)y=sinx+3x；

sinx一

(3)y=----；(4)y=eInx.

x

3.圖(1),表示高臺跳水運(yùn)動員的高度人隨時間，變化

的函數(shù)帕)=-4.9產(chǎn)+6.5/+10的圖象；圖(2)表示高臺跳

水運(yùn)動員的速度.?隨時間，變化的函數(shù)9)="(0=-9.&+6.5

的圖象；運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水

這兩段時間的運(yùn)動狀態(tài)有什么區(qū)別？

猜一猜：這種情況是否具有一般性呢？

4.觀察下面一些函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系.

5.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系

在某個區(qū)間([/)內(nèi)，如果，那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;

如果,那么函數(shù)y=/(%)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

思考：(1)如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有/'。)=。，那么函數(shù)y=/(x)有什么特征?

(2)某個區(qū)間上函數(shù)y=/(%)的平均變化率的幾何意義與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么關(guān)系？

二.典例精講

例1.已知導(dǎo)函數(shù)/(X)的下列信息：

當(dāng)l<x<4時，/(x)>0；當(dāng)x>4,或無<1時，/(x)v0；

當(dāng)x=4,或x=l時，/(x)=0,試畫出函數(shù)y=/(x)圖像的大致形狀.

試一試：畫出函數(shù)/")=2;?+3/一2飄+1的圖像.

例2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間.

32

(1)/(X)=X+3X；(2)/(X)=X-2X-3

(3)/(x)=sinx-xxe(O,/r)；(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1

分析：

(3)因?yàn)?(x)=sinx-x%6(0,萬)，所以，f(x)-

因此，函數(shù)/(x)=sinx-x在(0,").

(4)因?yàn)?(x)=21+3x2—24x+l,所以.

當(dāng)/,(x)>0,即時，函數(shù)f(x)=Y_2x—3；

當(dāng)/(x)<0,即時，函數(shù)/(x)=x2_2x—3；

小結(jié)：求解函數(shù)y=/(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：

(1)確定函數(shù)y=/(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)y=/(x)；

(3)解不等式f(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；

(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.

變式1：求函數(shù))，=丁的單調(diào)區(qū)間

3

變式2：判斷函數(shù)丁=第+4%的單調(diào)性

例3.如圖L3-6(教材25頁)，水以恒速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四

種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度h與時間/的函數(shù)關(guān)系圖像.

SDO?I

⑶(4)

思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢.結(jié)

合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？

小結(jié)：一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變

化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些.

三.課堂練習(xí)

教材第26頁練習(xí)

1、2、3、4

四.鞏固訓(xùn)練

1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(1)/(x)=2x3—6JT+7(2)J(x)--+2x(3)/(x)=sinx,xe[0,2%]

x

2x

(4)y=x\nx(5)y=2x+sinx(6)y=xe

3.設(shè)/(X)在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，則/(x)<0是f(x)在(a,3)內(nèi)單調(diào)遞減的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.函數(shù)/。)=/一3》+1的減區(qū)間()

A.(―1,1)B.(1,2)C.(—oo,—l)D.—,(1,4-co)

5.函數(shù)/(%)=(x-3)ex的單調(diào)增區(qū)間是.

個)

6.函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則使/'(為>0的X的范圍是_______,/\2/

/o\L/x

使f'M<0的％的范圍是__________,使/'(X)=0的％值是_________.

3乃71

7.函數(shù)y=l+x+cosx在(----,一)上是()

22

A、單調(diào)遞增函數(shù)B、(--后)上單調(diào)遞增，(-2多上單調(diào)遞減

2

C、單調(diào)遞減函數(shù)D、二,5)上單調(diào)遞減，(-],])上單調(diào)遞增

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(二)

—.課前預(yù)習(xí)

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系

在某個區(qū)間(。,。)內(nèi)，如果，那么函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

如果,那么函數(shù)V=/(%)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

2.求解函數(shù)y=/(x)單調(diào)區(qū)間的步驟

二.典例精講

例1.若函數(shù)/(幻=公3一%2+》-5在(_8,+00)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

例2.設(shè)/(%)=奴3+%恰有三個單調(diào)區(qū)間，試求。的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.

例3.已知/(x)=(/_4)(x-a),。為實(shí)數(shù)，若/(X)在(-8,-2］和［2,+00)上都

是遞增的，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例4.已知函數(shù)/(x)=2ar—'y,xw(0,l］,若/(x)在xe(0,l］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

2

例5.已知函數(shù)/(九)=4%+依2一§x3(xwR)在區(qū)間［一1,1］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取

值范圍

bx

例6.討論函數(shù)/(%)=^--0。0,-1<x<l)的單調(diào)性

X—1

例7.利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證:

(1)sinx<x,xG(0,7i)

(2)當(dāng)元〉0時，Inxvxve"

三.鞏固訓(xùn)練

1.函數(shù)/(x)=*3+4X2+bx+c其中a,),c為實(shí)數(shù))，當(dāng)a'-3b<0時/(X)是()

A、增函數(shù)B、減函數(shù)C、常數(shù)D、既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)

2.若函數(shù)y="(1-元)的遞減區(qū)間為(-*,*),則a的取值范圍是

3.已知函數(shù)/(x)=23-x3,xe(0,i］,a>0,若/(x)在xe(O,l］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃

的取值范圍.

-4——?—??—*

4.己知向量a=(%2,%+l)/=(1一％,。，若/(幻在區(qū)間(-1,1)上是

增函數(shù)，求t的取值范圍

5.己知函數(shù)/'(尤)=2=9的圖像在點(diǎn)〃(一1,/(一1))處的切線方程為》+2)，+5=0.

x+b

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

6.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+l(a,b￡R,a>0),f(-1)=0,且對任意xeR,均有

f(x)M：

(1)求f(x)的表達(dá)式；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)一點(diǎn)在［-2,2］上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍

7.函數(shù)/(x)=log〃(x3一。力3>0,。。1)在(一;,0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍

是__________

8.當(dāng)x>0時，求證：⑴ln(l+x)>x—gx?⑵l+2x〈e~*,

9.求證：方程龍—』sinx=0只有一個實(shí)數(shù)根.

2

10.設(shè)f/0,點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)/(幻=%3+ax與g(x)=8x2的圖象的一個公共點(diǎn),

兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線：

(1)用t表示a,b,c；

(2)若函數(shù)y=/(x)—g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，求t的取值范圍

1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

一.課前預(yù)習(xí)

1.觀察下圖，f=a時，高臺跳水運(yùn)動員距水面高度最大.那么，函數(shù)//Q)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

思考：對于一般的函數(shù)y=/(x),是否也有這樣的性質(zhì)呢？

2.如圖，函數(shù)y=/(x)在等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近函數(shù)值有什么關(guān)系？

y=/(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律？

圖1

3.通過以上的探究，我們以圖1中。,匕兩點(diǎn)為例，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=a處的

函數(shù)值/(a)比它在點(diǎn)x=a附近的點(diǎn)的函數(shù)值都__,/(a)=，而且在點(diǎn)x=a

附近的左側(cè)/'(x)0,右側(cè)/'(X)0.類似地，函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=8處的函數(shù)

值/S)比它在點(diǎn)x=6附近的點(diǎn)的函數(shù)值都____，f(b)=而且在點(diǎn)x=＞附近的

左側(cè)/'(X)0,右側(cè)尸(x)0.

我們把點(diǎn)。叫做函數(shù)y=/(x)的，/(a)叫做函數(shù)y=/(x)的..

點(diǎn)6叫做函數(shù)y=/(x)的，/3)叫做函數(shù)y=/(x)的一.

極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.

思考：導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？極大值一定大于極小值嗎？

極值是一個局部概念，由定義，極值只是某個點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大

或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小，函數(shù)的極值不是唯一的，即一

個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個.函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間

的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。

二.典例精講

例1.求〃％)=；/一4%+4的極值

小結(jié)：求可導(dǎo)函數(shù)/*)的極值的步驟：

(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)/(x)；

⑵求方程/(幻=0的根；

(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.

檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么/(x)在這個根處取得極大值;

如果左負(fù)右正，那么/(用在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為

負(fù)，那么/(%)在這個根處無極值..

例2.求下列函數(shù)的極值：

2Y

(1)/。)=表-*；(2)=--2.

x~+1

例3.設(shè)函數(shù)y=x3—6x+5

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值

(2)若方程y=a有三個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

例4.已知=+"2+，4口。0)在》=±1時取得極值，且/⑴=-1,求函數(shù)/(x)

的解析式.

三.課堂練習(xí)

1.教材第29頁練習(xí)1

2.教材第31頁習(xí)題1.3A組3、4

3.求下列函數(shù)的極值：

(1)f(x)=6x2-x-2(2)/(x)=/-27x

(3)/(x)=6+12x-x3(4)f(x)=3x-x3

四.鞏固訓(xùn)練

I.下列四個函數(shù)，在廣0處取得極值的函數(shù)是()

①尸^3②/=/+]③y=|%|@y=2x

A.①②B.②③C.③④D.①?

2.函數(shù)/(x)=加+x+1有極值的充要條件是.

3.函數(shù)y=-J的極大值為()

1+x

A.3B.4C.2D.5

4.函數(shù)尸丁一3x的極大值為相，極小值為〃，則m+”為()

A.OB.lC.2D.4

5.)^ln2^+21iu:+2的極小值為()

A./B.OC.-lD.1

6.y=2xi—3xi+a的極大值為6,那么。等于()

A.6B.OC.5D.1

7.若函數(shù))=儲+以2+陵+27在x=-1時有極大值，在43時有極小值，則

a=,h=.

8.函數(shù)f(x)+ax2+Z?x+/在x=1處有極值10,求a,b的值

9.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=-x?-x+a.

(1)求f(x)的極值.

(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點(diǎn).

Q

10.設(shè)函數(shù)f(x)=1一]/+6x-a

①對于任意實(shí)數(shù)x,尸(幻2加恒成立，求加的最大值：

②若方程/(x)=0有且僅有一個實(shí)根，求a的取值范圍

11.已知x=1是函數(shù)f(x)=mx3-3(m+l)x2+nx+l的一個極值點(diǎn)，m,neR,m<0,

(1)求m與n的關(guān)系式；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)xe[—1,1]時，函數(shù)y=/(x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m,求m的取

值范圍.

1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(一)

一.課前預(yù)習(xí)

1.求可導(dǎo)函數(shù)/(X)的極值的步驟

2.如圖，觀察區(qū)間［a,6］上的函數(shù)y=/(x)的圖象，你能找出它的極大值與極小值嗎？

3.你能找出它的最大值與最小值嗎

一般地，設(shè)y=yu)是定義在［a,加上的函數(shù)，在［a,切上y=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷

的曲線，那么它必有最大值與最小值

思考：

(1)如果是在開區(qū)間①功)上情況如何？

(2)如果［a,句上不連續(xù)一定還成立嗎？

(3)在閉區(qū)間［a,可上連續(xù)函數(shù)兀t)的最大值、最小值分別是什么？分別在何處取得？

以上分析，說明求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,加上最值的關(guān)鍵是什么？

(4)函數(shù)的極大值和極小值是否就是函數(shù)的最大值與最小值？

函數(shù)極值與最值的區(qū)別：

(1)函數(shù)的極值是局部性質(zhì)，函數(shù)的最值是整體性質(zhì)

(2)函數(shù)的最值是唯一存在的，而極值可能不止一個，也可能沒有

(3)函數(shù)的極值不能在區(qū)間端點(diǎn)取值，而最值可以在端點(diǎn)處取得

4.求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,以上的最大值與最小值的步驟：

(1)求y=7(x)在(a,份內(nèi)的極值；

(2)將y=/(x)的各極值與端點(diǎn)處的1a),式力比較，其中最大的一個為最大值，最小的

一個為最小值.

二.典例精講

例1.求函數(shù)/(外=；/一4%+4在［-3,4］上的最大值與最小值

變式1：將區(qū)間［-3,4］改為［0,3］

7T

變式2：求函數(shù)/(x)=x+cosx,xe［0,］］的最大值與最小值。

變式3：求函數(shù)/(x)=lnx-亍在［0,21上的最值

例2.已知函數(shù)y6依2+/7在-1,2］上的最大值是3,最小值是-29,求a,b的值

例3.已知函數(shù)/。)=一丁+3/+9》+4

(1)求/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若/(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為20,求函數(shù)在該區(qū)間上的最小值

三、課堂練習(xí)

教材第31頁(參照學(xué)案第7頁課堂練習(xí)3)

四、鞏固訓(xùn)練

1.下列說法中正確的是()

A函數(shù)若在定義域內(nèi)有最值和極值，則其極大值便是最大值，極小值便是最小值

B閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，也一定有極值

C若函數(shù)在其定義域上有最值，則一定有極值；反之，若有極值，則一定有最值

D若函數(shù)在定區(qū)間上有最值，則最多有一個最大值，一個最小值，但若有極值，則可有

多個極值

2.求下列函數(shù)的最大值與最小值

(I)f(x)=6x2+x+2,xe［-1,1］(2)f(x)=-x3+48x,xe［-3,5］

3.若函數(shù)/(x)=6+12x-x3,則/(x)()

A最大值為22,最小值為2B最大值為22,無最小值

C最小值為-22,最大值為2D即無最大值也無最小值

TT7T

4.函數(shù)火x)=sin2x—尤在［一5,耳］上的最大值為；最小值為

5.函數(shù)/。)=丁—3ax—a在(0,1)內(nèi)有最小值，則。的取值范圍是()

A0<?<1B0<?<1C-l<a<lD0<a<—

2

6.函數(shù)f(x)=xeT,xe［0,4］的最小值是()

142

A0BC—D—

42

eee

4Y

7.函數(shù)/(>)=―-,xw［—2,2］的最大值是,最小值是

x+1

3

8.函數(shù)y=x+—,xe[238）的最小值為

x

9.已知/(幻=2/—6/+加(加為常數(shù))，在［-2,2］上有最大值3,求函數(shù)在區(qū)間

［-2,2］上的最小值

1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(二)

一.課前預(yù)習(xí)

1.求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,々上的最大值與最小值的步驟.

2.若函數(shù)/(x)=6+12x-x3,則/。)()

A、最大值為22,最小值為2B、最大值為22,無最小值

C、最小值為-22,最大值為2D、即無最大值也無最小值

二.典例精講

2

例1.已知函數(shù)^=/+分2+云+C在x=——和x=l時都取得極值.

O

(1)求a,b的值；

(2)若對/(幻<。2恒成立，求c的取值范圍

例2.設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)/(x)=—d+3x+a,xe[—2,3]

(1)求/*)的極值；

(2)當(dāng)。在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=/(x)與x軸總有交點(diǎn)

例3.(08天津卷21)已知函數(shù)/(x)=兀4+/+2f+7(xeR),其中a,beR.

(I)當(dāng)a=-費(fèi)時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)/(x)僅在x=O處有極值，求a的取值范圍；

(III)若對于任意的ae[—2,2],不等式在[—1,1]上恒成立，求匕的取值范圍.

例4.設(shè)a>0為常數(shù)，求函數(shù)y=er-e-2*在區(qū)間[0,0上的最大值和最小值

三、課堂練習(xí)

1.函數(shù)./Xx)=d—3ax—a在(0,1)內(nèi)有最小值，則。的取值范圍是()

A0<6Z<1B0<。<1CD0<a<—

2

2.設(shè)/(x)=Y—g尤2-2X+5,(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增，遞減區(qū)間；

(2)當(dāng)xe[—l,2]時，/(x)〈根恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

四、鞏固訓(xùn)練

1.已知函數(shù)=/-a』一3》,

(1)若函數(shù)/(X)在口,+8］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

(2)若％=是/(x)的極值點(diǎn)，求/(x)在［1,。］上的最大值；

(3)在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)6,使得函數(shù)g(x)=Z?x的圖像與函數(shù)/(x)的圖像

恰有3個交點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)8的取值范圍；取不存在，試說明理由

V-

2.當(dāng)xe(l,2］時，函數(shù)/(x)=---恒大于正數(shù)。，求函數(shù)y=lg(“2—。+3)的最小值

2x-l

3.已知/(x)=2以一一十lnx在x=-1卡1處取得極值.

x2

(1)求縱b的值;

(2)若對工￡［—,4］時，f(x)><:恒成立，求c的取值范圍.

4

4.設(shè)函數(shù)/(x)=ax+lnx,g(x)=a2%2

(1)當(dāng)。=一1時，求函數(shù)y=/(x)圖像上的點(diǎn)到直線x—y+3=0距離的最小值；

(2)是否存在正實(shí)數(shù)a,使/(x)<g(x)對一切正實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范

圍；若不存在，請說明理由。

InX

5.(選做)設(shè)函數(shù)，(x)=----lnx+ln(x+l).

\+x

(1)求犬x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)”，使得關(guān)于x的不等式/(x)》。的解集為(0,+oo)?若存在，求。

的取值范圍；若不存在，試說明理由.

1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（一）

一.課前預(yù)習(xí)

1.求可導(dǎo)函數(shù)/（X）的極值的步驟.

2.求函數(shù)y=/（x）在區(qū)間以上的最大值與最小值的步驟.

二.典例精講

例1.海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)

學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)

一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm：上、下兩邊

各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心

面積最??？

【思考】在例1中，“x=16是函數(shù)S（x）的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn)

為什么？是否還有別的解法？

【探究】在實(shí)際問題中，由于（x）=0常常只有一個根，因此若能判斷該函數(shù)的最大（?。?/p>

值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個根處的極大（?。┲稻褪撬蠛瘮?shù)的最大（?。┲?從

圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的

函數(shù)值.

例2.飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響

（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？

（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？

某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8萬戶分，其中「是

瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分,且制造商能制

作的瓶子的最大半徑為6cm.

問題：（1）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？

（2）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最?。?/p>

【思考】我們已經(jīng)求出利潤和瓶子半徑之間的關(guān)系式:

2、

/⑺=0.8%---r2,0<r<6.圖象如圖，

、3>

能否根據(jù)它的圖象說出其實(shí)際意義？

【探究】當(dāng)rw(O,2)時，，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子

的半徑越大，利潤越小，半徑為2cm時，利潤最?。划?dāng)re(2,6)時，/(r)為增函數(shù)，其

實(shí)際意義為：瓶子的半徑大于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越大.

特別的，當(dāng)「=3時，/(3)=0,即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本

恰好相等，r>3時，利潤才為正值.當(dāng)r=2時，/(2)<0,即瓶子的半徑為2cm時，

飲料的利潤最小，飲料利潤還不夠飲料瓶子的成本，此時利潤是負(fù)值.

例3.磁盤的最大存儲量問題

計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上.磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成

磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道,扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。

磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1,這個基本

單元通常被稱為比特(bit).

為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于加，每比特所占用的磁道長度不得

小于為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù).

問題：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域.

(1)是不是r越小，磁盤的存儲量越大？

(2)r為多少時，磁盤具有最大存儲量(最外面的磁道不存儲任何信息)？

提示：由題意知：存儲量=磁道數(shù)X每磁道的比特?cái)?shù)

小結(jié)1.根據(jù)以上三個例題，總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題的基本步驟.

(1)認(rèn)真分析問題中各個變量之間的關(guān)系，正確設(shè)定最值變量y與自變量x,把實(shí)際問題

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式y(tǒng)=/(x),并確定函數(shù)的定義區(qū)間；

(2)求f(x),解方程f(x)=O,得出所有實(shí)數(shù)根；

(3)比較函數(shù)在各個根和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小.

根據(jù)問題的實(shí)際意義確定函數(shù)的最大值或最小值.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：

三、課堂練習(xí)

教材第37頁習(xí)題1.4A組1、5、6

四、鞏固訓(xùn)練

1.一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，由始點(diǎn)起經(jīng)過ts后的距離為s=-?--r3+3/，則速度為零的時刻

43

是（）

A.0s與2s末B.3s末C.0s與3s末D.Os,2s,3s末

2.以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為（）

A.1OB.15C.25D.50

3.一面靠墻三面用欄桿，圍成一個矩形場地，如果欄桿長40cm,要使圍成的場地面積最大,

靠墻的邊應(yīng)該為cm

4.用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1,問

該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？

5.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x（t）與每噸產(chǎn)品的價格p（元/t）之間的關(guān)系

式為:葉24200—［夕,且生產(chǎn)xt的成本為:廬50000+200x（元）.問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸才

能使利潤達(dá)到最大?最大利潤是多少？

6.團(tuán)體旅行

某旅行社在暑假期間推出如下旅游團(tuán)組團(tuán)辦法：達(dá)到100人的團(tuán)體，每人收費(fèi)1000元.如

果團(tuán)體的人數(shù)超過100人，那么每超過1人，每人平均收費(fèi)降低5元，但團(tuán)體人數(shù)不能超過

180人，如何組團(tuán)，可使旅行社的收費(fèi)最多？（不到100人不組團(tuán)）

1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（二）

—.課前預(yù)習(xí)

1.用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題的基本步驟.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路.

二.典例精講

例L無蓋方盒的最大容積問題

一邊長為。的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為龍的小正方形，然后做成一個無蓋

方盒.

（1）試把方盒的容積V表示為X的函數(shù)；

（2）x多大時，方盒的容積V最大？

例2.圓柱形金屬飲料罐容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選擇，才能使所用的材料最

??？

思考：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所

用材料最??？

例3.用寬為“、長為b的三塊木板，做成一個斷面為梯形的水槽（如圖），問斜角。多大時,

槽的流量最大？最大流量是多少？

例4.某企業(yè)有一條價值a萬元的生產(chǎn)流水線，要提高該生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品

的增加值，就要對流水線